2015上海市嘉定区二模数学
2015年上海中考各区二模数学试题及答案汇总
BC OC = ∴ OC ，∴ OD
2 2
x r 2 − x2
2
=
r 2 − x2 r
2
，…………………（1 分）
∴ xr = r − x ， x + rx − r − 0 ， 5 ∵ r ≠ 0 ， ( rx ) + rx − 1 ≠ 0 ， rx = − 1 ± (负值舍去) ，………………………（1 分） 2 BC x 5 −1 ∴sin∠ODC＝sin∠COB = OB ．……………（1 分） = = r 2
2 2 2 2
年长宁区初三数学教学质量检测试卷 长宁区初三数学教学质量检测试卷参考答案 初三数学教学质量检测试卷参考答案
2
x
2
2
2
∆ADE
2
∆ADE
1
2
D
E
H
F
C
P
G R
O
A
Q
B
初三数学基础考试卷—3—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
∴DE=CF. （1 分） （2）据题意，设 DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1 分） ∵矩形 ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ 与△QBR 相似，则有 AP AQ 10 - t 3t 14 ① QB = （2 分） = t= BR 12 - 3t 1.5t 5
25
D P E F C
O R
A
Q
B
第 25 题图
初三数学基础考试卷—2—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
2015 18. 1
或 11 . 6 24．（本题满分 12 分） 解：（1） y = x − 2tx + t − 2 = (x - t ) - 2 ∴A（t，-2）（2 分） y ∵点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点 ∴t =2 （1 分） ∴ y = (x - 2 ) - 2 D ∴P（1，-1）.（1 分） O （2）据题意，设 C（x，-2）（0< x < t），P（x， ( x − t ) − 2 ）E P B C A AC= t-x，PC= ( x − t ) （1 分） 第 24 题图 ∵AC=PC ∴t-x = ( x − t ) ∵x < t ∴ t - x=1 即 x = t - 1 ∴AC=PC=1 （2 分） AC ∵DC//y 轴 ∴ PC ∴EB= t ∴OE=2-t = EB AB 1 1 3 ∴S = 1 (OE + DP) × OD = (3 − t )(t − 1) = − t + 2t − （1< t <2）. （2 分） 2 2 2 2 1 1 1 （3） S = 2 DP × AB = 2 ×1× t = 2 t （1 分） 1 3 ∵ S = 2S ∴ 1 t = 2( − t + 2t − ) 2 2 2 3 解得 t = 3 ， t = 2 （不合题意）∴ t = .（2 分） 2 2 25．（本题满分 14 分） （1）证:作 OH⊥DC 于点 H，设⊙O 与 BC 边切于点 G，联结 OG. （1 分） ∴∠OHC=90° ∵⊙O 与 BC 边切于点 G ∴OG=6，OG⊥BC ∴∠OGC=90° ∵矩形 ABCD ∴∠C=90° ∴四边形 OGCH 是矩形 ∴CH=OG ∵OG=6 ∴CH=6 （1 分） ∵矩形 ABCD ∴AB=CD 第 25 题图(1) ∵AB=12 ∴CD=12 ∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ∴O 是圆心且 OH⊥DC ∴EH=FH （2 分）
2015年高三二模客观压轴题解析(普陀、闸北、长宁、嘉定、杨浦)
若 | OP | m ，向量 OP 与 OQ 的夹角为 ，其中 O 为坐标原点，则 msin 的值为____________． | OQ |
1
答案：
2
详解：（方法一）根据已知条件， P xp , yp ， Q xp yp , xp yp ： OP xp2 yp2 ，
OQ
xp yp 2 xp yp 2
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1
变式：关于 x 的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根；
②存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；③存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；④存在实数 k，使
得方程恰有 8 个不同的实根。其中假命题的个数是 ( )
详解：这两题相似度 90%，答案为12 .
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2
5、（2015 年普陀理 14） 已知 x R ，用记号 N x 表示不小于实数 x 的最小整数，例如 N 2.5 3 ，
N
2
1 ，
N
1
1 ；若函数
f
x
N
3x
1
2x
1 2
的零点分别为
xi
i
1, 2,3,..., n
详解：观察可知乙中最后一个数均是平方数，而最接近 2015 的平方数是 452 2025
行数 即第几行 每一行最后一个数 从小到大排列后的顺序即第几个数
可观察总结规律：
1
1
1
2
4
1+2=3
3
9
1+2+3=6
4
16
1+2+3+4=10
上海市长宁区、嘉定区2015届高三下学期第二次质量调研
2014学年上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ,},01{2R ∈≥-=x x x B ,则=B A ________．【答案】12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 【解析】 试题分析： 因为{||2,}={|22}A x x x x x =≤∈-≤≤R ,2{10,}{|11}B x x x x x x =-≥∈=≤-≥R 或,所以=B A 12{-≤≤-x x 或}21≤≤x . 考点：集合的运算.2.抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4 【解析】试题分析：抛物线28x y =的焦点是()0,2 ,准线方程是2y =-,所以焦点到准线的距离是4. 考点：抛物线性质.3.若(1i)i 2i a b +=-,其中a 、b R ∈,i 是虚数单位,则|i |a b +=_________． 【答案】5【解析】试题分析：由(1i)i 2i a b +=-得2a =-,1b =- ,所以|i ||1a b +=--=.考点：复数相等、复数的模.4.已知函数xx g 2)(=,若0>a ,0>b 且2)()(=b g a g ,则ab 的取值范围是_______．【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛41,试题分析：由()()1222124a b a b g a g b a b ab ++⎛⎫=⇒=⇒+=⇒≤= ⎪⎝⎭ ,又,0>a ,0>b ,所以104ab <≤. 考点：1.指数运算；2.基本不等式.5.设等差数列{}n a 满足115=a ,312-=a ,{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则lg M =__________．【答案】2 【解析】试题分析：由115=a ,312-=a 得公差3112125d --==--,所以()()1152212,n a n n =+--=- 故()()()22119220101001002n n n S n n n n -=+-=-+=--+≤,所以100M =,lg 2M =.考点：等差数列的通项及前n 项和.6.若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ）,且565=a ,则=++++8210...a a a a _______________． 【答案】256 【解析】试题分析：由5358C 561a a a =-=⇒=-,8280128(1)...x a a x a x a x --=++++中取1x =-得()80128...2256a a a a ++++=-=. 考点：二项式定理7.已知对任意*N ∈n ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若11=a ,则=∞→n n S lim _____________．【答案】2试题分析：,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量,则2211111110422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=-⇒-=⇒= ⎪⎝⎭,}{n a 是公比为12的等比数列,所以1lim 2.112n n S →∞==-考点：1.直线的方向向量；2等比数列前n 项和的极限.8.已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,若函数()f x 的反函数为)(1x f-,则不等式51)2(21<+--x f 的解集为 ．【答案】)4,0( 【解析】试题分析：)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,则()()32,22,f f -==- 所以()123f -=-,()122f --=,又)(x f 是单调函数且()()32f f ->,所以)(x f 是减函数,故1()f x -也是减函数,所以()()()()1112(2)15322222f x f x f fx f ----+<⇔-<-<⇔<-<-222x ⇔-<-<,所以04x <<,即不等式51)2(21<+--x f 的解集为)4,0(.考点：1.函数单调性；2.反函数；3.不等式.9.已知方程1cos 3sin +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,则实数m 的取 值范围是____________． 【答案】)1,13[- 【解析】试题分析：因为πsin 2sin 3x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭,所以方程1c o s3s i n +=+m x x 在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解,即直线1y m =+ 与π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[0,π]x ∈的图像有两个不同交点,12m ≤+<,故实数m 的取值范围是)1,13[-. 考点：1.三角变换；2.三角函数的图像.10.随机变量ξ的分布列如下表所示,其中a ,b ,c 成等差数列,若31=ξE ,则D ξ的值 是___________．【答案】95 【解析】试题分析：依题意可得2a c b +=,1a b c ++=,13a c -+=,解得111,,632a b c ===,所以22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点：随机变量的分布列、期望、方差.11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________． 【答案】472 【解析】试题分析：若红色卡片有1张．则不同取法的种数为12412C C 466264=⨯=；若不取红色卡片．则不同取法的种数为33124C 3C 22012208-=-=,故不同取法的种数为264208472+=. 考点：分类计数原理与组合12.在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P QP P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ,称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下,m OQ OP =||,向量OP 与OQ 的夹角为θ,其中O 为坐标原点,则θsin m 的值为____________． 【答案】21 【解析】试题分析：依题意可得(||||OP m OQ ====cos OP OQ OP OQθ⋅=()()222P P P p p p x x y y x y OP++-+====所以π4θ= .故π1sin 42m θ==. 考点：1.数量积坐标运算；2.信息迁移题13.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点,则实数b 的取值范围是____________．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛--2,23 【解析】试题分析：由⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 可知,设()t f x =,当且仅当()0,1t ∈时对应的x 值有4个,因此问题可转化为()22210g t t bt =++=在()0,1上有两个不同实根,结合二次函数图像可得()()20123480201012210b b b g g b ⎧<-<⎪⎪⎪->⇒-<<⎨⎪=>⎪=++>⎪⎩考点：函数与方程。
(完整)2015年上海各区二模18题汇总,推荐文档
黄埔18. 如图4-1，点P是以r为半径的圆O外一点，点在线段OP上，若满足，则称点是点P关于圆O的反演点．如图4-2，在Rt△AB O中，，AB=2，BO=4，圆O的半径为2，如果点、分别是点A、B关于圆O的反演点，那么的长是▲．奉贤18．如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点处，点A落在点处，联结，如果点A、C、在同一直线上，那么∠的度数为▲；虹口徐汇18．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则O到折痕EF的距离为▲ ．静安、青浦区18．如图，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，O1O2＝5，⊙O分别与⊙O1外切、与⊙O2内切，那么⊙O半径的取值范围是▲ ．宝山嘉定18．在矩形中，，点在边上，联结，△沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为点，如图5，如果，那么▲．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D.如果将△ABD沿BD翻折，点A落在点A′处，那么△D A′C的面积为_______________cm2.长宁18.如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，且juxingABCD4BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM 是等腰三角形时，BE= ▲ .18．如图，在中，，，点是的中点，将沿着直线EF折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，那么的值为▲．闵行18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF =▲ ．浦东新区18．如图，已知在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=4，BC=2，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，联结AE，那么线段AE的长度等于▲．普陀区18．如图6，在矩形纸片中，<．点、分别在边、上，沿直线将四边形翻折，点恰好与点重合．如果此时在原图中△与△的面积比是1︰3，那么的值等于▲．杨浦18．如图，钝角△ABC中，tan∠BA C=，BC=4，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点C，处，点B落在点B，处，若C、B、B，恰好在一直线上，则A B的长为▲ .闸北18．在矩形中，，，把矩形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于▲。
2015年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷(理科)
2015年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x2-1≥0，x∈R}，则A∩B= ______ ．【答案】{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}【解析】解：由A中不等式解得：-2≤x≤2，即A={x|-2≤x≤2}，由B中不等式变形得：（x+1）（x-1）≥0，解得：x≤-1或x≥1，即B={x|x≤-1或x≥1}，则A∩B={x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}，故答案为：{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是______ ．【答案】4【解析】解：抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．故答案为：4．直接利用抛物线的性质写出结果即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.若（1+ai）i=2-bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|= ______ ．【答案】【解析】解：∵（1+ai）i=2-bi，其中a、b∈R，∴-a+i=2-bi，∴-a=2，1=-b，解得a=-2，b=-1．则|a+bi|=|-2-i|=|2+i|==．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．4.已知函数g（x）=2x，若a＞0，b＞0且g（a）g（b）=2，则ab的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：由题意可得a＞0，b＞0且g（a）g（b）=2a•2b=2a+b=2，∴a+b=1，∴ab≤=当且仅当a=b=时取等号，又∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴ab的取值范围为：，故答案为：，由题意和指数的运算可得a+b=1，由基本不等式可得ab的最大值，可得范围．本题考查基本不等式求最值，属基础题．5.设等差数列{a n}满足a5=11，a12=-3，{a n}的前n项和S n的最大值为M，则lg M= ______ ．【答案】2【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a12=-3，∴，d=-2，a1=19．∴a n=19-2（n-1）=21-2n，令a n＞0，解得，因此当n=10时，{a n}的前n项和S n取得最大值M==190-90=100，∴lg M=2．故答案为：2．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a n，S n，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．6.若（a-x）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8（a∈R），且a5=56，则a0+a1+a2+…+a8= ______ ．【答案】256【解析】解：（a-x）8展开式通项为T r+1=（-a）r C8r x8-r．令8-r=5得a5=（-a）3C85=56，知a=-1，∴利用赋值法x=1得a0+a1+a2+…+a8=28=256．故答案为：256．利用二项展开式的通项求出通项，令x的指数为5求出a5，列出方程求出a，令二项展开式的x=1求出展开式的系数和．本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题；通过给二项式的x赋值求展开式的系数和．7.已知对任意n∈N*，向量，都是直线y=x的方向向量，设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，则= ______ ．【答案】2【解析】解：∵向量，都是直线y=x的方向向量，∴a n+1-a n=，∴a n+1=a n，∵a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴==2．故答案为：2先判断数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，再利用无穷等比数列的求和公式即可求出．本题考查数列的极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列运算公式的灵活运用．8.已知定义在R上的单调函数f（x）的图象经过点A（-3，2）、B（2，-2），若函数f（x）的反函数为f-1（x），则不等式|2f-1（x-2）+1|＜5的解集为______ ．【答案】（0，4）【解析】解：不等式|2f-1（x-2）+1|＜5可化为-3＜f-1（x-2）＜2，由f（x）是定义在R上的减函数，以及函数与反函数的关系得：f（-3）＞x-2＞f（2），即2＞x-2＞-2，0＜x＜4，∴不等式|2f-1（x-2）+1|＜5的解集为（0，4）．故答案为：（0，4）．把要解的不等式去掉绝对值，进行等价转化，再利用反函数与原函数的关系求解不等式．本题考查了互为反函数的两个函数定义域和值域的关系，考查了数学转化思想方法，考查了不等式的解法，是中档题．9.已知方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：m+1=sinx+cosx=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[，]，如图：方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+）∈，．∴m+1∈，，可得m∈，．故答案为：，．通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的最值，得到表达式，然后求解m的范围．他考查函数的恒成立，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是______ ．【答案】【解析】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=-1×a+1×c=c-a=．联立三式得，，，∴．故答案为：要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为______ ．（用数字作答）【答案】472【解析】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有-4-=560-16-72=472种．故答案为：472．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12.在平面直角坐标系x O y中，点P（x P，y P）和点Q（x Q，y Q）满足按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若=m，向量与的夹角为θ，其中O为坐标原点，则msinθ的值为______ ．【答案】【解析】解：依题意，（）2==（）2∵∴=（）2∴m=∵向量与的夹角为θ，∴cosθ==•=∴θ=，∴msinθ=，故答案为：．先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ的值，即可求出msinθ的值．本题综合考查了理解题意的能力，两点间的距离公式，向量夹角公式，具有较强的代数变换能力是解决本题的关键．13.设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）=，若关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是______ ．【答案】-＜b＜【解析】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个交点．要使关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y=2t2+2bt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1．令g（t）=2t2+2bt+1，则由根的分布可得＞＞＞＜＜，解得＞或＜＞＜＜，即＜＜，故实数b的取值范围是-＜b＜．故答案为：-＜b＜先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定b的取值范围．本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．14.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2015，则n=______ ．【答案】1030【解析】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数，则2015为第990+40=1030个数．故答案为：1030．根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2015＜452，可得2015出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案．本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律，是中档题．三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)19.在△ABC中，已知2sin2+cos2C=1，外接圆半径R=2．（1）求角C的大小；（2）若角A=，求△ABC面积的大小．【答案】解：（1）∵在△ABC中，已知2sin2+cos2C=1∴由三角函数公式可得1-cos（A+B）+cos2C=1，∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=-cos C，∴2cos2C+cos C-1=0，解得cos C=-1（舍），或，∴；（2）由正弦定理可得，∴，∴，∵，由可得a=2，又∵，∴△ABC的面积【解析】（1）由三角函数公式和已知条件可得cos C的一元二次方程，解方程可得；（2）由正弦定理和已知条件易得c值，同理可得a值，可得，由三角形的面积公式可得．本题考查正弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数公式公式的应用，属基础题．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，∠BAD=60°，E为BC的中点．（1）求证：ED⊥平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．【答案】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．（1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，所以，BD=2，DE⊥BC，…（1分）因为AD∥BC，所以DE⊥AD，…（2分）又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DE，…（4分）因为AD∩PD=D，所以DE⊥平面PAD．…（6分）（2）以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由（1）知平面PAD的一个法向量为，，，又，，，，，，P（0，0，2），，，，所以，，，，，，…（2分）设平面PBC的一个法向量为，，，由得取y=2，则，故，，，…（4分）设与的夹角为θ，则．…（7分）所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为．…（8分）（2）解法二：在平面PAD上，过P作PF∥DA且PF=DA，连结BF，则四边形PCBF是平行四边形，即直线PF是平面PAD与平面PBC的交线．…（2分）因为BC⊥DE，BC⊥PD，所以BC⊥平面PDE，故BC⊥PE，所以PE⊥PF，又PD⊥PF，所以∠DPE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角．…（5分）在R t△PDE中，，，…（6分）∠．…（7分）所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为．…（8分）【解析】（1）连结BD，证明DE⊥BC，DE⊥AD，通过直线与平面垂直的判定定理证明DE⊥平面PAD．（2）解法一：以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面PAD的一个法向量，平面PBC的一个法向量，利用数量积求解平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．（2）解法二在平面PAD上，过P作PF∥DA且PF=DA，连结BF，说明∠DPE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角．在R t△PDE中求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且，．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）．解：（1）当x=0时，t=0；…（2分）当0＜x＜24时，因为x2+1≥2x＞0，所以＜，…（4分）即t的取值范围是，．…（5分）（2）当，时，由（1），令，则，，…（1分）所以=，，＜…（3分）于是，g（t）在t∈[0，a]时是关于t的减函数，在，时是增函数，因为，，由，所以，当时，；当＜时，，即，，＜…（6分）由M（a）≤2，解得．…（8分）所以，当，时，综合污染指数不超标．…（9分）【解析】（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；（2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点B（0，b），过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D，且2+=．（1）求证：△BF1F2是等边三角形；（2）若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l：x-y-3=0相切，求椭圆C的方程；（3）设过（2）中椭圆C的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（6分），第3小题满分（6分）．解：（1）证明：设D（x0，0）（x0＜0），由F2（c，0），B（0，b），故，，，，因为，所以，…（1分），故，，…（2分）又，，故由得，所以，b2=3c2．…（3分）所以，∠，∠BF2F1=60°，即△BF1F2是等边三角形．…（4分）（2）由（1）知，，故a=2c，此时，点D的坐标为（-3c，0），…（1分）又△BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为F1（-c，0），半径为2c，…（3分）所以，，c=1，，a=2，…（5分）所求椭圆C的方程为．…（6分）（3）由（2）得F2（1，0），因为直线l过F2且不与坐标轴垂直，故可设直线l的方程为：y=k（x-1），k≠0．…（1分）由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，…（2分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，，…（3分）由题意，M（x1，-y1），故直线QM的方向向量为，，所以直线QM的方程为，…（4分）令y=0，得====．…（5分）即直线QM与x轴交于定点（4，0）．所以，存在点N（4，0），使得M、Q、N三点共线．…（6分）（注：若设N（x0，0），由M、Q、N三点共线，得，得．）【解析】（1）设D（x0，0）（x0＜0），利用得b2=3c2，求解∠BF2F1=60°，证明△BF1F2是等边三角形．（2）求出点D的坐标，利用△BDF2是直角三角形，得到其外接圆圆心为F1（-c，0），半径为2c，然后求解所求椭圆C的方程．（3）直线l过F2且不与坐标轴垂直，设直线l的方程为：y=k（x-1），k≠0．与椭圆联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合韦达定理，求解直线QM的方向向量，求解直线QM的方程，求解直线QM与x轴交于定点（4，0）．推出结果．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，三点共线，考查分析问题解决问题的能力．23.已知数列{a n}中a1=3，a2=5，其前n项和满足：S n+S n-2=2S n-1+2n-1（n≥3）．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜；（3）证明：对任意的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得（2）中的T n＞m成立．【答案】（1）解：由S n+S n-2=2S n-1+2n-1（n≥3）得S n-S n-1=S n-1-S n-2+2n-1（n≥3），∴a n=a n-1+2n-1∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a3-a2）+a2=2n-1+2n-2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故a n=2n+1；（2）证明：∵b n==，∴T n=b1+b2+…+b n=[（-）+（）+…+]=＜（3）证明：由（2）可知T n=，若T n＞m，则得＞，化简得＞．∵m∈（0，），∴1-6m＞0，∴＞，∴n＞，当＜1，即0＜m＜时，取n0=1即可，当≥1，即＜时，则记的整数部分为S，取n0=S+1即可，综上可知：对任意的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得（2）中的T n＞m成立．【解析】（1）由S n+S n-2=2S n-1+2n-1（n≥3）得a n=a n-1+2n-1（n≥3），利用a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a3-a2）+a2，即可求得结论；（2）b n==，从而可求T n，即可证得结论；（3）由（2）可知T n=，若T n＞m，则得＞，化简得＞，根据m∈（0，），可得n＞，分类讨论，即可求得结论．本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是累加法求通项，裂项相消法求和，属于中档题．二、选择题(本大题共4小题，共20.0分)15.在△ABC中，“sin A=”是“A=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】解：在△ABC中，由sin A=⇔A=，或．∴“sin A=”是“A=”的必要非充分条件，故选：B．在△ABC中，由sin A=⇔A=，或．即可判断出．本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．16.已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m-2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A.（- ，2） B.（2，+ ）C.（- ，+ ）D.（- ，2）∪（2，+ ）【答案】D【解析】解：根据题意，向量、是不共线的向量∵=（1，2），=（m，3m-2）由向量、不共线⇔解之得m≠2所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．故选D平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ，使=λ+μ成立．根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围．本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题．17.极坐标方程（ρ-1）（θ-π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【答案】C【解析】解：方程（ρ-1）（θ-π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．由题中条件：“（ρ-1）（θ-π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．18.在四棱锥V-ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为（）A.1：6B.1：5C.1：4D.1：3【答案】C【解析】解：如图，棱锥A-B1CD1的体积可以看成是四棱锥V-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，∴棱锥B1-ABC的体积是棱锥V-ABC体积的，棱锥D1-ACD的体积是棱锥V-ACD的体积的，∴棱锥B1-ABC的体积与棱锥D1-ACD的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的；棱锥B1-VAD1的体积是棱锥B-VAD体积的，棱锥B1-VCD1的体积是棱锥B-VCD体积的，∴棱锥B1-VAD1的体积与棱锥B1-VCD1的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的．则中间剩下的棱锥A-B1CD1的体积V=四棱锥P-ABCD的体积-个四棱锥P-ABCD的体积=个四棱锥P-ABCD的体积，则两个棱锥A-B1CD1，P-ABCD的体积之比是1：4．故选：C．棱锥A-B1CD1的体积可以看成四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，由B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，得到棱锥B1-ABC的体积与棱锥D1-ACD的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的；棱锥B1-VAD1的体积与棱锥B1-VCD1的体积和为四棱锥V-ABCD的体积的．由此可得答案．本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键，是中档题．。
2015年区二模数学答案
3 2 2
3 ..............................................................................................2 分
22.（本题满分 7 分） （1）画图正确...............................................................................................................................................3 分 △ABC 的面积为6..................................................................................................................................1 分 （2） 画图正确.................................................................................................................................................3 分 23.（本题满分 8 分） （1）解：m = 100，x = 40，y = 0.18........................................................................................................3 分 （2）补图正确..................................................................................................................................................2 分 （3）解： 估计该校学生劳动的总时间为 2640 小时..........................................................................................3 分 24.（本题满分 8 分） (1)在△ABC 中，∵AC=BC，∠ACB=90，CG 平分∠ACB， ∴∠CAB=∠CBA=
(完整)2015年上海各区二模18题汇总,推荐文档
黄埔
18. 如图4-1，点P是以r为半径的圆O外一点，点在线段OP上，若满足
，则称点是点P关于圆O的反演点．如图4-2，在Rt△AB O中，
，AB=2，BO=4，圆O的半径为2，如果点、分别是点A、B关于圆O的
反演点，那么的长是
▲．
奉贤
18．如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC绕着点O顺时
针旋转，点C落在BC边上的点处，点A落在点处，联结，如果点A、C、
在同一直线上，那么∠的度数为▲；
虹口
徐汇
18．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，
使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若
OE＝5，则O到折痕EF的距离为▲．
静安、青浦区
18．如图，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，O1O2＝5，⊙O分别与⊙O1外切、与⊙O2内切，那么⊙O半径的取值范围是▲．
宝山嘉定
18．在矩形中，，点在边上，联结，△沿直线
翻折后点落到点，过点作，垂足为点，如图5，如果，
那么▲．。
中考数学：2015年上海各区中考数学二模压轴题
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中考数学
2015 年上海各区中考数学二模压轴题图文解析 目录
1．2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18 题...................................................................... 2 2．2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 24 题...................................................................... 3 3．2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 25 题...................................................................... 5 4．2015 年上海市崇明县中考模拟第 18 题.................................................................................. 7 5．2015 年上海市崇明县中考模拟第 24 题.................................................................................. 7 6．2015 年上海市崇明县中考模拟第 25 题.................................................................................. 9 7．2015 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题............................................................................
2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析
《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。
2015学年宝山嘉定区二模试卷
2015学年宝山嘉定区二模试卷（满分150分，考试时间100分钟）Part 1 Listening（第一部分听力I. Listening Comprehension (听力理解) (共30分)A. Listen and choose the right picture (根据你听到的内容，选出相应的图片) (6分)B. Listen to the dialogue and choose the best answer to the question you hear (根据你听到的对话和问题，选择最恰当的答案)（8分）7. A) On his way home B) In his car C) At home D) In his office8. A) Because he was ill B) Because she was writing her reportC) Because she was busy D) Because she didn’t know it9. A) Maths and Physics B) English and ChineseC) History and Maths D) Physics and History10.A) She missed the plan to London B) She lost her handbagC) She missed the train to London D) She lost a big handbag11.A) The woman only B) Only Anna and KarlC) Ann,Karl and the woman D) Nobody12) A) A quarter B) One-fifith C) One-fourth D) Four-fifths13) A) Tuesday morning B) Friday morningC) Saturday morning D) Sunday morning14. A) About two weeks B) About three weeksC) About four weeks D) About five weeksC. Listen to the passage and tell whether the following statements are true or false (判断下列句子是否符合你听到的短文内容，符合的用T表示，不符合的用F表示)（6分）15. The world championship(锦标赛)was held in Australia in 2007.16. Michael Phelps won 7 gold medals at Beijing Olympics.17. Only his tall and wild body makes his dream come true.18. He succeeded because he put his mind into swimming.19. Phelps trains everyday except on Christmas day,20. From Phelps’s experiences, we know that nothing is impossible.D. Listen to the passage and fill in the blanks （听短文填空，完成下列句子。