2011高考数学文科分类汇编含答案——统计

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2011年高考试题解析数学(文科)分项版之专题13 统计

2011年高考试题解析数学（文科）分项版13 统计一、选择题:1. （2011年高考江西卷文科7)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（） A.e o m m x == B.e o m m x =< C.e o m m x << D.o e m m x << 【答案】D【解析】计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D2. （2011年高考江西卷文科8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ 12x D.y = 176 【答案】C【解析】线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b 121，x b y a -=3. （2011年高考福建卷文科4)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A. 6 B. 8 C. 10 D.12【答案】B【解析】设样本容量为N,则30670N ⨯=,所以14N =,故在高二年级的学生中应抽取的人数为4014870⨯=,选B. 4. （2011年高考山东卷文科8)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元5. （2011年高考四川卷文科2)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[)11.5,15.5 2 [)15.5,19.5 4 [)19.5,23.5 9[)23.5,27.5 18 [)27.5,31.5 11[)31.5,35.5 12 [)35.5,39.5 7[)39.5,43.5 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A ）211 (B) 13 (C) 12 (D) 23答案：B解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为221663=.。

2011年高考数学(新课标)文科真题及答案

2011年高考数学（新课标）文科真题及答案参考答案一、选择题B C B D B AB DC CD A二、填空题1 -6三、解答题解：因为所以所以的通项公式为(18)解：因为，由余弦定理得从而BD2+AD2= AB2，故BD AD又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD 平面PAD. 故PA BD如图，作DE PB，垂足为E。

已知PD 底面ABCD，则PD BC。

由知BD AD，又BC//AD，所以BC BD。

故BC 平面PBD，BC DE。

则DE 平面PBC。

由题设知，PD=1，则BD= ，PB=2，根据BEPB=PDBD，得DE= ，即棱锥DPBC的高为解由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t94，由试验结果知，质量指标值t94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为(20）解：曲线与y轴的交点为，与x轴的交点为，则有解得t=1. 则圆C的半径为所以圆C的方程为设A，B，其坐标满足方程组：消去y，得到方程由已知可得，判别式因此，从而①由于OAOB，可得又所以②由①，②得，满足故解：由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。

由知，所以考虑函数，则所以当时，故当时，当时，从而当解：连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，ADAB=mn=AEAC，即.又DAE=CAB，从而△ADE∽△ACB因此ADE=ACB所以C，B，D，E四点共圆。

m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A=900，故GH∥AB，HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5解：设P(x，y)，则由条件知M( ).由于M点在C1上，所以即从而的参数方程为曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

2011年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2011年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•北京）已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合P中的不等式x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R，得到C U P=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．故选D【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．2．（5分）（2011•北京）复数=（）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．（5分）（2011•北京）如果那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0＜＜1故函数为减函数∴x＞y＞1故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．4．（5分）（2011•北京）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．【点评】本题考查复合命题的真假情况．5．（5分）（2011•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16 C．48 D．16+32【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积．【解答】解：由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2，∴四个侧面积是，底面面积是4×4=16，∴四棱锥的表面积是16+16，故选：B．【点评】本题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的体积和表面积的做法，本题是一个基础题．6．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．7．（5分）（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为B【点评】本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．8．（5分）（2011•北京）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A【点评】本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，a===．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．10．（5分）（2011•北京）已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．故答案为：2．【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型．11．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（5分）（2011•北京）在等比数列{a n}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=﹣2；a1+a2+…+a n=．【考点】等比数列的性质；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质可知，第4项比第1项得到公比q的立方等于﹣8，开立方即可得到q的值，然后根据首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式写出此等比数列的前n项和S n的通项公式，化简后即可得到a1+a2+…+a n的值．【解答】解：q3==﹣8∴q=﹣2；由a1=，q=﹣2，得到：等比数列的前n项和S n=a1+a2+…+a n==．故答案为：﹣2；【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f（x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数，我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）=k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）=6，N（t）的所有可能取值为6、7、8．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数．【解答】解：当t=0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）=6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，8【点评】本题考查画可行域、考查数形结合的数学思想方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（13分）（2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差，其中的平均数）（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所给的这组数据，利用求平均数的公式，把所有的数据都相加，再除以4，得到平均数，代入求方差的公式，做出方差．（2）本题是一个等可能事件的概率．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，可以列举出共有4种结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）当X=8时，由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8，8，9，10，∴平均数是，方差是+=．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率．若X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，包括：（9，10），（11，8），（11，8），（9，10）共有4种结果，∴根据等可能事件的概率公式得到P=．【点评】本题考查一组数据的平均数和方差，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来列举出符合条件的事件数和满足条件的事件数，本题是一个文科的考试题目．17．（14分）（2011•北京）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G 分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．（Ⅱ）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，∴Q为满足条件的点．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．18．（13分）（2011•北京）已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x （﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．【点评】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．19．（14分）（2011•北京）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．20．（13分）（2011•北京）若数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，n﹣1），则称A n为E数列，记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（Ⅲ）在a1=4的E数列A n中，求使得S（A n）=0成立得n的最小值．【考点】数列的应用．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）根据题意，a2=±1，a4=±1，再根据|a k+1﹣a k|=1给出a5的值，可以得出符合题的E数列A5；（Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是A n公差为1的等差数列，再证充分性，由递增数列的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得a k+1﹣a k=1＞0，A n是递增数列；（Ⅲ）由|a k+1﹣a k|=1，可得a k+1≥a k﹣1，再结合已知条件a1=4，可得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，﹣1，0，﹣1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，﹣1，﹣2或0，±1，0，﹣1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A n是递增数列所以a k+1﹣a k=1（k=1，2， (1999)所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000﹣1）×1=2011充分性：由于a2000﹣a1999≤1a1999﹣a1998≤1…a2﹣a1≤1，所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999又因为a1=12，a2000=2011所以a2000≤a1+1999故a k+1﹣a k=1＞0（k=1，2，…，1999），即A n是递增数列．综上所述，结论成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列A n，由于a2≥a1﹣1=3a3≥a2﹣1≥2…a8≥a7﹣1≥﹣3…所以a1+a2+…+a k＞0（k=2，3，…，8），所以对任意的首项为4的E数列A n，若S（A n）=0，则必有n≥9，又a1=4的E数列A9：4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4满足S（A9）=0，所以n的最小值是9．【点评】本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，属于难题，将题中含有绝对值的等式转化为不等式是解决此题的关键．。

2011年全国高考文科数学试题及答案(全国1卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N I ，则P 的子集共有
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2．复数512i i =- A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+
3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是
A ．3y x =
B ．||1y x =+
C ．2
1y x =-+ D ．||2x y -= 4．椭圆22
1168
x y +=的离心率为 A ．13
B ．12
C ．3
D ．
22 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是
A ．120
B ． 720
C ． 1440
D ． 5040
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一
个兴趣小组的概率为
A ．13
B ． 12
C ．23
D ．34
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
A ． 45-
B ．35-
C ． 35
D ．45。

[高考数学]2011年全国高考文科数学试题及答案-全国

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2BCD ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．C ．8D ．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含详细答案)专题：第8章统计概率

第8章统计概率【高考真题】1.（2011全国文6）有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）.A. B. C. D. 2.（2013全国I 文3）从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（）.A.B. C. D. 3.（2013全国II 文13）从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______. 4.（2014全国I 文13）将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为.5.（2014新课标Ⅱ文13）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝种颜色的运动服中选择种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.6. (2015全国I 文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） A.B. C. D. 7.(2013全国I 文18)为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：）实验的观测结果如下：服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：3131223341234，，，222121314161,2,3,4,55212311,2,3,4,531015110120A B 20A 20B 40h A 20B 203.2.1.0.B 药A 药（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？8.（2014全国I 文18）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示频数分布表：（1）作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品的”的规定？9.（2014新课标Ⅱ文19）（本小题满分12分）9580%某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了位市民.根据这位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.10.（2011全国文19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质品．现用两种新配方（分别成为配方和配方）做试验，各生产了件这样的产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果．配方的频数分布表配方的频数分布表（1）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；（2）已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）505090102A B 100A B A B B y与其质量指标值的关系式为估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率，并求用配方生产的上述件产品平均一件的利润．11.（2013全国II 文19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：）表示市场需求量，表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于元的概率.12.（2012全国文18）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（），整理得下表：（i ）假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均；（ii ）若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.t 2,94,2,94102,4,102.t y t t -<⎧⎪=<⎨⎪⎩……B 0B 1001t 5001t 300130t X t ，100150x ≤≤T T X T 5700051017y 单位：元n n ∈Ν100单位：元10017100171007513.(2015全国II 文18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得出地区用户满意评分的频率分布直方图和地区用户满意度评分的频数分布表.地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.A B A B A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B B B 地区用户满意度评分的频率分布直方图14.（2012全国文3）在一组样本数据，，，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）. A. B. C.D. 15. . (2015全国I 文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润与的关系为，根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？()11,x y ()22,x y (),n n x y 2n …12,,,n x x x (),i i x y ()1,2,,i n =112y x =+1-0121y i x ()1,2,,8i y i =千元565452504846444240383634i w =8118i i w w ==∑y a bx =+y c =+y z ,x y 0.2z y x =-49x =x附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.16. (2015全国II 文3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）.A. 逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B. 2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D. 2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关17. (2016全国I 文19)（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：()11,u v ()22,u v (),n n u v v u αβ=+()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑v u αβ=-2010年2012年2009年2013年2004年2006年2007年2008年2011年2005年19002000记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？18.(2017全国I文2)．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数19.(2017全国I文4)4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4nn20.(2017全国I 文19)19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．21(2017全国I文3)3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半22.(2018全国I文19)19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）23．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.824．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生25．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．1526．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．27．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．28．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）8.602≈．29．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．高考真题详解1.解析甲、乙两位同学参加个小组的所有可能性有（种），其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率. 故选A.2.分析利用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率.解析从中任取2个不同的数，有，，，，，，，，，，，，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有，，，，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为故选B. 3339⨯=33193P ==1,2,3,4()1,2()1,3()1,4()2,1()2,3()2,4()3,1()3,2()3,4()4,1()4,2()4,3()1,3()2,4()3,1()4,241.123=3.分析先找出两数之和等于5的各种情况，再利用古典概型的概率知识求解.解析：两数之和等于5有两种情况和，总的基本事件有，共10种.所以. 4.解析设2本不同的数学书为，，1本语文书为，在书架上的排法有，，，，，，共6中，其中2本书写数相邻的有，，，，共4中，因此2本数学书相邻的概率. 5.解析甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种，其中颜色相同的有3种，所以所求的概率为. 6.解析由，，可知只有是一组勾股数. 从中任取3个不同的数，其基本事件有：，，，共种.则从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率.故选C. 7.分析（1）直接求解平均数，并比较大小；（2）观察茎叶图，看看数据的离散情况及中位数的位置.解析：（1）设药观测数所的平均数为，B 药观测数据的平均数为.由观测结果可得，.由以上计算结果可得，因此可看出A 药的疗效更好.()1,4()2,3()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,()()()()2,5,3,4,3,5,4,520.210P ==1a 2a b 12a a b 12a ba 21a a b 21a ba 12ba a 21ba a 12a a b 21a a b 12ba a 21ba a 4263P ==3193=211=222224,39,416,525====()3,4,51,2,3,4,5()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5()()()1,3,4,1,3,5,1,4,5()()()()2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5101,2,3,4,5110P =A x y (10.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.320x =++++++++)2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5 2.3+++++++++++=(10.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.720y =+++++++++++)1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2 1.6++++++++=x y >（2）由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好. 8.解析（I ）（II ）质量指标值的样本平均数为.质量指标的样本方差为 .所以这种产品质量指标的平均数的估计值为，方差的估计值为. （III ）质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为.由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于的产品至少要占全部产品的”的规定.评注本题考查绘制频率分布直方图，计算样本的数字特征，及用样本估计总体等知识，同时考查统计的思想方法.9.解析（1）由所给茎叶图知，位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第位的是，故样本中位数为，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是.位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第位的是，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是.（2）由所给茎叶图知，位市民对甲、乙部门的评分高于的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于的概率的估计值分别为，.（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.710710800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()22222200.06100.2600.38100.22200.08s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=100104950.380.220.080.68++=0.89580％5025,2675,7575755025,2666,686668672+=67509050.150=80.1650=900.10.16评注本题考查利用茎叶图进行中位数，概率的相关计算，考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力及应用意识.10.【解析】（1）由试验结果知，用配方生产的产品中优质品的频率为，所以用配方生产的产品的优质品率的估计值为．由试验结果知，用配方生产的产品中优质品率的频率为，所以用配方生产的产品的优质品率的估计值为．（2）由条件知，用配方生产的一件产品的利润大于，需其质量指标值，由试验结果知，质量指标值的频率为．用配方生产的产品平均一件的利润为（元） 11.分析（1）根据题意，应分两段进行求解；（2）运用得出的函数结合频率分布直方图求出范围，然后估计概率.解析：（1）当时，.当时，.所以（2）由（1）知利润不少于57 000元当且仅当.由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润不少于57 000元的概率的估计值为0.7.12.解析（1）当日需求量时，利润.当日需求量时，利润.所以关于的函数解析式为.（2）①这天中有天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，所以这天的日利润的平均数为. ②利润不低于元当且仅当日需量不少于枝，故当天的利润不少于元的概率为A 2280.3100+=A 0.3B 32100.42100+=B 0.42B 094t …94t …0.96B ()142542424 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦[)100,130X ∈()50030013080039000T X X X =--=-[]130,150X ∈50013065000T =⨯=80039000,100130,65000,130150.X X T X -⎧=⎨⎩≤≤≤<T 120150X ≤≤[]120,150X ∈T 17n …85y =17n <1085y n =-yn ()1085,1785,17n n y n n -<⎧=∈⎨⎩Ν…1001055206516755485100()1551065207516855476.4100⨯+⨯+⨯+⨯=751675.13.分析 (1)根据题意通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出地区用户满意评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值，地区用户满意度评分比较集中，地区用户的评分满意度比较分散；(2)由直方图得的估计值为.的估计值为，所以地区的用户满意度等级为不满意的概率大.解析 (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值；地区用户满意度评分比较集中，而地区用户满意度评分比较分散.(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记表示事件：“地区用户的满意度等级为不满意”；表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=，()B P C 的估计值为()0.0050.02100.25+⨯=.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.评注高考中对统计与概率的考查，主要建立在实际问题中，特别要能读懂题意，分析题目中的数据，并对数据进行处理，在解答中要注意概率的计算方法. 14.分析利用相关系数的意义直接作出判断.解析样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即，代入相关系数公式0.160.160.150.130.10.7P =++++=B A B A ()A P C 0.6()B P C 0.25A B A BA B 地区用户满意度评分的频率分布直方图A C ABC i i y y =.故选D.15.解析（1）由散点图变化情况选择较为适宜.（2）由题意知. 又一定过点，所以，所以关于的回归方程为（3）（ⅰ）由（2）可知当时，，. 所以年宣传费时，年销售量为，年利润的预报值为千元.（ⅱ）.所以当，即（千元）时，年利润的预报值最大，16.解析由柱形图可以看出，我国二氧化碳排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，须选不正确的.故选D.17. (2016全国I 文19)（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：1r ==y c =+()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑y c =+(),w y 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=y x 100.6y =+49x =100.6576.6y =+=0.2576.64966.32z =⨯-=49x =576.6t 66.32(0.20.2100.620.12z y x x x =-=+-=+=)226.8 6.820.12-++6.8=26.846.24x ==记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若=19，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（Ⅲ）100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：（Ⅰ）（Ⅱ）此题要求为求平均值，即=，所以n 最小取19.（Ⅲ）若都购买19个易损零件，则费用为：元若都购买20个易损零件，则费用为：元所以每一台机器购买19个零件划算.18.(2017全国I 文2)．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B19.(2017全国I 文4)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是B ．14B ．π8C ．12D ．π 4【答案】B20.(2017全国I 文19)19．（12分）n n 3800,16193800(19)500,19x y x x ≤≤⎧=⎨+-⨯>⎩160.06170.16180.24190.24200.2210.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯18.66192007020500250010286000⨯⨯+⨯+⨯⨯=209020050010410000⨯⨯+⨯=为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑．由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09≈．21(2017全国I 文3)3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 22.(2018全国I 文19)19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）解：（1）。

2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含详细答案)专题：第7章数列

第7章数列1.（2012全国文14）等比数列的前项和为，若，则公比________.2.(2013全国I 文6)设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）. A. B. C. D.3.（2014新课标Ⅱ文5）等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（）A. B. C.D. 4.（2011全国文17）已知等比数列中，，公比．（1）为的前项和，证明：；（2）设，求数列的通项公式．5.(2015全国I 文13)在数列中，，为的前n 项和.若，则.6.(2015全国I 文7)已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）. A.B. C. D. 7.(2015全国II 文5)设是等差数列的前项和，若，则（）. A. B. C. D.8. (2015全国II 文9) 已知等比数列满足，，则（）.A. B. C. D.{}n a n n S 3230S S +=q =123{}n a n n S 21n n S a =-32n n S a =-43n n S a =-32n n S a =-{}n a 2248,,a a a {}n a n n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1)2n n -{}a 213a =13q =n S {}n a n 12nn a S -=31323log log log n n b a a a =+++n b {}n a 112,2n n a a a +==n S {}n a 126n S =n ={}n a n S {}n a n 844S S =10a =1721921012n S }{n a n 1353a a a ++=5S =57911{}n a 411=a ()35441a a a =-=2a 2121819.（2014新课标Ⅱ文16）数列满足，，则. 10.（2012全国文12）数列满足，则的前项和为（）.A. B. C. D. 11.（2013全国I 文17）已知等差数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.12.（2014全国I 文17）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和. 13.（2013全国II 文17）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求14.（2016全国I 文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前n 项和.15.（2017全国1文17）．（12分）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．16.（2018全国1文17）17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．{}n a 111n na a +=-82a =1a ={}n a 1(1)21n n n a a n ++-=-{}n a 603690366018451830{}n a n n S 3505S S ==-，{}n a 21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n {}n a 2a 4a 2560x x -+={}n a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n {}n a 125a =11113,,a a a {}n a 14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+{}n a {}n b 12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，{}n a {}n b17．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．218．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．19．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.20．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（I ）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（II ）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．21．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．高考真题详解1.分析利用等比数列的通项公式求解.解析，所以，所以，因为，所以.2.分析可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前项和，再建立关系. 解析：方法一：在等比数列中，.3230S S +=()1231230a a a a a ++++=()21440a q q ++=10a ≠2q =-n {}n a 1213322113n n n na a a qS a q -⋅-===---方法二：在等比数列中，所以故选D. 3.解析因为成等比数列，所以，即，将代入上式，解得，所以.故选A. 4.解析（1）因为，，所以．（2）．所以的通项公式为． 5.解析由，得，即数列是首项为2，公比为的等比数列. ，得.6.解析解法一：由，，知，解得.所以.故选B. 解法二：由，即，可得. 又公差，所以，则，解得.所以.故选B.7.解析由已知，则，.又因为 .故选A.{}n a 121,,3a q ==11221.33n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12113222313132.233313n n n n n S a -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-248,,a a a 2428a a a =⋅()()()211137a d a d a d +=++2d =12a =()()12212n n n S n n n -⋅=+=+1111333n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭111113332113n n n S ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭--==-12n n a S -=31323log log log n n b a a a =+++()12n =-+++()12n n +=-{}n b ()12n n n b +=-12n n a a +=12n na a +={}n a 2()()11212126112n n n a q S q--===--6n =844S S =1d =()()118814418144122a a --⎡⎤+⨯=+⨯⎢⎥⎣⎦112a =()10119101122a =+-⨯=844S S =()()1814442a a a a +=⨯+8142a a a =+1d =817a a =+427a =472a =1041962a a =+=1353a a a ++=333a =31a =()1535552=22a aa S +⨯==35=5a8.解析由等比数列的性质得，即，则 .所以有，所以.故 .故选C.9.解析由，得，因为，所以，，，，所以是以3为周期的数列，所以. 10.分析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.解析因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，，所以故选D.11.分析（1）结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解；（2）裂项求和，但要注意裂项后的系数.解析：解：（1）设的公差为，则由已知可得解得故的通项公式为. （2）由（1）知=，从而数列的前项和为. 12.解析（I ）方程的两根为，，由题意得，. 设数列的公差为，则，故，从而.所以的通项公式为. 2354a a a =()24441a a =-42a =3418a q a ==2q =2112a a q ==111n n a a +=-111n n a a +=-82a =711122a =-=67111a a =-=-56112a a =-={}n a 1712a a ==1(1)21n n n a a n ++-=-211a a =+312a a =-417a a =-51a a =619a a =+712a a =-8115a a =-91a a =10117a a =+1112a a =-12123a a =-571a a =581113a a =+5912a a =-601119a a =-1260a a a +++=()1234a a a a ++++()5678a a a a ++++()57585960a a a a ++++=102642234+++=()151********.2⨯+={}n a d ()11.2n n n S na d -=+11330,510 5.a d a d +=⎧⎨+=-⎩11,1.a d =⎧⎨=-⎩{}n a 2n a n =-()()2121113212n n a a n n -+=--11122321n n ⎛⎫- ⎪--⎝⎭21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 111111121113232112nn n n⎛⎫-+-++-= ⎪----⎝⎭2560x x -+=2322a =43a ={}n a 422a a d -=12d =132a ={}n a 112n a n =+（II ）设的前项和为，由（I ）知，则，，两式相减得. 所以. 评注本题考查等差数列及用错位相减法求数列的前项和，第（I ）种由条件求首项、公差，进而求出结论是基本题型，第（II ）问中，运算准确是关键.13.分析（1）先设出公差，根据已知条件求出公差，可得出通项公式；（2）所求的和成了一个新的数列，求出该数列的首项和公差，运用数列的前项和公式求解.解析：（1）设的公差为，由题意得，即.于是.又，所以（舍去），.故. （2）令.由（1）知，故是首项为25，公差为的等差数列.从而. 14.（2016全国I 文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前n 项和. 解析：（Ⅰ）由知带入已知条件得：所以由得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即所以，所以是一个以1为首项，为公比的等比数列 2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 1222n n n a n ++=23134122222n n n n n S +++=++++34121341222222n n n n n S ++++=++++312121311231121242224422n n n n n n n S ++-+++⎛⎫⎛⎫=+++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1422n n n S ++=-n d n {}n a d 211113a a a =()()21111012a d a a d +=+()12250d a d +=125a =0d =2d =-227n a n =-+14732n n S a a a a -=++++32631n a n -=-+{}32n a -6-()()213265632822n n n nS a a n n n -=+=-+=-+{}n a {}n b 12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，{}n a {}n b 11n n n n a b b nb +++=1221a b b b +=12a =1(1)n a a n d =+-31n a n =-11n n n n a b b nb +++=1(31)n n n n b b nb +-+=113n n b b +={}n b 13其前n 项和为: 15.（2017全国II 文17）．（12分）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-．故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-．由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-，故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．16.（2018全国II 文17）17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．解：（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n-=，所以a n =n ·2n -1． 17．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16B ．8111[1()](1)31113n nb q q --=--331()223n =-C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．18．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 19．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 20．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（I ）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（II ）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（I ）210n a n =-+；（II ）110()n n *≤≤∈N .【解析】（I ）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（II ）由（I ）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=.由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．21．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（I ）212n n a -=；（II ）2n S n =.【解析】（I ）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（II ）由（I ）得2(21)l o g 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=．。

2011年新课标高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题1.设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（）I ðM N ( )A.{}12，B.{}23，C.{}2，4D.{}1，4【测量目标】集合的基本运算（交集、并集）.【考查方式】已知全集和两个集合，求两个集合交集的补集.【参考答案】D【试题解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I2.函数0)y x =…的反函数为（） A.2()4x y x =∈R B.2(0)4x y x =… C.24y x =()x ∈R D.24(0)y x x =…【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数解析式，求其反函数.【参考答案】B【试题解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y …,所以函数0)y x =…的反函数为2(0)4x y x =…. 3.设向量a ，b 满足||||1==a b ,12=-a b g ,则2+=a b （）【测量目标】向量的模，向量的数量积.【考查方式】已知两向量的模及其数量积，求模.【参考答案】B【试题解析】2221|2|||4414()432+=++=+⨯-+=a b a a b b g ,所以2+=a b4.若变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩………，则=23z x y +的最小值为 ( )A.17B.14C.5D.3【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，求出目标函数在此区域的最小值.【参考答案】C【试题解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线1x =与332y -=-的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.5.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件.【参考答案】A【试题解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（）A.8B.7C.6D.5【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】已知等差数列的首项、公差和关于前k 项和与前k +2项和的关系，求出k 值.【参考答案】D 【试题解析】解法一：2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. 7.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ( ) A.13B.3C.6D.9 【测量目标】三角函数图象变换.【考查方式】根据三角函数图象平移后的特点求参数值.【参考答案】C【试题解析】由题意将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了π3是此函数周期的整数倍,得2ππ()3k k ω⨯=∈Z ,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.8.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =( )【测量目标】二面角.【考查方式】通过给出二面角，相关线段的长度，利用线面垂直的性质，求出CD 的长度.【参考答案】C【试题解析】因为l αβ--是直二面角,AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=9. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A. 12种B. 24种C. 30种D.36种【测量目标】乘法原理，组合数的应用.【考查方式】根据题目的要求，利用排列与组合，求出其中的不同选法.【参考答案】A【试题解析】解本题分两步进行：第一步选出2人选修课程甲有24C 6=种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22A 2=种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法.10. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= ( )A.12-B.14- C .14 D.12【测量目标】函数的奇偶性，周期性.【考查方式】已知函数的周期、奇偶性及在某区间的解析式，求另一区间内的函数值.【参考答案】A【试题解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1).2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-11.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = ( )A.4B.【测量目标】圆的方程与两点间的距离公式.【考查方式】给出两圆的位置关系和通过相同的点，计算圆心的距离.【参考答案】C【试题解析】由题意知：圆心在直线y x =上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.12.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A.7πB.9πC.11πD.13π【测量目标】二面角的概念与球的性质.【考查方式】给出平面与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，求出圆的面积.【参考答案】D【试题解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =在Rt OMN △中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==,故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为2π13πS r ==.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.(注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．) 13.10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出二项式，利用二项式展开式的通项公式，求出系数的差.【参考答案】0【试题解析】由11010C ()(1)C r r r r r r T x x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为910C 10-=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.14.已知3π(π,)2α∈,tan 2α=,则cos α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系式.【考查方式】已知正切值，在α角范围的条件下，求出余弦值.【参考答案】【试题解析】3π(π,)2α∈,sin tan =2cos ααα==,因为3π(π,)2α∈时，cos α小于零，所以cos α=15.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成角.【考查方式】给出正方体，求出在正方体中异面直线所成角的余弦值. 【参考答案】23【试题解析】取11A B 的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC所成的角.设正方形的边长为x ，在△AEM 中，222(2)(3)52cos 2233x x x AEM x x +-∠==⨯ . 16.已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的方程、点的坐标和角的平分线，通过双曲线的第一定义，求出2||AF 的值.【参考答案】6【试题解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线，∴2211||||41||||82AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .【测量目标】等比数列的通项和前n 项的和.【考查方式】直接给出2a 的大小和13a a 和的关系，求出n a 和n s .【试题解析】设{}n a 的公比为q ,由题设得12116630a q a a q =⎧⎨+=⎩解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，（步骤1）当13,2a q ==时，132,3(21)n n n n a S -=⨯=⨯-；(步骤2)当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=⨯=-.（步骤3）18.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、.已知s i n s 2s i n s i na A c a Cb B +=. (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ︒==a c 求，.【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】通过给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量.【试题解析】(I)由正弦定理得222a c b += （步骤1）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B = （步骤2）（II ）sin sin(3045)A =+sin 30cos 45cos30sin 45=+= （步骤3）故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 602sin sin 45C c b B =⨯=⨯=（步骤4） 19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【测量目标】独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率.【考查方式】考查了独立事件、对立事件、互斥事件的的相互关系，以及独立重复试验发生k 次的概率的应用.【试题解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+（步骤1）()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= （步骤2）(II)D =C ,P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2, （步骤3）P (E )=123C 0.20.80.384⨯⨯=. （步骤4）20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中，AB P CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====.(I)证明：SD ⊥平面SAB . (II) 求AB 与平面SBC 所成角的大小.【测量目标】线面垂直的判定和线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】通过给出四棱锥，利用等边三角形SAB 这个条件，作出有关辅助线.【试题解析】解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,所以DSE ∠为直角.（步骤1）由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.所以SD ⊥平面SAB .（步骤2）解法二：由已知易求得，1,SD AD =2,SA =于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .（步骤3） (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.连结SG ,则SG BC ⊥.又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .（步骤4）作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC 的距离为7.由于ED BC P ,所以ED P 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin 7d EB α==,arcsin 7α=.（步骤5）解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r ,由||||AS BS =u u r u u r 得=故1x =.（步骤1）由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =u u r 得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z ==（步骤2）于是1331(1,(1,(1,(0,2222S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r , 0,0DS AS DS BS ==u u u r u u r u u u r u u r g g .故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,所以SD ⊥平面SAB . （步骤3）(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)m n p =a ,则,,0,0BS CB BS CB ⊥⊥==a a a a u u r u u r u u r u u r g g .又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩（步骤4）取2p =得(=a ,又(2,0,0),AB =-u u u r所以，cos ,||||AB AB AB <>==a a a uu u r uu u r g uu u r g 故AB 与平面SBC所成的角为arcsin 7. （步骤5） 21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．). 已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a =++--∈R(Ⅰ)证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得最小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.第（II ）问是含参问题，对方程()0f x '=的判别式进行分类讨论.【试题解析】解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-（步骤1）由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知曲线()y f x =在0x =处的切线过点（2，2）（步骤2）（II ）由()0f x '=得22120x ax a ++-=.（i ）当11a剟时，()f x 没有极小值；（步骤3）(ii)当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-+故02x x =,由题设知13a <-，（步骤4）当1a >时，不等式13a <-<无解；当1a <时，解不等式13a <-<得512a -<<综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,1)2-.（步骤5） 22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．).已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=u u r u u u r u u u r r .(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【测量目标】椭圆的简单几何性质、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件.【考查方式】根据给出的椭圆方程与直线方程的关系，平面向量的坐标运算，求出曲线交点坐标和四点共圆的条件.【试题解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410x --=. （步骤1）设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则12x x ==121212)21,x x y y x x +=+=++=(步骤2)由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-所以点P 的坐标为(1)2--.经验证点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上（步骤3）(II)由P (1)2--和题设知，Q (2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为y x =. ①设AB 的中点为M ,则1)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+. ②由①、②得1l 、2l 的交点为1()88N -.（步骤4）||NP ==21||||2AB x x=-=||4AM=,||MN==,||NA==（步骤5）故||||NP NA=,又||||NP NQ=, ||||NA NB=,所以||||||||NA NP NB NQ===,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.（步骤6）（II）法二：22tan11PA PBPA PBk kAPBk k-∠==+214()3x x-==(步骤1)同理22tan11QB QAQA QBk kAQBk k-∠==++214()3x x-==-（步骤2）所以,APB AQB ∠∠互补，因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（步骤3）。

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2011高考数学文科分类汇编含答案：统计
一、选择题 1．（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是
A ．1
6 B ．1
3
C ．1
2
D ．23
【答案】B
【解析】从31.5到43.5共有22，所以
221663P =
=。

2.（陕西理9）设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(,)x y 【答案】D
3.
根据上表可得回归方程ˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销
售额为 A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元【答案】B
4.（江西理6）变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，
4），（13，5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，
2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则
A ．210r r <<
B ．210r r <<
C ．210r r <<
D ．21r r
= 【答案】C
5.（湖南理4）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联
表：
由()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．
参照附表，得到的正确结论是 A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 二、填空题
6.（天津理9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队
的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________ 【答案】12
7.（辽宁理14）调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：
万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y
对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y .由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.
【答案】0.254
8.（江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2
=s 【答案】3.2
9.（广东理13）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm
和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．【答案】185 三、解答题
10.（北京理17）
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树
Y 的分布列和数学期望。

（注：方差
()(
)
()
2
2
2
2121n s x x x x
x x n ⎡
⎤
=
-+-++-⎢⎥⎣
⎦ ，其中x 为1x ，2x ，…… n
x 的平均数）
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
;
435
410988=+++=
方差为
.
1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组
同学的植树棵数是：9，8，9，10。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出
的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=
.81
162= 同理可得
;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .
81
)21(;41)20(====Y P Y P
=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81
=19
11.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种
家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和
数学期望；
（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块
2种植哪一品种？
附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(12
22212x x x x x x n s n
-+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为
样本平均数．解：
（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且
4
813444
822
444
831
444
84811(0),70
8
(1),3518
(2),358
(3),
3511(4).70
P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ==
============
=
即X 的分布列为
………………4分 X 的数学期望为
181881()01234 2.7035353570E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分
（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
222222221
(403397390404388400412406)400,
81
(3(3)(10)4(12)0126)57.25.
8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
2
222222221
(419403412418408423400413)412,
81(7(9)06(4)11(12)1)56.
8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙
………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.。