21.4(1)无理方程
21.4无理方程
去根号
解有理方程
检验
否是写出原方程的根 Nhomakorabea舍去
结束
解下列方程：
(1) x2x
(2)x1 x3
(3)5x 25x230
课堂小结
• 什么是无理方程？ • 解无理方程的一般步骤有哪些？ • 解无理方程必须检验，检验的方法是什么？ • 解无理方程的策略是什么？体现了什么数
学思想？
作业布置
21.4（1）无理方程
上海市凌桥中学 陆夏瑛
用一根30cm长的细铁丝弯成一个直角 三角形，使它的一条直角边长为5cm，那 么另一条直角边长为多少厘米？
5
？
x
5x 25x2 30
定义：方程中含有根式，且被开方数 是含有未知数的代数式，这样 的方程叫做无理方程。
有理方程和无理方程统称为初 等代数方程，简称代数方程。
• 练习册21.4（1）
判断下列方程是否为无理方程？
(1) x 2 2 x 0 (2) x 3 4
x (3) x 2 1 7 0 (4) 2 x2 5 x 1 0 (5) 1 3
x
怎样解方程 x 3x4 ？
无理方程 转化
平方
有理方程
为什么会产生增根呢？
归纳
解简单无理方程的一般步骤：
21.4_无理方程(1)
资源信息表21．4 (1)无理方程上海市闵行第四中学 谢淙 教学目标（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.（2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.（3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.教学重点及难点只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；对无理方程产生增根的理解. 教学流程设计教学过程设计一、 问题引入1．思考直角坐标系中,点A(3,1)与点B(x ,5)之间的距离为5.怎样求点B 的坐标？ 2．观察思考题中的方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？二、 新课学习1、 归纳概念① 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.② 整式方程和分式方程统称为有理方程. ③ 有理方程和无理方程统称为代数方程. ④ 代数方程的分类：整式方程有理方程分式方程 代数方程无理方程 2、 巩固练习1 已知下列关于x 的方程：其中无理方程是____________________(填序号).[说明]关于无理方程的概念，课本中通过实例引出，在引导学生观察、思考以后，揭示了无理方程的内涵，但由于课本引例学生可能不利用无理方程也能解决，为体现无理方程的存在和学习它的必要性，所以改成了利用两点之间距离公式列方程的问题作为引例；并在概念得出之后，联系代数式的分类，补充对所学过的方程进行分类，简单地介绍了代数方程的系统，帮助学生完整认识代数方程.3、 思考与尝试怎样解方程43+=x x ？4、 归纳方法无理方程 有理方程5、 提问解得有理方程的根1,421-==x x ，它们都是原方程的根吗? 6、 讨论.3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x x x x a x x x x x ）（去根号两边同时乘方方程43+=x x 的根究竟是什么？怎样知道4=x 是原方程的根，而1-=x 不是原方程的根？ 7、 结论①无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围（如：,22-≠但22)2(2-=），因此可能产生增根，必须进行检验；②将有理方程的根代入原方程，看方程是否成立，是主要的检验方法. 8、 归纳解简单的无理方程的一般步骤,用流程图可表述为:[说明] 解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施.用问题引导学生进行尝试、探索和讨论，让学生经历探索无理方程解法的过程，从而归纳得到解无理方程的一般方法；再通过提问，引发学生的思考和讨论，形成对“验根”的必要性的认识；而对于产生增根的原因，并没有进行强化，只是指出在方程两边进行乘方（偶次方）的时候，扩大了未知数的取值范围，有产生增根可能；关于验根的方法，用“代入原方程检验”这种方法易懂好记，应要求掌握；其他方法，只要了解不必掌握.三、巩固练习课本练习21.4(1) 2、3、4四、课堂小结通过本堂课你有什么收获?五、作业布置完成练习册21.4(1)作业。
§21.4无理方程(1)
3、将方程 x − 1 − 2 x = 0 化成有理方程．
2
师：强调解形如这样的无理方程的关键是使 二次根式单独在等式一边．
呈 现 一 次平方的其 他题型，移项 后再平方，从 2 解：移项，得 x − 1 = 2 x ． 而巩固解无 理方程的基 2 2 两边同时平方， x − 1 = 4 x ． 得 本思想方法．
2、解简单的无理方程的一般步骤，用流程图 可表述为：
在 学 生 对于解无理 方程有了具 体感受和实 践经验后，师 生一起归纳 解无理方程 的一般步骤， 然后用流程
3
ห้องสมุดไป่ตู้ 图进行表述．
三、巩固练习 1、课后练习 3
2、解方程： x + 2 = − x ．
学生独立完成，两位学生板书， 师生共同纠正 解： 两边平方，得 x + 2 = x ，
问 1：这个方程是今天刚刚学习的无理方程， 答 1：通过去分母，将分式方程 我们还不会求解．回忆一下之前我们是如何 转化为整式方程． 解分式方程的，是将分式方程转化为什么方 程？如何转化？ 问 2：是不是可以将无理方程转化已学习过 的方程来求解呢，转化为什么方程？ 问 3：如何转化？ 根据等式性质，若 p = q ，则 p = q 以
无理方程（ §21.4 无理方程（1）
普陀区课题组
教学目标： 教学目标： 1．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念． 2．经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想． 3．知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法． 教学重点及难点 及难点： 教学重点及难点：无理方程的解法． 教学过程： 教学过程： 教师活动 我们已经学习了整式方程、分式方程， 还有没有其它类型的方程呢？ 学生活动 设计意图 引 发 学 生的思考，带 着困惑和好 奇学习新知．
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章“方程与不等式”的第四节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二元二次方程组的定义、解法及应用。
通过学习，学生能理解二元二次方程组的概念，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了二元一次方程组的相关知识，对解方程组有一定的基础。
但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上有较大的区别，需要学生重新建立认知结构。
此外，学生需要进一步培养抽象思维能力、问题解决能力和合作交流能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解二元二次方程组的定义，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，代入法、消元法求解二元二次方程组。
2.难点：理解二元二次方程组的解法及应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究二元二次方程组的解法，培养学生的抽象思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作交流能力。
4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元二次方程组的相关概念、解法及应用。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
如：某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元。
21.4_无理方程(2)
资源信息表21．4 (2)无理方程上海市闵行第四中学 谢淙 教学目标（1）会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.（2）能根据二次根式的性质，直接判断含二次根式的特殊无理方程的根的情况.（3）通过解无理方程，进一步体会事物之间相互转化的关系，培养辩证观点.教学重点及难点解简单的无理方程；判断含二次根式的无理方程的根的情况. 教学流程设计教学过程设计 一、 复习1、 解无理方程的一般步骤是什么？2、 无理方程如何进行“验根”？二、 例题讲解1、 讲解解下列方程:（1）;632-=-x x （2）;1222+=-x x （3）;323x x =--（4）.12=-+x x 2、 思考在解无理方程的时候要注意些什么？3、 小结解只含一个“根号”的无理方程时，一般将“根号项”放在方程的一边，把其他“项”放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单；解含两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有理方程.[说明]例题中（1）、（2）两个无理方程，只需方程两边直接平方就可以去掉根号；（3）、（4）两个无理方程，则要先移项，再进行平方，这样求解比较简便.课本将它们分成两个例题，现在将它们放在一道题目中,目的是为了加强学生对两种类型方程的对照和比较，从而对解法上的差异形成更为鲜明的印象.在讲解时，重视解题的示范，再引导学生对如何简化无理方程的解题过程进行反思小结,有利于学生清晰地掌握.4、提问不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗? ①011=++x ； ②11=+-x x ； ③325=-+-x x .5、归纳对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式a ，有0,0≥≥a a .”[说明]观察分析也是解无理方程的一种方法（在特殊情况下可用）.通过提问，让学生来观察和判断无理方程有无实数根，激发学生从另外的角度来分析无理方程，而不是不加辨别地采取一般方法进行解题,使学生养成良好的观察和分析习惯.补充②③两题是为了丰富此方法的适应类型，让学生掌握方法，从而能举一反三.三、巩固练习课本练习21.4(2) 1、2、3四、课堂小结通过本堂课你有什么收获?五、作业布置完成练习册21.4(2)作业。
无理方程(第2课时)(课件)八年级数学下册(沪教版)
1
两边平方后再整理，简化解题过程.
如果含两个“根号”的无理方程中还有其它“项”， 通常要经过两次平方，把原方程转化为有理方程．
x 1. 4
经检验：x 1 是方程的根. 4
所以原方程的根是x 1 . 4
小结：解含两个“根号”的无理方程时，一般 将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平 方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含 两个“根号”的无理方程中还有其他“项”， 通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有 理方程．
.”
例2 解下列方程： 可以直接平方去根号吗？
（1） 3 2x 3 x
解： 2x 3 3 x .
一般将“根号项”放在方程的一边， 把其他“项”放在方程的另一边.
2x 3 x2 6x 9. 两边平方，化为有理方程.
x2 8x 12 0.
(x 2)(x 6) 0. ．
x1 2, x2 6. 都是原方程的根吗？
解：x 1 x 1 x2 3x 0. x1 0; x2 3. 经检验：x 0为增根， 舍去；x 3是方程的根. 所以原方程的根是x 3.
（2） x 2 • x 3 2 0
解：(x 2)(x 3) 2 x2 5x 4 0. x1 4; x2 1. 经检验：x 1为增根， 舍去；x 4是方程的根. 所以原方程的根是x 4.
当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形,使这个二次 根式单独在一边;然后方程两边同时平方,将这个方程化成有理方程.由于 这一步骤必需且可能产生增根，因此验根是必不可少的步骤。
例1 解下列方程： 如何化为有理方程？
（1） 2 x 3 x 6
解：(2 x 3)2 (x 6 )2
4x 3 x 62.
方程两边平方
沪教版数学八年级下册21.3《无理方程》教学设计
沪教版数学八年级下册21.3《无理方程》教学设计一. 教材分析《无理方程》是沪教版数学八年级下册第21.3节的内容，主要介绍了无理方程的定义、特点和解法。
无理方程是指含有无理数的方程，它的解通常不是有理数，需要采用特殊的方法来求解。
本节内容是在学生学习了实数、平方根等知识的基础上进行的，为后续学习函数、不等式等知识打下了基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了有理数的运算、平方根等知识，对实数的概念有一定的了解。
但是，对于无理数和无理方程的概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。
同时，学生可能对无理方程的解法感到困惑，需要通过具体的例题和讲解来掌握解题方法。
三. 教学目标1.了解无理方程的定义和特点，能够识别和理解无理方程。
2.掌握无理方程的解法，能够独立解简单的无理方程。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：无理方程的定义和特点，无理方程的解法。
2.难点：理解无理方程的解法，能够灵活运用解法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和讨论引导学生思考和探索无理方程的定义和特点。
2.通过具体的例题和讲解，让学生掌握无理方程的解法，并能够独立解题。
3.采用小组合作和讨论的方式，让学生互相交流和分享解题经验，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材，包括无理方程的定义和特点的示例，以及无理方程的解法的示例和练习题。
2.准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问和讨论，引导学生回顾实数和平方根的知识，激发学生的学习兴趣，引出无理方程的概念。
2.呈现（15分钟）介绍无理方程的定义和特点，通过具体的示例让学生理解无理方程的形式和性质。
同时，展示无理方程和解法的相关知识，让学生初步了解无理方程的解法。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，进行一些简单的无理方程的练习题，让学生亲自动手解题，巩固对无理方程解法的理解和掌握。
八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制
八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制一. 教材分析八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制，这一节内容是在学生已经掌握了无理数的概念、实数的概念以及一元二次方程的解法的基础上进行学习的。
无理方程是实数范围内的一类方程，它不能用传统的解法直接求解，需要采用特殊的方法。
本节内容主要介绍了求解无理方程的方法，包括换元法、有理化方法等，以及如何运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于无理数和一元二次方程的概念有一定的了解。
但是，对于无理方程的解法，大部分学生可能会感到困惑，因此需要通过实例讲解，让学生理解无理方程的解法，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握无理方程的解法，能够运用无理方程的解法解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解，培养学生解决无理方程的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等。
2.教学难点：如何运用无理方程的解法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例讲解法、问题驱动法、合作交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决无理方程。
2.新课讲解：讲解无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等，并通过实例进行讲解。
3.课堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
4.实际问题解决：让学生运用无理方程的解法解决实际问题。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调无理方程的解法和实际问题的解决方法。
七. 说板书设计板书设计如下：无理方程的解法设t = a + b√c ，则原方程可以转化为关于 t 的一元二次方程。
2.有理化方法将方程两边同时乘以共轭式，将无理方程转化为有理方程。
八. 说教学评价通过课堂练习和实际问题解决的情况，评价学生对无理方程解法的掌握程度。
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下列关于x的方程属于哪一种类型？
2 (1) x3 x2
1 3 7 (3) x 5 12
(4) x 4 2 2 x 2 20 0
(5)ax a 1(a 0)
x 3x 2 (6) 1 5
2
分式方程
整式方程
1、整式方程和分式方程统称为有理方程
1、整式方程和分式方程统称为有理方程
下列关于x的方程属于哪一种类型？
2 (1) x3 x2
(2) x 1 0
5
1 3 7 (3) x 5 12
(4) x 2 2 x 20 0
4 2
(5)ax a 1(a 0)
x 3x 2 (6) 1 5
2
(7) 3x 2 2
(8) x 2 x
(2) x 2 2 x 1
2
(3)2 x 3 x 6
今天你有什么新的收获？
（1）无理方程的概念 （2）解无理方程的一般步骤 解方程的基本思想：化归
联系以前学习的知识，寻找解决新问题的方法
*
1、基础练习： 习题21.4（1）
2、补充题
（2）已知点P是轴上一点，它与点A（-9，3）之
间的距离是15，求点P的坐标。
2、有理方程和无理方程统称为代数方程
代数方程的分类：
பைடு நூலகம்整式方程
有理方程
代数方程
无理方程
分式方程
(1) 3x 2 2
解无理方程的基本思想：
(2) x 2 x
解无理方程的基本思想是“转化”，将无理方程 转化为有理方程。即： 无理方程 转 化 有理方程
开始
如何“去根号”？
去根号 解有理方程 检验
方程两边同时平方。 如何“检验”？
代入原方程， 看等式是否成立。
舍去
写出原方程的根 结束
(1) 2 x 3 x
2 2 ( 2 x 3) x 方程两边平方，得：________________， 解： x2 2 x 3 0 整理，得_______________________ ， 解这个方程，得 x1=_____ 3 ，x2=_____ 1 。 3 ， 3 代入原方程两边，左边=_____ 检验：把x=_____ 右边，可知x=_____ 3 是 3 ，由左边____ 右边=_____ _____________________ 。 原方程的根 1 代入原方程两边，左边=_____ 1 ，右边 把x=_____ 右边，可知x=_____ 1 ，由左边____ =_____ 1 是 原方程的增根，应舍去 。 ______________________ x3 所以，原方程的根是______________ 。
直角坐标系中,点A(3,1)与点B(x,5)
之间的距离为5.怎样求点B的坐标？
( x 3) (5 1) 5
2 2
方程中含有根式，且被开方数 是含有未知数的代数式，这样的 方程叫做无理方程
x x 20
2x 3 x 1
注意：
12 x 0
⑴ 含有未知数的等式；
⑵ 未知数在根号下。