空间直线与直线位置关系

作用： 判断两直线平行的重要依据 应用之关键： 找媒介（中间直线）
空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
B
C
D
例、以知E、F、G、H分别是空间四边形（四个 顶点不共面的四边形叫做空间四边形）四条边AB、 BC、CD、DA的中点，求证四边形EFGH是平行 四边形。 证明： 连结BD
立交桥
六角螺母 D C A B
1.异面直线:
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。 （即既不平行也不相交）
注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 :“ 不 可 能 找 到 一 个 平 面 同 时 经 过 这 两 条 直 线”． 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
4.异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线。 经过空间中一点o， 分别引直线a’//a、b’//b 相交直线a’、b’所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a、 b所成的角。 b’
b a
O a’ 为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。
b
ab
a

a'
O

如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
决问题，可取特殊点(如a 或 b上)； 4)找两条异面直线所成的角，
要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
4.例题与练习：
例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线 BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 A 二证：证明所作的角为所求的异面 1 直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角 D1 B1 C1
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
A

如图：
a


b
(3)
a

b
(2)
想一想：在空间中两条直线 的位置关系？
（1）相交直线——有且只有一个公共点
（2）平行直线——在同一平面内，没有公 共点 （3）异面直线——不同在任何一个平面内， 没有公共点
异面直线a和b所成的角的范围：
0 90
o
注意： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直（有垂足）
垂直 异面垂直（无垂足） α 因此，异面直线所成角的范围是（0， ] 2

O
强调:1)范围 (0, 900 ] 2)与O的位置无关 ； 3)为了方便点O选取应有利于解
C1
B1 E
D O A B
C
空间四边形ABCD中，
M、N分别是AC、BD的
A
中点，试找出MN与
AB、CD所成的角。
B
E N
M D
C
MN与AB所成的角为∠NME
MN与CD所成的角为∠ENM
4、在正四面体ABCD中，已知E是棱CD的中
点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
A
3 6
B
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
C
E
这节课你的收获：
D A B
C
例2.
A1 如图，正方体中， 1. A1B1与C1C所成的角 2. AD与B1B所成的角 3. A1D与BC1所成的角 4. D1C与A1A所成的角 A 5. A1D与AC所成的角 6. D1B与AC所成的角
D1
C1
B1
D
C B
例2.
如图，正方体中， 7.D1B与AC所成的角
A1
D1
练习2：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中
D1 C1 B1 D A CC1 CD B
1、与A1A是异面的有: A1
BC DC B 1C 1 D 1C 1
C
2、与D1B异面的有：
AA1 AD A 1B 1 B 1C 1
探究:
G
C
A A D B H G(C) D F(B)
H
E F E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的 直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对? 平行直线有几对?
那么这两个角相等或互补．
一作(找)二证三求
异面直线的求法:
D1 A1
G
C1 B1 H
F
D
K E L
C
A
B
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
β
α
，互补
二、等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
注意：（1）定理中的“方向相同”若改成“方 向相反”，则这两个角也相等。 （2）若改成“一边方向相同，而另一边方向相 反”，则这两个角互补。
三、异面直线:
1、平面几何中，两条直线的位置关系：
平行或相交
在空间中是否还是如此呢？
空间中直线与直线位置关系
一、 复习
与平面有关的三个公理
公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一 个平面。 两条相交直线、两条平行直线、直线与直线外一 点唯一确定一个平面 公理3： 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过这个点的公共直线．
3.空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交 记作：l1 l 2 A

l1
A
l2
l1
两直线平行 ②没有公共点
l2
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
练习：判断下列说法的对错 1、分别在两个平面内的两条直线一定是
异面直线； F F 2、a , b , 则a、b一定异面； 3、a与b是异面直线，b与c是异面，则a与 c是异面； F 4、a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面 F
如下图我们能否说直线l与直线m是异面直线？
l
m
2.异面直线的画法:
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2
A
1 同理，FG ∥BD且FG = BD 2
E B F
H D G
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 C
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互 补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？
B'
B
A'
A
C' C
AB // A' B' , AC // A' C' BAC B' A' C'
问题：在空间中，如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这 两个角相等吗？
α
β
方向相同或相反，结果如何？
β γ

α
一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？
回忆: 在同一平面内,平行于同一条直线的两直线 平行
问题： 这一结论在空间中还成立吗？
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．
公理4 的特性,通常叫做空间平行线的传递性 .
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行
条件： 两条直线平行于同一条直线 两条直线互相平行 结论：