力学7
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建筑力学第7章平面弯曲杆件
成品质量控制
对已完成的平面弯曲杆件进行成品质量控制，包括尺寸、 平整度、垂直度等方面的检测和控制，确保其符合设计要 求和相关规范。
工艺质量控制
对平面弯曲杆件的施工工艺进行质量控制，包括施工过程 的规范性、工艺参数的控制等方面的检测和控制，确保其 符合设计要求和相关规范。
不合格品处理
对不合格的平面弯曲杆件进行处理和控制，包括返工、返 修、报废等方面的处理和控制，确保产品的质量和安全。
弹性变形与塑性变形
分析杆件在受力后的弹性变形 和塑性变形，了解其力学性能 。
平面弯曲杆件的稳定性分析
01
02
03
稳定性分析概述
对平面弯曲杆件的稳定性 进行分析，以确定其在受 到外力作用时是否会发生 失稳。
临界荷载
研究不同外力作用下杆件 的临界荷载，了解失稳的 临界条件。
稳定性措施
根据分析结果，采取相应 的稳定性措施，提高杆件 的稳定性。
建筑结构
建筑的梁、板、柱等结构形式也属于平面弯曲杆件 ，用于承受垂直和水平荷载。
机械零件
某些机械零件如连杆、曲轴等也采用平面弯曲杆件 的设计，以满足特定的功能需求。
02
平面弯曲杆件的力学分析
平面弯曲杆件的受力分析
80%
受力分析概述
对平面弯曲杆件进行受力分析， 需要明确杆件所受的力，包括外 力、内力和约束反力。
平面弯曲杆件的材料选择Βιβλιοθήκη 钢材混凝土木材
其他复合材料
强度高、塑性好，适用 于承受较大载荷和变形
的结构。
抗压强度高、耐久性好， 适用于承受静载的结构。
轻质、易加工，适用于 临时结构或低层建筑。
如玻璃纤维、碳纤维等， 具有高强度、轻质等特 点，适用于特定场合。
对已完成的平面弯曲杆件进行成品质量控制，包括尺寸、 平整度、垂直度等方面的检测和控制，确保其符合设计要 求和相关规范。
工艺质量控制
对平面弯曲杆件的施工工艺进行质量控制，包括施工过程 的规范性、工艺参数的控制等方面的检测和控制，确保其 符合设计要求和相关规范。
不合格品处理
对不合格的平面弯曲杆件进行处理和控制，包括返工、返 修、报废等方面的处理和控制，确保产品的质量和安全。
弹性变形与塑性变形
分析杆件在受力后的弹性变形 和塑性变形，了解其力学性能 。
平面弯曲杆件的稳定性分析
01
02
03
稳定性分析概述
对平面弯曲杆件的稳定性 进行分析，以确定其在受 到外力作用时是否会发生 失稳。
临界荷载
研究不同外力作用下杆件 的临界荷载，了解失稳的 临界条件。
稳定性措施
根据分析结果，采取相应 的稳定性措施，提高杆件 的稳定性。
建筑结构
建筑的梁、板、柱等结构形式也属于平面弯曲杆件 ，用于承受垂直和水平荷载。
机械零件
某些机械零件如连杆、曲轴等也采用平面弯曲杆件 的设计，以满足特定的功能需求。
02
平面弯曲杆件的力学分析
平面弯曲杆件的受力分析
80%
受力分析概述
对平面弯曲杆件进行受力分析， 需要明确杆件所受的力，包括外 力、内力和约束反力。
平面弯曲杆件的材料选择Βιβλιοθήκη 钢材混凝土木材
其他复合材料
强度高、塑性好，适用 于承受较大载荷和变形
的结构。
抗压强度高、耐久性好， 适用于承受静载的结构。
轻质、易加工，适用于 临时结构或低层建筑。
如玻璃纤维、碳纤维等， 具有高强度、轻质等特 点，适用于特定场合。
理论力学(第七版)
7 、正确判断二力构件。
31
32
作用在物体上的力有：
一类是:主动力(Active forces ),如重力，风力，气体压力等。
二类是：被动力(Passive forces )，即约束反力。 解除约束原理： 当约束被人为解除时，必须在解除约束处施以等效的约束反力。
21
二、受力图 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体；
③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
FR = F1 + F2
推论2：三力平衡汇交定理
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（必共 面，在特殊情况下，力在无穷远处汇交—— 平行力系。）
10
[证] ∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系，
∴ FR , F3 也为平衡力系。 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3 必汇交，且共面。 公理4 作用力和反作用力定律
等值、反向、共线、异体、且同时存在。 [例] 吊灯
11
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成 刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处于平衡 状态的变形体，可用刚体静 力学的平衡理论研究。
滑槽与销钉 （双面约束）
18
固定铰支座
19
活动铰支座（辊轴支座）(Kinetic hinged support (step bearing) )
20
§1-4 物体的受力分析和受力图
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择
研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公 理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
31
32
作用在物体上的力有：
一类是:主动力(Active forces ),如重力，风力，气体压力等。
二类是：被动力(Passive forces )，即约束反力。 解除约束原理： 当约束被人为解除时，必须在解除约束处施以等效的约束反力。
21
二、受力图 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体；
③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
FR = F1 + F2
推论2：三力平衡汇交定理
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（必共 面，在特殊情况下，力在无穷远处汇交—— 平行力系。）
10
[证] ∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系，
∴ FR , F3 也为平衡力系。 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3 必汇交，且共面。 公理4 作用力和反作用力定律
等值、反向、共线、异体、且同时存在。 [例] 吊灯
11
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成 刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处于平衡 状态的变形体，可用刚体静 力学的平衡理论研究。
滑槽与销钉 （双面约束）
18
固定铰支座
19
活动铰支座（辊轴支座）(Kinetic hinged support (step bearing) )
20
§1-4 物体的受力分析和受力图
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择
研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公 理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
工程力学第7章 弯曲强度答案
43第 7 章 弯曲强度7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E 。
根据 d 、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M 。
现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。
(A)M ＝E π d 习题 7－1 图(B) 64ρ M ＝64 ρ(C) E π d 4 M ＝E π d(D)32 ρ M ＝ 32ρ E π d 3正确答案是 A 。
7－2关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载； (B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
正确答案是 C _。
7－3 长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
l 5习题 7－3 图正确答案是 d 。
7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为 mm 。
求：梁的 1－1 截面上 A 、−⎜ ⎟ A I zB 两点的正应力。
习题 7－4 图解：1. 计算梁的 1－1 截面上的弯矩：M = ⎛1×103N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞ =−1300 N ⋅ m ⎝2 ⎠ 2. 确定梁的 1－1 截面上 A 、B 两点的正应力：A 点：⎛150 ×10−3 m ⎞ 1300 N ⋅ m ×⎜− 20 ×10−3m ⎟ σ = M z y = ⎝ 2 ⎠＝2.54×106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) I zB 点：100 ×10-3m ×(150 ×10-3m )3121300N ⋅ m ×⎜ 0.150m − 0.04m ⎟⎛ ⎞ σ = M z y ⎝ 2 ⎠ =1.62 ×106 Pa =1.62MPa(压应力) B ()127－5 简支梁如图所示。
理论力学第七章
B
M2
M
B
vr
M
va ve
A
M1
A
由各速度的定义：
MM va lim Dt 0 Dt
MM 1 ve lim Dt 0 Dt
M 1M MM 2 vr lim lim Dt 0 Dt 0 Dt Dt
理论力学
中南大学土木工程学院
28
va ve vr
wOC
C
va ve vr
ve va sin q v sin q
wOC
ve v sin q OA a
ab v sin q a
ve va
O
q
v A B
vr
vC OC wOC
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38
[例]水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落。 求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。 A 由图可得：
摆动推杆 凸轮机构
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6
§7-1 绝对运动
绝对轨迹 绝对速度 va 绝对加速度 aa t n 或 aa ，aa ，
点的合成运动概念
动 点
点的运动
相对运动
相对轨迹 相对速度 v r 相对加速度 ar 或 art ，arn，
动系相对于定系的运动
定 系
固结于地面上的坐标系
（不需要画出）
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14
绝对加速度：aa
相对加速度：ar
牵连加速度：ae
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中南大学土木工程学院
15
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
理论力学第7章答案
x′
a
n A
sin
θ
−
aAτ
cosθ= NhomakorabeaaBx
cos
θ
−
aBy
sin
θ
aAτ
=
−aBx
+
(a
n A
+ aBy )tgθ
=
−1cm/s 2
α OA
=
a
τ A
/ OA
=
−(1/ 40)rad/s2
7.13 滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示 曲柄 OA 长 r 连杆 AB 长 l 滚子 半径为 R 若曲柄以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转动 计算连杆 AB 和滚子的角加速度
向
v A
垂直于
OA
杆
因此瞬心为 C
不难看出 C 点相对
AB 杆和定系的位置可分别以 (2r, ϕ) 和 (r,2ϕ) 表示 则动 定瞬心迹线分别是半径为 2r 和 r 的圆
7.9 图示反平行四边形机构中 AB = CD = 2a AC = BD = 2c a > c 求杆 BD
的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹
b
杆速度瞬心在 点 vC = 0
∴ ωBC = vB / a = ω ωCD = 0
基点
aCτ = aBn + aCτ B + aCnB
x′ acτ cos θ = −aBn − aCnB
Q cos θ = sin ϕ = 7 / 4
aBn = ω2a
aCnB = ω2a
∴ aCτ = −8ω2a / 7
上二式中消去 ψ 得 (ρsin ϕ)2 + (2c − ρ cos ϕ)2 = (2a − ρ)2
理论力学(第7版)第一章 静力学公理和物体的受力分析
例1-1
B 碾子重为 P ，拉力为 F ，A 、 处光滑 接触，画出碾子的受力图．
解： 画出简图
画出主动力
画出约束力
例1-2 屋架受均布风力 q（N/m）， 屋架重为 P ，画出屋架的受 力图． 解： 取屋架 画出简图
画出主动力
画出约束力
例1-3
水平均质梁 AB 重为 P，电动机 1 重为 P ，不计杆 CD的自重， 2 画出杆 CD和梁 AB的受力图。
第1章 静力学公理和物体的受力分析
3.光滑铰链约束 1）径向轴承（向心轴承）
约束特点：轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔 为约束。
1-2 约束和约束力
第1章 静力学公理和物体的受力分析
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接 触为光滑接触约束——法向约束力。
约束力作用在接触处，其作用线必垂直 轴线（沿径向）指向轴心。
物体的运动状态。
2. 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。
3. 力的三要素：大小，方向，作用点 单位：牛顿(N) 千牛顿(kN) F A
1-1 静力学公理 二、力 系：
第1章 静力学公理和物体的受力分析
是指作用在物体上的一群力。
空间汇交（共点）力系 空间平行力系 空间力偶系 空间任意力系
解： 取 CD 杆，其为二力构件，简称 二力杆，其受力图如图(b)
取 AB梁，其受力图如图 (c)
CD 杆的受力图能否画
为图（d）所示？ 若这样画，梁 AB的受力 图又如何改动?
例1-4 不计三铰拱桥的自重与摩擦， 画出左、右拱 AB, CB 的受力图 与系统整体受力图．
解： 右拱 CB 为二力构件，其受力 图如图（b）所示
2. 力系的等效替换（简化）
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题
4 跳伞.由于作了某种动作 运动员D 由于作了某种动作， 跳伞 由于作了某种动作，运动员 质心加速度为 5 g
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第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.2 质心运动定理
1.质心 质心 质点系动量定理
r r dri 而 vi = dt
有
r d r ∑ Fi = d t ( ∑ m i vi ) r d2 r ∑ Fi = d t 2 ( ∑ m i ri )
∑
令
r 2 r d ∑ m i ri Fi = m 2 ( ) dt m
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ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 动量 牛顿运动定律 3. 说明： 说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值，因与m 质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值，因与 质心不是质点位矢的平均值 有关，所以是动力学概念 有关，所以是动力学概念. 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与体系各质 质心的位矢与坐标原点的选取有关， 质心的位矢与坐标原点的选取有关 点的相对位置与坐标原点的选取无关. 点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别 质心与重心的区别: 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 是质点系全部质量和动量的集中点 重心是重力的合力的作用点 重心是重力的合力的作用点. 是重力的合力的作用点 质心比重心的意义更广泛更基本. 质心比重心的意义更广泛更基本
0
r r r (∑ Fi )dt = p − p0
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 ——质点系 质点系 动量定理
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第三章 动量 牛顿运动定律 几点说明
r t r r ∫ t0 (∑ Fi )dt = p − p0
(1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 只有外力对体系的总动量变化有贡献， 只有外力对体系的总动量变化有贡献 体系的总动量变化没有贡献， 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的. 系内部的分配是有作用的
m 2 = 2单位 和 m 3 = 3单位 ，位置坐标各为
m1 ( −1,−2), m 2 ( −1,1)和m 3 (1,2) 求质心坐标 求质心坐标.
[解] 质心坐标 解
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 xc = m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 yc = m1 + m2 + m3
x 2 − xc m1 = xc − x1 m 2
y2 − yc m1 = yc − y1 m 2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点 质心必位于 的连线上， 距离与质点质量成反比. 距离与质点质量成反比
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题 一质点系包括三质点，质量为 m1 = 1单位 例题3] 一质点系包括三质点， 例题
∑
r d r Fi = ( ∑ m i vi ) dt
d =m 2( dt
即
2
r ∑ m i ri m
r d rc r ) = m 2 = ma c dt
2
r r ∑ Fi = mac
质心运动定律: 质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质 心的加速度. 心的加速度 注:在动力学上,质心是整个质点系的代表点,质心的运动只决定于 在动力学上,质心是整个质点系的代表点, 系统的外力,内力不影响质心的运动.质心的行为与一个质点相同. 系统的外力,内力不影响质心的运动.质心的行为与一个质点相同.
m
zc
∑ mi z i =
m
r rc 和x c , yc , zc 分别表示质心的位置矢量和质心坐标
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第三章 动量 牛顿运动定律 对由两个质点组成的质点系，有 对由两个质点组成的质点系，
m1 x1 + m2 x2 xc = m1 + m2
m1 y1 + m2 y2 yc = m1 + m2
∑
r d( ∑ Fi = dt
r pi )
v v pi是各质点的动量，Fi 是各质点外力的矢量和。 是各质点的动量， 是各质点外力的矢量和。
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和. 质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和
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第三章 动量 牛顿运动定律 在直角坐标系中的投影式为： 在直角坐标系中的投影式为：
v v v ∫t1 mv2 − mv1 F= = t 2 − t1 t 2 − t1
注意
t2
v F dt
v 在 ∆ p 一定时
越小， ∆t 越小，则 F 越大
v ∆mv
v m v1
v F
下页
v mv2
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第三章 动量 牛顿运动定律
一质量为0.05 kg、 例1 一质量为 、 速率为10 的刚球， 速率为 m·s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º角的方向撞击 钢板法线呈 角的方向撞击 在钢板上， 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来． 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 ． 所受到的平均冲力． 所受到的平均冲力．
m ——总质量 总质量. 总质量
r rc =
∑
r m i ri m
——质点系的质量中心 质心) 质点系的质量中心(质心 质点系的质量中心 质心
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第三章 动量 牛顿运动定律
r rc =
∑
r m i ri m
——质心 质心
在直角坐标系质心坐标为
xc
∑ mi x i =
m
yc
∑ mi yi =
r r (2) I = Fdt 是过程量 积分效果 → 动量改变 . 是过程量,积分效果 ∫
(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点 点又适于质点系. 点又适于质点系 (4)动量定理只适用于惯性系 对非惯性系，还应 动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系， 动量定理只适用于惯性系 计入惯性力的冲量. 计入惯性力的冲量
dm = ρvSdt
r r dm喷出前后动量改变量为 dp = ρvSdt ⋅ v 喷出前后动量改变量为
由动量定理
r r r dp = ρ vS v = F dt
r F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
选坐标轴OX,方向与喷出物质速度方向相同 得投影式 选坐标轴 方向与喷出物质速度方向相同,得投影式 方向与喷出物质速度方向相同
r r ′ F N 2 = − m 0 gt j
煤对车厢的压力与车厢对煤的支撑力互为反作用力
r r r ′ FN2 = − FN2 = m0 gtj
煤作用于车厢的力等于上面两力之和， 煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即
r r r r r FN = FN1 + FN 2 = m0 v0 i + m0 ( gt + 2 gh ) j
r ∑Fix =
r d∑ pix dt
r , ∑F = iy
(∑
r d∑ piy dt
r , ∑F = iz
r d∑ piz dt
r r Fi )d t = d( ∑ p i )
v v 时质点系的动量, 用 p0、p 分别表示t0 和t 时质点系的动量, 对上式两端积分得
质点系动量定理积分形式
∫t
t
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第三章 动量 牛顿运动定律
讨论 （1） F 为恒力 ）
F
v v I = F∆t
O
t1
t2
t
（2） F 为变力 ）
v t2 v v I = ∫ Fdt F (t 2 − t1 ) F = t1
O
上页 下页
F
t1
返回
t2
t
结束
第三章 动量 牛顿运动定律
动量定理常应用于碰撞问题
r r r 质点系动量的改变量 ∆p = −( m0 v 0 i + m0 2 gh j )
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第三章 动量 牛顿运动定律
r r r r ′ 单位时间内车厢对煤的冲量 FN1 ⋅1 = ∆p = − ( m0v0 i + m0 2 gh j )
煤落到车厢时煤对车厢的冲力 r r r r ′ FN1 = − FN1 = ( m0 v0 i + m0 2 gh j ) 取煤到达空车厢时为计时起点， 取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力
1 × ( −1) + 2 × ( −1) + 3 × 1 xc = =0 3+ 2+1 1 × ( −2 ) + 2 × 1 + 3 × 2 yc = =1 3+ 2+1
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y m2 m3 x
*C O
m1
质心在图中的 * 处.
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第三章 动量 牛顿运动定律 2.质心运动定理 质心运动定理 质点系动量定理
x
α α
v m v1
O
v mv2
y
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第三章 动量 牛顿运动定律
由动量定理得： 解 由动量定理得：
Fx∆t = mv2x − mv1x x α α = mv cosα − (−mv cosα) v mv2 = 2mvcosα Fy∆t = mv2y − mv1y y = mvsin α − mvsin α = 0 2mvcosα F = Fx = =14.1 N ∆t 轴正向相同． 方向与 Ox 轴正向相同． F' = −F
第三章 动量 牛顿运动定律 [例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题
4 跳伞.由于作了某种动作 运动员D 由于作了某种动作， 跳伞 由于作了某种动作，运动员 质心加速度为 5 g
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第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.2 质心运动定理
1.质心 质心 质点系动量定理
r r dri 而 vi = dt
有
r d r ∑ Fi = d t ( ∑ m i vi ) r d2 r ∑ Fi = d t 2 ( ∑ m i ri )
∑
令
r 2 r d ∑ m i ri Fi = m 2 ( ) dt m
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第三章 动量 牛顿运动定律 3. 说明： 说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值，因与m 质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值，因与 质心不是质点位矢的平均值 有关，所以是动力学概念 有关，所以是动力学概念. 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与体系各质 质心的位矢与坐标原点的选取有关， 质心的位矢与坐标原点的选取有关 点的相对位置与坐标原点的选取无关. 点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别 质心与重心的区别: 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 是质点系全部质量和动量的集中点 重心是重力的合力的作用点 重心是重力的合力的作用点. 是重力的合力的作用点 质心比重心的意义更广泛更基本. 质心比重心的意义更广泛更基本
0
r r r (∑ Fi )dt = p − p0
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 ——质点系 质点系 动量定理
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第三章 动量 牛顿运动定律 几点说明
r t r r ∫ t0 (∑ Fi )dt = p − p0
(1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 只有外力对体系的总动量变化有贡献， 只有外力对体系的总动量变化有贡献 体系的总动量变化没有贡献， 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的. 系内部的分配是有作用的
m 2 = 2单位 和 m 3 = 3单位 ，位置坐标各为
m1 ( −1,−2), m 2 ( −1,1)和m 3 (1,2) 求质心坐标 求质心坐标.
[解] 质心坐标 解
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 xc = m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 yc = m1 + m2 + m3
x 2 − xc m1 = xc − x1 m 2
y2 − yc m1 = yc − y1 m 2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点 质心必位于 的连线上， 距离与质点质量成反比. 距离与质点质量成反比
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题 一质点系包括三质点，质量为 m1 = 1单位 例题3] 一质点系包括三质点， 例题
∑
r d r Fi = ( ∑ m i vi ) dt
d =m 2( dt
即
2
r ∑ m i ri m
r d rc r ) = m 2 = ma c dt
2
r r ∑ Fi = mac
质心运动定律: 质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质 心的加速度. 心的加速度 注:在动力学上,质心是整个质点系的代表点,质心的运动只决定于 在动力学上,质心是整个质点系的代表点, 系统的外力,内力不影响质心的运动.质心的行为与一个质点相同. 系统的外力,内力不影响质心的运动.质心的行为与一个质点相同.
m
zc
∑ mi z i =
m
r rc 和x c , yc , zc 分别表示质心的位置矢量和质心坐标
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第三章 动量 牛顿运动定律 对由两个质点组成的质点系，有 对由两个质点组成的质点系，
m1 x1 + m2 x2 xc = m1 + m2
m1 y1 + m2 y2 yc = m1 + m2
∑
r d( ∑ Fi = dt
r pi )
v v pi是各质点的动量，Fi 是各质点外力的矢量和。 是各质点的动量， 是各质点外力的矢量和。
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和. 质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和
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第三章 动量 牛顿运动定律 在直角坐标系中的投影式为： 在直角坐标系中的投影式为：
v v v ∫t1 mv2 − mv1 F= = t 2 − t1 t 2 − t1
注意
t2
v F dt
v 在 ∆ p 一定时
越小， ∆t 越小，则 F 越大
v ∆mv
v m v1
v F
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v mv2
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第三章 动量 牛顿运动定律
一质量为0.05 kg、 例1 一质量为 、 速率为10 的刚球， 速率为 m·s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º角的方向撞击 钢板法线呈 角的方向撞击 在钢板上， 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来． 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 ． 所受到的平均冲力． 所受到的平均冲力．
m ——总质量 总质量. 总质量
r rc =
∑
r m i ri m
——质点系的质量中心 质心) 质点系的质量中心(质心 质点系的质量中心 质心
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第三章 动量 牛顿运动定律
r rc =
∑
r m i ri m
——质心 质心
在直角坐标系质心坐标为
xc
∑ mi x i =
m
yc
∑ mi yi =
r r (2) I = Fdt 是过程量 积分效果 → 动量改变 . 是过程量,积分效果 ∫
(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点 点又适于质点系. 点又适于质点系 (4)动量定理只适用于惯性系 对非惯性系，还应 动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系， 动量定理只适用于惯性系 计入惯性力的冲量. 计入惯性力的冲量
dm = ρvSdt
r r dm喷出前后动量改变量为 dp = ρvSdt ⋅ v 喷出前后动量改变量为
由动量定理
r r r dp = ρ vS v = F dt
r F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
选坐标轴OX,方向与喷出物质速度方向相同 得投影式 选坐标轴 方向与喷出物质速度方向相同,得投影式 方向与喷出物质速度方向相同
r r ′ F N 2 = − m 0 gt j
煤对车厢的压力与车厢对煤的支撑力互为反作用力
r r r ′ FN2 = − FN2 = m0 gtj
煤作用于车厢的力等于上面两力之和， 煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即
r r r r r FN = FN1 + FN 2 = m0 v0 i + m0 ( gt + 2 gh ) j
r ∑Fix =
r d∑ pix dt
r , ∑F = iy
(∑
r d∑ piy dt
r , ∑F = iz
r d∑ piz dt
r r Fi )d t = d( ∑ p i )
v v 时质点系的动量, 用 p0、p 分别表示t0 和t 时质点系的动量, 对上式两端积分得
质点系动量定理积分形式
∫t
t
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第三章 动量 牛顿运动定律
讨论 （1） F 为恒力 ）
F
v v I = F∆t
O
t1
t2
t
（2） F 为变力 ）
v t2 v v I = ∫ Fdt F (t 2 − t1 ) F = t1
O
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F
t1
返回
t2
t
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第三章 动量 牛顿运动定律
动量定理常应用于碰撞问题
r r r 质点系动量的改变量 ∆p = −( m0 v 0 i + m0 2 gh j )
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第三章 动量 牛顿运动定律
r r r r ′ 单位时间内车厢对煤的冲量 FN1 ⋅1 = ∆p = − ( m0v0 i + m0 2 gh j )
煤落到车厢时煤对车厢的冲力 r r r r ′ FN1 = − FN1 = ( m0 v0 i + m0 2 gh j ) 取煤到达空车厢时为计时起点， 取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力
1 × ( −1) + 2 × ( −1) + 3 × 1 xc = =0 3+ 2+1 1 × ( −2 ) + 2 × 1 + 3 × 2 yc = =1 3+ 2+1
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y m2 m3 x
*C O
m1
质心在图中的 * 处.
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第三章 动量 牛顿运动定律 2.质心运动定理 质心运动定理 质点系动量定理
x
α α
v m v1
O
v mv2
y
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第三章 动量 牛顿运动定律
由动量定理得： 解 由动量定理得：
Fx∆t = mv2x − mv1x x α α = mv cosα − (−mv cosα) v mv2 = 2mvcosα Fy∆t = mv2y − mv1y y = mvsin α − mvsin α = 0 2mvcosα F = Fx = =14.1 N ∆t 轴正向相同． 方向与 Ox 轴正向相同． F' = −F