理论力学7 变分法

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轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
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在A点发射一个粒子， 如果在B点测到该粒子的几率为P， Feynman路径积分的理论认为， P 不是粒子沿某一条特定路径的几率，q (t) (c) 而是所有可能的路径的几率的叠加， 2 即： A
B
P
all q ( t )

e
iS [ q ( t )]/
,
= h / 2 , h 是Planck常数， 这里， 其量纲与作用量（或角动量）相同, 用SI单位，其大小约为10-34，非常小。 如果体系是一个经典粒子，当粒子运动的轨道不是经典 轨道时，由于S ≠ 0，
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对稳定值：
F [ x] =
=
t2 t1

t2
t1
eg , t )dt f ( x, x , t )dt f (x e g, x
t1
t2

e1
f f e dt g g d f = g g , x 1 dt x dt x
t1
t2
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修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
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（5）Hamilton原理可以看作Feynman路径积分的经典极限 Richard Phillips Feynman， American 1918－1988 ， physicist; awarded (with Shinichiro Tomonaga and Julian S. Schwinger) 1965 Nobel prize for physics for basic work in quantum electrodynamics.
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s 个Euler-Lagrange方程 S 取稳定值 d L L = ,（在 t1、t2 之间） a＝1,2,…,s. 即 a qa dt q 有关Hamilton原理的说明： （1）对以前处理的力学体系，Hamilton原理 和Lagrange方程等价， 但Hamilton原理可以表述为更一般的形式。如： 对理想、完整、广义有势体系， 从初始时间和位形到另一个时间和位形， t2 真实运动使作用量S Ldt 取稳定值。
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对任意函数 x(t)（或任意函数g(t) 和任意的小常量e ）， F 都为 0 ， 就称泛函F [x]对函数 x(t)取稳定值。 ∵ x(t ) x (t ) = x(t ) x(t ) d (t ) x (t ) x (t ) x (t ) = x(t ) x(t ) = ∴ x dt d (t ) e g (t ), (t ) x(t ) = x =x dt d d 所以，形式上， x (t ) = x(t ) = x(t ). dt dt
t1
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Hamilton原理可以直接推广到无限多个自由度的体系， 象经典场和量子场等， 也可以看作Feynman路径积分的经典极限。 由此，我们把Hamilton原理作为第一原理， 把拉氏方程当作Hamilton原理推论。 （2）理想、完整等条件 并不影响Hamilton原理 的普遍应用。因为最基本的相互作用体系都相当于 Nowton力学中的理想、完整体系。 此外，Hamilton原理也可以推广到 非理想、非完整体系。
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§2、正则变换 1、全微分 2、正则变换与生成函数
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1、全微分 s个变量 q1 , q2 , … , qs组成 s 维空间， f1 (q) , f2 (q) , … , fs (q)为q的函数， A 以下4种说法互为必要充分条件： （1） fa dqa = 0;
, t )dt , S [q (t )] L(q, q
t1
t2
(qa : a = 1, 2, , s )
Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ， q1 ( t1 ) ， … , qs ( t 1 ) 到 t2 ，q1(t2)，… ,qs(t2) 真实运动使作用量S 取稳定值。 这里的qa 对应前面的xa ，L 对应前面的 f 。
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3、修正的Hamilton原理 在Hamilton原理中，q(t)是被变分的独立的函数， = dq / dt , 所以， q完全确定了 q q . 如果引入另一个作用量：
a pa H (q, p, t )]dt. I [q(t ), p(t )] [q
a = pa (q, q , t ), pa = L / q 在上面的积分中，如果代入： 并看成 q(t) 的泛函，即为作用量 S 。 但这里的作用量 I 是独立函数 q(t)、p(t) 的泛函， 因此与作用量 S 完全不同。
d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a pa dt p
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上面的2组方程就是： a = H / qa , a = 1 ,2 ,… , s . p
a H / pa , a = 1 ,2 ,… , s . 0=q
这2组方程正是正则方程。 ∴ 修正的Hamilton原理 Hamilton正则方程
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说明： （1） F ＝ 0 只能保证是稳定值，不一定是极小值。 2F ＞ 0 才能说明是极小值。 对某些特定的问题，也可以由问题的性质判断出， 所求出的稳定值是极小值或者是极大值。 （2）以上讨论可以简单地推广到多个函数的泛函， 这时 f ( x1 , , xs , x 1 , , x s ,t ), 由
第
七
章
力学中的变分方法
本章主要内容
§1、Hamilton原理 §2、正则变换 §3、Hamilton-Jacobi方程 §4、从质点组到连续体系
2
§1、Hamilton原理 1、变分法 2、 Hamilton原理的表述 3、修正的Hamilton原理
3
1、变分法 （1）函数 设t为自变量，F 为t 的函数。如果自变量从t 变化到 t = t Dt , (其中， Dt 为小量) F 函数F相应的变化为：
t
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由于要求 x(t ), x (t ) 必须经过固定点(t1 , x1 )和(t2 , x2 )， 所以，一定有：g(t1)= g(t2) ＝0 (或 x(t1)= x(t2)=0 ) ， 当然，也要求 g(t)有2阶导数。 下面计算泛函的变化： F [ x (t )] F [ x(t )] = 1 2 = F [ x ] F [ x] , 2! 右边的各项分别称为泛函F [x]的 一阶变分、二阶变分、…, 即e 的1次项，2次项，…
, t )dt. F [ x(t )] f ( x, x
泛函F[x(t)]与 f 的函数形式有关。 O t1 t2 对函数F(t) ： t F , t F , 2 x ( t ) = t F , x (t ) = sin( t ) F , 对泛函F[x(t)]：
5
t2
t1
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（3）从Hamilton原理理解 L 可以任意添加和去掉 的附加项：
, t ) = L ( q, q , t ) du (q, t ) / dt , L '(q, q
S '[q(t )] = S [q (t )] u{q (t2 ), t2 } u{q (t1 ), t1}, ∴ 因此 S '[q (t )] = S [q (t )] = 0 必定同时成立， ∴ 由L’ 和L 写出的拉氏方程必定同时成立。 （4）虽然Landau等人 把Hamilton原理称为 最小作用量原理，但在原理中，只要求真实运动 的作用量是稳定值，不一定是最小值。 具体计算表明， 通常的非相对论力学问题的真实运动是极小， 相对论自由质点运动的作用量的绝对值是极大。
1 2 F ( t ) F (t ) = DF D F 2! 1 = F Dt F (Dt ) 2 , 2! 如果在t点，对任意小量 Dt , DF = 0, 就称F 在t 点取稳定值。
O
t
t
4
显然， F 在t点取稳定值
=0 F t
稳定值可能是极大值，也可能是极小值或非极值(如图)。 （2）泛函 = dx / dt , 设t为自变量，x为t的函数，即 x = x(t), 所以 x x , t ) 为 x, x , t 的已知函数, f ( x, x f，x 都有连续的2阶导数。 x(t)的泛函记为F [x(t)]，定义为：
t
所以，泛函是函数的函数。 从(t1 , x1 )到(t2 , x2 )， 什么函数 x(t)使泛函F[x(t)] 取稳定值？ 要求： x(t1)= x1 ， x(t2)= x2 。 x2 x1 x
x(t )
x (t )
设函数 x(t)发生变化： O t1 t2 x(t ) x (t ) = x(t ) x(t ) = x(t ) e g (t ), 这里 x(t)为小量，且在 2 端点处为0， g(t)为任意2端点值为0的函数，e 为任意小常量， 上述 x(t)的变化也称为对x(t)变分。