正弦定理导学案人教版
高中数学 1.1.1正弦定理导学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案
高中数学高一年级必修五第一章 第1.1.1节 ：正弦定理导学案Ａ．学习目标让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。
Ｂ．学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。
Ｃ．学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。
D ．知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。
E ．自主学习[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2，问题1：△ABC 的其他边和角为多少？提示：∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，csin C 的值，三者有何关系？ 提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sin A ＝a c ，∴a sin A ＝c .sin B ＝b c ，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . 问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD 为直角三角形，∠C ＝30°AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3.AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C . 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．F.合作探究 已知两角及一边解三角形[例1] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝asin A 得， b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°si n 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．[解] ∵a sin A ＝c sin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π. 又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.判断三角形的形状[例3] 在△ABC 2A 2B 2C sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B .∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1.∴sin B ＝22.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．[类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]3．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径) ∴sin B ＝sin A ·cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ，∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30°[易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°，或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错． 2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．[成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B, C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A .∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，∴ac ＝23×43＝24.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°，∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin A a的值相等的是( ) A.b cB.sin B sin AC.sin C cD.csin C 解析：选C 由正弦定理得asin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin C c . 2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4 B.12 3 C ．4 3 D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得：x sin 120°＝46sin 45°， 于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝( ) A ．2 3B.2 2C. 3D. 2 解析：选D 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2， ∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误.二、填空题6．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________.解析：由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°， ∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°7．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×(32＋12)＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 10．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试数列△ABC 的形状． 解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A. 又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。
正弦定理导学案(1)
第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫ 【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理第1课时 【学习导航】知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题3.利用正弦定理判断解的情况（画图） 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________（解的情况唯一吗）；（2）_________________________________（解的情况唯一吗）【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。
【解】【例2】根据下列条件解三角形（难点）：（1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。
技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。
如果解的情况不唯一，分类讨论即可。
【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？有解，解的个数？（画图判断）分析：本题的知识点理解即可（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =b =45A =︒，求B ；（4）a =b =45A =︒，求B ；（5）4a =，3b =，60A =︒，求B ．追踪训练：1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 12．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形（2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形3.在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．。
正弦定理导学案1
正弦定理 (1)导学案【学习目标】1.了解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。
4.激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐【学习重点】正弦定理的证明和应用【学习难点】正弦定理在解三角形时的应用思路.【学习过程】一、预习案1、知识链接：1）关于ABC∆几个常见的结论：设ABC∆中角,,A B C的对边分别为,,a b c，则有：①A+B+C＝②若A为最小角，则060A<≤；若A为最大角，则60180A≤<③BABAba sin____sin___⇔⇔>2）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边,,a b c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．2、预习检测：在直角三角形中，如右图，在Rt∆ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc=，sinbBc=，又sin1cCc==，从而在直角三角形ABC中，边=c_________=_________=_________．二、探究案探究1：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？如右图，锐角三角形中，上述关系式是否成立？如右图，钝角三角形中，上述关系式是否成立？从上面的探究过程中，可得到以下定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinaA sinbB sincC．思考：正弦定理有哪些基本变形？试写下来：探究2：分析正弦定理的结构，你能得出正弦定理可解决哪两类解三角形问题？1、C Abc2、三、课堂检测题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角1． 已知在,30,45,10 ===∆︒C A c ABC 中，求a【随堂记录】：题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角2． 在23,30,6,===∆a A b ABC 中,求B（要注意可能有两解） 【随堂记录】：3． C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【随堂记录】：四、巩固训练（一）当堂练习1.在ABC ∆中，5,15,135===a C B ,则此三角形的最大边长为_____.____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .（二）课后作业：P 18 1、2、3五、反思总结1．知识小结：2．我的收获：3．我的疑惑：。
人教版高中数学必修二《正弦定理》导学案
正弦定理人教版高中数学必修二导学案正弦定理导学案学习目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。
教学重点:正弦定理的证明及基本运用。
教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。
新课内容： A 一、直角三角形判断 是否成立BC二、正弦定理的证明方法1、三角形为锐角三角形时：B2、三角形为钝角三角形时：三、回顾解三角形的相关知识：四、习题例 1：在△ABC 中，已知c = 10，A = 45°， C = 30°解三角形.C c B b A a sin sin sin ==练习：在△ABC 中，已知 A=30°，B=120°，b=12解三角形.总结：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角；2、已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。
作业：1、在△ABC 中，已知 A=75°，B= 45°，c = 求C ，a ， b .2、在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A 、b 、c .0,45,,,ABC b A C c ∆==练习：在中，a=2求B 233、在△ABC 中，c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A 、B 、b . 4、在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，求B 、C 及b .。
高中数学 第一章 1.1.1正弦定理(二)导学案新人教A版必修5(2)
1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝B ＋C －sin C cos B A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。
《正弦定理》导学案1
第二章 解三角形
同步书·数学(必修5-第二章)
.固 . 思 导.学
第1课时 正弦定理
同步书·数学(必修5-第二章)
.固 . 思 导.学
1.掌握正弦定理及其证明过程.
2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.知道正弦定理可以解决那些三角形问题.
.固 . 思 导.学
目标1:
1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对 的角的正弦的比相等,即
.固 . 思 导.学
3.证明正弦定理.
如图所示,向量 在y轴的 ' 射影的绝对值均等于 | OC | ，即： ' | OC | = | AC |cos( A - 90° )=bsinA
AC 与 BC
C
y (C') x O (A) B
a b c = = sinA sinB sinC
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2.解三角形: 已知三角形的几个元素求其他元素 的过程
5
.固 . 思 导.学
1
在 ABC中,c=4,a=2,C=45°,求sinA的值。
2
在 ABC中，A=60°，B=45°，BC= 3 2 ，则 AC=（ ）
3
在 ABC中，A=75°，B=45°,c=1,解三角形.
y (C') C
| OC ' | = | BC |sin B=asinB
asinB=bsinA
a c 同理 = 。 sin A sin C
a b 即 = 。 sin A sin B
x O (A)
y (C') C
B
a b c 所以 = = 。 sin A sin B sin C
高中数学 第一章1.1 正弦定理(第2课时)导学案 新人教版必修5
§1.1 正弦定理(第2课时） 学习要求 1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 2．学会用计算器，计算三角形中数据。
温故知新 1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）Ra A 2sin =，______________，________________. 2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________（2）s=C B A R sin sin sin 22（3）R abc s 4= 【问题探究】【问题1】如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．【问题2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）【问题3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。
（用计算器解答，精确到1.0）【问题4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，S =35，求c 的长度。
巩固提高1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.103海里B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( )A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时 ( )A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ( )A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小。
高中数学 1.1.1正弦定理导学案导学案 新人教A版必修5
【学习目标】1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3．引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.【重点】：正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用. 【难点】：正弦定理的推导及应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。
2.三角形内角和定理是： 。
勾股定理的内容是：Rt △ABC 中，若a,b 为直角边，c 为斜边，则 。
3.三角形面积公式： 。
Ⅱ.教材助读1. 在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则sinA= ,cosA= ,tanA= .2. 正弦定理：_________sin ==Aa，观察正弦定理的结构，它有什么特点？ 3. 正弦定理文字语言叙述为： 。
4．一般地，把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素。
已知三角形的 求 的过程叫做解三角形。
5．应用正弦定理解三角形可分为两类： （1）已知三角形的 与一边，求其他的边和角；（2）已知三角形的 与其中一边的对角，求其他的边和角。
【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 在△ABC 中一定成立的等式是（）A ．asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中，.___,30,10,105=︒==︒=b C c A 则 4．在△ABC 中，.____,30,8,4=︒===B A b a 则【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：利用构造三角形外接圆，证明正弦定理；正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数？探究二：正弦定理有哪几种变式?探究三：证明C ab S ABC sin 21=∆，除此之外，你还有其他的结果吗？【归纳总结】1.正弦定理适用于 三角形.2.可以证明 = = = =2R （R 为△ABC 的外接圆半径）.3.正弦定理的三个等式： ， ， ，每个式子中有 个量, 如果知道其中 个可以求出 （知三求一）.4.正弦定理可解决两类问题： （1） ; （2） 。
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课题： 正弦定理 （新课）
学科： 数学 年级： 高2015级 主备人： 彭江龙
学习目标：
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
自主学习
1、三角形的内角和C B A ++= 。
2、三角形的三边之间的关系： 。
3、三角形的边、角之间的关系： 。
4、ABC ∆的基本元素： 。
5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ ________________________________________
6、在△ABC 中，若0
30,6,90===B a C ，则b c -________
（一）课题导入
如图，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动. A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大.能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？
引出课题———正弦定理
《设计意图》：激发学生学习兴趣，引导学生思考，为后续学习做好铺垫。
（二）探索研究：在三角形，如果已知角A ，所对的边BC 长为a ，角B 所对的边AC 长为b ，角C 所对的边AB 长为c ，研究角A 、B 、C 与边a 、b 、c 之间的关系
首先我们研究特殊的三角形————直角三角形 如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,
老师：要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？ 生：正弦、余弦、正切函数定义。
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
sin a A c =，sin b
B c
=，又 sin 1c
C c
==,
则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
=
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
1页
得分： 等级 备课组长审核签字：
得分： 等级 中层领导审核签字： 得分： 等级 校级领导审核签字：
B C
例3 （其它证法：）
证明一：（等积法）在任意△ABC 当中S △ABC =1
11
sin sin sin 222
ab C ac B bc A =
=. 两边同除以1
2
abc 即得： ______=_______=______
证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a
CD R A D
===，
同理 sin b B =2R ，sin c
C
＝2R .
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+ A B ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即sin sin =
a c
A C
同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =
b c
B C
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
当为钝角时，同理可得。
当堂练习
1、已知△ABC 中， A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1∶3
D ．2∶2∶3 2、在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）
A ．A b sin 2
B ．A b cos 2
C ．B b sin 2
D ．B b cos 2
3、在△ABC 中，若3
1
sin ,4,5===A B b π，则=a 。
4、三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b ，A-C=/3π，求sinB 的值。
变式：
在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，0
40=A ，解三角形（角度精确到0
1，边长精确到1cm ）。
老师：属于哪一种类型？生：第二种 老师：应该如何求解？
3页
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 学生合作探究，讨论：
当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =______=_______，则______=________，
同理可得________=_______， 从而 sin sin a b
A B =
sin c C
=．
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立． 由学生课后自己推导. 《设计意图》：激发学生学习兴趣，让学生主动参与，自己摸索探究过程。
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A B
=
sin c
C
=
精讲点评
例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
分析：由已知条件，知道两个角的大小，及其中一条边，根据正弦定理可求出另外一条边，另外在已知两个角的大小，还可求出第三个角，故课求出第三条边
例2、（2010山东）在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A 的大小。
分析：已知两边，若再已知一角即可，由sinB+cosB=2，两边平方可得B 的大小，进而可求解。
老师小结：看清属于哪一类型，明确已知量、未知量；并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
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a b
c
O
B C
A
D。