哈尔滨师范大学附属、东北师范大学附属、辽宁省实验2015届高三第一次联合模拟数学(理)试题 Word版含解析

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B = （ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤ D ．{|21}x x -<≤ 【答案】B 【解析】试题分析：∵集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤{|02}x x =≤≤，∴{|01}A B x x =≤< ，故选：B ．考点：交集及其运算．2.=（）A ．iB ．i -C ．)iD ．1i +【答案】A【解析】i ==，故选：A ．考点：复数代数形式的乘除运算．3.点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112- C ．14或112- D ．14-或112 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线2y ax =化为：21x y a =，它的准线方程为：14y a =-，点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，可得1|1|24a +=，解得11412a =-或．故选：C ． 考点：抛物线的简单性质．4.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ）A ． 6B ． 7C ． 10D ． 9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴782()0a a +=，∴780a a +=， 又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.考点：等差数列的前n 项和．5.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ． 2012B ． 2016C ． 2014D ． 2015 【答案】A 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求2sin sinsin 333t S πππ=+++ 的值，因为sin3t π的取值以6为周期，且(1)(6)sinsin sin 0333k k k πππ+++++= ，由201233562=⨯+，所以输入的t 值是2012时，2sin sin133S ππ=+=>， 201433564=⨯+，所以输入的t 值是2014时，234sinsinsin sin 13333S ππππ=+++=<， 201533565=⨯+，所以输入的t 值是2015时，2345sinsinsin sin sin 0133333S πππππ=++++=<， 201633566=⨯+，所以输入的t 值是2016时，2345sinsinsin sin sin sin 20133333S ππππππ=+++++=<， 故选：A ． 考点：程序框图．6.下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充要条件．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 【答案】B 【解析】试题分析：①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥，因此不正确；②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当0m =时，直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直；0m ≠时，若两条直线垂直，则3()121m m m-⨯-=--，解得1m =-，可知：“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充分不必要条件，因此不正确． 综上可得：正确命题的个数为：2． 故选：B ．考点：命题的真假判断与应用．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 12 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB ⊥面ABC ，VE ⊥AB ，CD ⊥AB ，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积1111543103232V AB CD VE =⨯∙∙=⨯⨯⨯⨯=，故选：C考点：由三视图求面积、体积．8.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若||FB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(1,3]D ．)+∞ 【答案】A考点：双曲线的简单性质．9.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为（ ） A ．932 B ．732C ．916D ．716【答案】A 【解析】试题分析：分别画出点集A ，B 如图，A 对应的区域面积为4×4=16，B 对应的区域面积如图阴影部分面积为2223211119(2)(2)232x x dx x x x --+-=+-=⎰， 由几何概型公式得，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为9921632=；故选A ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．10.设二项式1()2nx -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b +++=+++ （ ）A ．123n -+ B ．12(21)n -+ C ．12n + D ． 1【答案】C 【解析】试题分析：由于二项式1()2nx -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则2nn a =，2nn b -=，所以1212n n a a a b b b +++=+++ 12111212(12)2221222(12)22212n nn n n+-------+++-==-+++- ，故选：C ．考点：二项式定理的应用；数列的求和．11.已知数列{a n }满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13-【答案】B 【解析】试题分析：数列3215334n a n n m =-++，令3215()334f x x x m =-++，（1x ≥）．'25()2f x x x =-，由'()0f x >，解得52x >，此时函数()f x 单调递增；由'()0f x <，解得512x ≤<，此时函数()f x 单调递减．∴对于()f n 来说，最小值只能是(2)f 或(3)f 中的最小值．458(3)(2)9(5)043f f -=--->， ∴(2)f 最小，∴185313m ⨯-++=，解得13m =．故选：B ． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．12.已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，0x ≥，()f x =2241y x -=在第一象限的部分，渐近线方程为12y x =±；当1k =时，由ln(1)y x =--，可得'111y x==-，可得0x =，即ln(1)y x =--在0x =处的切线方程为y x =，此时函数()()F x f x kx =-有且只有1个零点，∴若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为1(,1)2，故选：C ． 考点：函数的零点与方程根的关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量,a b 满足||1a = ，||b = ()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．【答案】090 【解析】试题分析：因为||1a = ，||b = ()(2)a b a b +⊥-，所以22()(2)20a b a b a a b b +∙-=+∙-= ，则220a b +∙-= ，即0a b ∙= ，所以a b ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为90°，故答案为：90°．考点：平面向量数量积的运算．14.三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为 ．【答案】64π 【解析】试题分析：在ABC ∆中，0120ACB ∠=，CA CB ==6AB =，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =O′，球心为O ，在'Rt OAO ∆中，得球半径4R ==，故此球的表面积为2464R ππ=．故答案为：64π．考点：球的体积和表面积．15.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）． 【答案】84【解析】试题分析：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为246C =种，四个学生选这两种课共有4216=中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有241484C =种．故答案为：84．考点：排列、组合及简单计数问题．16.已知函数sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线x=1对称，则sin 2ϕ= ．【答案】45- 【解析】试题分析：sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+)x πϕα=+-，其中sinα=，cosα=． ∵函数的图象关于直线x=1对称，∴2k ππϕαπ+-=+，即2k πϕαπ=-+，则sin 2sin 2()sin(22)2k k πϕαπαππ=-+=-+sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-425=-=-，故答案为：45-.考点：两角和与差的正弦函数．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知△ABC 的面积为2，且满足04AB AC <∙≤ ，设AB 和AC的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数2()2sin ()24f πθθθ=+的取值范围．【答案】（1）[,)42ππ；（2）1[,2]2. 【解析】试题分析：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域等基础知识，属中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由数量积和三角形的面积公式可得tan θ的范围，进而可得θ的取值范围；第二问，利用倍角公式和两角和与差的正弦余弦公式，化简可得()12sin(2)3f πθθ=+-，由θ的范围和三角函数公式，结合三角函数图象可得三角函数的值域．试题解析：（1）由题意可得cos AB AC cb θ∙= ，∵△ABC 的面积为2，∴1sin 22bc θ=， 变形可得4sin bc θ=， ∴4cos 4cos sin tan AB AC cb θθθθ∙=== ， 由04AB AC <∙≤ ，可得404tan θ<≤， 解得tan 1θ≥，又∵0θπ<<，∴向量夹角θ的范围为[,)42ππ； （2）化简可得2()2sin ()24f πθθθ=+-1cos(2)2222πθθ-+=⨯1sin 2θθ=+12sin(2)3πθ=+-∵由（1）知[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈-， ∴1sin(2)[,1]32πθ-∈-，∴11sin(2)[,2]32πθ+-∈，∴()f θ的取值范围为：1[,2]2考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．18.（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2， 频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）33.5（岁）；（2）分布列详见解析；12 EX=.【解析】试题分析：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．第一问，利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄；第二问，由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．试题解析：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：300.30 100=．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：12（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）． （2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X 的可能取值为0，1，2，21522021(0)38C P X C ===，1151522015(1)38C C P X C ===，252201(2)19C P X C ===，∴X 的分布列为：2115110123838192EX =⨯+⨯+⨯=． 考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 19.（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角Q ﹣AP ﹣D的余弦值为5？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】试题分析：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；第二问，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ，计算即可．试题解析：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴1//2MF DC==，正方形ABCD中E为AB中点，∴1//2AE DC==，∴//AE MF==，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P （0，0，2），B （0，1，0），C （1，1，0），E （0，12，0），F （12，12，1）， 由题易知平面PAD 的法向量为n=（0，1，0），假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ= ，∵1(,0,1)2EF = ，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22AQ λλ= ，λ∈，设平面PAQ 的法向量为(,,)x y z ∏=，由10220x y z z λλ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，可得(1,,0)λ∏=- ，∴cos ,||||m n m n m n ∙<>==，5=，解得：12λ=，所以满足条件的Q 存在，是EF 中点．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．20.（12分）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，点A 在椭圆上，且2AF 与x 轴垂直． （1）求椭圆的方程；（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）试题解析：（1）有已知：2c =，2b a=a =24b =，故椭圆方程为22184x y +=；（2）当AB 斜率不存在时：122AOB S ∆=⨯=当AB 斜率存在时：设其方程为：(2)(2y k x k =-≠，由222)28y kx k x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得222(21)2)2)80k x k kx k +++-=，由已知：222222)8(22)4]8(20k k k k k ∆=-+-=>，即：2k ≠-，2|2||21k AB k =+，O 到直线AB 的距离：d =∴214||2|221AOB S AB d k ∆==-+， ∴221[1,2)(2,)k +∈+∞ ， ∴242[2,0)(0,2)21k -∈-+ ，∴此时AOB S ∆∈，综上所求：当AB 斜率不存在或斜率存在时：△AOB 面积取最大值为 考点：椭圆的简单性质．21.（12分）已知a 是实常数，函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点A （0，﹣2），求实数a 的值； （2）若()f x 有两个极值点12,x x （12x x <）， ①求证：102a -<<； ②求证：211()()2f x f x >>-． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a ；第二问，①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <），设()ln 21g x x ax =++，求出导数，讨论当a≥0时，当a ＜0时，求得函数g （x ）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化，求得()f x 的增区间，通过导数，判断1(0,1)x ∈，设1()(ln )2h x x x x =-（0＜x ＜1），求得h （x ）的单调性，即可得证． 试题解析：（1）由已知可得，'()ln 12f x x ax =++（x ＞0），切点(1,)P a ，()f x 在x=1处的切线斜率为12k a =+，切线方程：(21)(1)y a a x -=+-， 把(0,2)-代入得：a=1；（2）证明：①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <）， 设()ln 21g x x ax =++ 则：'1()2g x a x=+（x ＞0） 当a≥0时，有'()0g x >，所以()g x 是增函数，不符合题意； 当a ＜0时：由'()0g x =得：102x a=->， 列表如下：依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<<， 综上可得，102a -<<得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化如下：由表可知：()f x 在上为增函数，所以：21()()f x f x > 又'(1)(1)120f g a ==+>，故1(0,1)x ∈，由（1）知：111ln 2x ax --=，211111111()ln (ln )2f x x x ax x x x =+=-（101x <<） 设1()(ln )2h x x x x =-（01x <<），则'1()ln 02h x x =<成立，所以()h x 单调递减，故：1()(1)2h x h >=-，也就是11()2f x >-,综上所证：211()()2f x f x >>-成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-1：几何证明选讲】（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边上的中点，连接OD 交圆O 与点M ． （1）求证：DE 是圆O 的切线； （2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题考查DE 是圆O 的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB 的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．第一问，连接BE ，OE ，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE 是圆O 的切线；第二问，1()2DM OD OM AC AB =-=-，从而DM•AC+DM•AB =1()()2AC AB AC AB -∙+212BC =，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．试题解析：（1）连接BE ，OE ， ∵AB 是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB ，∠A=∠A ，∴△AEB ∽△ABC ， ∴∠ABE=∠C ，∵BE ⊥AC ，D 为BC 的中点，∴DE=BD=DC ， ∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO ，∠DBE=∠DEB ， ∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°， ∴∠OEE=90°，∴DE 是圆O 的切线． （2）证明：∵O、D 分别为AB 、BC 的中点， ∴1()2DM OD OM AC AB =-=-， ∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB ）1()()2AC AB AC AB -∙+221()2AC AB =-212BC =DE BC =∙． ∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 23.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值． 【答案】（1）222x y x +=，x π=+；（2）1m =±【解析】试题分析：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第一问，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程．直线L的参数方程是12x m y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），把2t y =代入x m =+消去参数t即可得出；第二问，把12x m y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由△＞0，得13m -<<．利用12||||PA PB t t ∙=，即可得出．试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t可得x π=+． （2）把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由△＞0，解得13m -<<． ∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ∙==， ∴221m m -=，解得1m =0．∴实数1m =考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 24.【选修4-5：不等式选讲】 设函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞0；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1{|3}3x x x <->或；（2）1522m -<<. 试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x >，即|21||2|x x ->+，即2244144x x x x -+>++，即23830x x -+>，求得它的解集为1{|3}3x x x <->或．（Ⅱ）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤<⎨⎪⎪->⎪⎩，故()f x 的最小值为15()22f =-，根据0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，可得25422m m ->-，即24850m m --<，求得1522m -<<． 考点：绝对值不等式的解法．。