江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷及答案word版

（3）由g(x)＝ex－b＝0，得x＝lnb．
当x∈(－∞，lnb)时，g(x)＜0，g(x)单调递减．
当x∈(lnb，＋∞)时，g(x)＞0，g(x)单调递增．
所以在x＝lnb时，g(x)取极小值g(lnb)＝b－blnb＝b(1－lnb)．
①当0＜b≤e时，g(lnb)＝b－blnb＝b(1－lnb)≥0，从而当x∈R时，g(x)≥0．
即y＝(e－1)x．…………………………4分
（没有说明“在x＝1附近，f(x)＝ex－bx”的扣1分)
（2）解法一f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．
即方程ex－bx＝0有且只有一个解．
因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝．…………………………6分
令h(x)＝，由h(x)＝＝0得x＝1．
直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2．②…………………………8分
证法一联立①②解得x＝，y＝，即T(，)．………11分
由＋＝1可得x02＝8－4y02．
因为()2＋()2＝
＝＝＝＝1，
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分
证法二设T(x，y)．
联立①②解得x0＝，y0＝．………………………11分
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(－∞，0] 2．4 3．4．20
5．[－4，2] 6．7．x2＋y2－x－y－2＝0 8．
9．3 10．11．48 12．①②
13．214．1
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝．………………2分
所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝．
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝．………………5分
（2）解法一因为a∥b，所以tanθ＝2．………………7分
所以sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝，
6.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率e=_______
7.已知圆C经过直线 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线 的焦点,则圆C的方程为________________
8.设 是等差数列 的前n项和，若 ,则 _____________
9.已知函数 的部分图像如图所示，则 的值为___
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
＝×＋×(－)＝．………………14分
16．（本小题满分14分）
解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．
因为平面ABCD⊥平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB平面ABCD，
所以AB⊥平面BCE．………………3分
因为CE平面BCE，所以CE⊥AB．
4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________
5.已知变量x,y满足约束条件 则目标函数 的取值范围是_________
因为＋＝1，所以()2＋()2＝1．
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，
即＋＝1．
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．
同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．…………………3分
数学参考答案及评分标准2012.03
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
综上所述，b的取值范围为(－∞，0)∪{e}．……………………………10分
解法二f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．
即方程ex－bx＝0有且只有一个解，即ex＝bx有且只有一解．
也即曲线y＝ex与直线y＝bx有且只有一个公共点．……………………6分
如图1，当b＜0时，直线y＝bx与y＝ex总是有且只有一个公共点，满足要求．
(1)用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；
(2)记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A,B同时发生的概率.
4.记 的展开式中， 的系数为 ， 的系数为 ,其中
(1)求
（2）是否存在常数p,q(p<q),使 ，对 ， 恒成立？证明你的结论.
南京市2012届高三第二次模拟考试
14.已知关于x的方程 有唯一解，则实数a的值为________
二、解答题
15．（本题满分14分）
设向量a＝(2，sinθ)，b＝(பைடு நூலகம்，cosθ)，θ为锐角
（1）若a·b= ,求sinθ+cosθ的值；
（2）若a//b,求sin(2θ+ )的值．
16.（本题满分14分）
如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD 平面BCE，BE EC.
又因为矩形ABCD中，O为BD中点，
所以F为BE中点，即＝．…………………………14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）由题意知b＝＝．…………………………3分
因为离心率e＝＝，所以＝＝．
所以a＝2．
所以椭圆C的方程为＋＝1．…………………………6分
（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则
…………………………8分
如图2，当b≥0时，直线y＝bx与y＝ex有且只有一个公共点，
当且仅当直线y＝bx与曲线y＝ex相切．
设切点为(x0，e)，根据曲线y＝ex在x＝x0处的切线方程为：
y－e＝e(x－x0)．
把原点(0，0)代入得x0＝1，所以b＝e＝e．
综上所述，b的取值范围为(－∞，0)∪{e}．…………………………10分
数学附加题
1.设矩阵
（1）求矩阵M的逆矩阵 ；（2）求矩阵M的特征值.
2.在平面直角坐标系xoy中，判断曲线C: 与直线 （t为参数）是否有公共点，并证明你的结论
3.甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是 ，乙班三名同学答对的概率分别是 ，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.
江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷
一．填空题
1.已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是_______________
2.已知 ，其中 ， 为虚数单位，则 =_____________
3.某单位从4名应聘者A,B,C,D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B两人中至少有1人被录用的概率是________________
（1）求证：平面AEC 平面ABE；
（2）点F在BE上，若DE//平面ACF，求 的值。
17．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T。求证：点T在椭圆C上。
10.在如果所示的流程图中，若输入n的值为11.则输出A的值为______
11.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为__________________ .
相应实数b的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}满足：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当 =4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得 成等比数列？若存在，给出r,s,t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S 为数列{an}的前n项和，若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围。
解得x＝4(x＝7和x＝－舍)．………………………14分
所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．
因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．
所以S的最大值为＝6．
答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2．………………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）记g(x)＝ex－bx．当b＝1时，g(x)＝ex－1．
因为∠A和∠C互补，
所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC
＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA．…………5分
即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．
解得cosA＝，即f(x)＝．其中x∈(2，5)．………………………8分
(2)求四边形ABCD面积的最大值。．
19．（本小题满分16分）
已知函数 其中e为自然对数的底.
（1）当 时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；