【章节训练】3.1+圆-4

【章节训练】3.1圆-4【章节训练】3.1 圆-4一、选择题（共7小题）1．（2003•台湾）如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的外心，∠C=60°，BC=2．若△AOB面积=a，△OBC 面积=b，则下列叙述何者正确（）A．a＞b B．a＜b C．a﹣b=0 D．a+b=42．（2000•绵阳）等腰三角形的外心一定在（）A．腰上的高所在的直线上B．顶角的平分线上C．腰的中线上D．底边的垂直平分线上3．（2005•沈阳）已知O为△ABC的外心，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．120°C．90°D．60°4．（2001•贵阳）已知⊙O的半径等于等边△ABC的高，△DEF是⊙O的内接等边三角形，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．3：2 D．2：35．（2005•太原）A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（）A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内6．（2005•锦州）如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A．3cm B．3cm C．4cm D．4cm7．（2005•陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为（）A．3B．C．D．二、填空题（共7小题）（除非特别说明，请填准确值）8．等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是_________．9．（2002•龙岩）在直角三角形中，若30°角所对的直角边长为4，则该直角三角形外接圆直径为_________．10．（2003•岳阳）已知⊙O的直径为2，则⊙O的内接正三角形的边长为_________．11．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为_________12．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为_________．13．（2005•武汉）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等．_________（填“正确”或“错误”）14．（2005•郴州）直角三角形三边长分别为6，8，10，那么这个三角形外接圆的半径等于_________．三、解答题（共4小题）（选答题，不自动判卷）15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，弦DE∥BA，交AC于点F，OF与AD有怎样的位置关系和数量关系？为什么？16．（2000•甘肃）在△ABC外接圆的弧BC上取一点D，作DE∥BC，交AB的延长线于E，连接BD、CD，求证：AC•BE=BD•CD．17．（2002•兰州）附加题：已知，等腰△ABC内接⊙O，顶角为120°，⊙O的半径为cm，求底边BC的长．18．（2001•哈尔滨）已知：如图，CD是△ABC外角∠MCA的平分线，CD与三角形的外接圆交于点D．（1）若∠BCA=60°，求证：△ABD为等边三角形；（2）设点F为弧AD上一点，且弧AF=弧BC，DF的延长线交BA的延长线于点E．求证：AC•AF=DF•FE．【章节训练】3.1 圆-4参考答案与试题解析一、选择题（共7小题）1．（2003•台湾）如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的外心，∠C=60°，BC=2．若△AOB面积=a，△OBC 面积=b，则下列叙述何者正确（）A．a＞b B．a＜b C．a﹣b=0 D．a+b=4考点：三角形的外接圆与外心．专题：压轴题．分析：由于直角三角形的外心是斜边的中点，即OA=OC；由此可知：△AOB和△BOC等底同高，故两者的面积相等，即a=b．解答：解：∵△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的外心；∴OA=OC，∴△AOB和△BOC等底同高，∴S△AOB=S△BOC，即a=b，∴a﹣b=0．故选C．点评：本题考查的知识点有两个：①直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合；②若两个三角形等底等高，则这两个三角形的面积相等．2．（2000•绵阳）等腰三角形的外心一定在（）A．腰上的高所在的直线上B．顶角的平分线上C．腰的中线上D．底边的垂直平分线上考点：三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．分析：三角形的外心是三边中垂线的交点，可据此判断出正确的选项．解答：解：由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因此等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上；故选D．点评：正确理解三角形外心的性质是解答此题的关键．3．（2005•沈阳）已知O为△ABC的外心，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．120°C．90°D．60°考点：三角形的外接圆与外心．专题：压轴题．分析：根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=120°．解答：解：∠BOC=2∠A=120°．故选B．点评：考查了圆周角定理，注意：当心时，则∠BOC=2∠A或360°﹣2∠A．4．（2001•贵阳）已知⊙O的半径等于等边△ABC的高，△DEF是⊙O的内接等边三角形，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．3：2 D．2：3考点：三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质．专题：压轴题．分析：等边三角形的外接圆在三角形三边的垂直平分线上．假设△ABC的边为2x，可以求出它的高为x．再根据题里的已知条件，可求出△DEF的边长．解答：解：对于等边三角形，外接圆的圆心也是三个内角的平分线的交点，综合起来，可求出△DEF的边长的一半为=x，那么△DEF的边长为3x，而△ABC∽△DEF，所以两个三角形的周长比等于边长比等于2：3．故选D．点评：此题利用了等边三角形的外接圆的圆心既直平分线的交点，也是三个内角的平分线的交点，还用了勾股定理．5．（2005•太原）A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（）A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内考点：点与圆的位置关系．分析：由已知可得AB+BC=AC，因而点B是线段AC的中点，进而可知可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外．解答：解：∵A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，∴AB+BC=AC，则B是线段AC的中点，∴可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外．故选B．点评：正确确定A、B、C三点的位置关系是解决本题的关键．6．（2005•锦州）如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A．3cm B．3cm C．4cm D．4cm考点：三角形的外接圆与外心；解直角三角形．专题：压轴题．分析：作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径的代数式表示出来，进行求解即可．解答：解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R．∴BD=cos∠OBC×OB=R，BC=2BD=R．∵BC=12，∴R==4．故选D．点评：此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．关键是作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心．7．（2005•陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为（）A．3B．C．D．考点：三角形的外接圆与外心．专题：压轴题．分析：若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．解答：解：延长AO交圆于点D，连接CD，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．点评：此题主要是根据圆周角定理的推论，作出直径所对的圆周角，利用锐角三角函数求解．二、填空题（共7小题）（除非特别说明，请填准确值）8．等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是3或27．考点：三角形的外接圆与外心；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题；分类讨论．分析：如图（1）和（2），由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出OD的长，进一步求出BD的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．解答：解：连接OB交AC（或AC的延长线）于D，连接OC，∵圆O是等腰三角形的外接圆，∴BD⊥AC，AD=DC=3，有两种情况：（1）如图（1）：OC=5，由勾股定理得：OD===4，即：BD=4+5=9，∴S△ABC=AC•BD=×6×9=27；（2）如图（2）：同法可求OD=4，BD=5﹣4=1，∴S△ABC=AC•BD=×6×1=3；故答案为：3或27．点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解此题的关键是求出高BD的长度．此题用的数学思想是分类讨论思想．题目较好．9．（2002•龙岩）在直角三角形中，若30°角所对的直角边长为4，则该直角三角形外接圆直径为8．考点：三角形的外接圆与外心；含30度角的直角三角形．分析：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，结合题目条件求解．解答：解：直角三角形中，若30°角所对的直角边长为4，则斜边是8，即该直角三角形外接圆直径为8．点评：解决此题的关键在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．10．（2003•岳阳）已知⊙O的直径为2，则⊙O的内接正三角形的边长为．考点：三角形的外接圆与外心．分析：根据等边三角形的三线合一的性质，知点O一定在它的边的垂直平分线上；可以发现直径和一边组成了30°的直角三角形，所以其边长是．解答：解：设边长为x，则（）2=1﹣，解得x=，即⊙O的内接正三角形的边长点评：根据等边三角形的三线合一和30°的直角三角形的性质可以求解．11．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为4或5考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理．分析：直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．解答：解：由勾股定理可知：①直角三角形的斜边长为：8；②直角三角形的斜边长为：=10．因此这个三角形的外接圆半径为4或5．点评：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．12．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为2．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；勾股定理．分析：设EF=x，根据题意，易知三角形AEF是等边三角形．连接OA，则OA⊥EF，在直角三角形AOE中，得OE=1，则EF=2．解答：解：连接OA，设EF=x∵△ABC是⊙O的内接等边三角形∵EF∥BC∴∠AEF=∠AFE=60°∴△AEF为等边三角形∴AO⊥EF∴OF==1∴EF=2OF=2．点评：此题注意圆的轴对称性，能够发现等边三角形和特殊的直角三角形．考点：三角形的外接圆与外心．分析：三角形的外心是三角形的外接圆的圆心，则它到三角形的三个顶点的距离相等．解答：解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点；它的主要特点是：到三角形三个顶点的距离都相等．故原命题是正确的．点评：本题主要考查了三角形的外心的性质．14．（2005•郴州）直角三角形三边长分别为6，8，10，那么这个三角形外接圆的半径等于5．考点：三角形的外接圆与外心．分析：因为直角三角形三边长分别为6、8、10，由直角三角形的特征知，圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半．解答：解：∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边为直角三角形中最长边，∴三角形外接圆的半径=×10=5，∴三角形外接圆点评：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．三、解答题（共4小题）（选答题，不自动判卷）15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，弦DE∥BA，交AC于点F，OF与AD有怎样的位置关系和数量关系？为什么？考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质．分析：设AD与CF相交于点G，连接OA，OD，根据AD平分∠BAC得出∠BAD=∠2，再由AB∥DE，得出∠BAD=∠1，故可得出∠1=∠2，即AF=DF，由SSS定理得出△AOF≌△DOF，故∠3=∠4，根据ASA定理得出△AGF≌△DGF，由此可得出结论．解答：解：OF垂直平分AD．理由：设AD与CF相交于点G，连接OA，OD，∵OA、OD是⊙O∴OA=OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠2．∵AB∥DE，∴∠BAD=∠1，∴∠1=∠2，∴AF=DF．在△AOF与△DOF中，，∴△AOF≌△DOF（SSS），∴∠3=∠4．在△AGF与△DGF中，，∴△AGF≌△DGF（ASA），∴AG=DG，∠AGF=∠DGF．∵∠AGF+∠DGF=180°，∴∠AGF=∠DGF=90°，∴OF垂直平分AD．点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．16．（2000•甘肃）在△ABC外接圆的弧BC上取一点D，作DE∥BC，交AB的延长线于E，连接BD、CD，求证：考点：三角形的外接圆与外心；平行线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：一般证明比例线段通过证明三角形相似来解决，此题可以利用平行线和圆内接四边形的角的关系找到两组角的关系证明△DEB∽△ADC，然后利用相似三角形的性质就可以得到题目的结论．解答：证明：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBA，而∠DBC=∠DAC．∴∠DAC=∠EDB．又∠EBD=∠DCA，∴△DEB∽△ADC．∴AC•BE=BD•CD．点评：此题首先利用了平行线的性质，圆内接四边形的角的性质构造相似三角形相似的条件，再利用相似三角形的性质与判定得到题目的结论．17．（2002•兰州）附加题：已知，等腰△ABC内接⊙O，顶角为120°，⊙O的半径为cm，求底边BC的长．考点：三角形的外接圆与外心；解直分析：通过作辅助线，构成圆的内接三角形，再利用圆及圆内接三角形性质确定角的度数和三角函数．解答：解：如图，连接OA，OB，OC交BC于D，由圆及圆内接三角形性质可得OA垂直平分BC，且OA平分∠BAC∴∠BAD=60°∴△OAB为等边三角形∴AB=OB=AO=cm在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=60°∴BD=×sin∠BAD=•sin60°=×=5cm∴底边BC的长=2BD=2×5=10cm．点评：本题考查了三角形的外接圆、相交弦定理和勾股定理．作辅助线，构成圆的常用的方法之一．18．（2001•哈尔滨）已知：如图，CD是△ABC外角∠MCA的平分线，CD与三角形的外接圆交于点D．（1）若∠BCA=60°，求证：△ABD为等边三角形；（2）设点F为弧AD上一点，且弧AF=弧BC，DF的延长线交BA的延长线于点E．求证：AC•AF=DF•FE．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）可通过证三个内角都是60°来得出三角形ABD是等边三角形的结论．已知∠BCA=60°，根据圆周角定理我们可得出∠BDA=60°，那么我们只需证明∠DBA=∠DAB即可得出三角形是等边三角形的结论．可通过寻找相等的中间值来求解，∠MCD是圆内角四边形ABCD的外角，那么∠MCD=∠DAB，而根据圆周角定理，我们知道∠DBA=∠DCA，已知了DC平分∠MCA，那么我们就可以得出∠DBA=∠DAB的结论，也就能得出本题要求的结论．（2）可通过相似三角形来求解，可通过证三角形ACD和AFE相似，得出关于AC，CD，AF，FE然后通过证明三角形BCD和三角形AFD全等，得出DF=DC，然后将比例关系式总的等量线段置换，即可得出本题的结果．解答：证明：（1）∵CD平分∠MCA，∴∠MCD=∠DCA．∵∠MCD是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠MCD=∠DAB．根据圆周角定理可知∠BDA=∠BCA=60°，∠DCA=∠DBA，∴∠MCD=∠DCA=∠BDA=∠DBA=∠DAB=60°．∴△ABD是等边三角形．（2）由（1）可知∠MCD=∠DCA=60°，同理可得出∠EFA=∠DBA=60°，∴∠DCB=∠DFA=180﹣60=120°．∵弧BC=弧AF，∴AF=BC，∠BDC=∠ADF．∴△BDC≌△ADF．∴∠EFA=∠DBA=60°，∠DCA=∠DBA=60°，∵∠BDC=∠ADF，∴∠BDC+∠ADB=∠ADF+∠ADB，即∠CDA=∠BDF．∵∠EAF是圆内接三边形ABDF的外角，∴∠EAF=∠ADF=∠CDA．∴△ADC∽△EFA．∴AC•AF=CD•FE．∵CD=DF，∴AC•AF=DF•FE．点评：（1）本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及圆周角定理等知识点，（2）题中准确找出与所求线段相关的相似三角形是解题的关键．。