1第4章 流体运动

1 2 2 ρ dV ( v 2 − v1 ) + ρ dVg( h2 − h1 ) 机械能增量 2 1 2 流入的机械量 Ek + Ep = ρS1v1dt ⋅ v1 +ρS1v1dt ⋅ gh 1
P1 S1 ⋅ v1dt − P2 S 2 ⋅ v 2 dt = ( P − P )S1v1dt 1 2 dV
推导过程： 推导过程：功能原理和连续性方程
考虑dt时刻内， 考虑dt时刻内，流入的质量和流出质量相等 dt时刻内 质量守恒ρ S1 v1dt =
2
ρ S 2 v 2 dt
S2
v2 P
2
外力做功
两侧压力 不做功
v1
1
P
1
h2
S1
外部压力 dt时刻外力的总功： 时刻外力的总功： 时刻外力的总功
2 1 2 流出的机械量 Ek + Ep = ρS2v2dt ⋅ v2 +ρS2v2dt ⋅ gh 2 2
3
A．v/6； ． ；
B．v； ． ；
C．3v/2 ；√ D．v/3 ． ． ．
4-2．流体在流管中作稳定流动，截面积0.5 cm2 ．流体在流管中作稳定流动，截面积 处的流速为12 处的流速为 cm/s。流速 cm/s的地方的截面积是 。流速4 的地方的截面积是 （ ） A．0.5 cm2； B．1.2 cm2； ． ． C．1.5 cm2；√ D．2.0 cm2． ． ．
(2)
稳定流动
流体在流动过程中,流体质点所经过的空间各点流速大 流体在流动过程中,流体质点所经过的空间各点流速大 小和方向不随时间变化． 小和方向不随时间变化．
r r r v = v x y z,） v x y z t （ ， ， = （ ， ，，）
稳定流动时, 流速场的空间分布不随时间变化. 稳定流动时 流速场的空间分布不随时间变化
dV = S B v B dt
dV = S Adh
SB vB ∴ dh = ⋅ 2 gh dt SA
时水的流速为: 解：当水位为 h 时水的流速为
vB ≈ 2gh
容器中液面下降dh 的高度需要时间为: 容器中液面下降 的高度需要时间为
SB=1 cm2 = 10−4 m2
dt=
dh ⋅ S A S B 2 gh
(4) 流管 流管(tube of flow )
经过该截面周边的流线组成的管状体为流管。 经过该截面周边的流线组成的管状体为流管。
流管同样也是一种形象描述; ① 流管同样也是一种形象描述 流管的形状在稳定流动时保持不变; ② 流管的形状在稳定流动时保持不变 稳定流动时, 流管内外的流体彼此互不交换. ③ 稳定流动时 流管内外的流体彼此互不交换
QSA >> SB ∴vA ≈ 0
选择B处为势能零点， 选择 处为势能零点，则 处为势能零点
点A: hA=h, vA=0, pA=p0 点B: hB=0, pB=p0, vB=? 1 1 2 p0 + ρ ⋅ 0 + ρgh = p0 + ρvB2 + 0 2 2 1 2 ρgh = ρvB vB = 2gh 2
t = ∫0
0
hA
SAdh SB 2gh
−4
整个水箱的水流尽所需时间为 = ∫
0.7
6 × 10 −2 dh
10 × 2 × 9.8 × h
= 227 ( s )
3. 流速计 比托管 流速计(比托管 比托管pitot tube)
2. 稳定流动 (steady flow)
研究方法 (1) 流速场
某一时刻，流体空间中每一点 某一时刻，流体空间中每一点(x, y, z)上有一个速度矢量 上有一个速度矢量 v(x, y, z), 它们构成一个流速场． 它们构成一个流速场． 一般流体运动，速度矢量是空间和时间的函数。 一般流体运动，速度矢量是空间和时间的函数。 空间 的函数 拉格朗日法（ 拉格朗日法（Lagrange method） ） 欧拉法（ 欧拉法（Euler method） ）
P =?
p, h, v均为 量 常
若某处与大气相通, ③ 若某处与大气相通 则该处的压强为大气压 p0
伯努利方程的应用 1. 空吸 空吸(suction)
水平管: 水平管: h1=h2=h
1 2 1 2 p1 + ρgh1 + ρv1 = p2 + ρgh2 + ρv2 2 2
1 2 1 2 p1 + ρv1 = p2 + ρv2 2 2 S1 v1 = S 2 v 2
2
静压强
动压强
(2) 适用条件
1 2 1 2 p1 + ρgh + ρv1 = p2 + ρgh + ρv2 1 2 2 2
理想流体做稳定流动; ① 理想流体做稳定流动 同一流管的不同截面积处或同一流线的不同点; ② 同一流管的不同截面积处或同一流线的不同点
分支管道的伯努利方程: (3) 分支管道的伯努利方程: 1 S1 v1
S2
2
3
v2
1 2 1 2 p1 + ρgh1 + ρv1 = p2 + ρgh2 + ρv 2 2 2 1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgh1 = p3 + ρv3 + ρgh3 2 2
S3
v3
1 2 1 2 p1 + ρgh + ρv1 = p2 + ρgh + ρv2 1 2 2 2
h1
据功能原理(work-energy theory) 据功能原理
1 2 2 ( P − P ) = ρ ( v 2 − v1 ) + ρ g( h2 − h1 ) 1 2 2 1 1 2 2 P + ρv1 + ρgh = P + ρv2 + ρgh 1 1 2 2 2 2
1 P + ρgh+ ρv2 = C 2
S2<S1 v2>v1
∴ p2<p1
≈ p0
p 2< p 0 空吸作用
实例1: 实例 喷雾器
实例2: 实例 水流抽气机
2. 小孔流速
1 2 1 2 p1 + ρgh + ρv1 = p2 + ρgh + ρv2 1 2 2 2
一个很大的开口容器, 当注入液体后, 液体从小孔流出. 一个很大的开口容器 当注入液体后 液体从小孔流出 设小孔距液面的高度是h, 求液体从小孔流出的速度. 设小孔距液面的高度是 求液体从小孔流出的速度 v B = ? 任意选取一流线, 为流线上通过液面的一点 为 为流线上通过液面的一点, 任意选取一流线 A为流线上通过液面的一点 B为 该流线通过小孔上的一点. 该流线通过小孔上的一点 A •
分析: 随着水位下降, 流速逐渐减小, 有关。 分析 随着水位下降 流速逐渐减小 小孔流速和水位 h 有关。
Q S A >> S B ∴vB ≈ 2gh,vA ≈ 0
考察t~t+dt时刻内流出的水的体积： 时刻内流出的水的体积： 考察 时刻内流出的水的体积
SA=6×10−2 m2 ×
dh
hA=0.7 m
(3) 流线 (Stream line)
在流速场中，作一些曲线， 在流速场中，作一些曲线，曲线上任一点的切线方向表示流 体在该点的流速方向，这些曲线为流线 流线。 体在该点的流速方向，这些曲线为流线。 C A vA B vB vC
流线只是一种形象描述; ① 流线只是一种形象描述 任意两条流线互不相交; ② 任意两条流线互不相交 ? 稳定流动时 ③ 稳定流动时,流线形状及 分布不随时间改变。 分布不随时间改变。
单位体积流体的势能 势能; ρ gh :⋅m 单位体积流体的势能;
Daniel Bernoulli (1700 ~1782)
P2
v2
v1
h2
同一流管的不同截面处流体的压 强、单位体积的势能与单位体积 的动能之和是相等的。 的动能之和是相等的。
P1
h1
推导依据: 连续性方程和功能原理. 推导依据 连续性方程和功能原理
v1
c
S
2
d
v2
S 大 小
v 小 大
说明 流线稀 流线密
a b
∆ 流入质量： 流入质量： m1
流出质量： 流出质量： m2 ∆
= ρ S1v1 ∆t = ρ S 2 v 2 ∆t
质量守恒: 3. 质量守恒: ρS1v1= ρS2v2
ρS1v1= ρS2v2
4. 分支流管的连续性方程 S1 v1 S2 v2
(4) 特殊情况下方程的简化
① 不均匀水平管, h1=h2=h 不均匀水平管
1 2 1 2 p1 + ρv1 = p2 + ρv2 2 2 均匀管, ② 均匀管 S1=S2, v1= v2= v
竖直: 竖直 p1 + ρgh = p2 + ρgh 1 2 水平: 水平 h1=h2=h p1 = p2
• B
小孔流速同于自由落体时的速度,是偶然 小孔流速同于自由落体时的速度 是偶然? 是偶然 液面处的势能完全转化为小孔处的动能。 液面处的势能完全转化为小孔处的动能。
一圆形开口容器, 截面积6× 贮满清水, 例1 一圆形开口容器 高0.7 m, 截面积 ×10−2m2. 贮满清水 若容器底 有一小孔1cm2 , 问该容器中水流完需要多少时间？ 水的流速是否不变？ 问该容器中水流完需要多少时间？ 有一小孔
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第4章 流体运动简介 章 the introduction of motion fluid
第1节 理想流体的运动 节 第2节 黏性流体的运动 节 流体: 液体和气体的各个部分间可以作相对运