定义域和值域的逆向问题
函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1例2求函数y '定义域。
*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4， ］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。
例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
数学模型中的反问题逆问题
数学模型中的反问题向下运动向上运动风筝数学模型竟赛中有很多涉及反问题。
如2010国赛中A题和2011年美赛中A题都涉及反问题。
顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。
正问题的定义为：按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
自然顺序的定义为：不受任何限制和约定俗成的顺序，一般地都认为他们是自然而然的，无须多加解释的。
在一般地语境下，认为这些顺序都是是前提条件的。
如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。
纯粹的自然顺序的例子是第一，第二，第三这种升序；或者反过来的倒序；约定俗成的例子是上北下南左西右东。
反问题的定义为：根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。
可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。
但相对正问题，反问题求解难大，计算量大。
许多人知道求解问题的思路，但由于选用计算方法不适当，在几天内求不出计算结果，失去获奖机会。
尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。
在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。
这些都可以提出为某种形式的反问题。
可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。
现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。
简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解.第一节反问题的例子例1 物体下落距离L与时间T，正问题是：已知物体的高度，测量下落时间，即t=t(x). 反问题是：已知物体下落时间，求物体的高度,即x=x(t)。
当人们不知道自由落体运动规律x=0.5gT2之前，能用时钟测量物体下落时间，但反过来，给定下落时间，测量物体高度比较难。
高中数学,函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：1分母不为零2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;4指数、对数的底数大于0,且不等于15y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠二、值域是函数y=fx 中y 的取值范围;常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： 3,3-②要使函数有意义,必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x Rx即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 定义域的逆向问题解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1,∴f2x －1的定义域为0,1;例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;答案：－1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x 例7 已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;练习：1 已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,25-提示：定义域是自变量x 的取值范围 2 已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则 Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ； 反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f③ xx y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略③ 当x>0,∴xx y 1+==2)1(2+-xx 2≥,当x<0时,)1(xx y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }.②∵顶点横坐标2∉3,4,当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时,①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值ab ac y 4)4(2min-=； ②当a<0时,则当ab x 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=;⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大小值.注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+x 32-的值域解：由算术平方根的性质,知x32-≥0,故3+x32-≥3;∴函数的值域为[)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x1 单调性法例3 求函数y=4x －x31-x ≤1/3的值域;设fx=4x,gx= －x31-,x ≤1/3,易知它们在定义域内为增函数,从而y=fx+gx=4x-x31-在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;练习：求函数y=3+x-4的值域;答案：｛y|y ≥3｝2 换元法例4 求函数x x y -+=12 的值域解：设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;练习：求函数y=x x --1的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝求xx x x cos sin cos sin 1++的值域；例5 三角换元法求函数21x x y -+=的值域解： 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x小结：1若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设2若题目中含有122=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中22πθπ<<-5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ3 平方法例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：函数定义域为：[]5,3∈x 4 分离常数法 例6 求函数21+-=x x y 的值域 由1231232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx b ax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域;练习 求函数6412+-=x x y 的值域 求函数133+=x xy 的值域求函数 y =1212+-xx 的值域；y ∈-1,1例7 求13+--=x x y 的值域解法一：图象法可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y观察得值域{}44≤≤-y y解法二：不等式法114)1(134)1()3(13+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x 练习：1y x x =++的值域 )[∞+,1 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫⎝⎛= 的值域解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭⎫⎝⎛=t y t由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 换元法设t x=+13 ,则()111131113113>-=+-=+-+=t t y x xx 例13 函数1122+-=x x y 的值域解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=y yyx解法二：换元法设t x =+12 ,则2解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y 综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈Rx 设⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得综合1、2值域}50|{≤<y y解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则ty 5=50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y例15 函数11++=xx y 的值域解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x解法二：不等式法1当0>x 时,321≥∴≥+y xx 2） 0<x 时,12)(1)(1-≤∴-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+y x x x x综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,例16 选 求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x解法二：不等式法原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2例17 选 求函数)22(1222≤≤-+++=x x x x y 的值域解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a fex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x xa x y 的单调性去解; 练习：1 、)0(9122≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(91222+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++=x x y 或利用对勾函数图像法2 、34252+-=x x y 0<y ≤5.3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --=解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为49)21(222+--=+-=u u u y ,②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4在此区间内 4x 2x m ax =4 ,4x 2x m in =0∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图5、求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤46、选求函数66522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0由此得 5y+12≥0检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+--=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴51-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述,函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-}。
三角函数的逆运算与应用
三角函数的逆运算与应用三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
逆三角函数则是与三角函数相反的操作，通过逆三角函数可以求得某角度的正弦、余弦和正切值。
本文将详细介绍逆三角函数的定义、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、逆三角函数的定义逆三角函数是指与三角函数相反的操作，通过逆三角函数可以求解角度的大小。
常见的逆三角函数有反正弦函数（sin⁻¹），反余弦函数（cos⁻¹）和反正切函数（tan⁻¹）。
逆三角函数的定义域和值域如下：1. 反正弦函数（sin⁻¹）：定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
2. 反余弦函数（cos⁻¹）：定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
3. 反正切函数（tan⁻¹）：定义域为(-∞, +∞)，值域为(-π/2, π/2)。
二、逆三角函数的性质逆三角函数具有以下性质，可以帮助我们简化计算和求解问题：1. 基本关系式：对于任意实数x，有以下关系成立：- sin(sin⁻¹(x)) = x- cos(cos⁻¹(x)) = x- tan(tan⁻¹(x)) = x2. 单调性：逆三角函数在其定义域上是单调递增或递减的，具体取决于三角函数的取值范围。
3. 奇偶性：逆三角函数具有和对应的三角函数相同的奇偶性。
即反正弦函数是奇函数，反余弦函数是偶函数，反正切函数是奇函数。
三、逆三角函数的应用逆三角函数在实际应用中有着广泛的应用，以下是其中的几个典型应用场景：1. 解三角形：通过已知三角形的边长或角度信息，可以利用逆三角函数来求解未知的角度或边长。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度，可以用反正弦函数来求解第三条边的长度。
2. 物体运动分析：逆三角函数在物体运动分析中有着重要的应用。
通过已知的运动速度和角度，可以利用逆三角函数来确定物体相对于水平或竖直方向的分速度。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
数学中的逆向概念
数学中的逆向概念数学中的逆向概念涉及到多个领域，例如逆函数、逆矩阵、逆向几何等。
本文将重点介绍逆函数和逆矩阵这两个概念。
逆函数是函数的一个重要性质，涉及到函数之间的相互关系。
函数是将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值的规则。
而逆函数则是函数的"相反"。
具体地说，对于给定的函数f，如果存在一个逆函数g，使得对于f的每个输出y都有g(f(x)) = x，且对于g的每个输入x都有f(g(x)) = x，那么g就是f的逆函数，可以记作g = f^(-1)。
逆函数的存在要求原始函数是一对一的，即每个输入值对应唯一的输出值。
逆函数的重要性体现在如下几个方面。
首先，逆函数可以帮助我们解决反函数问题。
例如，如果已知一个函数计算了某个物体在经过时间t之后的位置，那么逆函数就可以通过给定位置来计算出经过多长时间才能到达该位置。
其次，逆函数有助于解决复合函数的问题。
例如，如果已知一个复合函数输出了某个值，我们可以通过逆函数来从输出值推导出输入值。
最后，逆函数还有助于构建新的函数。
通过对已知函数进行逆向操作，我们可以得到新的函数。
逆矩阵是在线性代数中的一个重要概念。
在代数学中，矩阵是一个由m行n列数字排列组成的矩形数组。
每个数字称为矩阵的元素。
矩阵通常用大写字母表示，例如A。
对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB = BA = I, 其中I 是单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，可以记作A^(-1)。
需要注意的是，逆矩阵只存在于方阵中，而且方阵必须是可逆的。
逆矩阵在线性代数中有重要的应用。
首先，逆矩阵可以用来解决线性方程组。
例如，给定一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆的，那么可以通过求解x = A^(-1)b来得到方程的解。
其次，逆矩阵用于寻找矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在向量空间中的重要性质，它们可以通过求解方程(A-λI)x=0来得到，其中λ是特征值。
最后，逆矩阵还用于求解矩阵的行列式和秩。
定义域和值域的逆向问题
定义域和值域的逆向问题河南 范长如定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。
一、已知定义域求值域例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=b a bx a bx a y 的值域。
解：函数式变形为bxa a y -+-=21，显然y ≠-1 由原函数表达式可得)1()1(+-=y b y a x 。
又11≤≤-x ，得)1()1(1+-≤-y b y a 1≤， 解得ba b a y b a b a -+≤≤+-， 即此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。
注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。
二、已知值域求定义域例2 已知函数112--=x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。
解：由0112≤--x x ，解得121<≤x 。
由3112≥--x x ，解得21≤<x 。
∴此函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤1221|x x x 且。
注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。
三、已知定义域求解参数问题例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意知R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（2）当012≠-a 时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。
反函数怎么求定义域和值域
反函数怎么求定义域和值域
根据原函数的定义域是反函数的值域，如果我们能从原函数求出值域，那么我们求反函数的定于域就可以直接用了!
反函数怎么求
设原函数y=ax+b
化成x=(y-b)／a,
再写成y=(x-b)／a,
就是它的反函数
设原函数y=x²+b
化成x=√(y-b) (y-b≥0)
再写成y=√(x-b) (x-b≥0)
就是它的反函数
求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。
定义域
定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2,
y=cotx中x≠kπ等等。
值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
值域
值域：函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
f：A→B中，值域是集合B的子集。
如：f(x)=x,那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。
在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数
域中，值域是复数。
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定义域和值域的逆向问题
河南 范长如
定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。
一、已知定义域求值域
例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=b a bx
a bx
a y 的值域。
解：函数式变形为bx a a
y -+
-=21，显然y ≠-1 由原函数表达式可得)1()
1(+-=y b y a x 。
又11≤≤-x ，得)
1()
1(1+-≤
-y b y a 1≤， 解得b
a b
a y
b a b a -+≤≤+-， 即此函数的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。
注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。
二、已知值域求定义域
例2 已知函数1
1
2--=
x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。
解：由
0112≤--x x ，解得121
<≤x 。
由
31
1
2≥--x x ，解得21≤<x 。
∴此函数的定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≠≤≤1221|x x x 且。
注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反
比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。
三、已知定义域求解参数问题 例3 已知函数1
2
)1()1()(22++
-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意知R x ∈时，01
2
)1()1(2
2
≥++
-+-a x a x a 恒成立。
（1）当012
=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，
01
2
)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（2）当012
≠-a 时，有⎪⎩
⎪⎨⎧≤+⋅
---=∆>-012)1(4)1(012
22a a a a 解不等式组得91≤<a 。
综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是［1，9］。
注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。
四、已知值域求解参数问题
例4 已知函数1
22
2+++=x b
ax x y 的值域为［1，3］，求a 、b 的值。
解：由题意知R x ∈，把原函数变形为0)2(2=-+--b y ax x y 当02=-y 时，满足题意
当02≠-y 时，因R x ∈，所以0))(2(42≥---=∆b y y a ，即
08)2(4422≤-++-a b y b y 。
因31≤≤y ，所以1和3是方程
08)2(4422=-++-a b y b y 的两个实根，由韦达定理解得22=±=b a ，。
注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。
五、已知定义域和值域求解参数问题
例5 已知二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 满足条件)3()5(-=+-x f x f ，0)2(=f ，且方程x x f =)(有两个相等实根。
问是否存在实数)(n m n m <、，使得)(x f 的定义域为［m ，n ］时，值域为［3m ，3n ］。
如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由。
解：因)3()5(-=+-x f x f ，所以函数)(x f 的图象的对称轴为直线
235-=
x =1，可得12=-
a
b
① 由0)2(=f ，得024=++c b a
②
因方程x x f =)(有两个相等实根，即0)1(2
=+-+c x b ax 有相等实根，所以
04)1(2=--=∆ac b
③
将①代入②，得0=c 。
由③知，b=1，所以2
1-=a 。
则2121)1(2121)(22≤+--=+-
=x x x x f ， 所以213≤n ，即6
1
≤n 。
)(x f 在［m ，n ］上单调递增，假设存在满足条件的m 、n ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+-==+-=n n n n f m m m m f 321)(32
1)(22 解得⎩
⎨⎧-=-=4040或或n m
又6
1
≤
<n m ，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。
注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。
练一练：
1. 求下列函数的值域：
①3
4252
+-=x x y ；②231
2-+=x x y ；③212+-+=x x y 。
2. 求函数)0(≥-=x x x y 的最大值。
答案：
1. ①]50(，∈y
（提示：1
)1(252
+-=
x y ，而11)1(22
≥+-x ， 所以11
)1(21
02≤+-<x ，可得51)1(2502≤+-<x 。
另外，原函数变形为053422=-+-y yx yx ，因R x ∈， 所以0)53(24)4(2≥-⨯--=∆y y y ， 即50052≤≤≤-y y y ，且0≠y ）
②⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
≠
∈32|y R y y 且 （提示：)23(3732-+=x y ，而
0)
23(37
≠-x ，所以32≠y ） ③]4(，
-∞∈y （提示：因4)11(2+---=x y ，所以]4(，
-∞∈y 。
另外，令)0(1≥-=t x t ，则2
1t x -=，
所以)0(4)1(322
2≥+--=++-=t t t t y ，也可能]4(，
-∞∈y ） 2.
4
1
（提示：41)2
1(2
+--=x y ，所以，当21=x ，即4
1
=x 时，y 取最大值）。