傅里叶变换3
3章 傅里叶变换
（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表 示”.
3.2 周期信号的傅里叶分析
三角函数 1 , c o s t , s i n t , c o s 2 t , s i n 2 t ,, c o s k t , s i n k t , 就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
ant2 2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a20n 1cncos(n1tn) t
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
f(t)[cos(n1t)jsin(n1t)]dtT 2 tt12
f(t)ejn1tdt
2. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f ( t )在复变正交函数空间
{ej(n1t) n1,2, }中展开，有
f (t) Fn ej(n1t) n
式中
Fn
t2 f(t)(ejn1t)*dt
t1
t2(ejn1t)(ejn1t)*dt
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T0 20(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为
傅里叶变换性质证明(3)
x(t
)e
j
2
ft
dt
x (t)
e j 2 ft
dt
x (t)e j2 ft dt
令 –f 代替 f，则有：
-12-
X ( f ) x (t)e j2 ( f )t dt x (t)e j2 ftdt
即：
F x(t) X ( f )
证毕。
感谢观看！
-13-
ft df
可见，对 ( j2 f )n X ( f ) 求取傅里叶逆变换，就可
以得到
d n x(t) dt n
，故有：
d n x(t) dt n
FT
( j2
IFT
f )n X ( f )
证毕。
-3-
10、频域微分特性
如果：
FT
x(t) X ( f )
IFT
各阶初始值均为 0 时，则有：
(
j2 t)n x(t)
1(
2
f
)
1
j2
f
X(
f
)
1 ( f ) X (0) 1 X ( f )
2
j2 f
初始值为零，即 X(0)=0，则有：
F
t
x(t)dt
1
j2 f
X(f)
增加积分次数至
n，即有：
t
...
n
t
x(t)dt
FT IFT
dt
df n
傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义
傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。
3个等距函数的傅里叶变换
3个等距函数的傅里叶变换本文将介绍3个等距函数的傅里叶变换，包括矩形函数、三角函数和锯齿波函数，这些函数在信号处理和电子工程领域中广泛应用。
我们将学习它们的傅里叶变换以及它们在实际应用中的一些特性和性质。
首先，让我们来看看矩形函数的傅里叶变换。
矩形函数，又称为矩波函数，是一个定义在一个有限间隔内的函数，其值在间隔内为常数，在间隔外为零。
我们可以将矩形函数表示为：f(x) =a, -b/2 ≤ x ≤ b/20,其他其中，a为矩形函数内部的常数，b为矩形函数的宽度，在信号处理中也称为窗口宽度。
对于矩形函数的傅里叶变换，可以使用傅里叶变换的公式来计算：F(ω) = ∫f(x) e^(-iωx) dxF(ω) = a [sin(ωb/2) / (ωb/2)]从上述公式中可以看出，矩形函数的傅里叶变换是一个sin函数，其最大值和最小值分别为a和0。
此外，傅里叶变换的周期T=2π/b，这意味着矩形函数的频谱只在离散的频率处具有非零值。
矩形函数的傅里叶变换在信号处理中有许多应用，包括滤波、频率分析和信号重建等。
接下来，让我们来看看三角函数的傅里叶变换。
三角函数包括正弦函数和余弦函数，在信号处理和电子工程中都有广泛的应用。
例如，在电路中，正弦函数和余弦函数用于表示交流电压和电流。
正弦函数的定义如下：f(x) = asin(wx)余弦函数的定义如下：f(x) = acos(wx)其中，a为振幅，w为频率。
对于三角函数的傅里叶变换，可以将其表示为：F(ω) = ∫f(x) e^(-iωx) dxF(ω) =-i(2πa) / [π(ω-w) + π(ω+w)], ω ≠ ±w2πa / π, ω = w或-w从上述公式中可以看出，三角函数的频谱具有单一的峰值，并且其值趋近于无限大。
此外，三角函数的傅里叶变换也是奇函数或偶函数，具体取决于其本身是正弦函数还是余弦函数。
三角函数在电子工程和信号处理领域中应用广泛。
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章 傅里叶变换-例题全文编辑修改
1 2
Sa
4
1 e j
π n π
n
π
sin n
4
2 n n π
1 ejnπ n π
4
2
n
sin n π 4
n
1
(1)n
n
π
方法二:利用周期信号的傅里叶级数求解
f(t)的傅里叶级数为
1
Fn T
f (t ) e jn1td t
T
12sin3212nπG12
(
t
下面用三种方法求解此题。
方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质
方法一：利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流，设fA(t)为交流分量， fD(t)为直流分量，则
f t fA t fD t
F FA ω FD ω
f t
2 1
O1
t
f (t) 3/2 D
将 f (t)看成是信号1 cos t 经过窗函数 G2π t 的
截取，即时域中两信号相乘
f (t) 1 cos t G2π(t)
根据频域卷积定理有
F
ω
1
2
F
1
cos t F
G2 π
t
1 2π
2
π
δ
ω
π
δ
ω
1
π
δ
ω
1
2
sinπ ω
ω
2sinπ ω ω ω2 1
例3-8
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分）， 若对f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN 和奈奎斯特周期TN。
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里
三维傅里叶变换和逆变换
三维傅里叶变换和逆变换1.引言1.1 概述三维傅里叶变换和逆变换是信号处理领域中非常重要的工具和技术。
傅里叶变换是一种把时域信号转换为频域信号的数学方法，它将信号分解为不同频率的成分，并提供了一种分析和处理信号的有效方式。
而傅里叶逆变换则是将频域信号重新转换回时域信号的方法。
在三维傅里叶变换中，我们将信号看作是一个三维空间中的函数，它由三个独立变量组成。
通过应用三维傅里叶变换，我们可以将这种三维信号转换为频域中的三维频谱，其中每个频率分量对应着原始信号中不同的空间频率。
三维傅里叶变换在许多领域有着广泛的应用，特别是在图像处理、医学图像分析和计算机视觉等领域。
通过对三维图像进行傅里叶变换，我们可以提取图像中的频域信息，并进行频域滤波、图像增强或者特征提取等操作。
这些操作能够帮助我们理解图像的结构和内容，从而对图像进行分析和处理。
与三维傅里叶变换相反，三维傅里叶逆变换则可以将经过傅里叶变换后的频域信号重新转换回时域信号。
这种逆变换可以帮助我们还原经过频域处理的图像，并恢复信号的原始信息。
总之，三维傅里叶变换和逆变换在信号处理领域中扮演着至关重要的角色。
通过这些数学工具，我们能够更好地理解和处理三维信号，为各个领域的研究提供了有力的支持。
在未来的研究中，进一步探索三维傅里叶变换和逆变换的应用潜力，以及改进算法和技术，将会对信号处理和图像分析领域带来更加丰富和深入的研究成果。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分将重点介绍本篇长文的组织结构和各个章节的内容概述。
在本文中，将首先进行引言部分，其中包括三个小节：概述、文章结构和目的。
在概述部分，将简要介绍三维傅里叶变换和逆变换的背景和相关知识。
接下来的文章结构部分将详细说明本篇长文的组织结构，以及各个章节的内容。
最后的目的部分将明确本文撰写的目的和意义。
在正文部分，将包含两个主要章节：三维傅里叶变换和三维傅里叶逆变换。
在三维傅里叶变换章节中，将详细介绍其定义和原理，以及相关的应用领域。
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
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算法构成原理
要计算一个N点的离散傅立叶变换需要同一个N×N点的W矩阵（关于W矩阵请参阅信号与系统方面或数学方面的书籍）相运算，随着N值的增大，运算次数显著上升，当点数达到1024时，需要进行复数乘法运算1048576次。
显然这种算法在实际运用中无法保证当点数较大时的运算速度，无法满足对信号的实时处理要求。
根据W矩阵中W元素的周期性和对称性我们可以将一个N点的DFT运算分解为两组N/2点的DFT运算，然后取和即可。
为进一步提高效率，将上述两个矩阵按奇偶顺序逐级分解下去。
当采样点数为2的指数次方M时，可分解为M级子矩阵运算，全部工作量如下：
复数乘法：M×N/2次
复数加法：N×M次
直接采用DFT算法需要的运算量为：
复数乘法：N×N次
复数加法：N×(N－1)次
当点数N为几十个点时快速傅立叶交换(FFT)的优势还不明显，而一旦N达到几千时优势是十分明显的：
N=1024时：DFT需1048576次运算，FFT仅需5120次运算，改善比为204.8。
N=2048时：DFT需4194304次运算，FFT仅需11264次运算，改善比达到372.4。
当采样点数较多时，如变换前和变换后的序列都按自然顺序排列，则中间运算过程会占用大量的中间存储单元，造成效率的低下和存储单元的浪费。
根据FFT 的实现原理我们可以对采样序列进行逐次奇偶抽选，打乱以前的次序重新排序，然后按此顺序参加运算，以“即位运算”提高存储单元的利用率。
复数的描述方法。