高考数学必修4之3-1-4_1二倍角公式
人教版高中数学必修4-3.1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》参考课件
结论
(1) 2
2
(2) 4 2 2
例6 化简:
(1) sin400 (tan 100 3) (2)
解: (1) 原式
sin400
(
sin100 cos 100
例4
sin2 sin2
1 cos 2 1 cos 2
(
)
A tan B cot C sin
1 2sin2
D sin2
解:
原式
s in 2 s in 2
1 (1 2sin2 ) 1 (2cos 2 1)
s in 2 s in 2
(sin5 cos5)2 | sin5 cos5 | (sin5 cos5)
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos 2 1 1 2sin2
tan
2
1
2 tan tan2
例5 用二倍角公式化简: (0 )
13
13
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
解
:
sin
12 13
, cos
5 13
,
sin2 2sin cos 2 12 ( 5 ) 120 0
13 13 169
cos 2 cos2 sin2 ( 5 )2 (12)2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 1
最新人教版高中数学必修4第三章《倍角公式和半角公式》知识导航
3.2倍角公式和半角公式知识梳理 1.倍角公式(1)公式：sin2α=2sinαcosα；(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；(C 2α) tan2α=αα2tan 1tan 2-.(T 2α)(2)公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π(k ∈Z )时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α； cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-；(这两个公式称为降幂公式) 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.(这两个公式称为升幂公式)2.半角公式 (1)公式：sin2α=±2cos 1α-； cos2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααcos 1cos 1+-=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +.(2)公式的理解①关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k ∈Z )，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k ∈Z )之外，还必须有α≠2kπ(k ∈Z ).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用. ②对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2α才是半角.如2α是4α的半角，23α是3α的半角；反之，2α、2α分别是4α、α的倍角，正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.知识导学(1)要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；(2)学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；(3)选择二倍角余弦公式形式的策略：①加余弦想余弦；②减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：疑难突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析:难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题.突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：(用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理) ∵α为第四象限的角，∴2α是第二或四象限的角. ∴tan2α＜0. ∴tan2α=-ααcos 1cos 1+-=-331331+-=-32-=-21348-=-212)26(-=262-. 解法二：(用tan2α=ααsin cos 1-来处理)∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=36331--=262-. 解法三：(用tan2α=ααcos 1sin +来处理) ∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=33361--=3336--=262-.比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααcos 1sin +来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1-，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1-求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析:疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2+b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2,这个结论应用很广泛.。
(完整版)高中数学必修4——三角与向量公式大全
高中数学必修4公式大全三角公式汇总一、特殊角的三角函数值二、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy=αtan 三、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =， 平方关系：1cos sin 22=+αα αα2cos 1sin -±= αα2sin 1cos -±=四、诱导公式(记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限一般形式为（απ±2k）) ◆()()()zk , tan 2tan z k , cos 2cos zk , sin 2sin ∈=+∈=+∈=+απααπααπαk k k ❖()()()ααααααtan tan cos cossin sin -=-=--=- ♦()()()ααπααπααπtan tan cos cos sin sin -=--=-=- ⌧()()()ααπααπααπtan tan cos cos sin sin =+-=+-=+ ⍓ααπααπsin 2cos cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-ααπααπsin 2cos cos 2sin -=⎪⎭⎫ ⎝=⎪⎭⎫⎝⎛+五、两角和差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-六、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=七、降幂公式22sin cos sin ααα=22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= 八、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，ab=ϕtan 。
高中数学必修四-二倍角公式及辅助角公式
二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中，，，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式，从而解决许多相关问题，比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等．二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2、正弦、余弦和正切的二倍角公式（1）；（2）；（3）.3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．例2.已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）=-4，则|x1-x2|的最小值为（）A．B．C．4D．例3.函数f（x）=sin2x+cos2x的对称中心坐标为（）A．（+，0）（k∈Z）B．（+，0）（k∈Z）C．（+kπ，0）（k∈Z）D．（+kπ，0）（k∈Z）利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、余弦二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：,又∵，，∴，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、正切二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作.二倍角公式的注意事项：1、在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等.例如：.3、在一般情况下，，如.当且仅当时，才成立.同样，一般情况下，，.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m，则cos12°=（）A．B．C．D．例2.（sin15°+cos15°）2的值为（）A．B．C．D．例3.已知，则=（）A．B．1C．2D．利用二倍角公式进行化简知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若，α是第二象限的角，则的值为（）A．B．2C．4D．-4例2.cos15°∙cos75°=（）A．B．C．D．例3.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0（0<α<π），则sin2α=（）A．B．C．D．例2.已知，则tan2θ=（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，若，则sin2A的值为（）A．B．C．D．利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得．2、余弦半角公式由二倍角公式得．3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得，∴，∴．综上：．半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求．要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等．2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用表示、和．可以将半角公式看作倍角公式的变形．3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=，α∈（），则cos等于（）A．B．-C．D．-例2.如果|cosθ|=，<θ<4π，那么cos的值等于（）A．B．-C．D．-例3.已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2B．C．-2D．-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得．2、降幂升角公式由得；由得．例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5例2.cos475°-sin475°的值为（）A．-B．C．-D．例3.已知tanα=3，则=（）A．2B．-2C．3D．-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。
高一数学必修4313二倍角的正弦余弦正切公式PPT课件
A．6
B．－34
C．－38
9 D.8
[答案] B [解析] tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×332＝－34.
第三章 3.1 3.1.3
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[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
第三章 三角恒等变换
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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
随堂应用练习 课后强化作业
第三章 3.1 3.1.3
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课前自主预习
第三章 3.1 3.1.3
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温故知新 1．cos(α±β)＝________；sin(α±β)＝________；tan(α±β) ＝________. [答案] cosαcosβ∓sinαsinβ sinαcosβ±cosαsinβ tanα±tanβ 1∓tanαtanβ
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思路方法技巧
第三章 3.1 3.1.3
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命题方向 倍角公式的正用 从题设出发，顺着问题的线索，符合公式的特点，直接 应用倍角公式． [例1] 已知sinα＝45，求sin2α、cos2α、tan2α的值．
第三章 3.1 3.1.3
第三章 3.1 3.1.3
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2．sin21°cos39°＋cos21°sin39°等于( )
最新人教版高中数学必修4第三章《二倍角的正弦、余弦、正切公式》
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．对倍角公式的理解：(1)成立的条件：在公式S 2α，C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠k π2＋π4(k ∈Z )时才成立．(2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是α2的二倍、3α是3α2的二倍等等都是适用的． 【做一做1－1】 已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75B.125C.1225D.2425【做一做1－2】 已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79 【做一做1－3】 已知tan α＝3，则tan 2α等于( )A ．6B ．－34C ．－38 D.98答案：2sin αcos α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α【做一做1－1】 D sin 2α＝2sin αcos α＝2425.【做一做1－2】 C cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.【做一做1－3】 B tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用：2sin αcos α＝sin 2α；sin αcos α＝12sin 2α；cos α＝sin 2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝cos 2α； 2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)公式的有关变形： 1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.(3)升幂和降幂公式升幂公式：1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22； 1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22； 1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.题型一 利用二倍角公式求值 【例1】 求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12.分析：第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)(3)题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求值．反思：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若要求出cos π5，cos 2π5，cos π8，tan π12的值，则会使问题复杂化．题型二 知值求值【例2】 已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 分析：利用同角三角函数的基本关系求出cos α的值，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α，进而求出tan 2α的值．反思：已知α的某个三角函数值，求sin 2α，cos 2α，tan 2α值的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α的其他三角函数值；(2)代入S 2α，C 2α，T 2α计算即可．题型三 二倍角公式在三角形中的应用【例3】 在△ABC 中，cos B ＝35，tan C ＝12，求tan(B ＋2C )的值．分析：求出tan B 和tan 2C 的值，再用和角的正切公式求值．反思：在三角形中讨论三角函数问题时，要注意各内角的范围是(0，π)．本题若忽视这一点，则易错得sin B ＝±45.题型四 易错辨析【例4】 化简2－2＋2＋2cos α(3π＜α＜4π)． 错解：原式＝2－2＋4cos 2α2＝2－2＋2cos α2＝2－4cos 2α4＝2－2cos α4＝4sin 2α8＝2sin α8.错因分析：上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．反思：利用二倍角公式化简1±cos α时，由于1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，则1＋cos α＝2⎪⎪⎪cos α2，1－cos α＝2⎪⎪⎪sin α2，要根据α2所在象限确定sin α2，cos α2的符号，从而去掉绝对值符号．答案：【例1】 解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2×1－tan 2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.【例2】 解：∵sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－120169×169119＝－120119.【例3】 解：∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.∴tan B ＝sin B cos B ＝43.又tan 2C ＝2tan C1－tan 2C＝2×121－14＝43， ∴tan(B ＋2C )＝tan B ＋tan 2C1－tan B tan 2C＝43＋431－43×43＝－247.【例4】 正解：因为3π＜α＜4π，所以3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8＜π2，则cos α2＞0，cos α4＜0，cos α8＞0. 所以原式＝2－2＋4cos 2α2＝2－2＋2cos α2＝2－4cos 2α4＝2＋2cos α4＝4cos 2α8＝2cos α8.1．12－sin215°的值是( )2．已知α为第二象限角，且sin α＝13，则sin 2α＝__________. 3．2πtan8π1tan 8-＝__________.4．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin 2A ＝__________. 5．已知cos α＝1213-，α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．答案：1．D原式＝12－1cos(215)2-⨯︒＝cos302︒＝4.2．9-由于α为第二象限角，则cos α＝3-，则sin 2α＝2sinαcos α＝9 -.3.12原式＝12×2π2tan8π1tan8-＝1πtan228⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝1πtan24＝12.4.120169∵0＜A＜π，∴sin A1213.∴sin 2A＝2sin A cos A＝120 169.5．解：∵cos α＝1213-，α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＝＝513-.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513⎛⎫- ⎪⎝⎭×1213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝120169，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2513⎛⎫- ⎪⎝⎭＝119169，tan 2α＝sin2cos2αα＝120119.。
高中数学必修四3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
跟踪训练 2 (1)(2017·石家庄高一检测)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α
的值为
√A.－4 9 2
B.－2 9 2
22 C. 9
42 D. 9
解析 答案
24 (2)已知 α 为锐角，若 cosα＋π6＝35，则 cos2α－6π＝___2_5____.
解析 因为 α 为锐角，cosα＋π6＝35>0， 所以 α＋π6为锐角，sinα＋π6＝45， 则 sin2α＋3π＝2sinα＋π6cosα＋π6 ＝2×45×35＝2254. 又 cos2α－6π＝sin2α＋3π，所以 cos2α－6π＝2254.
例 1 (1)计算：cos21π2－sin21π2；
解
原式＝cos
π6＝
3 2.
1－tan275° (2)计算： tan 75° ；
解
1－tan275° 1－tan275° tan 75° ＝2·2tan 75° ＝2·tan
1150°＝－2
3.
解答
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°. 解 原式＝2sin120°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° ＝2sin120°·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝22sin1 20°sin 80°cos 80° ＝23sin1 20°·sin 160° ＝2s3isnin2200°°＝18.
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公 式变形运用.
必修4：3.2倍角公式(3)
件与结论沟通.
题型四 易错辨析
例4 化简： 1 sin 1 sin (0, )
错解：原式 sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2 2sin cos
2
2
22
2
2
22
sin
cos
2
2
1 2
c
os50
3 2
s
in
50
1 2sin 50 cos50
2 sin 80 1 sin100
2
2
4 sin 80 sin 80 4.
方法技巧
对于给角求值问题,一般有两类: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基 本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的 正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的 条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
2
2
2
2
因为 0,
，所以
2
0,
2
.
(1)当 （0， ]时，cos sin ,
24
22
此时原式
sin
cos
cos
sin
2 s in
.
2 2 22
2
(2)当 （ , )时，cos sin ,
2 42
22
此时原式 sin cos cos sin 2cos .
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第三章
三角恒等变换
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第三章
三角恒等变换
[例 1]
4 已知 sinα＝5，求 sin2α，cos2α，tan2α 的值．
[分析] 已知sinα，则cos2α＝1－2sin2α可直接求得，
欲求sin2α，须先求cosα，从而可知tanα，进而求出tan2α， 因此关键是求cosα，应注意开方时符号的选取．
三角恒等变换
[解析]
设 OC＝r，∵AD＝3DB，且 AD＋DB＝2r，
3r r ∴AD＝ 2 ，∴OD＝2， 3 CD ∴CD＝ 2 r，∴tanθ＝OD＝ 3， θ 3 ∵tanθ＝ θ，∴tan2＝ 3 (负值舍去)， 1－tan2 2 1 ∴tan 2＝3.
2θ
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θ 2tan 2
2
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你会化简 cosα· cos2α· cos4α· cos2n－1α 吗？ „· (2)公式 C2α 的变形应用 升幂公式：1＋cosα＝2cos 2；1－cosα＝2sin 2. 1＋cos2α 1－cos2α 2 降幂公式：cos α＝ ；sin α＝ . 2 2
2 2α 2α
)
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三角恒等变换
[答案] C
[解析] α α ∵sinα＝2sin2cos2
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4 3 24 － ＝－ <0， ＝2× × 5 5 25 cosα＝cos 2－sin
2α 2α
3 4 2 ＝－5 －52 2
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三角恒等变换
( 3tan12° －3) 求值： ＝________. 2 (4cos 12° －2)sin12°
[答案] －4 3
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[解析]
原式＝ 2(2cos212° －1)sin12°
1 3 sin12° － 2 3 cos12° 2 sin24° cos24°
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三角恒等变换
2 2． (2010· 全国卷Ⅱ文， 3)已知 sinα＝3， cos(π－2α) 则 ＝ 5 A．－ 3 1 C.9 [答案] 1 B．－9 5 D. 3 ( )
三角恒等变换
|AB|＝Rsinθ，
|DA|＝2|OA|＝2Rcosθ. 这个矩形的面积为S矩形ABCD＝|AB|·|DA| ＝Rsinθ·2Rcosθ＝R2sin2θ. 所 以 ， 当 sin2θ ＝ 1(θ 为 锐 角 ) ， 即 θ ＝ 45° 时 ， 矩 形
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ABCD的面积取得最大值R2.
2
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1＋cos30° 1 ＝cos15° 2， ≠ 2 tan22.5° 1 1 ＝2tan45° 2，∴选 D. ＝ 2 1－tan 22.5°
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三角恒等变换
π π 1 2． 已知 sin2α＝4， 4，2， cosα－sinα 的值是( α∈ 则
)
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5π 7π 3． α∈ 2 ， 2 ， 若 则
1＋sinα＋ 1－sinα的值为( α B．－2cos2 α D．－2sin2
)
α A．2cos2 α C．2sin2
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[答案] D
[解析]
5π 7π α 5π 7π ∵α∈ 2 ， 2 ，∴2∈ 4 ， 4 ，
7 ＝－25<0，∴α 是第三象限角．故选 C.
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[例 2] 的值．
2 3π 已知 sinθ＋cosθ＝ 2 ， 0<θ< 4 ， sin2θ， 求 cos2θ
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[分析] 一般地，将sinθ±cosθ＝k两边平方可产生 sin2θ，由平方关系可求cos2θ.
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答：当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是 1 2 2时，所截矩形的面积最大．
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三角恒等变换
如图， 是半圆 O 的直径， C 在半圆上， AB 点 CD⊥AB 于点 D， AD＝3DB， 且 设∠COD＝θ， tan 2＝________. 则 1 [答案] 3
2θ
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[例 3]
2sin130° ＋sin100° (1＋ 3tan370° ) 求值： . 1＋cos10°
[分析] 观察角可知应先用诱导公式化为锐角；分母
可用升幂公式去掉根号，分子括号内注意系数可化为一个 角的一个三角函数，由变形后的关系来考虑下一步变形的 方向．
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[例5]
在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取 如图，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半圆的半
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能使这个矩形的面积最大？ [解析] 径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边
长分别为
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[解析] ＝2cos
2
7 B.8 31 D. 32
π π sin2α＝cos2－2α＝cos2α－4 1 π 7 2 α－ －1＝2× －1＝－ . 4 8 4
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重点：倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式． 难点：倍角公式的灵活应用．
sin12° － 3cos12°
3
2 3(sin12° 3cos12° － ) ＝ ＝ 2cos12° cos24° sin12° 4 3sin(－48° ) ＝ ＝－4 3. sin48°
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[例 4]
[分析]
sin2θ＋sinθ 证明 ＝tanθ. 2 2cos2θ＋2sin θ＋cosθ
sinθ 观察等式右边是 tanθ＝ ，左边分子可 cosθ
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提取 sinθ，如果分母也能产生因子 cosθ 即可获证，于 是将 cos2θ 展开．
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[证明]
2sinθcosθ＋sinθ 左边＝ 2(cos2θ－sin2θ)＋2sin2θ＋cosθ
sinθ(2cosθ＋1) ＝ ＝tanθ＝右边． cosθ(2cosθ＋1)
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1．准确理解、熟练记忆运用公式 对于“二倍角”应该有广义的理解，如： 3 α α 4α 是 2α 的二倍角；3α 是2α 的二倍角；3是6的二倍 角；„
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2．熟练掌握公式的变形应用 (1)S2α 的变形应用 sin2α 1± sin2α＝(sinα± cosα) ；cosα＝2sinα，
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[解析]
2sin50° ＋sin80° (1＋ 3tan10° ) 原式＝ 2cos5°
cos10° 3sin10° ＋ 2sin50° ＋sin80° · cos10° ＝ 2cos5° 2(sin50° ＋sin40° ) ＝ 2cos5° 2(sin50° ＋cos50° ) ＝ 2cos5° 2 2sin(50° ＋45° ) ＝ ＝2. 2cos5°
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B
4 1 ∵cos2α＝1－2sin α＝1－2×9＝9，
2
[解析]
1 ∴cos(π－2α恒等变换
π 1 cosα－4＝ ，则 4
3．(2010· 河北唐山)已知
sin2α＝ ( )
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7 A．－8 31 C．－ 32 [答案] A
2
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4 3 24 sin2α＝2sinαcosα＝2×5×(－5)＝－25， 7 sin2α 24 cos2α＝1－2sin α＝－25，tan2α＝cos2α＝ 7 .
2
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α 4 α 3 已知 sin ＝ ， ＝－ ， cos 则角 α 所在的象限是( 2 5 2 5 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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一、选择题 1 1．下列各式中，值为2的是 A．sin15° cos15° C. 1＋cos30° 2 π B．2cos 12－1
2
(
)
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tan22.5° D. 1－tan222.5°
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[答案] D
1 1 [解析] sin15° cos15° 2sin30° 4； ＝ ＝ π π 3 2cos －1＝cos ＝ ， 12 6 2
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[解析]
2 3π ∵0<sinθ＋cosθ＝ 2 <1，且 0<θ< 4 ，
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3π π 3π ∴2<θ< 4 ，2θ∈π， 2 ，
2 1 将 sinθ＋cosθ＝ 2 ，两边平方得 sin2θ＝－2， 3 ∴cos2θ＝－ 1－sin 2θ＝－ 2 .
2
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三角恒等变换
4 2×3 2tanα 24 tan2α＝ ＝ 4 ＝－ 7 1－tan2α 1－32 24 25 sin2α 24 或 tan2α＝ ＝ ＝－ . cos2α 7 7 －25