高三数学一轮复习讲义 专题57 数学归纳法

专题57 数学归纳法考纲导读：考纲要求: 解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.考纲解读: 数学归纳法是证明关于自然数n 相关的命题的有效工具,也是数学命题思维过程探究的手段.考点精析：考点1、 数学归纳法证明不等式这类题型通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式可能条件直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出，再证明.【考例1】（·江西）已知数列｛n a a ｝满足：a 1＝32，且a n ＝113221n n na n n N a n *≥∈－－（，）＋－ (1)求数列｛n a a ｝的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，不等式!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅⋅恒成立.解题思路：先递推得数列｛n a a ｝的通项公式,代入不等式的左边,再利用数学归纳法证明此不等式.正确答案：（1）将条件变为：)11(3111---=-n n a n a n ， 因此，}1{na n-为一个等比数列，其首项为31111=-a ，公比为31，从而n n a n 311=-，据此得)1(133≥-⋅=n n a n n n .① （2）证：据①得，)311()311)(311(!221n n n a a a -⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅为证!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅⋅，只要证*N n ∈时有21)311()311)(311(2>-⋅⋅⋅--n.②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个*N n ∈，)313131(1)311()311)(311(22n n +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--.③用数学归纳法证明③式：1)当1=n 时，显然③式成立， 2)设k n =时，③式成立，即)313131(1)311()311)(311(22kk +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--，则当1+=k n 时，)311)(313131(1)311)(311()311)(311(1212++-+⋅⋅⋅++-≥--⋅⋅⋅--k k k k≥+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++-=++)313131(3131)313131(12112k k k k )31313131(112+++⋅⋅⋅++-k k即当1+=k n 时，③式也成立，故对一切*N n ∈，③式都成立.利用③得，)313131(1)311()311)(311(22nn +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--=])31(1[211n --21)31(2121>+=n .故②式成立，从而结论得证.回顾与反思：用数学归纳法证明数列不等式，是一个行之有效的方法，也是中等数学中的一个基本方法，近些年高考试题中多次出现这类考题．运用这种方法证明不等式时，从k 到(k ＋1)的过程中是关键．知识链接：用数学归纳法证明的两个步骤的作用：第一步是验证命题递推的基础，没有它，第二步就成了空中楼阁，无源之水，是毫无意义的；第二步是证明命题是否具备递推的属性，没有它就不能从有限过渡到无限，即使你验证了许多个具体的n 值也无济于事，两个步骤是密切相关，缺一不可.【考例2】 (·黄冈荆州4月模)已知*,),(,121)(12N n x f x x x x f n n ∈=++-=+且.211<<x（1）当2≥n 时，求证：231<<n x ； （2）试确定一个正整数N （N 2≥），使得当N n >时，都有.321|2|<-n x 解题思路：不等式231<<n x 的证明可以从特殊到一般过渡证明,找出前几项间的关系后即可用数学归纳法证之; 第二问的不等式的证明可以利用第一问的结论证明较为简易.正确答案：（1）证明：)(,121)(12n n x f x x x x f =++-=+ 23)1(21121221+--=++-=∴+n n n n x x x x当n=2时，23123)1(212212<<∴+--=x x x ∴当n=2时，不等式成立 假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即231<<k x 23)1(2121+--=+k k x x 23)1(21)(2+--=x x f 在[1，+)∞上是减函数231)1()23()2(11<<∴<<<∴++k k x f x f f∴当n=k+1时不等式也成立.综上，对于任意2≥n 都有231<<n x 成立. （2）)]2(211)[2(21+--=-+n n n x x x )2(231|221||2||2|1≥<<+-⋅-=-∴+n x x x x n n n n 1222221212121|2|21|2|21|2|21|2|-----=⋅<-<<-<-<-∴n n n n n n x x x x , 166521|2|21321-<-∴=x即存在N=5，当n>5时，都有321|2|<-n x . 回顾与反思：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力.要注意不等式两边的放缩程度问题.知识链接：在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键．这就是说，为方便用数学归纳法证明数列不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明数列不等式问题中经常用到．考点2、数学归纳法证明等式在高考中，这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出的，有时是根据条件从前n 项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明.【考例1】 (·全国Ⅱ理22)设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．解题思路：由特殊到一般先写出前几项,通过猜想法得出其前n 项之和,利用数学归纳法证明猜想的正确性,最后利用前n 项和求通项公式即可.正确答案：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．由①可得S 3＝34．由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立．(ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2， 故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(i )、(ii )可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…．回顾与反思：在数学归纳法第二步中，证明" n=k+1’ " 命题成立时，必须用到n=k 命题成立这一归纳假设，否则就打破了数学归纳法步骤间逻辑的严密关系，造成推理无效.知识链接：数学归纳法是一种证明方法，数学归纳法可以用来证明与正整数有关的命题，其实也可以证明与整数有关的命题．如果等式与正整数有关，那么从理论上来说就一定可以用数学归纳法证明．【考例2】 (·福建理22)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nn b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列;（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈ 解题思路：本题可以通过递推法求得数列{}n a 的通项公式,对于数列{}n b 可以仍用递推法证明,也可以用数学归纳法先猜想其通项再证明等式成立.正确答案：（I ）*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).nn k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列．证法二：同证法一，得1(1)20n n n b nb +--+= 令1,n =得1 2.b =设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立．（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么122[2(1)]2[(1)1].1111k k k k b b k d k d k k k k +=-=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立． 根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*n N ∈都成立．{}1,n n n b b d b +-=∴ 是等差数列．（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=--12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 回顾与反思：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力.知识链接：数学归纳法所证明的等式问题多以数列知识为载体，与函数、方程、不等式相结合，运用不完全归纳法通过观察、猜测，从特例中得出一般结论，然后用数学归纳法或其他方法去证明. 其中重要的是怎样通过分析、判断，正确合理地选择解决问题的办法.考点3、数学归纳法证明整除问题这类题型多适用于与正整数n 有关的整除性问题.用数学归纳法证明整除问题关键在于证明当n=k+1成立时，如何用上归纳假设.【考例1】 (·黄冈模)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6解题思路：由特殊到一般,先求前三项,然后用归纳法二第步的推导方法找出因式,分析最值即可得结论.正确答案：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除.证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除， 则n =k +1时，f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1 －(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2 (k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36.故应选C.回顾与反思：用数学归纳法证明整除性问题，经常要用到“凑”的技巧，即凑成归纳假设的形式及含有整除因式的形式．可概括为“提出因子，凑成假设，数字不符，多退少补”．知识链接：归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，由有限个特殊事例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法,只有通过了严密的论证, 对每个对象的情况逐一考察而得出结论的方法叫完全归纳法.【考例2】 (·福建模)用数学归纳法证明421n ++3n +2能被13整除，其中n ∈N *.解题思路：按数学归纳法的步骤依次证明即可.正确答案：证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除 (2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2 )∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.回顾与反思：在运用数学归纳法应注意,①两个证题步骤是一个有机的整体，缺一不可；②必须把归纳假设用于递推证明;③证题的形式因题而异.知识链接：整除问题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会数与整式间的相互关系，此类问题求解时应注意独立思考，主动尝试、探索,尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程.考点4、数学归纳法证明几何问题这类题型多适用于正整数n 有关的几何问题，解决这类问题的关键是如何由k 过渡到k+1,常用的方法通过几何图形来分析图形前后的演变情况，找出k+1与k 时之间关系.【考例1】已知点的序列A n （x n ，0），n ∈N ，其中，x 1＝0，x 2＝a （a ＞0），A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，……（Ⅰ）写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式（n ≥3）；（Ⅱ）设a n ＝x n ＋1－x n 计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列｛a n ｝的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）（理）求∞→n lim x n ．解题思路：几何问题通常与圆锥曲线或线段、点数列问题密切相关,先找出其相互间的递推关系,再由特殊到一般证明即可.正确答案：（Ⅰ）当n ≥3时，x n ＝221--+n n x x ．（Ⅱ）a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝a x x x x x 21)(21212212-=--=-+ ,41)21(21)(21223323343a a x x x x x x x a =--=--=-+=-= 由此推测a n ＝（21-）n －1a （n ∈N *）. 用数学归纳法证明.（ⅰ）当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝（21-）0a ，公式成立． （ⅱ）假设当n ＝k 时，公式成立，即a k ＝（21-）k －1a 成立. 那么当n ＝k ＋1时，)(212111121k k k k k k k k x x x x x x x a --=-+=-=++++++ a a a k k k 1)1(1)21()21(2121-+--=--=-=，公式仍成立．根据（ⅰ）与（ⅱ）可知，对任意n ∈N ，公式a n ＝（21-）n －1a 成立．（Ⅲ）解：当n ≥3时，有x n ＝（x n －x n －1）＋（x n －1－x n －2）＋…＋（x 2－x 1）＋x 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1， 由（Ⅱ）知｛a n ｝是公比为21-的等比数列，∴a a x n n 32211lim =+=∞→． 回顾与反思：几何证明有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程.知识链接：数学归纳法是重要的数学思想方法，应通过对一些简单问题的分析，掌握这种思想方法.在利用数学归纳法解决几何证明问题时，常常需要进行一些代数恒等变换,不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解【考例2】 (·浙江)设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解题思路：利用抛物线方程及线段关系、点与曲线方程的关系可以得出x 2及C 1的方程,可以先猜想得{n x }的通项公式,利用数学归纳法证明之.正确答案：（I ）由题意，得2111(1,0),:7A C y x x b =-+．设点(,)P x y 是1C 上任意一点，则1||A P ==令 2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意，得'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又22(,2)P x 在1C 上，222127,x x b ∴=-+ 解得213,14.x b== 故1C 方程为2714.y x x =-+(II)设点(,)P x y 是n C 上任意一点，则||n A P = 令222()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++.由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2112,n n n n n x a x b ++=++11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*） 下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当n=1时，11,x = 等式成立.②假设当n=k 时，等式成立，即21,k x k =-则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+又11242,k k a k -=--- 1122 1.12k k kk k x a x k ++-∴==++即当1n k =+时，等式成立． 由①②知，等式对n N ∈成立. {}n x ∴是等差数列.回顾与反思：证明几何问题关键是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加了多少个所求元素，解此类问题常运用几何图形的性质．类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.知识链接：罗素说，在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西．给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登，这是高斯快乐．能够将一题证明出来，是一件令人雀跃的事．学习本身是一件快乐的事，决不因为考试带来的挫折，打坏了自己原先的兴致和热忱．创新探究：【探究1】是否存在常数a 、b 使等式2)12)(12(5323112222++=+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅bn nan n n n 对一切n ∈N *都成立.创新思路：本题考查了数学归纳法思想方法证明关于自然数n 的恒等式的证明策略.解析: 证明：令n =1，2，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=-41231013b a b a b a 解得 现用数学归纳法证明对n ∈N *，都有24)12)(12(5323112222++=+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅n nn n n n 证明：（1）当n =1时，由上可知等式成立（2）假设n =k 时，（k ∈N *)，等式成立即2)12)(12(5323112222++=+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅k k k k k k 成立 当n =k +1时)32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(532311222222++++++=+++++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅k k k k k k k k k k k k =)32)(12(2)1(2)32)(12(2)32)((22++++++++k k k k k k k k =)32)(12(2)]1(2)32()[1(++++++k k k k k k =)32)(12(2)252()1(2++++⋅+k k k k k =2)1(4)1()1()32)(12(2)2)(12)(1(2+++++=+++++k k k k k k k k ∴n =k +1时，等式成立，由（1）（2）知.对一切n ∈N *，等式都成立. 【探究2】已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=145. （Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ； （Ⅱ）设数列｛a n ｝的通项a n =lo g a （1+nb 1）（其中a ＞0，且a ≠1），记S n 是数列｛a n ｝的前n 项和.试比较S n 与31lo g a b n +1的大小，并证明你的结论. 创新思路：该题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.解析: （Ⅰ）设数列｛b n ｝的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得⎩⎨⎧==311d b ∴b n ＝3n －2（Ⅱ）由S n ＝3n －2知)2311(log )411(log )11(log -++++++=n S a a a n11111log [(11)(1)(1)(1)]log log 47323a a n ab n +=++++=- 因此要比较S n 与31log a b n ＋1的大小，可先比较（1＋1）（1＋41）…（1＋231-n ）与313+n 的大小.取n =1，有（1＋1）＞3113+⋅取n =2，有（1＋1）（1＋41）＞3123+⋅，…… 由此推测（1＋1）（1＋41）……（1＋231-n ）＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可断定： 当a ＞1时，S n ＞31lo g a b n +1 当0＜a ＜1时，S n ＜31lo g a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（i ）当n =1时已验证①式成立.（ii ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立， 即（1+1）（1+41）……>-+)2311(k 313+k . 那么，当n =k +1时， （1+1）（1+41）……（1+231-k ）·［1+2)1(31-+k ］＞313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）∵2233333)13()13)(43()23()43()23(1313+++-+=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k k k k k 0)13(492>++=k k ∴13133++k k （3k +2）＞331)1(343++=+k k因而（1+1）31)1(3)1311)(2311()411(++>++-++k k k 这就是说①式当n =k +1时也成立.由（i ）（ii ）知，①式对任何自然数n 都成立.由此证得： 当a ＞1时，S n ＞31lo g a b n +1 当0＜a ＜1时，S n ＜31lo g a b n +1. 方法归纳：(1)数学归纳法的基本形式. 设P (n )是关于自然数n 的命题，若1°P (n 0)成立(奠基) ,理解第一步是递推的基础，因此，只需验证使结论成立的那个最小正整数就足够了．2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立. 数学归纳法第二步是递推的根据．第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论．在第二步证明n ＝k ＋1时，一定要用到归纳假设和已知的定义、公式、定理等加以证明，并要掌握证明“n ＝k ＋1”时的变形技巧及凑配方法．(2)数学归纳法的应用.具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.过关必练： 一、选择题:1. （·上海）某个命题与自然数n 有关，若n =k （k ∈N ）时该命题成立，那么可推得当n =k +1时该命题也成立，现已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得（ ）A.当n =6时该命题不成立B.当n =6时该命题成立C.当n =4时该命题不成立D.当n =4时该命题成立2. (·郑州模)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =43. (·北京西城)用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *）,在验证n =1成立时，左边计算所得的项是( )A.1B.1+aC.1+a +a 2D.1+a +a 2+a 34. (·长沙模)如果命题P (n )对n =k 成立，则对n =k +2也成立，又若P （n )对n =2成立，则下列结论正确的是A.P （n ）对所有自然数n 成立B.P （n ）对所有正偶数n 成立C.P （n ）对所有正奇数n 成立D.P （n )对所有大于1的自然数n 成立5. (·上海模)用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，x n +y n 能被x +y 整除”时，第2步归纳假设应写成( )A.假设n =2k +1(k ∈N *)时正确，再推证n =2k +3时正确B.假设n =2k －1(k ∈N *)时正确，再推论n =2k +1时正确C.假设n =k (k ≥1)时正确，再推论n =k +2时正确D.假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推论n =k +2时正确 二、填空题:6. (·黄冈模)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.7. (·黄冈模)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.8. (·盐城模)a 1=21,a n +1=33+n n a a ,猜想a n =___________. 9. (·黄冈模)用数学归纳法证明命题：当n ∈N 时，11n +2+122n +1能被133整除，假设n∈k ， k ∈N *时命题成立，推论n =k +1时命题也成立，应添加的辅助项为___________.10.(·大连一模)已知数列}{n a 为等差数列，则有,033,024321321=-+-=+-a a a a a a a 046454321=+-+-a a a a a .对于)2*(,,,121≥∈+n N n a a a n 且 ，类似的结论为 .三、 解答题:11. (·湖北八校二联)设x x f +=12)(1，[])()(11x f f x f n n =+，2)0(1)0(+-=n n n f f a ，其中+∈N n（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）若321232a a a T n ++=+…+n na 22，144422+++=n n nn Q n ，其中+∈N n ． （理）试比较9n T 2与n Q 的大小，并说明理由． （文）求n T 2的通项公式．12. (·重庆)数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记1(1).12n n b n a =≥-（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S13. (·长沙模)数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 的和，对于*n N ∈，总有2,,n n na S a 成等差数列．（１）求数列{}n a 的通项公式； （２）设数列1{}na 的前n 项的和为n T ，数列{}n T 的前n 项的和为n R ，求证：当2n ≥时，1(1)n n R n T -=-．（３）若函数1()(1)31qx f x p =-⋅+的定义域为R ，并且lim ()0n n f a →∞=，求证：1p q +>．14. (·西城模)已知实数0≥c ，曲线c x y l x y C -==::与直线的交点为P （异于原点O ），在曲线C 上取一点),,(111y x P 过点P 1作P 1Q 1平行于x 轴，交直线l 于点Q 1，过点Q 1作Q 1P 2平行于y 轴，交曲线C 于点P 2（x 2，y 2），接着过点P 2作P 2Q 2平行于x 轴，交直线l 于点Q 2，过点Q 2作直线Q 2P 3平行于y 轴，交曲线C 于点P 3（x 3，y 3），如此下去，可以得到点P 4（x 4，y 4），P 5（x 5，y 5），…，P n （x n ，y n ），….设点P 的坐标为.0,),,(1a b b x a a <<=（1）试用c 表示a ，并证明1≥a ； （2）试证明)(,12*∈<>N n a x x x n 且；（2）当).,(22)(:,21,0121*=++∈<-≥=∑N n k x x x b c nk k k k 求证时过关必练参考答案：1. C 解析:因为当n =k 时，命题成立可推出n =k +1时成立，所以n =5时命题不成立，则n =4时，命题也一定不成立，故应当选C.2. C 解析:由题意知n ≥3，∴应验证n =3.故应选C.3. C 解析:n =1成立时，左边计算所得的项是1+a +a 2,故应选C.4. B 解析:如果命题P (n )对n =k 成立，则对n =k +2也成立, P （n ）对所有正偶数n 成立 . 则故应选B.5. B 解析:第2步归纳假设应写成: 假设n =2k －1(k ∈N *)时正确，再推论n =2k +1时正确.故应选B.6. 22211121123(1)1n n n +++++<++ (n ∈N *) 解析:11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *). 7. 37、83、93、103、35n +.解析:121133332,1372532a a a ⨯====+++同理 2345233333333,,,383594510555n a a a a a a n ========+++++猜想. 8.53+n 解析:猜想a n =53+n . 9. 解析:应添加的辅助项为11·122k +1－11·122k +1或144·11k +2－144·11k +2.10. 0)1(143322110=-++-+-+n n n n n n n n a C a C a C a C a C .解析:下面用数学归纳法对其证明:10 当2n =时, 显然有0122122230C a C a C a -+=成立 ,即2n =时,此等式成立; 20假设当n k =, 等式012312341(1)0k k k k k k k k C a C a C a C a C a +-+-++-= ①成立, ∵0123(1)(11)0k k k k k k k k C d C d C d C d C d d -+-++-=-= ② , ∴①+②可得: 012323452(1)0k k k k k k k k C a C a C a C a C a +-+-++-= ③ , ∴①-③得 : 01021321123412()()()(1)()(1)0k k k k k k k k k k k k k k k k k C a C C a C C a C C a C C a C a -++-+++-+++-+--=即012311121314112(1)(1)0k k k k k k k k k k k k C a C a C a C a C a C a +++++++-+-++-+-= , ∴012311111213141112(1)(1)0k k k k k k k k k k k k C a C a C a C a C a C a ++++++++++-+-++-+-= . 故当1n k =+时,上式仍成立.综上10、20可得 等式0)1(143322110=-++-+-+n n n n n n n n a C a C a C a C a C .11. 解析:（Ⅰ）411=a ，n n n n n n n n a f f f f f f a 212)0(1)0(2121)0(211)0(22)0(1)0(111-=+-⋅-=++-+=+-=+++所以数列｛n a ｝的通项公式为 11)21()21(41+--=-=n n n a . （Ⅱ） 124322)21(2)21(3)21(2)21(+-⋅++-⋅+-⋅+-=n n n T=⋅-n T 221 221243)21(2)21()12()21(2)21(++-⋅+-⋅-++-⋅+-n n n n 所以 =n T 2232212432)21(2)21()21()21()21(++-⋅--++-+-+-n n n 整理得)4131(912nn n T +-=. （理）n nn T 413192+-=，222)12(1311444++-=+++=n n n n n n Q n . 只需比较n n 413+与2)12(13++n n 的大小，进而比较n2与12+n 的大小. 当1=n 、2时，122+<n n；当n ≥3时，用数学归纳法或二项式定理容易证明122+>n n .从而当1=n 、2时，9n T 2<n Q ；当n ≥3时，9n T 2＞n Q .12. 解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故223344718311320,;,4;,.71318342038242a b a b a b ========--故故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,12121+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121(12)1513()(251)21233n n n b b b n n n -=++++=+=+-- 解法二：（Ⅰ）由111,122n n n n b a b a ==+-得11816250,n n n n a a a a ++-++=代入递推关系整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n41142,2(1)3333n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即,111,122n n n n n b a b b a ==+-由得1122121(12)153()2123n n n n n S a b a b a b b b b n n-=+++=++++=+- 故1(251).3n n =+- 解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a3681636816211211111212-----=---=-++++++n nn n n n n n a a a a a a b b).(2361620368163624361n n n nn n n n b b a a a a a a -=--=-----=+,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---1211114(222)2(22)22(1).3333n n n n n --=++++=-+=⋅+≥ 1122111,122n n n n n n n n b a b b S a b a b a b a ==+=+++- 由得故.13. 解析:（１）由已知有22n n n S a a =+．当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+， 22112n n n n n a a a a a --∴=-+-即11n n a a --=．又当1n =时，2111121a a a a =+⇒=，所以n a n =．（２）由（１）得1231111,23n n n T R T T T T n=++++=++++ ． 当2n =时，11121,(1)1n R R T n T -===-=，故当2n =时命题成立． 假设n k =时成立，即1(1)k k R k T -=-，则当1n k =+时，1(1)(1)(1)()1k k k k k k k kR R T k T T k T k k T k -=+=-+=+-=+-+11(1)(1)(1)(1)1k k k T k T k +=++-=+-+，说明当1n k =+时命题也成立． 综合以上得命题对一切2n ≥的自然数都成立． （３）由已知的定义域为R 得101p p ->⇒>．又由（１）知1()(1)31n qn f a p =-⋅+，所以①当0q =时，1lim ()0n n f a p→∞=≠，这与已知矛盾；②当0q <时，lim ()10n n f a →∞=≠，与已知矛盾；③当0q >时，符合条件． 综合以上得1,0p q >>．所以1p q +>成立．14. 解析：（I ）点P 的坐标),(a a 满足方程组c a a xy c x y -=⎩⎨⎧=-=所以,， 解)4121(21,2411,0c c a c a c a a +++=++==--所以得,因为.1,24121,0≥≥+++≥a c c c 所以所以 （2）由已知),,(),,(),,(211c b c b P b c b Q b b P +++即,,21c b x b x +==),1)((,)1(,1212-+-=--+=--=-+=-b a b a b a a b x x a a c b c b x x 所以由因为，12,1,0x x a a b >≥<<所以. 下面用数学归纳法证明).(*∈<N n a x n.,,0,,,,;,1111a a a x c x x x c y x a x k n a b x n k k k k k k k <-+=+=>+=<=>==++所以由已知时假设当时当综上)(*∈<N n a x n ,（3）当),(,121,01*+∈===<≤=N n x y x a b c n n n 时所以122)21()21(1)21(2211-=====--n bxxxx n n n ,因为42413221,,)21(,1,21<≥≥≥≥++k k x x x k b 所以时所以当,又01)21()21(1>-=--+k k bbx x k k所以,21211,12111=-<-=<<=≤x x a x x b n n所以，.22)(2)(2)(414111421<-=-≤-+=+=++∑∑kk n k k k nk k k k x x x x x x x。