定义于椭圆抛物面上的多元Lagrange插值问题
拉格朗日插值法的定义
拉格朗日插值法的定义拉格朗日插值法呀，就像是数学这个大拼图里的万能拼图块。
你想啊，数学里有时候就像有好多破洞，数据这里缺一块，那里少一点的，这时候拉格朗日插值法就闪亮登场啦。
它就像一个超级灵活的小工匠，不管你那破洞是啥形状，是奇形怪状得像外星人的脸，还是弯弯扭扭像麻花，它都能给你补上。
比如说，你有一些离散的点，就像散落在地上的星星点点的珍珠，它们孤零零地在那，你完全不知道怎么把它们连成一条漂亮的线或者一个光滑的面。
拉格朗日插值法就像有魔法一样，拿着它的小魔杖，“嗖”的一下，就把这些珍珠串成了一条精美绝伦的项链，或者织成了一块华丽的锦缎。
这拉格朗日插值法还特别“厚脸皮”呢。
它不管你给的数据是多是少，哪怕你只给它两三个点，它也敢大摇大摆地去构建一个函数来拟合。
就像一个小厨师，你只给他一点点食材，他却能变着法儿做出一道看起来还挺像样的菜。
要是把数学比作一个大舞台，拉格朗日插值法就是那个随时能救场的超级替补演员。
不管是哪个主角数据缺失了，它都能迅速补位，然后表演得有模有样。
它就像一个会七十二变的孙悟空，你要啥样的函数它就能变成啥样的函数。
而且它的原理就像是在玩一种超级复杂的搭积木游戏。
那些离散的点就是积木块，拉格朗日插值法就像一个特别聪明的孩子，知道怎么把这些积木搭成一个完整的城堡。
它不是乱搭哦，是有一套自己超级炫酷的规则，按照这个规则，就能把那些看起来毫无关联的积木块完美组合起来。
它也像一个神秘的桥梁建筑师，那些离散的点是河两岸孤立的桥墩，拉格朗日插值法就用它神奇的力量架起了一座坚固又漂亮的桥，让你能从这个桥墩顺利地走到那个桥墩，而且走得稳稳当当。
有时候我就觉得拉格朗日插值法像一个无所不知的老神仙，在数学的云雾缭绕的仙境里，对着那些散落的数学宝藏（离散数据）轻轻一点，就把它们整理得井井有条，变成一个让人惊叹的宝藏堆（函数）。
在数据的海洋里，拉格朗日插值法就像一艘小小的救生艇，那些离散的数据点就是在海里挣扎的小生物，它把这些小生物一个一个地救起来，放在自己的小船上，然后驶向有规律的函数大陆。
定义于椭球面上的多元Lagrange插值问题研究
式 p2 ( x, y, z ) ∈ Pn( ) 使得
3
{Q }
i i =1
∉ F 关于 Pn(3) 的一个正则结点组，由定义 1 对任意的数组 { fi i = 1, , m} 恒存在多项
= p2 ( Qi )
fi − p1 ( Qi ) = , i 1, , m 2 xi yi2 zi2 + + −1 a 2 b2 c2
Keywords
Ellipsoid, Multivariate Lagrange Interpolation, Regular Set of Nodes, Superposition Interpolation Method
定义于椭球面上的多元Lagrange插值问题研究
惠婷婷，刘海波，崔利宏
辽宁师范大学，辽宁 大连
2. 基本定义和基本定理
x2 y 2 z 2 本 文 主 要 研 究 三 维 欧 式 空 间 R 3 中 的 椭 球= 面 F ( x, y, z ) ∈ R 3 2 + 2 + = − 1 0 上 进 行 多 元 2 a b若干基本概念
) i m + 1, , r} 恒存在多项式 p1 ( x, y, z ) ∈ Pn(+2 定数组 { fi = 使得 p1 ( Qi = i m + 1, , r 。 ) fi , =
3
证明：设 = Qi 又因为 = Α
xi , yi , zi ) , i (=
m
1, , r 。因为 Β 为定义于 F 上的 n + 2 次正则结点组，由定义 2，对任意给
2
m
n
n + 3 = Β 必要性：令 r = ，取 3
拉格朗日(Lagrange)插值
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
lagrange插值的原理
lagrange插值的原理
Lagrange插值是一种数值分析方法，用于在已知一些点上的函数值的情况下，通过一个多项式来近似这个函数。
其基本原理如下：
1. 首先，根据给定的插值节点和函数值，构造一个n次多项式。
2. 利用插值基函数的概念，构造n次Lagrange插值多项式。
插值基函数是n个线性无关的n次多项式，它们在插值节点上的值等于相应的函数值。
3. 通过插值基函数，构建一个关于待求点x的n次多项式。
待求点的近似值可以通过求解这个多项式在x处的值来得到。
Lagrange插值的优势在于，它可以根据给定的插值节点和函数值精确地构造出一个多项式，从而在插值节点附近实现较高的近似精度。
然而，Lagrange插值也存在一定的局限性，例如在插值节点外的预测精度可能会降低，而且计算复杂度较高。
需要注意的是，Lagrange插值不仅适用于一元函数的插值，还适用于多元函数的插值。
在实际应用中，Lagrange插值被广泛应用于数学、物理、工程等领域的问题求解。
拉格朗日插值公式证明过程
拉格朗日插值公式证明过程好嘞，咱来唠唠拉格朗日插值公式的证明。
你可以把函数想象成一个调皮的小怪兽，它在各个点上有着不同的值，就像小怪兽在不同的领地有着不同的魔法力量。
我们呢，就想找到一个魔法公式，能在知道这个小怪兽在几个特定点的魔法力量（函数值）后，推测出它在其他点的魔法力量。
我们先假设有n + 1个点，这些点就像是小怪兽在不同地方的魔法据点。
我们要构造一个多项式，这个多项式就是能打败小怪兽（准确描述函数）的神器。
我们先搞一些小零件，对于每个据点（点），我们构造一个特殊的小魔法（多项式）。
这个小魔法在自己对应的据点上是老大（值为1），在其他据点就像个小透明（值为0）。
这就好比每个据点都有一个专属的小卫士，只在自己的地盘耀武扬威。
然后呢，我们把这些小魔法组合起来，就像把各个小卫士集合起来组成一个超级战队。
这个超级战队就是我们要的拉格朗日插值多项式啦。
从数学上来说，我们设这些点是(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)。
对于每个点xi，我们构造的小魔法Li(x)就像一把特制的钥匙。
这个钥匙的构造可有趣啦，分子是一堆(x - xj)（j不等于i）的乘积，分母是(xi - xj)（j不等于i）的乘积。
这就好像用其他据点的位置关系来确定这个钥匙的形状。
当我们把所有的小魔法Li(x)按照对应的yi加权组合起来，就得到了拉格朗日插值多项式L(x)。
这就像把每个小卫士按照据点的魔法力量（函数值）组合起来。
你看啊，这个L(x)在每个xi点上的值就是yi，就像这个超级战队在每个据点的表现都和小怪兽原本的魔法力量一样。
这证明了我们构造的这个多项式是符合要求的。
而且不管这个函数小怪兽原本有多复杂，我们的拉格朗日插值公式就像一个万能的魔法阵，只要知道几个关键的点，就能把这个函数在其他地方的情况给推测出来。
哈哈，这么一解释，是不是感觉拉格朗日插值公式也没那么神秘啦，就像是我们精心打造的一个超级魔法工具，专门用来对付那些调皮的函数小怪兽的。
旋转抛物面上的Lagrange插值问题研究
旋转抛物面上的Lagrange插值问题研究崔利宏;惠婷婷;刘海波【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)001【摘要】以二元函数 Lagrange插值研究结果为基础,对三元函数Lagrange插值结点组可解性问题进行了研究,提出了定义于旋转抛物面上的Lagrange插值正则结点组的基本概念,研究了定义于旋转抛物面上的Lagrange插值可解结点组的某些基本理论和拓扑结构,得到了构造定义于旋转抛物面上的Lagrange插值可解结点组的添加圆锥曲面法.这些方法都是以叠加方式构造完成的,因而对于编译计算机算法程序,进而在计算机上自动完成插值可解结点组的构造并得到插值格式创造了十分便利的条件.最后给出了实例验证算法的有效性.%Based on the results of Lagrange interpolation of binary funcitions,the solvability of La-grange interpolation nodes of ternary functions is studied in this paper.The basic concept of La-grange interpolation of the regular set of nodes is proposed to define the paraboloid of revolution, some basic theory and topology of Lagrange interpolation on rotating paraboloid can be defined in the solution node group the Lagrange interpolation has been defined in the structure on rotating parabo-loid solvable node group added cone surface method.These methods are constructed by using super-position method,w hich creates a very convenient condition for compiling a computer program,and then automatically completing the construction of an interpolated node group and obtainint the inter-polation scheme on thecomputer.Finally,an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed algorithm.【总页数】5页(P5-9)【作者】崔利宏;惠婷婷;刘海波【作者单位】辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】O174.41【相关文献】1.定义于单叶双曲面上的Lagrange插值问题研究 [J], 崔利宏;刘海波;惠婷婷2.定义于抛物柱面上的多元Lagrange插值问题 [J], 刘孚;赵楠;崔利宏;;;3.光在旋转抛物面上成象问题研究 [J], 侯杰4.定义于椭圆抛物面上的多元Lagrange插值问题 [J], 何金霜;崔利宏;5.光在旋转抛物面上成象问题研究 [J], 侯杰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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p ( x, y, z ) ∈ Pn(3) ，满足 p (Q=i )
{ 设
m
=
n=
} Qi
m
为
i =1
R3
中
m
个互异点构成的点集，如果对于任意给定的数组
{ fi ∈ R | i = 1,, m} ，恒存在唯一多项式 p ( x, y, z ) ∈ Pn(3) ，使之满足： p (Q=i ) f= i ,i 1,, m ，则称 A 为 Pn(3)
( x,
y, z)∈
R3
|
x2 a2
+
y2 b2
= − 2z
0 上进行多元
Lagrange 插值问题。
首先引入若干基本概念
设
n
为非负整数，令
Pn(3) 表示所有全次数为
n
的三元代数多项式构成的集合，即
dim Pn(3)
=
n +3
3
定义 1 ( Pn(3) 的插值唯一正解结点组)
Open Access
1. 引言
多元函数插值长期以来一直是计算数学研究领域的一个主要研究内容，有关多元函数插值基本理论 和方法研究中一个基本问题是多元插值函数的唯一存在性问题，也就是插值的正则性问题。目前，国内 外学者对这一问题的研究主要有两种：一种是给定插值多项式空间构造相应多项式空间的适定结点组； 另一种是给定插值结点组构造相应的适定插值多项式空间并要求多项式空间的次数尽可能的低。对于某 一类问题，目前有关在整个空间进行插值以及关于定义于空间中一般代数流形插值的研究结果相对系统， 而关于有着重要实用价值的具体流形上的插值结果相对较少。
Keywords
Elliptic Paraboloid, Multivariate Lagrange Interpolation, Regular Set of Nodes, Superposition Interpolation Method
定义于椭圆抛物面上的 多元Lagrange插值问题
何金霜，崔利宏
椭圆抛物面是一类重要的二次代数曲面，其在工程设计中有着重要应用，例如许多机械部件和建筑 物的外形采用了椭圆抛物面；原苏联第二颗人造卫星火箭的防护罩也是采用了椭圆抛物面外形等。因此 椭圆抛物面上的 Lagrange 插值的研究有着重要的应用价值。
2. 基本定义和基本定理
本文主要研究三维欧式空间 R3 中的椭圆抛物面=F
的一个唯一正解结点组[1] [2] [3]。
定义 2 (F 上的插值唯一正解结点组)
{ 设 F 为如上所定义的锥面， Pn(3) ( F ) 为 Pn(3) 在 F 上的限制， m = dim Pn(3) ( F ) ，= 称 Α
} Qi
m ⊂ F 为定
i =1
义于 F 上的一个 n 次插值唯一正解结点组，如果对于任意给定的数组 { fi ∈ R | i = 1,, m} ，恒存在多项式
Abstract
The multivariate Lagrange interpolation problem, which is usually defined on the elliptic paraboloid, is often studied in practical scientific research and production. Multivariate Lagrange interpolation is proposed to define the definition of Elliptic paraboloid, given to determine whether the node group on an elliptic paraboloid form judgment theorem and superposition method to construct interpolation regular set of nodes, finally is to implement the method.
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(5), 932-936 Published Online May 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.85105
Multivariate Lagrange Interpolation Defined on Elliptic Paraboloid
Jinshuang He, Lihong Cui
Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
Received: Apr. 28th, 2019; accepted: May 13th, 2019; published: May 20th, 2019
关键词
椭圆抛物面，多元Lagrange插值，唯一可解结点组，迭加插值法
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
文章引用: 何金霜, 崔利宏. 定义于椭圆抛物面上的多元 Lagrange 插值问题[J]. 应用数学进展, 2019, 8(5): 932-936. DOI: 10.12677/aam.2019.85105
何金霜，崔利宏
值唯一正解结点组的判定定理以及迭加构造方法，最后通过算列对所得方法进行了实现。
辽宁师范大学，辽宁 大连
收稿日期：2019年4月28日；录用日期：2019年5月13日；发布日期：2019年5月20日
摘要
针对在实际科研生产中经常涉及到的有关定义于椭圆抛物面上的多元Lagrange插值问题进行了研究。提 出了定义于锥面椭圆抛物面上的多元Lagrange插值定义，给出了判定椭圆抛物面上的结点组是否构成插