方程组不等式(组)与函数
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义
课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。
知识总结,关于不等式的性质,以及函数方程不等式之间的联系
知识总结,关于不等式的性质,以及函数方程不等式之间的联系本文分析了不等式的定义、性质及函数方程不等式之间的联系。
首先，我们讨论了不等式概念的基本概念，包括不等式的类型和不等式组；其次，我们探讨了不等式的性质，比如非负性、可加性和对称性等；最后，我们研究了不等式方程与函数不等式之间的联系。
一、不等式的定义不等式是数学中最基本的概念之一，它表示两个数的大小关系。
它的具体定义可以表达为：如果a、b是数，且a≠b，那么根据其大小关系，存在如下不等式：a>b（a大于b）、a≥b（a大于等于b）、a<b（a小于b）、a≤b（a小于等于b）。
不等式组指的是由多个不等式组成的集合，它是一种非常有用的数学工具，可以被用来描述更多有趣且复杂的结果。
不等式组可以根据其形式来分类，常见的不等式组有：单不等式、多个不等式连续构成的多个不等式组、范围不等式组等。
二、不等式的性质不等式性质指的是不等式具有的一系列普遍性质，它们可以帮助我们协助理解不等式的表达和运用。
常见的不等式性质有：1.负性：我们知道大于号的符号表示结果大于零，而小于号的符号表示结果小于零，这就限定了不等式的结果一定是大于或小于零。
2.加性：任何两个不等式可以加在一起，等价于将两个不等式结合起来，例如a<b 与 c<d，把它们加在一起可以得到a+c < b+d。
3.称性：一个不等式的符号可以和相反的符号交换形成新的不等式，例如a<b 与 b>a，它们是等价的。
4.合性：一个不等式可以和多个不等式结合，并可以生成更大的不等式，例如a<b 与 c<d以构成a+c<b+d。
三、函数方程与不等式之间的联系在很多数学问题中，不等式和函数方程经常会被混合使用，因为它们之间有一定的联系。
函数方程与不等式之间的联系可以表示为：函数方程是一个数学表达式，它可以定义函数的输入和输出值之间的关系，例如 y=f(x)，表示y是x的函数；而不等式可以表示两个值之间的大小关系，例如y>f(x)，表示y大于x的函数。
中考方程(组)不等式(组)一次函数求最值的综合应用
专题8 一次函数的应用（即方程（组）不等式（组）和一次函数的综合应用）一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。
1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．2.某销售商准备采购A、B两种型号的空气净化器，经调查，采购2台A型净化器和3台B型净化器共需花费11500元，且采购5台A型净化器和购进4台B型净化器所需的费用相等.（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少？（2）若销售商购进A型、B型净化器共50台，其中A型的台数不大于B型的台数，且不少于15台，设购进A型净化器a台.①求a的的取值范围；②已知A型的售价是2600元/台，B型的售价是3200元/台，设销售商售完50台净化器获得的利润为w，求w的最大值.3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台，已知购买3台空调和2台彩电花费2.32万元，购买2台空调和4台彩电需花费2.48万元。
（1）求每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）根据市场需要，这些空调、彩电很快全部售出，商场计划再次筹集资金12.8万元，一次性购买空调、彩电共30台，且可全部售出，在（2）的条件下，商场如何进货可获得最大利润，最大利润是多少元？4.某超市计划购进甲、乙两种玩具若干件，已知5件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价之和为141元.（1）求每件甲种玩具和每件乙种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0，且x为整数）件甲种玩具需花费y元，请求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，超市应选择购进哪种玩具最省钱.5.学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进15张甲办公桌和10张乙办公桌共花费15500元，购进8张甲种办公桌的费用与购买5张乙办公桌的费用相等.（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购进甲、乙两种办公桌共30张，且甲种办公桌不多于乙种办公桌数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.6.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？7.某地新建的一个企业，每月产生1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型污水处理器和3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型污水处理器和4台B型污水处理器的总价为42万元.（1）求每台A型污水处理器和B型污水处理器的价格分别是多少万元？（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的两种污水处理器共10台，请你设计出最省钱的购买方案，请求出最低费用.答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．由题意得：，解得：答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a≥，解得：a≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．。
用函数观点看方程(组)与不等式
【本讲主要内容】用函数观点看方程（组）与不等式1. 一次函数与一元一次方程的关系2. 一次函数与一元一次不等式的关系3. 一次函数与二元一次方程（组）的关系【知识掌握】【知识点精析】一. 一次函数与一元一次方程的关系由于任何一元一次方程都可以转化为ax b+=0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线y ax b=+，确定它与x轴交点的横坐标的值．二. 一次函数与一元一次不等式的关系由于任何一元一次不等式都可以转化为ax b+>0或ax b+<0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．从图象上看，解ax b+>0相当于已知直线y ax b=+在x轴上方时，自变量x 相应的取值范围；解ax b+<0相当于已知直线y ax b=+在x轴下方时，自变量x相应的取值范围．三. 一次函数与二元一次方程（组）的关系每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．【解题方法指导】例1. （2006年重庆市中考题）（课改实验区考生做）如图，已知函数y ax b y kx=+=和的图像交于点P，则根据图像可得，关于x y、的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是______．∴l2的函数表达式为y x=-10075（2）乙车先到达B地．3001007515 4=-∴=x x，设l1的函数表达式是y k x=1O图像过点()154300，∴k 1=80．即y x =80当y =400时，400805=∴=x x ， ∴-=519414（小时）键性词语；三要有一定的生产、生活常识，对当前市场经济条件下各种常见的现象有所了解，能抓住它们的本质和规律，恰当地构建出数学模型．【典型例题分析】例1. （2006年云南省课改实验区中考题）如图，直线l l 12与相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．若x y ==23，，则0621342..⨯+⨯=（万元）∴电视台选择15秒广告播放4次、30秒广告播放2次的方式，收益较大． 点评：本题综合应用了二元一次方程与一次函数的知识解决实际问题．例3. （2006年浙江省中考题）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996~2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）∴-=≈x x21460022.（万亩）即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．例4. （2006年云南省中考题）云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展．某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元．（1）设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式；（2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？解：（1）设购买大型客车x辆，则购买中型客车()10-x辆．由题意得：y x x=+-251510()，即y x=+10150（2）1015018010150200xx+≥+≤⎧⎨，解得xx≥≤⎧⎨35，∴≤≤35x（山西省课改实验区）如图，是某函数的图象，则下列结论中正确的是（的取值是-325，B. 当y=-3时，x的近似值是0，2C. 当x=-32时，函数值y最大D. 当x>-3时，y随x的增大而增大2. （太原市）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l l12、如图所示，他解的这个方程组是（）2xy+-=,2（黄冈市课改实验区）如图，在光明中学学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的（秒）之间的函数关系图像分别为折线OABC正确的是（）A. 乙比甲先到达终点B. 乙测试的速度随时间增加而增大C. 比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快二. 填空题：某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服用后，（1）服药后________小时，血液中含药量最高，达每毫升______毫克，接着逐步衰减； （2）服药5小时，血液中含药量_______毫克；（3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是___________； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是___________；（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是_________小时．三. （昆明市课改实验区）如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．四. （河北省课改实验区）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了__________h．开挖6h时甲队比乙队多挖了______m；（2）请你求出：①甲队在06x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤②乙队在26x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？五. （2004年黑龙江省中考题）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．（l）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．【综合测试答案】一. 选择题：1. B2. D3. C4. C二. 填空题：（1）2，6； （2）3 （3）y x =3（4）y x =-+8 （5）4三. 解：设点P 坐标为（-1，y ），代入y x =+23，得y =∴1,点P （-1，1）设直线l 2的函数表达式为y kx b =+，把P （-1，1）、A （0，-1）分别代入y kx b =+，得11=-+-=⎧⎨⎩k b b∴=-=-⎧⎨⎩k b 21，∴直线l 2的函数表达式为y x =--21．四. 解：（1）2，10；（2分）（2）①设甲队在06≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x =1， 由图可知，函数图像过点（6，60）， ∴=6601k ，解得k y x 11010=∴=,（4分）②设乙队在26≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x b =+2， 由图可知，函数图像过点（2，30），（6，50）， ∴+=+=⎧⎨⎩23065022k b k b ,解得k b 2520==⎧⎨⎩,∴=+y x 520 （6分）（3）由题意，得10520x x =+，解得x h =4()． ∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．五. 解：（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米， ①当040≤≤x 时，y x x x x =+-+-=-+207040601001108800()()∴当x =40时，y 的最小值为4400②当40100<≤x 时，y x x x x =+-+-=+20704060100303200()()，此时，y 的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处 （2）设取奶站建在距A 楼x 米处，①当040≤≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =-<32030（舍去）②当40100<≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =80 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80米处 （3）设A 楼取奶人数增加a 人，第11页 版权所有 不得复制 11①当040≤≤x 时，()()()20601007040++-=-a x x x ， 解得x a =-+320030（舍去），②当40100<≤x 时， ()()()20601007040++-=-a x x x 解得x a =-∴8800110,当a 增大时，x 增大，∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
第3节 一次函数与方程(组)及一元一次不等式
第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式二、核心纲要直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=bk-，直线y=kx+b交x轴于点(bk-,0)，bk-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.注：(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.2.—次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.3.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)① 从“数”看，它是一个二元一次方程； ② 从“形”看，它是一条直线。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y =k 1x +b 1不平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1≠k 2.(2) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y =k 1x +b 1平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2. (3) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2,b 1=b 2.5.比较两个函数值大小的方法 (1) 画图像，求交点.(2) 过交点作平行于y 轴的直线. (3) 谁高谁大.6.数学思想数形结合和转化思想.本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.三、全能突破1.若直线y =(m -3)x +6与x 轴交于点(3,0)，则m 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图19-3-1所示，一次函数y =kx +b 的图像经过A 、B 两点，则kx +b ≥0的解集是( ) A. x >0 B. x ≥—3 C. x >2 D. -3≤x ≤23.已知ax +b =0的解是2,则直线y =ax +b 与x 轴的交点坐标是______。
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方程(组)不等式（组）与函数
1、方程
1
1x
=的解为________。
2、方程x 2
=4x 的解是 ． 3、方程
x
x 5
27=-的解是 。
4、已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程） 5、如果关于x 的方程2
40x x a ++=有两个相等的实数根，那么a ＝ 6、请给出一元二次方程28x x -+ ＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根。
7、已知方程0932
=+-m x x 的一个根是1，则m 的值是 。
8、一元二次方程2
210x x --=的根是 .
9、若代数式
2
1
x x -+的值是零，则x ＝＿＿；若代数式()()21x x -+的值是零，则x ＝ . 10、不等式2－x ≥3的解集是___________________________ 11、不等式16（x+1）《64的正整数解为 。
12、不等式3x-9≤0的解集是 ．
13、已知不等式组⎩⎨⎧<-≥11
x x 的解集如图所示，则不等式组的整数解为__________。
14、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-x
x x 31112
21
的解集为＿＿＿＿＿＿＿.
15、 不等式组x x -<+>⎧⎨⎩
21
210的解集是____________。
16、 点P (1，2)关于y 轴对称的点的坐标是 ．
27、如果点P （y x ,）关于原点的对称点为（－2，3），则=+y x 。
18、已知点P 1()3,a 与P 2()3,2--关于原点对称，则______=a 。
19、在数轴上，与表示－1的点距离为3的点所表示的数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 20
、函数y =x 取值范围是 ．
21
、函数y =的取值范围是 .
22、函数y =3+x 中，自变量x 的取值范围是____________. 23
、函数y =x 的取值范围是 .
24
、函数y 中，自变量x 的取值范围是 。
25、在函数5
1
-=
x y
中，自变量x 的取值范围是_____________________ 26、函数2
1-=
x y 中自变量x 的取值范围是__________。
27、函数y =
1
3
-x 中，自变量x 的取值范围是___________； 28、函数3
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 。
29、函数y =
3
x+1
中自变量x 的取值范围是 。
30、试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 . 31、一个函数的图像过点（1，2），则这个函数的解析式是 。
32、有一个函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 （任写出一个）。
33、点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 34、若点（2，1）在双曲线k
y x
=上，则k 的值为_______。
35、已知反比例函数x
k y 2
-=
，其图象在第一、第三象限内，则k 的值可为__________。
（写出满足条件的一个k 的值即可）
36、如果函数()1f x x =+，那么()1f = 37、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n
x
(n ≠0)的图象都经过点(2,3)，则m =_____，n =_____ .
38、在平面直角坐标系中，入射光线经过y 轴上点A （0，3），由x 轴上点C 反射，反射光线经过点B （－3，1），则点C 的坐标为＿＿＿＿＿.
39、如图：半径为2的P 的圆心在直线y=2x-1上运动，当P
相切时圆心P 的坐标为 40、已知函数ｙ＝－ｋｘ
ｋ≠０
与ｙ＝
x
4
-的图象交于 Ａ、Ｂ两点，过点Ａ作ＡＣ垂直于ｙ轴，垂足为点Ｃ，则△ＢＯＣ的面积为＿＿＿＿ 41、反比例函数x
k
y =
的图象经过点（2，－1），则k 的值为 . 42、 如果反比例函数的图象经过点（1，-2）， 那么这个反比例函数的解析式为_______ 43、函数y=
x
2
的图象如图所示，在同一直角坐标系内， 如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后，那么 所得直线与函数y=
x
2
的图象的交点共有 个。
44、一条抛物线的对称轴是ｘ＝１且与ｘ轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是＿＿＿（任写一个）
45、请选择一组你喜欢的c b a 、、的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当2<x 时，y 随x 的增大而增大；当2>x 时，y 随x 的增大而减小。
这样的二次函数的解析式可以是 。
46、如果将二次函数22y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是
47、抛物线2)1(2+-=x y 的顶点坐标是 。
48、把棱长为1cm 的四个正方体拼接成一个长方体，
则在所得长方体中，表面积最大的值等于 cm 2
． 49、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点
称为整点．观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点个数共有_________个． 50、在直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线２
y=x -x-6 与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C 。
如果点M 在y 轴右侧的抛物线上，AMO
2
S
3
COB
S =
那么点M 的坐标是_________。
1
（第55题）
51、二次函数()112
+-=x y 图象的顶点坐标是____________。
52、已知抛物线解析式为y=x 2－3,则此抛物线的顶点坐标为 53、已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图,则抛物线的对称轴 为直线x= ,满足y ＜0的x 的取值范围是 ,将抛物线
562+-=x x y 向 平移 个单位,则得到抛物线962+-=x x y .
54、根据图1中的抛物线，当x 时，y 随x 的增大而增大， 当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 有最大值。
55、如图，△P 1O A 1、△P 2 A 1 A 2是等腰直角三角形，点P 1、
P 2在函数4
y x =（x ＞０）的图象上，斜边OA 1、A 1A 2都
在x 轴上，则点A 2的坐标是 ．
56、用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x （m ） 与面积y （m 2
）满足函数关系144)12(2+--=x y
(0＜x ＜24)，
则该矩形面积的最大值为__________________ m 2
． 57、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了
避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”。
他们仅仅 少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。
58、如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在 灯塔P 的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M 处， 上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船 在这段时间内航行的平均速度是 海里／时。