第1章小变形弹塑性本构关系
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弹塑性有限元法
第六章 弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
弹塑性力学 第01-0章绪论
静力学： 物体的平衡条件--平衡微分方程和应力边界条件。 几何学： 位移与应变的关系--变形协调关系（几何方程和 位移边界条件）。 物理学： 应力与应变（或应变增量）的关系--本构关系。 如在材料力学中推导扭转切应力、弯曲正应力 时都应用了上述关系。
8、求解弹塑性力学问题的数学方法
由几何方程、物理方程、平衡方程及力和位移的边 界条件求出位移、应变、应力等函数。 精确解法：能满足弹塑性力学中全部方程的解。例 如运用分离变量法将偏微分方程组解耦并化为常微分方 程组进行求解，另外还有级数解法、复变函数解法、积 分变换等。 近似解法：根据问题的性质采用合理的简化假设而 获得近似结果；如有限元法、边界元法、有限差分法 等。
ε ≤ ε s 时，σ = Eε ε > ε s 时，σ = σ s sign ε
⎧1, 当 σ > 0 ⎪ ⎪ sign σ = ⎨0, 当 σ = 0 ⎪ ⎪ ⎩-1, 当 σ < 0
εs = σs E
4、线性强化（硬化）弹塑性模型
假设拉伸和压缩时屈服应力 的绝对值和强化模量E’都相同， 当不卸载时，应力—应变关系可 以写成
如：梁的弯曲问题
弹性力学
材料力学
当 l >> h 时，两者误差很小。
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 变截面杆的分析
o
σ (x )
σ
(x )
? P
P x
τ (x )
二、弹塑性力学的基本假设
¾ 连续性假设，应力、应变和位移都可以用坐标的 连续函数表示，便于应用连续和极限的概念。 ¾ 均匀性假设，物体各部分的物理性质都相同，并 不会随坐标位置的改变而发生变化。 ¾ 各向同性假设，物体在各个方向具有相同的物理 性质，弹性常数不随坐标方向的改变而改变。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹塑性本构关系简介
2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
率无关弹塑性本构方程建立的一般步骤
d kl
即得到弹塑性本构张量
e e D : f D : f e D e f : D : f f q : f
D
ep
大变形下的弹塑性材料模型
（Elastoplastic material model under finite strains）
屈服面（the yield surface）
对于弹塑性材料，应力（stress）和应变（strain）之间没有单一 的对应关系，应力不仅依赖于应变，还依赖于材料的应变历史。我们 用一组称为内变量（internal variables）的参数tqi （i=1，n）来刻画 宏观物质微元的变形历史。以后的讨论中，我们进一步假定：当给定 内变量之后，材料的弹性响应可通过超弹性势来加以表示，由内变量 来确定材料的屈服准则 在应力空间中，对于给定的材料，我们可以定义屈服面
f 0 的约束之下寻找最大的塑性耗散，即 t D
D D λt f
.
t
.
是拉格朗日乘子 λ
t D 需要求 在 f 0 约束之下的最大值。要求
t
tD＊ 0 t ij ζ
tD＊ tλ
.
0
由以上的式子可以得到
t
tf d λ t ij ζ
P ij t .
.
同时注意
当tƒ<0时，材料呈弹性响应而不产生新的塑性变形 当tƒ=0时，应变的继续变化就可能使材料产生新的塑性变形 过去很多年，对于不同的性能的材料，已经提出了许多屈服函 数，课本上介绍的是冯米塞斯屈服准则。应当注意durcker公设，即 对于任何稳定的材料，用任何屈服面模拟时，在屈服面演化的过程中， 应力空间中，屈服面必须是凸面。
弹塑性力学讲义—本构关系
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0 f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0 当应力点位于f1=0上
f d d 1 1 ij
Prandtl-Reuss本构关系
1 2v d kk ( )d kk E
Levy-Mises本构关系
如塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可将弹性应变增量忽略，应力 增量与应变增量的关系变为
p dij dij =dsij
这是一种理想刚塑性模型。
• 相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件） • 理想弹塑性问题，应在平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s dij 3
dij dij
d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，<0，
（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾
应力循环
0 •从1点的应力状态 ij ij 是静力可能的应力）开始， （ 0
p ij
p p (d1p : d 2 : d3 ) = (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
p d ij d 2
f 2 ij
p p (d1p : d 2 : d3 ) = (d2 0 d2)
弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
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指向屈服面外时，属于加载情况，伴随有塑性变形率 p。当应力率 指向屈 服面之内，属于卸载情况，塑性变形率 p 为零。
图 1-1 初始与后继屈服面
在经典塑性理论中，假定“正交法则”，即塑性变形率 p 沿着屈服面的 外向法线方向。由 Drucker 假设，或 Ilyushin 假设，或最大塑性功率原理（见 节 1.6）均可论证这一正交法则。按正交法则 p // f 。不失广泛性，可 设 f 沿屈服面的外向法线 1)。故可记 2)
p f ,!
૾ ipj
f ij
,!
≥0
(1.10)
式中 称为塑性流动因子。由于塑性变形保持体积不变，
trp ipi 0 因此 f 为一偏斜张量。定义沿屈服面外法线的单位张量
(1.11)
n f f
(1.12)
式中
f f : f f f
第 1 章 小变形弹塑性本构关系
本章研究率无关材料小变形情况。
1.1 经典弹塑性本构关系
小变形情况下，变形（或应变）张量 可分解为弹性变形张量 e 与塑性 变形张量 p 之和：
e p
(1.1)
1. 预备知识
以 I 表示四阶“等同张量”(identity tensor)，它的分量为
以 I 表示“特殊等同张量”（special identity tensor），其定义为
I
I
1 3
,!
Iijkl
Iijkl
1 3
ij kl
它具有以下性质。 性质 1 设 a 为任意二阶对称张量，则
I : a a ,! Iijkl akl aij
式中 a 表示 a 的偏斜张量 1)：
3
)
ij
kl
1 2
Iijkl
2
(2
3
)
ij
kl
(1.8)″
式中
G
E 2(1
)
,!
K
2 3
G
2 G 1 2
(1
)
E (1
2
)
3. 塑性变形
屈服条件
f ( ,Y1,,Yn ) 0
(1.9)
式中 Y1,,Yn 为硬化参量，它们在加载过程中随着时间 t 而变化，它们依赖 于材料的当前状态，可以是标量，也可以是张量。作为硬化参量的例子，有
a
a
1 3
J1 a
,!
aij
aij
1 3
akk
ij
性质 2
I : I I ,! I I ijrs rskl Iijkl
(1.3)
(1.4) (1.5) (1.6)
2. 弹性变形
弹性变形张量 e 与应力张量 之间满足弹性关系：
e M : ,!
e ij
Mijkl kl
ij ij
(1.13)
故 n 为一单位偏斜张量
n:n 1
(1.14)
1) 在节 1.1 至 1.3 中假设 f 存在，即在应力空间中屈服面为光滑曲面。 2) 有的文献把此处的 记为 ，因此（1.10）乘以 dt 后，可以写成 d p d f ， d ≥ 0 。
可证 I 具有以下性质。 性质 1 设 a 为任意二阶张量，则
I : a sym a
(1.3)
即
Iijkl akl
1 2
(aij
a ji )
高等固体力学（上册）
因此，如 a 为任意二阶对称张量，则
I : a a ,! Iijkl akl aij
性质 2
I : I I ,! I I ijrs rskl Iijkl
ijkl
1 E
1 2
1
ik jl
il jk
ij
kl
(1.8)
若用 Lamé 参数与表示，则(1.8)可写作
M
1 2
I
1 3(2
3
)
1 2
I
2
(2
3 )
,
Mijkl
1 2
Iijkl
1 3(2
之间的比例常数为 3K。
1) 二阶张量加撇表示该二阶张量的偏斜张量（简称偏量）。以后仍沿用此记号。
2
第 1 章 小变形弹塑性本构关系
e
1 2G
1 3K
1 3
J1
,
e ij
1 2G
ij
1 9K
kk
ij
1 2G
Iijkl
1 9K
ij kl
kl(1源自7)式中 M 为弹性柔度张量。如果弹性与塑性之间不存在耦合，则 M 为常张量。 下面来推导各向同性材料的弹性柔度张量 M 。各向同性材料的弹性常
数 G，K，E， 之间满足以下关系：
1 2G
1 E
,
1 9K
1 2 3E
其中 E 为杨氏模量， 为泊松比，G 为剪切模量，K 为体积模量。 在弹性变形与应力之间，它们的偏斜张量的比例常数为 2G，球形张量
4
第 1 章 小变形弹塑性本构关系
而(1.10)可写作
p f n
(1.10)
因为塑性变形保持体积不变，故 n 为偏量。 作为塑性变形的度量，引进“累积塑性变形” p ，首先定义等效塑性
变形率。设材料为各向同性，定义等效塑性变形率为
p
2 3
式中 J1( ) 表示应力张量 的第一不变量。因此，与(1.7)对比可看出
M
1 2G
I
1 9K
,!
Mijkl
1 2G
Iijkl
1 9K
ij kl
(1.8)
将(1.4)的 I 代入(1.8)，可得
M
1 E
1 I
,
Mijkl
1 E
1 Iijkl
Iijkl
1 2
(
ik
jl
jkil )
(1.2)
式中 ik 等为 Kronecker delta，它是二阶单位张量 （或记作 1）的分量。易 证 Iijkl 具有下列三重对称性，又称 Voigt 对称性：
Iijkl I jikl , Iijkl Iijlk , Iijkl Iklij
累积塑性变形、累积塑性功、背应力等。 屈服条件(1.9)决定应力空间中的一曲面，称为后继屈服面（或当前屈服
面）。在材料初始状态， Y1 Yn 0 ，(1.9)相当于应力空间中的初始屈服 面，见图 1-1。屈服面之内为弹性区。设应力 在当前屈服面上，当应力率
3
高等固体力学（上册）
图 1-1 初始与后继屈服面
在经典塑性理论中，假定“正交法则”，即塑性变形率 p 沿着屈服面的 外向法线方向。由 Drucker 假设，或 Ilyushin 假设，或最大塑性功率原理（见 节 1.6）均可论证这一正交法则。按正交法则 p // f 。不失广泛性，可 设 f 沿屈服面的外向法线 1)。故可记 2)
p f ,!
૾ ipj
f ij
,!
≥0
(1.10)
式中 称为塑性流动因子。由于塑性变形保持体积不变，
trp ipi 0 因此 f 为一偏斜张量。定义沿屈服面外法线的单位张量
(1.11)
n f f
(1.12)
式中
f f : f f f
第 1 章 小变形弹塑性本构关系
本章研究率无关材料小变形情况。
1.1 经典弹塑性本构关系
小变形情况下，变形（或应变）张量 可分解为弹性变形张量 e 与塑性 变形张量 p 之和：
e p
(1.1)
1. 预备知识
以 I 表示四阶“等同张量”(identity tensor)，它的分量为
以 I 表示“特殊等同张量”（special identity tensor），其定义为
I
I
1 3
,!
Iijkl
Iijkl
1 3
ij kl
它具有以下性质。 性质 1 设 a 为任意二阶对称张量，则
I : a a ,! Iijkl akl aij
式中 a 表示 a 的偏斜张量 1)：
3
)
ij
kl
1 2
Iijkl
2
(2
3
)
ij
kl
(1.8)″
式中
G
E 2(1
)
,!
K
2 3
G
2 G 1 2
(1
)
E (1
2
)
3. 塑性变形
屈服条件
f ( ,Y1,,Yn ) 0
(1.9)
式中 Y1,,Yn 为硬化参量，它们在加载过程中随着时间 t 而变化，它们依赖 于材料的当前状态，可以是标量，也可以是张量。作为硬化参量的例子，有
a
a
1 3
J1 a
,!
aij
aij
1 3
akk
ij
性质 2
I : I I ,! I I ijrs rskl Iijkl
(1.3)
(1.4) (1.5) (1.6)
2. 弹性变形
弹性变形张量 e 与应力张量 之间满足弹性关系：
e M : ,!
e ij
Mijkl kl
ij ij
(1.13)
故 n 为一单位偏斜张量
n:n 1
(1.14)
1) 在节 1.1 至 1.3 中假设 f 存在，即在应力空间中屈服面为光滑曲面。 2) 有的文献把此处的 记为 ，因此（1.10）乘以 dt 后，可以写成 d p d f ， d ≥ 0 。
可证 I 具有以下性质。 性质 1 设 a 为任意二阶张量，则
I : a sym a
(1.3)
即
Iijkl akl
1 2
(aij
a ji )
高等固体力学（上册）
因此，如 a 为任意二阶对称张量，则
I : a a ,! Iijkl akl aij
性质 2
I : I I ,! I I ijrs rskl Iijkl
ijkl
1 E
1 2
1
ik jl
il jk
ij
kl
(1.8)
若用 Lamé 参数与表示，则(1.8)可写作
M
1 2
I
1 3(2
3
)
1 2
I
2
(2
3 )
,
Mijkl
1 2
Iijkl
1 3(2
之间的比例常数为 3K。
1) 二阶张量加撇表示该二阶张量的偏斜张量（简称偏量）。以后仍沿用此记号。
2
第 1 章 小变形弹塑性本构关系
e
1 2G
1 3K
1 3
J1
,
e ij
1 2G
ij
1 9K
kk
ij
1 2G
Iijkl
1 9K
ij kl
kl(1源自7)式中 M 为弹性柔度张量。如果弹性与塑性之间不存在耦合，则 M 为常张量。 下面来推导各向同性材料的弹性柔度张量 M 。各向同性材料的弹性常
数 G，K，E， 之间满足以下关系：
1 2G
1 E
,
1 9K
1 2 3E
其中 E 为杨氏模量， 为泊松比，G 为剪切模量，K 为体积模量。 在弹性变形与应力之间，它们的偏斜张量的比例常数为 2G，球形张量
4
第 1 章 小变形弹塑性本构关系
而(1.10)可写作
p f n
(1.10)
因为塑性变形保持体积不变，故 n 为偏量。 作为塑性变形的度量，引进“累积塑性变形” p ，首先定义等效塑性
变形率。设材料为各向同性，定义等效塑性变形率为
p
2 3
式中 J1( ) 表示应力张量 的第一不变量。因此，与(1.7)对比可看出
M
1 2G
I
1 9K
,!
Mijkl
1 2G
Iijkl
1 9K
ij kl
(1.8)
将(1.4)的 I 代入(1.8)，可得
M
1 E
1 I
,
Mijkl
1 E
1 Iijkl
Iijkl
1 2
(
ik
jl
jkil )
(1.2)
式中 ik 等为 Kronecker delta，它是二阶单位张量 （或记作 1）的分量。易 证 Iijkl 具有下列三重对称性，又称 Voigt 对称性：
Iijkl I jikl , Iijkl Iijlk , Iijkl Iklij
累积塑性变形、累积塑性功、背应力等。 屈服条件(1.9)决定应力空间中的一曲面，称为后继屈服面（或当前屈服
面）。在材料初始状态， Y1 Yn 0 ，(1.9)相当于应力空间中的初始屈服 面，见图 1-1。屈服面之内为弹性区。设应力 在当前屈服面上，当应力率
3
高等固体力学（上册）