江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题【含答案】
江苏省海安高级中学高一月考(创新班)数学试题Word版含答案
n，那么n//
D．假定m//
，m
n，那么n
6.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，假定b＝2asinB，那么A＝()
°
B．45°
C．60°
D．75°
7．数列
an的前n项和为Sn，且Sn2an
2，那么a2等于(
)
A．4
B．2
C．1
D．－2
8.
函数f(x)的图象以下列图，为了获得函数
未找到引用源。,橱宪產尋呐瞇拥谕闳琼砾层獼緄烂。
错误!未找到引用源。
I〕求a和sinC的值;
〔II〕求的值.
错误!未找到引用源。
2
21.函数fxxaxba，bR．
假定b1，且函数fx有零点，务实数a的取值范围；
(2)
当b1a时，解对于x的不等式fx
0；
(3)
假定正数a，b知足a
4
x1，
，fx
0恒成立，务实数a，b的
界〕.以下四个向量:
铀鳝懸鑾价緇训價窝銮却愾骟辕偬。
uuuuv
uuuv
uuuv
A.
OM1
OA2OB;
B.
uuuuuv
3uuuv
1uuuv
OM2
OA
OB;
4
3
C.
uuuuuv
1uuuv
1uuuvOM3OA来自OB;23
D.
uuuuuv
3uuuv
1uuuv
OM4
OA
OB.
4
5
对于点M1,M2,M3,M4,落在暗影地区内〔不含界限〕的有_____.
出文字说明，证明过程或演算步骤〕
18.如图,在三棱柱ABC
江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考 数学
江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝．AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()1311n n n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分 （2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==， 所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =- 由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，-------5分（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴.∴.所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分 已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。
江苏省海安高级中学2019_2020学年高一数学12月月考试题创新班202001100144
江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题（创新班）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.单选题1~10，多选题11~13） 1.已知集合{1,3,5}A =，{}(1)(3)0B x x x =--=，则A B =I （ ） A. ∅ B. {1}C. {3}D. {1,3}2.2πsin()=3-（ ） A. 3-B. 12-C.3 D.123.设a 、b 、R c ∈，且b a >，则( )． A ．bc ac > B ．11<a bC ．22b a >D ．33b a > 4．已知()13ln2a =，()13ln3b=，2log 0.7c=，则a ， b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A.30° B．45° C．60° D．75° 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S ，则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－28. 函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象 （ ）A. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）， 再向左平移π3个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位 C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 9. 已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. 0x a <B. 0x a >C. 0x c <D. 0x c >10.如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PD ++u u u r u u u r u u u r的说法正确的是（ ）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值11. 定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期．下列函数是线周期函数的是A.2xy = B.2log y x =C.[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），D.sin y x x =+ 12.已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是_______ A. ω一定为正数；B. 函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；C. 满足条件的正整数ω的最大值为3；D. 412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 13.如图所示,已知OAB V ,由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量:A. 12OM OA OB =+u u u u v u u u v u u u v;B. 23143OM OA OB u u u u u v u u u v u u u v =+;C. 31123OM OA OB =+u u u u u v u u u v u u u v;D. 43145OM OA OB u u u u u v u u u v u u u v=+.对于点1M ,2M ,3M ,4M ,落在阴影区域内（不含边界）的有_____.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 14.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=____________.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S ，则2a 等于____________.16.函数2,(),0.x x t f x x x t ，⎧≥=⎨<<⎩（0t >）是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是_____________.17.已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β终边为射线ON .（1）β与α的关系为______;（2）若1sin 3α=,则tan β=______. 三、解答题（本大题共6小题，共82分.18题12分，其余每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ACC A 是矩形,侧面11BCC B 是菱形, M 是1AB 的中点. N 是1BC 与1B C 的交点, 1AC B C ⊥，求证: (1) MN ∥平面11ACC A ； (2) 1BC ⊥平面1ABC .19.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整；函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．20.（本小题满分14分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为错误!未找到引用源。
江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期12月月考试题(含解析)
江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期12月月考试题（含解析）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设全集．若集合，，则．【答案】【解析】因为，所以考点：集合运算2.已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为_______.【答案】【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.【答案】【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】试题分析：由题意，则，而双曲线的渐近线方程为，因此方法为．考点：双曲线的性质．6.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形7.方程的解为．【答案】【解析】设，则考点：解指对数不等式8.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.视频9.若，则【答案】【解析】试题分析：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．考点：三角恒更变化．视频10.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.11.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】若f（x）无最大值，则，或，解得答案．【详解】f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：【点睛】本题主要考查导数和分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此考点：向量数量积，解三角形13.已知圆O：，定点，过点A的直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C 均在x轴上方，若OC平分，则直线l的斜率为________.【答案】【解析】由角平分线的定义知，设出点B（x1，y1），由此求出点C的坐标，代入圆的方程求出x1，y1，得出点B的坐标，从而求出直线l的斜率k AB．【详解】由OC平分∠AOB知，，设点B（x1，y1），点C（x，y），则，即（x﹣x1，y﹣y1）（3﹣x，﹣y），由向量相等解得x，y y1；又1, ①x2+y21，∴,②；由①②解得x1，y1＝±，∴点B（，）；∴直线l的斜率为k AB．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线定理与直线和圆的方程应用问题，是中档题．14.已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数a，b满足2a+b=3，∴2a+b+2=5，则=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是．故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB的中点.（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：EF∥平面PCD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2) 取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.【详解】（1）∵，且为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵面，∴PE⊥BC.（2）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为平行四边形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.16.已知函数="4tan" xsin（）cos（）.（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f（x）在区间[]上单调性.试题解析：（Ⅰ）的定义域为..所以,的最小正周期（Ⅱ）令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．视频17.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【答案】（1）否；（2）小时.【解析】【分析】建立直角坐标系，则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P 的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【详解】（1）如图建立直角坐标系，则城市，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，10小时后，km，台风的半径为160km，因为，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，即，解得答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.【点睛】本题考查圆的性质在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程．18.已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】分析：（1）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.详解：（Ⅰ）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，，则，，则，易得当时，，故的最大值为．（Ⅲ）设，，，，则①，②，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.19. （本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．【答案】（Ⅰ）【解析】参考标准答案.本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.视频20.已知函数，．（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）求出，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围．（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，从而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）则=2t+2﹣=，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3．【详解】（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由，得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．（3），因为，所以，即，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题含答案
阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．S ←0For i From 1 To 10 Step 1 S ←S ＋1i (i ＋1)End For Print S（第4题）D 1CD 1B11C EBPN13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知△ABC 的面积为3()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．FDP（第16题）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(61，2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21nn n n a a b a +++=（*n ∈N ）．（1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t，t＋a)，f (x)＜a－1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 240 11. 【答案21 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC 32=. ……8分因为△ABC 的面积为3193sin 2CA CB C ?， 即1π9332sin 23CB 鬃，解得6 2.CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得()()2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以3 6.AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB --+= …… 5分答：水上旅游线AB 的长为92． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c ，所以223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析x (0，1e ) 1e (1e ，＋∞)g ’(x ) － 0 ＋ g (x ) 单调递减单调递增g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a )f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)，所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)．即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2； …… 5分（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)PA BD （第22题） xy z＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。
2019-2020学年江苏省海安高级中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省海安高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．命题“0x ∀>，20x x +≥”的否定是（ ） A ．0x ∀>，20x x +<B ．0x ∀>，20x x +≤C ．00x ∃>，2000x x +<D ．00x ∃>，2000x x +≤【答案】C【解析】根据全称命题的否定变为特称命题，结论否定即可得出选项. 【详解】由全称命题的否定变特称，结论否定，故命题“0x ∀>，20x x +≥”的否定是：00x ∃>，2000x x +<.故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定，需掌握全称、特称命题的否定变换形式，属于基础题. 2．在ABC ∆中，3AC =，4AB =，6BC =，则ABC ∆的最大内角的余弦值为（） A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-【答案】D【解析】由三角形的性质可得BC 边最长，所以A 最大，再结合余弦定理222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅运算可得解.【详解】解：因为BC 边最长，所以A 最大，由余弦定理可得2229163611cos 223424AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⨯⨯,故选D. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力.3．若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a >”是“23a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知有2a q =，因为869a a >时，则29q >，可得33q q ><-或，即“869a a >”不能推出“23a >”，由3q >可得869a a >，即“23a >”能推出“869a a >”，结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】解：若869a a >时，则29q >，则33q q ><-或，又2a q = 则23a <-或23a >； 若23a q =>时，则6289a q a =>， 即“869a a >”是“23a >”的必要不充分条件， 故选B . 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力. 4．已知函数11f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4B ．1C ．4-D ．14-【答案】C【解析】首先根据换元法求出函数()f x 的表达式，再求出导函数即可求解. 【详解】 令()10t t x =≠，则1x t= ()11f t t ∴=+，所以()()110f x x x =+≠()21f x x '∴=-，所以142f ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查了换元法求解析式、求导，需熟记常见函数的导数公式，属于基础题. 5．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1210a a a +++=L（ ）A ．15B ．12C ．12-D ．15-【答案】A【解析】根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和. 【详解】 由于()()132nn a n =--，故1210a a a +++=L ()()()()()()()()()()14710131619222528-++-++-++-++-+3333315=++++=.故选A.【点睛】本小题主要考查数列求和，考查运算求解能力，属于基础题.6．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A ．15 B ．3C ．23D ．2【答案】A【解析】结合图像利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示圆的方程，与椭圆方程联立进一步求解，求出交点坐标即可求解. 【详解】由题意可知2OF OM c ===， 由中位线定理可得124PF OM ==,设(),P x y 可得()22216x y -+=，与椭圆方程22195x y +=联立，解得32x =-或212（舍），点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛- ⎝⎭所以()02322PFk -==--- 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.7．△ABC 的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC 边上的高BD 长为 ( ) A ．5 BC ．4D．【答案】A【解析】设AD u u u r＝λAC u u u r ，又AC u u u r ＝(0,4，－3)，则AD u u u r＝(0,4λ，－3λ)，AB u u u r＝(4，－5,0)， BD u u u r＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由AC u u u r ·BD u u u r＝0.得λ＝－45，∴BD u u u r ＝(－4，95，125)．∴|BD u u u r|＝5.8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A ．110B ．25C．10D．2【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-u u u u r ，1(,0,1)2AN u u u r =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN ⋅〈〉==⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u ur 3=C. 【考点】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.9．已知1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-= (00)a b >>，的左、右焦点，若直线y =与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ） ABC1D1+【答案】D【解析】 由题意得，连接12,PF PF ，则2POF ∆为等边三角形，所以12OP OF OF ==, 则12PF F ∆为直角三角形，且21,PF c PF =， 又因为122PF PF a -=2c a -=，所以1ce a==，故选D. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．10．设函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，则数列*1N ()n f n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭（）的前n 项和是（ ） A ．+1n n B ．+2+1n n C ．1n n - D ．1n n+ 【答案】A【解析】由题意，根据导数，求解,m a 的值，得到数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即可求解数列的和. 【详解】由题意，函数()mf x x ax =+，则()1m f x mxa -'=+，又由()21f x x '=+，所以2,1m a ==，即()2f x x x =+，所以()2(1)f n n n n n =+=+，所以()1111(1)1f n n n n n ==-++， 所以()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为111111(1)()()1223111n n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的运算及数列的裂项求和问题，其中解答中根据函数的导数，求解数列的通项公式，再由裂项法求解数列的和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、多选题11．下列结论正确的是（ ） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 【答案】BCD【解析】根据不等式的性质举反例可判断A ；利用基本不等式可判断B ；由对数函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A ，若22a b >，则a b >，当2a =，1b =-时，11a b<不成立，故A 错；对于B ，由0x >，则44x x +≥=，当且仅当2x =取等号，故B 正确； 对于C ，由lg y x =为单调递增函数，由0a b >>，则lg lg a b >，故C 正确；对于D ，由0ab >，1a b +=，则()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确； 故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题. 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ） A ．直线1A B B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC【答案】AD【解析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A 、B ；由面面平行的判定定理可判断C 、D. 【详解】 如图由11A B D C P ，且1A B ⊄平面1ACD ，1D C ⊂平面1ACD ， 故直线1A B 与平面1ACD 平行，故A 正确；直线11BB DD ∥，1DD 与平面1ACD 相交，故直线1BB 与平面1ACD 相交，故B 错误； 由图，显然平面11A DC 与平面1ACD 相交，故C 错误；由11A B D C P ，11AC AC P ，且1111A B A C A =I ，1AC D C C =I ， 故平面11A BC 与平面1ACD 平行，故D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.13．若函数()1xf x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2B ．0C ．1D ．1-【答案】BCD【解析】作出()1xf x e =-的图像，利用数形结合可判断0a ≤满足恰有一个公共点；当0a >时，需直线与曲线相切即可. 【详解】由()1xf x e =-与()g x ax =恒过()0,0，如图，当0a ≤时，两函数图象恰有一个公共点，当0a >时，函数()1xf x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则()g x ax =为()1xf x e =-的切线，且切点为()0,0，由()xf x e '=，所以()001a f e '===，综上所述，0,1a =-或1. 故选：BCD 【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.三、填空题 14．若01x <<，则181x x+-的最小值是_______； 【答案】942+【解析】将181x x +-变成18(1)18911x x x x x x x x x x+-+--+=++--后再用基本不等式可得. 【详解】 因为181x x +-18(1)x x x x x x+-+-=+11881x xx x-=++⋅+- 19281x xx x-≥+⋅⋅- (当且仅当11x x x x -=-,即12x =时,等号成立) 928=+942=+.故答案为:942+. 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,解题关键是利用11x x =+-将原式变为积为定值的形式,才能用基本不等式.本题属于中档题.15．设()ln x f x ae b x =+，且1'(1),'(1)f e f e=-=，则a b += . 【答案】1 【解析】【详解】 因为，所以，，故，，故a b +=1. 【考点】导数点评：本题先求导，再进行简单的解方程运算即可，属基础题.16．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球与内切球的半径比为______．【答案】)3312【解析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解. 【详解】以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体， 由2PA PB PC ===，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为R ，则4443R ++== 设内切圆半径为r ，则内切圆的圆心到四个面的距离均为r ，由()1133ACP APB PCB ABC PCBS S S S r S AP +++⋅=⋅⋅，解得33r =+ 所以)33132233Rr ==+，故答案为：)3312【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.17．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为_______，这9节竹子的总容积为_______. 【答案】1322升 20122升【解析】由题意可知12343a a a a +++=，7894a a a ++=， 解得766d =，11322a =，再由959S a =计算可得解.【详解】解：将自上而下各节竹子的容积分别记为1a ，2a ，…，9a ， 依题意可得12343a a a a +++=，7894a a a ++=，即1463a d +=①，13214a d +=②，43⨯-⨯②①，得667d =，解得766d =，把766d =代入①，得11322a =， 故9567201996622S a ==⨯=升. 【点睛】 本题考查数学文化与等差数列，考查运算求解能力与应用意识.四、解答题18．已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()2,+∞（II ）[)6,+∞【解析】(Ⅰ)根据命题P 是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立,即可得到;(Ⅱ)先化简命题:44q a m a -<<+,再根据q 是p 的充分不必要条件列式可解得.【详解】（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2max ()m x x >-(11)x -≤≤,因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=, 2m >，所以实数m 的取值范围是()2,+∞（II ）由q 得44a m a -<<+，因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥所以实数a 的取值范围是[)6,+∞【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题. 19．设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】(1) f(x)＝x ＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解 f′(x)＝a －， ()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x ＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线 方程为y －＝[1－] (x －x 0)．令x ＝1，得y ＝， 切线与直线x ＝1的交点为 (1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1311n n n n b a a +=++，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小. 【答案】（1）13-=n n a （2）334232n n T =-⨯+，1316n T < 【解析】（1）由,n n S a 的关系，因为231n n S a =-，则 1122233n n n n n S S a a a ---==-，可得13(2)n n a n a -=…，即数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，运算可得解； （2）由（1）可得1311()23131n n n b -=⨯-++，再累加求和得33344232n n T =-<⨯+，命题可得证.【详解】解：（1）因为231n n S a =-，所以1112231S a a ==-，即11a =， 当2n …时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n S S a a a ---==-， 整理得13(2)n n a n a -=…， 则数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故1113n n n a a q --==.（2）因为13(1)(1)n n n n b a a +=++，所以113311()(31)(31)23131n n n n n n b --==⨯-++++， 所以0112231311111111[()()()()]23131313131313131n n n T -=⨯-+-+-++-++++++++L ， 即31133()22314232n n n T =⨯-=-+⨯+， 因为313416n T <<， 所以1316n T <. 【点睛】本题考查了利用,n n S a 的关系求数列的通项公式及裂项求和法求数列前n 项和，属中档题.21．图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB =1BE EH ==，π3ABC ∠=，π4ABE ∠=，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ；（2）求图2中点F 到平面BCE 的距离；（3）求图2中二面角E AB C --的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 33【解析】（1）证出CE BE ⊥、CE EF ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.（2）证出AE BE ⊥，由（1）可得AE ⊥平面BCE ，求出AE 即可求出点F 到平面BCE 的距离.（3）以E 为坐标原点，分别以EB 、EC 、EA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，求出平面ABC 的法向量与平面ABE 的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在BEC △中，222BC EC BE =+，所以CE BE ⊥．又在矩形EFGH 中，CE EF ⊥，且EF BE E =I ，所以CE ⊥平面ABEF ．又因为CE ⊂平面BCE ，所以平面BEC ⊥平面ABEF ．（2）由（1）知：CE ⊥平面ABEF ，所以CE AE ⊥．因为菱形ABCD 中的π3ABC ∠=，所以ABC V 为等边三角形，2AC AB == 所以在Rt AEC △中，2221AE AC CE =-=，1AE =．所以在AEB △中，222AB AE BE =+，AE BE ⊥．又因为平面BCE ⊥平面ABEF ，且平面BCE I 平面ABEF BE =，所以AE ⊥平面BCE ．又因为AF P 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为1AE =．（3）以E 为坐标原点，分别以EB 、EC 、EA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，所以()0,0,0E ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1A ．由（1）知平面ABE 的法向量为()0,1,0m EC ==u u u rr ， 设平面ABC 的法向量(),,n x y z =r ，因为()1,0,1BA =-u u u r ，()1,1,0BC =-uu u r ，由00n BA n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，得00x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =得，()1,1,1n =r ．所以cos 3m n m n θ⋅==r r r r ，即二面角E AB C --的余弦值为3． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理、点到面的距离以及用空间向量求二面角，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题.22．已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为0,(2,)F M y 是曲线C 上的一点，且52MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅=-且OAB ∆的面积为16，求l 的方程．【答案】（1）22x y =；（2）4y =±+【解析】（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p=，再根据抛物线的定义可得1p =，即可求得抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）由题意，将0(2,)M y 代入22x py =，得02y p=， 又025()222p p MF y p =--=+=，解得1p =， ∴抛物线的方程为22x y =。
江苏省海安高级中学2019届高三上学期12月月考数学试题含答案
2019届高三年级阶段测试（三）数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14，2．3． 564． 115 5． y = 6． 1 7． 28．3π9． 23 10． 2 11． 1a <- 12． 1615- 13． 14． 135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD .16． 【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t +210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得2c =c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =||AB（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立.所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n nn n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x-=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x x由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍； ② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解； 当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<，即ln5ln 252t ≤-<，即l n 2l n 525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ，因为221212()()0+-=h x h x x x ，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=， 即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->， 则2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥，即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤． 因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ）【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①第 11 页 共 11 页 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23． 【解析】(1) 由题意知P 2==，即P 2的值为.(2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的 - n=个数中最大数在第n -1行的概率为=;…故P n =··…·==.由于2n =(1+1)n =+++…+≥++>+=， 所以>，即P n >.。
江苏省海安高级中学高一月月考数学试题创新班含答案
2019-2020学年度第一学期高一年级阶段检测（一）数 学(创新）一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知{}13A x x =-<<， {}2320B x x x =-+<，则A B ⋃=（ ）A ．(),-∞+∞B ．()1,2C ．()1,3-D ．()1,3 2．函数f (xx +1)的定义域为( )A ．[12-，2]B ．[12-，2)C ．(12-，2]D ．(12-，2)3．向量a =(1，x +1)，b =(1- x ，2)，a ⊥b ，则(a +b )∙(a -b )=( )A ．-15B ．15C ．-20D ．204．△ABC 中，tan A AC BC =4，则AB =( )A ．BCD ．5．已知()1212f x x x x x x =-+-+++++，且()()2522f a a f a -+=+，则满足条件的所有a 的和是为（ ）A ．7B ．8C ．6D ．106．将函数f (x )=sin(2ωx +π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数g (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，则函数g (x )的—个对称中心为（ ）A ．(-π6，0)B ．(π6，0)C ．(-π12，0)D ．(π12，0)7．在△ABC 中，BC =8，BC 边上的高为6，则AB u u u r•AC u u u r 的取值范围是（ ）A ．[6,10)B ． [20,)+∞C ．[]6,8D ．[]8,208. 已知a =log 52，b =log 73，c =12，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < a < cD ．c < b < a9．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：设⎩⎨⎧>-≤-=⊗.1,,1,b a b b a a b a 已知定义域为R 的函数）22()2()(x x x x f -⊗-=，若c x f y -=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ． (]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--,4143,110．对任意x R ∈，函数{}231()max 3,,4322f x x x x x =-++-+，则()f x 的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．设集合12={,,}{1,2,3,37},n A r r r ⊆L L 且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为（ ）A ．17B ．18C ．15D ．1612．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．若sin (α- β ) cos α- cos (α- β) sin α=45，则cos2β= .14．如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===°，，，D 是边上一点，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r．15．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为__________. 16．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ． 三、解答题:本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 17．（本小题满分12分）已知实数a 为常数，U =R ，设集合A ={x |31x x -+＞0}，B ={x |y }，C ={x |x 2﹣(4+a )x +4a ≤0}． （1）求A ∩B ；（2）若∁U A ⊆C ，求a 的取值范围．D第14题图18．（本小题满分12分）在ABC △中，角C 为钝角，5b =，3sin 5A =，16tan()63A B -=. （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长19．（本小题满分12分）设a 为实数，函数()()1f x x x a =+-，x R ∈()1若0a =，求不等式()2f x ≥的解集；()2是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间()1,1a a -+上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；()3写出函数()y f x a =+在R 上的零点个数(不必写出过程)20．（本小题满分12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。
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在 x∈[2，4]上恒成立，求实数 t 的取值范围.
23．已知函数
h x
mx n 3x2 27
为奇函数，
k
x
1 3
xm
，其中
m、n
R
.
(1)若函数 h x的图像过点 A1,1，求实数 m 和 n 的值；
(2)若
m
3
，试判断函数
f
x
h
1
x
k
1
x
在
x
[3,
)
上的单调性并证明；
(3)设函数
为奇函数
hx
h x ，即
mx n 3x2 27
mx n 3x2 27
(x
R)
恒成立， n
0
h
x 的图像过点
A
1,1
h
1
1,
mn 30
1
m 30, n 0
2有题意知
f
x
x
9 x
3x3
，
f
x在3, 上单调递增
证明：任取 3 x1 x2 ，
则
f
x1
f
x2
x1
9 x1
g
x
h x, x 9k x,
3 x3
若对每一个不小于
3
的实数
x1
，都恰有一个小于
3
的实数
x2 ，使得 g x1 g x2 成立，求实数 m 的取值范围.
阶段测试（二）
一、选择题：(本大题共 13 小题，每小题 4 分，其中 1-10 题为单选题，11-13 为多选题.）
1． B
2． D
3. A 4． A
交点 O 平分 BC,若 AB m AM ， AC n AN ，则 m n 的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．6
1 8．已知函数 f(x)=logax(a>0，a≠1)的图象经过点( 2 ，2).若函数 g(x)的定义域为 R，当
2
x∈[-2，2]时，有 g(x)=f(x)，且函数 g(x+2)为偶函数，则下列结论正确的是：( )
结论：
A.函数 f x的图像关于 x 轴上某点成中心对称；
B.函数 f x在 R 上单调递增；
C.存在实数 p, q ，使得 p f x q 对于任意的实数 x 恒成立；
D.关于 x 的方程 g x 0 的解集可能为4, 2, 0,3．正确结论为( )
2、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 20 分．
D．(-3，0)
11．下列四个说法中，错误的选项有（ ）.
A．若函数 f (x) 在 (, 0] , (0, ) 上都是单调增函数，则函数 f (x) 在 R 上是单调增函数
B．已知函数的解析式为 y = x2 ，它的值域为[1, 4] ，这样的函数有无数个
C．把函数 y 22x 的图像向右平移 2 个单位长度，就得到了函数 y 22x2 的图像
，则实数 a 的取值范围是
▲．
17.已知函数 f x sin x ( 0 16 ， 0 ), f ( ) 0 ,对任意
2
4
x R 恒有 f x
f
(
)
且
f
(x)
在区间 (
,
) 上单调，则 ____, 的可能值有
4
32 16
__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 82 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） x3
p x p11 1152
因此，
min
(千元)
．
20
当
22
x
30,
x
N*
时，
p
x
8x
1320 x
1312
．
y 8x 1320 1312
易知函数
x
22, 30
p x p 30 1116
在
上单调递以，日最低收入为1116 千元．
(2)该村两年可收回的投资资金为1116 20% 5% 3012 2 8035.2 (千元)= 803.52
c|.
20．我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了 800 万元修复和加强民
俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按 30 天计算）
每天的旅游人数
f
x 与第
x
天近似地满足
f
x
8
8 x
（千人），且参观民俗文化村的游客
g x
g x 143 x 22
6
3
象，
若函数 g(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 π ，则函数 g(x)的—个对称中心为( ) 2
A．(- π ，0) 6
B．( π ，0) 6
C．(- π ，0) 12
D．( π ，0) 12
7．如图，已知△ABC 与△AMN 有一个公共顶点 A，且 MN 与 BC 的
uuur uuur uuur uuur
x 22
(1
x 30 , x N* )
即
p
x
88xx139x26x08
976,1 x 22, x N* 1312, 22 x 30, x N*
，
10
当1
x
22,
x
N*
时，
p
x
8x
968 x
976
2
8x 968 976 1152 x
(当且仅当 x 11 时，等号成立)
．
2．函数 f(x)= 1 +ln(2x+1)的定义域为 ( 4 x2
A．[ 1 ，2] 2
B．[ 1 ，2) 2
) C．( 1 ，2]
2
D．( 1 ，2) 2
sin( 2π )=
3.
3
（）
3 A. 2
1 B. 2
3 C. 2
1 D. 2
4．向量 a=(1，x+1)，b=(1- x，2)，a⊥b，则(a+b)∙(a-b)=(
A．4
B．0
C．3
D．2
10．对于实数
a，b
定义运算“
”:
a
b
b a, b2 a2
a b ，设 f(x)=(2x-3) (x-3)，若关 a≥b
于 x 的方程 f(x)=k (k∈R)恰有三个互不相同的实根 x1，x2，x3 则 x1x2x3 取值范围为(
)
A．(0，3)
B．(-1，0)
C．(-∞，0)
h(x)为 f1(x)，f2(x)，的生成函数. （1）给出函数 f1(x)= lg x ，f2(x)=lg(10x)，h(x)=lgx，h(x)是否为 f1(x)，f2(x)的生成 10
函数？并说明理由. （2）设 f1(x)=log2x，f2(x)=log 1 x，a=2，b=1，生成函数.若不等式 3h2(x)+2h(x)+t>0
2
cos(2x
)
2
0
的图象过点
(0,1)
.
（1）求
f
7 24
的值；（2）利用五点作图作出函数在一个周期内的图像；
（3）当
x
24
,
5 8
时，方程
f
(x)
k
恰有两个不同的实数解，求实数
k
的取值范围.
22．对于函数 f1(x)，f2(x)，h(x)，如果存在实数 a，b 使得 h(x)=af1(x)+bf2(x)，，那么称
18．已知实数 a 为常数，U=R，设集合 A={x| x 1 ＞0}，B={x|y= log2 x 1 }，C={x|x2﹣(4+a) x+4a≤0}．
（1）求 A∩B；
（2）若∁UA⊆C，求 a 的取值范围．
19．设 a=(x，1)，b=(2，-1)，c=(x-m，m-1)(x∈R，m∈R). （1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 x 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式|a+c|<|a-
14. 函数 f x x2 x 6 的单调递减区间为 ▲ ．
15.已知角 的终边过点 (3, 4) ，则 cos _____▲______.
16.已知函数
f
(x)
(2a 1)x, (x 1)
loga
x
1 3
, (0
x
1)
，当
x1
0,
x2
0
且
x1
x2
时，
f x1 f x2 0
x1 x2
D．若函数 f (x) 为奇函数，则一定有 f (0) 0
12．下列命题中，正确的是（ ）.
A.已知非零向量
a,
b
满足
a
4
b
b
，且
a
2b
5
，则 a 与 b 的夹角为 6 .
B.若
a,
b,
c
是平面内三个非零向量，则
a
b
c a
b
c
；
a
C.若
sin ,
1 cos
b 1,
5. A 6．D
7． C
8. C 9． B
10． D
11． ACD
12． CD
13． AC
3、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
14. , 3 ．
3
15. ________ ___.
5
16.
0,
1 3
．
17 __ __, ____3,7,11______． 4
三、解答题（本大题共 6 小题，共 82 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）