_算术平方根_的教学设计及其对数学概念教学的启示

教 学 频 道
生 , 我想 , 先估算小数点后第一位 , 分别求 出 ,, ,,
, ,, ,, 的值 , 就可以得到 丁 的范围 , 然后再估 算小数点后第二位 , 这样继续下去 师 很好 , 下面请同学们利用计算器 , 按生 提供的方法进
行尝试
解
,
百炼的数学精华和基础 , 其中的数学概念 、 数学方法和数学思 想 的起源与 发展是 自然 的 , 所以数学课 堂的学 习与教学要 充分
所以
丁
的本质 , 对其赋 予形式化 的定义及符号 , 使其 达到精确化 , 成
为具体的一 个时 象 在 以后 的学习中 , 以此为对象去进行新的活 在 学生 计 算 结果 的 基 础 上 , 教 师 用 多媒 体展 示 、 丁
· …
动 、 图式阶段
一 个数 学概念 的图式是 由相应 的活动 、 过 程 、
行反思 、 抽象 , 使 学生形 成 了丰富的算 术平 方根 概念 的表 象 , 从 而水到渠成地得 出算 术平方根 的定 义 , 帮助学生实 现从 “ 过
实数
程 阶段 ” 上升到 “对象阶段 ” 最后 , 教师通过设计 正反例 的变
数 学概念教 学的最终 目标应 当是通 过运用形 成以概念 为中 心的网络 , 进 而将此 网络凝 聚为一 点 , 各点相 互联 系 , 形成概
级阶段 , 现代认知心理学的数学概念学习理论告诉我们
先是具体辨别水平 的运用 , 再转 到思 维水平上 的运用 例
概念
只有在运用 中才能得到 真正的理解 而概念 的运 用有多级水平 , 判 断下列 说法 是否正确 如正确 , 则说明理 由 如不 是 的算术平方根
索 、 勤于思考 、 不迷信 、 不盲从的表现 受到教师的鼓励 、 表扬 , 部分 同学脸上雾 出了笑容
哥拉斯学 派 中最 杰 出的数学 家希 帕索斯 , 约 在公元前 他发现边长为 世纪 , 的正方 形的对角线 的长度不 能用整数或整 数的
合 , 体现了数学概念教学的自然性 相反 , 如果在数学概念教学
中, “一个定义 , 三项 注意 ” 式 的抽象讲解 , 或者 只是 让学 生 接 受 、 记忆 、 模仿 和练 习 , 那 么这样 的数学 概念 教学 就不 自然 , 对人的素质培养不利 因此 , 数学概念教学应该把握本质 , 顺其
师 事实上 , 从上 面的实际 问题中我们 看到 , 正方形 边长 , 但 我们 现在还 不知 道 , 如果是 我们学过 的有理 如果这个数 我们没有学 过 , 那么我 们又 在我们 日常生活中确实是存在 的 , 而且它是正数 , 即 到底是 怎样 的数 数 , 那 它应该是多少 应该 怎样去研究它呢 学生鸦雀无声 , 静静的思考 形成概念 , 类 比理解 师 刚才生 提到我们需要学习新的知识 — 算术平方根 , 那 么算术平 方根是 什么 它 与我 们 已学 过的 知识有 什么联 系 你们 我们 能否从 已有 的知识经验 中来建构算术平方 根的概念 想从哪些 已知知识人手 去研究 生,
师 很好
我们知道 , 任何一个有理数都可以写成分数的 的分数 , 分数都可以化成有限小 丁 二 …不是有理数 ,
形式 整数可以看成分母是 数或无限循环小数 显然 ,
它是无限不循环小数 像这种无限不循环小数叫 “ 无理数 ” , 这 样数 的范围又从有理数集扩充为实数集 正整数
负整数 有理数
无理数
领学生围绕着 护 中的 是什么 用启发性 、 探索性的语言 , 顺 着学生的思维让学 生独立思考来 驱动学生 对操作 活动阶段 进
囚口一
图
分 川
一 、 “算术平方根 ” 的教学 实践
情境导入 , 初步感知 上课开始 , 教师提出问题
方米 的正方形布 料 如图
还有的同学是这样操作的 小 明的妈妈有两块面 积为 平 , 现准 备把它 拼成一个 面积为
如图
平方米 的大正方形 , 她想 , 如果按如 图 所示 拼接 , 面积 虽然 为 平方米 , 但不是正方形 小 明的妈妈很 困惑 , 你 能帮助
引入符号 , 渗透历 史 接着 , 教师继续启发学生
平方运算
为什么 涉及到平方运算
生 。 因为 护
师
表
好 , 就照你们 的办 为此 , 我们从特殊的情形 , 即特殊
师 给出了算术平方根的定义后 , 根据以往的经验 , 接下 去你打算研究什么
生,
生,
的正方形面积和边长人手思考 , 请同学们填写表 和表
型 扩 二 , 此 时学生虽然 不知道如何 去求 护 中的 , 但 己感 受 到算术平方根概 念产 生的直观背 景 , 理解 了数学 知识 与现实 生活之 间的联 系 , 为真正理解算术平方 根概念积累 了活动经验 这是 因为问题 的生活情境 是算术平 方根概念 产生 的 “源头 ” , 是学 生身边的数学 , 它引起 了学生 的学 习兴 趣 , 引 发了学生 的 认知 冲突 , 学生 自觉地去尝试解决问题 接着 , 教师很 自 然地带
徐光考
一 , 男 , 浙江台州人 , 浙江省特级教师 , 主要 从事中学数 学教 育教 学研究
JI AO XUEP ! N DAO
教 学 频 道
出 算术平方根的概念是学生在教材上看到的 至此 , 全班同 学处于 “困惑 ” 的状态 师 同学们 能够提 出这些 高水 平的问题是 自己深人思 考的
结果 , 对提 出的问题穷 追不舍 、 追 根究底 、 不 断追问是 勇于探
年
第
期
中 国 毅粉睛
的戴蒸股鱿及其
对戮学概慧戮学钓 启示
徐光考
张安军
浙江省台州市椒江 区 教 育教 学发展 中心
浙江省台州市白云学校
摘要
“算术平方根 ” 的教学设计对数学概念教学的启示
数 学概念教 学必须 “ 有 意识 ” 地加 以落实数
也有的同学是这样操作 的 如 图
数学概念形成 过程的教 学应是 自然的 、 水到 渠成的 、 知识发 生 发展过程 的教 学 学的思想 方法 、 思维 方法及数 学的研 究方 法 在 数 学概 念教 学 中融入数 学的人文精神 关键词 算术平方根 教学设计 数 学概念教学
形的边长二 二 丁 在刚才同学们的发言中 , 生 认为二 二 二 、何
丁
它有 多大
我们学 习的算术平方根是一 种特殊 的开方运算
呢 生 通过估算得到
接下来同学们打算用
概念定 义是从具体 到抽象 的升 华与凝 聚 , 是 概念学 习的高
什么方法进一步估计 厄 的值
J} A O X tJ E P IN D A O
正方形 的面积 矛 正 方形 的边长 表 生
引进符号来表示算术平方根
用符号表示 , 算术平方根就变得更加简洁
师 为什么要引进符号来 表示算术平方根 师 单美 把 引进符号 , 使用起来 既简 明又方便 , 体现 了数学 的简 〕 的算 术平方 根记为 万 , 读作 “ 根号 ' , 表示平方根 印度人在 开平方 阿 拉伯 人 用 表示 礴 牙
年前 , 德 国人用一 个点 “ ” 来表示 平方根 比如 , 就表 的平方 根 , 等等 直到 世纪 , 法 国数 学家笛卡尔第 一个
使用了现在所用的根号 ` 丫 一 ” 可见一种符号的普遍采用是多
么的艰 难 , 它是人 们在悠久 的岁月 中 , 经过不 断改 良 、 选 择和 淘 汰的结果 , 它是数学 家们集体 智慧 的结 晶 下面请 大家 思考
叫做被开方数 那么 , 根号是怎样产生和演变成现在这种样子的 呢 古 时候 , 埃及人用记 号 “' ' 时 , 在 被开 方 数 的前 面 写上 示
正 方 形 的 边 长
正方形 的面积 尹
学生很快填好表格 , 接 着教 师继续启发学生 师 表 与表 中的两种运算有什 么关系 生 , 是互 为逆运算 师 互为逆运算 以前学过吗 生 师 以前学过互为逆运算的有加法与减法 , 乘法 与除法 回答得 很好 表 中的运算是平 方运算 , 请 你根据 自
师
正确 , 则举 出反例 任何数都有一个算 术平方 根 的算术平方根是 是 的算术平方根 一个正方形的边长是这个正方形 的面积的算 术平方根 一 的算术平方根是一 例 求 出下列各数的算术平方根
` ,, ,
`, 箭 ` , , · ,·
、例 后 , 教 师及时引导学生反思 , 在不同学
学 生完成例
生反思的基础上 , 最后师生共同归纳得到 任何正数都有一个 算术平方根 , 的算 术平方 根是 , 负数没有算术平方根
师
怎样用 数学语言准 确地定义
我 们来翻开教 材阅读算
的平 方等
术平 方根的严格定义 教 师板书算 术平 方根 的定 义 , 即如果一 个正数 于 , 即 护二 , 那 么这个正数 的算术平方根是 叫做 的算术平方根 , 规定
师
一般 地 , 乘方的逆运算我们 称之为 “ 开方运算 ”, 今天 初 步应用 , 辫析概念
小 明的妈妈解决这个困惑吗
口 口一 巨口
图
图
在交流 的基础上 , 最 后师生归 纳
今
因为 , , ,
利用 正方形 的性 质 , 如
轴 对称性 和 中心对 称性 策略
学生解决 了问题
小 学学过
等是 分 割正 方形 的常用
由于 问题 的背景 为学生所 熟知 , 因此 它激活 了学 生已有 的
知识经验 , 激 发 了学 生的好奇 心和求知欲 , 学生 自 觉地 尝试着 自己去想办法帮助小明的妈妈 解开这个 困惑 学生 先独立 操作
体现数学 的 自 然 性 , 使数学 课堂教学 的过程成 为 自然 的数学教 学的过程 所谓 自然的 、 水 到渠成 的数学概念的形成过程 , 是一
种数学概念知识发生发展的原过程与学生数学认知过程的融合
因为