现代小学数学课堂教学的心理学依据

——现代小学数学课堂教学的心理学依据一、引言近半个世纪以来，皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学，尤其是中小学数学教学。

皮亚杰指出：“ 动作是智慧的根源”，①任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作，数学运算是一种广义的动作。

②这些观念为数学课堂教学所采纳，目前小学数学普遍采取动手操作（或以直观方式演示有关操作）的方法。

然而，对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法，却缺乏深入的研究，许多问题都停留在知其然不知其所以然的层面——我们知道数学运算是一种广义的动作；但它除了是一种动作之外，还存在哪些区别于一般动作的规定性？同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧；但能否认为任意的动手操作都有益于儿童智慧的发展？在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作？本文试图就以上问题作些探讨，以期引起更深入的研究，并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益。

二、数学运算的内在规定性1.反身性数学运算“甚至在其较高的表现中，也是正在采取行动与协调行动，不过是以一种内在的与反省的形式进行的罢了……”③这里“反省”与反身、反思是同义的。

皮亚杰将个体认知活动划归为两类。

一类是对客体的认识；另一类是对主体自身动作所进行的反思。

前者带来关于客体的知识；后者带来数理逻辑知识。

［实例］一个儿童摆弄10个石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度。

“重量”与“光滑度”是关于对象（石子）本身的知识。

此外，儿童还有另一类动作，他将10个石子排列成不同的形状，沿着不同的方向点数它们，其总数“10”总是不变的。

这里，儿童将手指一一地（不重复也不遗漏）点向10个石子，是具体动作；从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变，则是一种反思，是反过来对自身的具体动作进行思考。

具体动作可以有很多种（可以从不同的石子开始，可以沿着不同的方向进行），但总数的“10”却是恒定的。

只有通过反思，体会到这种“恒定”，儿童才真正学会了计数。

这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作，但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要。

儿童能一一地点数石子，我们也能训练一只小鸡——地啄石子，但小鸡不会了解“10”这个数，因为它没有反思。

数学运算因其反身性，还呈现出一种层次性与相对性。

高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协调与转换。

乘法是对加法的“运算”；乘方又是对乘法的“运算”。

2.可逆性“运算是一种可以逆行的行动，即它能向一个方向进行，也能向相反的方向进行。

”④我们可以把1和2相加得到3；反过来，也可以用3减2而还原为1。

任何一种运算，总有一个与之对应的逆运算。

学生用减法验算加法（或反过来用加法验算减法），用除法验算乘法（或反过来用乘法验算除法），就是因为这些运算是可以“逆行”的。

对于“合”（加或乘）的结果，我们可以用“分”的动作（减或除）使其还原到初始状态。

可逆性可以区分为两类，一类是反演可逆（1＋2＝3，反过来3 －2＝1）；一类是互反可逆（6比2多4，反过来2比6少4）。

前者表现为相反的操作；后者表现为次序的逆向转换。

3.结合性运算“是可以绕道迂回的，通过两种不同的方法可以获得相同的结果”。

⑤这就是所谓结合性。

具体到小学数学教学中，结合性体现在两个方面。

其一，体现在运算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交换律）；3 ×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律）。

这里，每个等式两边是不同途径的运算，但其运算结果却是恒等的；其二，体现在问题解决的一题多解方面。

问题：男生和女生共植树450棵，已知每个同学植树5棵，有男生46人。

问：女生多少人？对于这一问题可以先求出女生植树多少棵，再除以5，得出女生人数：（450－5×46）÷5＝44（人）；也可以先求两个班共有多少人，再减去男生46人，得出女生的人数：450÷5－46＝44（人）。

两种解法，具体途径不同，但结果一样。

至此，我们将可逆性与结合性综合起来考察，则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素”。

反演可逆是以相反的运算（如：以减法来验算加法）使其还原为初始不变的状态。

互反可逆是一种相互转换，6比2多4，2比6少4，这里差集“4”是不变的。

在运算规则里，运算途径改变了，但运算结果不变。

在问题解决中，具体解法可以各异，但答案是唯一（不变）的。

我们说，数学运算是一种转换。

在这种转换过程中，并非所有的东西都发生了改变，总是隐含着某种不变的因素。

正是“不变因素”的存在，才使转换成为可能。

4.结构性结构性运算，就其现实的存在方式而言，“包括复杂的运算体系，而不是被看作先于这些体系成分的那些孤立的运算。

”⑥数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。

首先，每一种数学运算本身就是一个结构化的动作。

加法包括“合”的动作，也包括计其总数据的动作（这在学龄前儿童的实物操作中，可观察到；小学一年级儿童，因熟练而逐渐简约化）；其次，各种运算联合起来，又构成一个大的结构，加是“合” 的动作，减是“分”的动作；乘是加（或合）的简便运算，除是减（或分）的简便运算；加减互为逆运算，乘除互为逆运算。

这许多关系，使四则运算联合成一个大的整体。

三、课堂教学中，指导学生动手操作应注意的问题在明确了数学运算的内在规定性之后，我们将依照这些规定性，提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注意的问题。

1.引起反省从以上分析中我们了解到，数学运算是一种反思，具体动作之后的反思比具体动作更为重要。

具体到课堂教学中，我们在指导学生动作操作时，不应停留在为操作而操作的层面；而应引导学生对其操作进行思索。

以分数概念的教学为例，通常的教法是将分数的具体“操作”和盘托出、呈现给学生。

如：将一个饼平均分成两块，每块是它的1／2。

这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿，而不能调动学生内部的思考过程。

一般而言，分数是小学生数概念的一次大的扩展。

此前，儿童能用加减法层面的“差集”（6比2多4）或乘除法层面的“倍数”（6是2的3倍）来表示二数比较关系。

在倍数中，比较量一般大于（或等于）标准量；分数的引进是要解决一个全新的问题：当比较量不足一个标准量时，如何表示二数关系。

关于分数概念，这里设计了一种与通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起学生思考。

关于“分数概念”的课堂设计：准备：在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段，准备一根60厘米长的木棒（无刻度），线段长度分别是木棒的3倍、1倍、1／3。

木棒────白线：─────────── ────────白线长度是木棒长度的3倍红线：──────── 红线长度是木棒长度的1倍绿线：─ 绿线长度是木棒长度的？教师［演示］：用木棒分别量白线与红线，并板述；然后量绿线，提问。

教师：绿线长度是木棒长度的多少？学生：……没有一棒长。

教师：没有“一棒”长，怎么表示？学生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和绿线都量一量。

教师：（量得绿线长20厘米，木棒长60厘米）那么，绿线长度是木棒长度的多少？60厘米学生：木棒是绿线的3倍。

教师：这是我们以前学过的“倍数”；现在，我们反过来说：以木棒为标准，绿线是木棒的多少？［演示］比着绿线将木棒3等分（用粉笔在木棒上画刻度）［继续提问］现在想一想，怎样表示“绿线是木棒的多少？”）……导出：将木棒3等份，绿线是3份中的1份。

进而导出：绿线是木棒的1／3。

并将“倍数”与“分数”统一起来：都可表示两个数的比较。

这种方案较之于“和般托出”直接告诉学生的教法，更能调动学生积极的思考过程。

也只有进行这样的思考，儿童才能真正明确分析所蕴含的内部操作。

将有关“操作”和盘托出，不注重激起学生“反思”的教法，与两种不恰当的观念有关。

其一是把数学运算等同于具体动作；其二是认为内在运算是对外在动作的简单模仿。

其实，数学运算应该包括三个呈递进关系的成分：（1）具体操作；（2）对具体操作的反省与反思；（3）在反思过程中进行某种转换或重组。

转换是对具体动作的转换，重组是对原有的、已习得的操作的重组。

儿童在接触到分数之前，已学会了“ 比较”（一个数是另一个数据的几倍）与“等分”（除法）。

现在面临新的问题：比较量不足一个标准量。

在上述方案中，问题解决的过程，是学生积极思考的过程，也是重组原有“比较”与“等分”等内部操作而构成分类操作的过程（分数的内部操作包括：比较二数；等分标准量等）。

2.体会“必然” 在上一小节中，我们强调在让学生动作操作的同时，应引导他们对具体动作进行反思，并在反思过程中进行转换与重组。

但数学运算还具备可逆性与结合性的特征也就是说在转换过程中，并非所有的因素都发生改变，而总隐含着某种不变的因素。

由于某些不变因素的存在，数学运算显示出一种必然性。

1＋2一定等于3；3×5 一定等于15；π＝3.1415…是圆周与直径的比率，不是人为规定的；在两个班共同植树的实例中，解法不同而得数是不变的。

对数学运算的必然性的认识，往往是一种不自觉的“必然之感”。

这种必然之感的获得，是儿童形成数学运算的标志。

指导学生认识数学运算的必然性，可利用日常的实例。

数学运算往往都有其现实原型，而且有些原型能明晰地表征相应运算的涵义。

如：教乘法口诀时，可让学生数一数一面窗子的格数。

如果竖着有4行，每行5格，那么就是5×4＝20格。

四五二十的口诀就存在于我们对这扇窗子的计数活动之中。

它不是人为的任意编出的口诀，而是“必然”的。

3.融会贯通数学运算是以结构的方式而存在的。

结构化不是将不同的运算（或操作）简单地拼凑成一个整体，而是要消除各种运算（或操作）之间的“矛盾”、以达到相互协调。

“关于‘分数概念’的课堂设计”将分数概念放在数概念的扩展（从倍数到分数的扩展）之中，具体设计了一个问题情境：比较量不足一个标准量（此前，在“倍数”中，比较量总是大于或等于一个标准量），如何表示二数关系。

学生面对这一“矛盾”、积极思考。

消解矛盾的过程，同时也是各种操作（倍数与分数）协调、统一而融会贯通的过程。

四、结语综上，可以明确：（一）对小学生而言，数学运算既包括具体的动手操作，也包括对动手操作的思索。

后者比前者更为重要。

（二）数学运算总是隐含着“不变的因素”，具体体现在逆向运算、逆向转换（6比2多4 ，那么2比6少4）、运算规则以及问题解决的一题多解等方面。

（三）数学运算总是以结构化的方式而存在。

在于数学运算的内在规定性，本文提出（一）课堂教学中，在指导学生动手操作（或演示有关操作）时，应引起“反省”。

小学儿童离不开具体动作的支持，但对具体动作的思索更为重要。

（二）在指导学生动手操作的过程中，让学生体会到“必然”之感，必然之感的获得，是数学运算形成的标志。

（三）在动作操作过程中，指导学生通过思考，将各种运算联成整体，融会贯通。