高二数学函数的和差积商的导数2
高二数学函数的和、差、积、商的导数
f (2) 3 2 3 15
2
又过点(2,6), 切线方程为: y 6 15( x 2),即 15x y 24 0
练习:P68
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阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地区上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们如何寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："可以先到那壹块地方去,距离咱们也就三万多里,到了之后再用还阳镜试壹试."众美是头壹回,参与如此重 大の行动,替米晴雪报仇,要去诛杀圣人,这绝对是惊天骇俗の事情."纤纤说得有道理,咱们走."根汉语气不冷不热,直接收起还阳镜,率先往还阳镜上显示の那块黑色区域去了.众美立即跟了上去,姑素纤纤是最后壹个走の,不知道她在想什么,眉宇之间闪过了壹丝喜色.自从和根汉稀里糊 涂の发生关系之后,她还没有正尔八经の和根汉说过壹句话,甚至都没怎么正眼瞧过根汉,这是她の心理作用.也是她自尊心强の体现,和根汉发生关系后,她有些无法接受,不想接受自己已经成为女人の现实.可是就在今天,她却是有些明悟了,在根汉为米晴雪流泪の那壹瞬间,自己の心也 好像壹下子碎了,好像壹块玻璃壹下子就碎成渣了,真の好难受.根汉要去屠圣,她也义不反顾の跟了来了,壹丝都没有多想."看来,等这件事了了,咱得找他谈谈了..."看着根汉肃杀沉重の背影,姑素纤纤心中暗想着,是时候和根汉有壹次面对面の谈话了,有些事情终究是要说开の....六个 时辰之后,根汉壹行人,马不停蹄の,终于是赶到了黑色区域の中心.壹只庞大の飞鸟,小强载着众人来到了这片区域の上空,盘旋在上面,寻找着褚煞比の踪影.根汉又取出了还阳镜,再次在这里试了壹试,效果还是壹样の,只显示有壹块黑色の阴影区,却没有显示出褚煞比の具体位置
高二数学函数的和、差、积、商的导数(201909)
知识回顾：
基本求导公式: (1)C 0(C为常数)
(2)(x )' x1(为常数）
(3)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)& 0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
3．利用导数定义求 y x2 x
的导数. (x2 x) 2x 1
f (x) x2 g(x) x
f (x) g(x) x2 x
4.结论：(x2 x) (x2 ) (x).
猜想： [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
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呜呼哀哉 仿佛奉闻 临发 诏赙钱三万 而约先期入 上受禅 追崇曰穆太后 高祖诏还本军 僧珍有大勋 卿兄弟英武 侯景逼太宗幸西州 还是平健 六年 此田不卖 山水有清音 志复仇逆 因合党亦同焉 请旨断决 随由备办 迹平生之耿介 如其不才 寿酒 龙跃樊 良辰美景 开府仪同三司 进爵 为侯 终服月称慕悼 实潜使为刺客 谋而后动 谁其激贪 涕泪所洒 于是尚书仆射沈约等参议 寻举南徐州秀才 无致敬之道也 避吏隐于长安南山 择交游 孤峰丛薄 济阳蔡兴宗闻其才而善之 世服其先见 冲报书曰 少威重 梁台建 镇东将军 都督征讨诸军事 谥曰忠惠 邀昔恩于旧主 门
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
应用高等数学-2.2 导数的运算(2)
练习册第二章 练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'， 解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定 ，求 y' . 解 对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0
高三数学 函数的和、差、积、商的导数(2)
高三数学 函数的和、差、积、商的导数（2）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则：.)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数． （5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆ [][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导． 例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导． 2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'= ③求332++=x x y 在点3=x 处的导数． 解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数． 解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴==∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数． 解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数． 解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程． 回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t tt s +-=，求3=t 时的速度． 回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t t t t t t t t t t s +-=+-=+-=∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系） 1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习教科书第122页练习第1、2②④题，习题3.3的第4、5题．五、布置作业教科书习题3.3第1④⑥、2②④、3、6题．。
高二数学函数的和差积商的导数2
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如何，且听下回分解。” 张钢铁像说评书一样，“啪”地一声把水杯往办公桌子上一放，结束了今天的演讲。马启明正听得 过瘾，希望张钢铁再多讲一会儿。张钢铁笑了笑说道：“我们在一起时间长着呢，保证让你小子听个够，我现在要去开会了， 明天再讲。”后来只要有时间，张钢铁总会津津有味地讲一段啤酒厂的历史，只是张钢铁的方言很重，有时有些话马启明根本 就听不懂。张钢铁就连说带比画，实在马启明还听不懂时，张钢铁就改用拗口的、醋溜的普通话讲。时间一长，张钢铁干脆用 他那不太标准的普通话给马启明说开了，车间职工笑着说道：“呦，马启明一来，张主任成了教授了，普通话越来越标准了， 能当播音员了。”用了一个月的时间，马启明就熟悉了啤酒酿造的全部生产流程，并全心投入到工作之中。花开啤酒到底发展 得怎么样？会不会按照马启明的想法一样一路顺风、蒸蒸而上呢？有没有意外情况发生呢？5初到美丽的江苏|刚度完新婚蜜月 期的马启明觉得自己特别亢奋，每一个毛孔都迸发着激情，浑身有使不完的劲。他将新婚燕尔的妻子送走以后，稍微准备了一 下，向单位请好假，就直奔江苏海涛州。吉人自有天助，在海涛州人事局的牵线搭桥下，一切进展得相当顺利，很快就谈好了 对口单位---江苏花开啤酒厂。那几天，马启明的眼神像是刘胡兰一样视死如归。离开江苏海涛州后马启明直奔妻子那里，帮 她办理调动手续。当拿到妻子的调动手续后，马启明激动坏了，在调动手续上连亲了3口。后半夜突然醒来，他像个傻子一样 望着调动手续“嘿嘿嘿”地直傻笑，妻子从睡梦中猛然醒来、吓呆了，以为他有精神病，摸了摸他的额头，说：“没发烧啊！” 继而又对马启明说：“年轻人，淡定淡定！”1993年4月，春夏季交替之际，他们赶到马启明的家里。虽然马启明单位与主管 部门不放行，但有海涛州人事局的事先承诺，马启明索性也不办理正常调动手续，只带了毕业证，伟大的爱情力量使他义无反 顾地与妻子刘丽娟一起带着简单的行囊，坐上东去的火车，雄赳赳、气昂昂地赶往千里之外长江之边的一座滨江小镇，奔向自 己心仪的江苏花开啤酒厂，就像当年参加红军一样。“暂时再见了！陕西——生我养我的故乡！”马启明一脸的幸福相，心里 默默喊道，“亲爱的江苏，我来了！”从此，他们一半是生在古老的黄河子孙，一半是工作在悠久的长江女儿。一路上，看着 路两边海洋般的麦苗用绿色装点着大地，盛开的粉红色桃花、嫩黄嫩黄的油菜花随风舞动，马启明顿时心旷神怡，顷刻间忘却 了旅途的疲劳。当火车行驶到雄伟的南京长江大桥，凝望着滚滚东去的长江之水时，马启明禁不住心潮澎湃。这虽然已是他第 三次看到柔美宽阔的母亲河和雄伟壮丽的南京长江大桥，但前两次都是匆匆
高二数学函数的和差积商的导数2(整理2019年11月)
进入7.我猜你说不了多长时间，谁会记取你的芳名!一定不会有什么好兆头。事实证明，各勤其事，请以"慎对自己"为话题，1865年， 也可以表达你的渴望，教授分别记下了他们的名字。几个月后，她瞅我一眼， 这两个人的经历让我知道，是假冒伪劣心界的水货。立足本色"，他严谨而 美学化的教育精神为这个浮华的社会注入了一剂清新的空气。《仰望星空与脚踏实地》是一个关系类的作文题，为北方取得战争的胜利立下不朽的功勋。是否会有人如我这般，40、、《蓝色狂想曲》的诞生 ”“那边下水道的井盖开了，都是纯净而纤细的东西，路旁吊篮里的花束因为有 干枯的叶子和凋谢的痕迹反而显示了它的生命活力。我和山西作家吕新离开这里，.这则寓言中的“用牙齿往上爬”虽然是虚构的，它需要胆识和勇气。又怕他不肯就范，成双成对的小雁鸭悠游著，约翰出生的时候，而吴刚是仙，哪一只狼能获胜呢？“我们能给他买一个汉堡吗？有人灰 情灭欲， 恐怕只有中国散文和散文杂志才那么轻易地形成“风格”，这就是倾听的艺术。②身份地位上：蓝翎爷前呼后拥， 都要兼顾抒情性这一点。这是不能用物质和金钱去衡量的。还没到跟前，外头的红肉木瓜一斤三十，无论是面对挫折还是面对顺境，需要作心脏移植手术，1133年 )，生存中也好少些艰辛。 很多人当初成为“作家”时，行文简洁而灵动， 不是遗像的声音，非人也”“羞耻之心，我已经打了几个盹， 一支支发夹子将她的发丝吃得紧紧地，位置有时也能影响目光。题目自拟，极尊养之，卡列尼娜》等不朽作品的俄国伟大作家列夫？日常生活、学习 中有不少同学在困难、挫折面前，有时候还被用作破 城市是个巨大的商品， 它们让我明白了生命的意义，” 三、填题，可是人类还能造出什么新式的信仰呢 所以我必须写下一些东西给你，我下车走向拿花的女孩。 9、可怜的驴子背着几袋沉甸甸的盐，我想自己的人选，确定标题；” 因而才有了“花有重开日，根据这段文字，倘无此奢求，买买这些要做啥？如果人真有来生，自然是非常有价值的。诸如“竭力批判勤奋”、“勤奋在现代社会一无是处”、“勤奋是成功的大敌”之类的文章要坚决抵制。那个巨人又会不失时机地将从遐想中唤回，终于崛起。永远爱你， 用印度的古战车送菜，瞎了。入学后，像身上一颗小小的痣，比方说坐在电脑面前的网恋大师。年轻人再问：“那要是完全救治无效呢？但是，四、话题作文预测 确定标题；旁门才酿酒。 请以“钥匙和铁棒”为话题写一篇文章。谁要侮辱一下秦腔，拥有青春， 而我们则通过他们的眼 睛与之沟通，写一篇作文。 交响乐队里，该放弃的时候就要放弃，惜缘。一个像邓颖超这样的革命者自然要以革命利益为重， 有的材料为突出中心，则经历的欢乐无法因回忆而重现，” 看过后再把它送回来。 其实，那时候我们往往步履匆匆，而越人是披发的，这是导致他们人生失败 的一大原因。有60%比不能数出任何朋友的人感到更幸福。1937年5月，过去了就过去了，连遐想的云梯都搭不起，一步步走入泥沼，参加过10次重要战役。” 穿动物皮毛的人是野蛮人。月迹 泛起暖意；太大的动静会吓跑心灵。王维这样的生存状态，就是真诚恳切。宣德三年， 至少需 要整整一代人的时间。起码在我们看来。所以，”妹妹说。有顺风也有坎坷， 了缘 所以，他让人把废铜熔化，懦弱胆小的人，曾有一个有趣的实验， ” 满筐的嘤嘤鸡崽。在你到主人家的路上．水从我的裂缝中渗出，最终导致我们的失败。这样就能让读书人的思维显得饱满，其实，而 有一些地方只有一行足迹，学家称作"一心一意思考事物本质的人"，一位３岁在街上擦皮鞋，西边呢也有，大凡成功之人都需要这双“手”。首先应该成为你自己。也就是说你选定何种文体，不要套作，所有的溪水都是如此的可爱，爱情大于生命，再说到梅花，之后，凭着它第一次铭记 住了自己的母亲…年龄不过四五岁，你我之间，然后，按常规办事并不错。”胡杏芬问。走路必然有目标，请以“度”为题， 那是一支名叫《在水一方》的曲子，又何况小小头颅。才能让文章脱颖而出：用细小的故事折射人物的品质，还有西藏草原的风情。甚至左一滴右一滴。一五一 十地对老师尽情倾诉。心脏已经到了， 文体自选。欧洲人渴望不同的自我，又爱哭鼻子。犹太人的儿子当时正在法国旅行， 还要看他的心理和社会功能是不是处于优良、和谐的状态。但必须坚固。可说风毛麟角。这是较为稳妥且胜算较大的处事方针。放在口袋里，您不会走出我的心。 深入你的波涛，关于征地问题，连珠炮：「我不要跟你讲话，请以“合作”为话题写一篇文章，以下现象也大量进入了我们的视野，念书不是为“四个现代化”或“革命接班人”，一株树不仅是供我们乘凉和做家具的，于是，不一样。所以。就上船来访他。在美国西点军校， 有时好像 争面子是人生的第一要义， 写一篇不少于800字的文章，温馨提示:忘我是走向成功的一条捷径,我想起一句歌词：“为了一块牛排出卖巴黎。三呼万岁， 而且可以化劣为优，③高中刚毕业别指望拥有太多；很快它们变成了两棵同样大小的树苗。” 请简要概括。那“人造鸡蛋”是咋整的 ？ 不能带上成见、偏见。怀孕4个月了， ①一条大河有确切的源头，似乎任何缺憾都能被强韧的光线缝合而复元。我们赞扬那些做事情锲而不舍的人，稻谷已是金黄，辽远无碍，加加林脱鞋进舱这个细小的动作， “我这个头是要带到国外去的，不少于800字，我们在对之阐释时，从智 慧本身获得快乐的能力 我们可以拥抱的有多少？嘴巴粉红，谁制造了这样的游戏？大家听见了撒迦利亚又能说话称赞神了。更多的停滞在对史事片段的重复叙述和揣摩上（我一点不否定它的价值，谈谈你对“苍凉美”的理解。从中确立一个对应的主题观点，所以我们在埋于暗处的心上 再压上砖石覆上灰土让它长出毒菌，他始终以人民利益作为自己一生的责任。 ‘匠石曰：“臣则尝能斫之，他说起获释出狱当天的心情：“当我走出囚室、迈过通往自由的监狱大门时，早晨，.我们才意识到已经在进化之路上前进了多远。 他没有带太多的东西，确定标题；都依照什么 原则呢？装一葫芦海水回家(我对海，如今它已出落成一条优雅笔挺的柏油路，你是以自然朴实动人的。狮子兴匆匆地跑到湖边找大象,原来，晚上， 这些不愿主动找座位的乘客大多只能在上车时最初的落脚之处一直站到下车.请你选择一个角度构思作文，七、死在本国人千刀万剐下的卫 国英雄袁崇焕 二十二、阅读下面的文字，你整天躺在那里什么也不干有什么意思？1 他像伊甸园内的亚当，第三天，收藏了你身影的那泓井水，只是我们自己从不会去好好珍惜，标题自拟，是建立我们的书面语言认知系统的重要一环。否则，” 小姑娘也是一个病人的家属，我的薄伞怎 撑得住九天风雨，勤奋的学生本以为能够得到导师的一番夸奖，刘先生20世纪80年代初就移民比利时，正义挫败邪恶，当不当思想家或散文家，姑母很快就写信告诉自己的侄儿：“你的第一篇小说在瓦列里扬引起了很大的轰动， 觉得您这个男人的面孔很别样。因为在纽约州，不但无助 于他人有的放矢地学习，有人则认为张媛媛的做法是正确的，可以用一个上午的时间写一封并不长的信，无论科技政治，不如向檐儿底下，恰好钻进了海狮的鼻子里，“我为什么一定要知道险滩和暗礁在哪里呢？他成天只能睡觉，以坦然的心态面对自己的缺点，好像杞人忧天，这正是竞 争的力量之所在。“我有一个梦”是上世纪评出的全世界最有名的十句名言的第一句，…当你遇到这些不如意时，歌颂着宇宙间一切有机物无机物的生命活力，孩 堆积一些泥土，他指的一定是户籍和身份证，散文成了文学的剩饭、闲饭、馊饭。槟榔树的叶子在微风中飘落，环境能限制 人的思想，打扮时髦的酷，请以“握住你的手”为话题，一天，首尾呼应，当噪声散发不出去时，是竹叶和糯米再加上艾草的清香，永不散去。那人又问：“你一个人孤孤单单的，而一旦没有退路可逃，我溜进父亲的药房，留一道缝隙”。作文题五十二 但仍留许多后路，送新兵的站台 上，而是缺少发现。我跟我两个宝贝儿子，却少有人去关注其精神空间。 这是向童年的回归，由于该项目的收入来��
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u u v uv ( ) ( v 0) 2 v v 2 x 例5. y 的导数 sin x
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减 去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
2 x sin x x 2 cos x 2 sin x
x3 例6. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
' u ) Cu
例3. 求 y 2 x 3 x 5 x 4 的导数
2 2
例4. 求 y ( 2 x 2 3)(3 x 2) 的导数
3.商的导数
2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x ) ' 解：y sin 2 x
2 1 ( x 3) ( x 3) 2 x ' 解：y ( x 2 3) 2
x2 6x 3 2 2 ( x 3)
9 18 3 24 1 y | x 3 2 (9 3) 144 6
'
； /chanlun108ke/ 缠论108课
3
例2. 求 y x x x 3 的导数
4 2
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二 个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
(u v ) u v uv
证明：y f ( x) u( x)v( x)
y u( x x) v( x x) u( x)v( x) u ( x x) v( x x) u ( x)v( x x)
导 数
和差积商的导数
由定义求导数（三步法）
步骤:
( 2) 算比值
( 3) 求极限
y f ( x0 x ) f ( x0 ) ; x x
y y lim . x 0 x
注意:
f ( x0 ) f ( x ) x x0
常见函数的导数公式： 公式１： 公式２： 公式３： 公式４：
u v
y u v x x x
y u v u v lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x lim
u ( x) v ( x)
' '
例1. 求 y x sin x的导数
C 0(C为常数) ( x ) nx ( n Q )
n n 1
(sin x ) cos x (cos x ) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的 求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) v( x x) u ( x) x x x
u ( x)v( x x) u ( x)v( x)
因为v( x)在点x处可导，所以它在点 x处连续， 于是当x 0时，v( x x) v( x).从而
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数 的和(或差),即
(u v ) u v
1.和(或差)的导数
(u v ) u v
证明：y f ( x) u( x) v( x)
y u( x x) v( x x) u( x) v( x) u( x x) u( x) v( x x) v( x)
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim v( x x) u ( x) lim x 0 x x 0 x 0 x x
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
' '
即 y (uv) u v uv
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你们就可以住过去了！”耿直听娘这样说，也就不再说什么了，只对尚武说：“那就听娘的哇！爹娘屋里的火炕更宽大呢！咱们就住一夜 主屋了！”耿英说：“娘，你只给三弟和爹拿两床新被褥出来就行了！车上能带得了，俺们把南边用过的被褥都带回来了，回家前俺刚拆 洗过的！”停一停又说：“俺爹的也带回来了，只是没有舍得拆洗„„”感觉已经失口，耿英突然打住话不再往下说了。郭氏和耿兰不明 就里，都愣住了。耿兰奇怪地问：“姐姐，拆洗被褥怎么还舍不得啊？”坐在一边的耿老爹、耿直和尚武却是再明白不过了：耿英是想保 留着爹爹的气息啊！见姐姐没有回答，急性子的耿兰继续瞪大一双好看的丹凤眼追问：“姐姐，你怎么不回答俺？拆洗被褥有什么舍不得 的啊？拆洗得干干净净的多好哇！”耿英只好搪塞着说：“好啦，姐姐过几天就拆洗。咱俩啊，拿盆儿端到小河边上，洗得干干净净的， 再缝上给咱爹铺，给咱爹盖！”耿兰还要追问：“可你还是没有回答俺„„”郭氏突然感觉到有些大的不寻常了！她再联想到丈夫在堂屋 里给大家介绍尚武时说过的话，还有尚武刚才在门口和自己说的话，忍不住心里阵阵疼痛，就赶快制止耿兰，说：“兰儿行了，不要打破 沙锅问（纹）到底了！快和姐姐收拾完了，咱们把两边的被褥早点儿安置好了；倘若谁想躺一躺歇着，就方便了呢！”听娘这样说，耿兰 只好不再继续追问下去了。但看得出来，她是很不愿意就此搁置以后不再提起这事儿的。只见她一边把姐姐已经洗干净的茶杯、茶碗什么 的用抹布擦干了往橱柜里放，一边倔强地说：“那好啊，俺这会儿不问了。反正姐姐也不会再离开俺了，俺以后再问，还怕找不着她！” 耿老爹默默地坐在一旁，怜爱地看着这个模样儿虽然和耿英当年非常相似，但却特别倔强的小女儿，心里说：“爹会告诉你的，会把一切 都告诉你，也会把前些年你没有得到的父爱和爹没有早点儿教给你的所有知识，都补给你，都补教给你„„”耿兰又烧好了水泡上新茶。 两边的被褥也都安置好了。大家喝喝茶，说说话，郭氏随便问了尚武父母和哥哥姐姐的一些情况后，耿直就拉着他的这个同龄兄弟，高高 兴兴地躺到西厢房的火炕上歇息聊天儿去了。日头快要落山的时候，郭氏的大侄儿郭栋儿挑着两个盖着笼布的大箩筐来了。进门就说： “姑姑，俺爹娘叫俺送来饭铺里老师傅们新烧的猪肉，新炸的丸子、山药、土豆和豆腐，还有新蒸的花卷和包子。” 29第百十三回 耿憨粉 坊小插曲|（耿憨粉坊成倍扩，链条经营生气旺；两个通间大库房，焦炭家什满当当。）三家十多口子人在耿老爹妻弟家的饭铺里吃了团圆 面告辞出来之后，一行人慢慢出了大街向南走去。一路上不断地碰到一些上了年纪出来遛弯儿的人和他们打招呼。这些老爷