苏教版数学高二-苏教数学选修2-2 函数的和、差、积、商的导数
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 函数的和、差、积、商的导数
第7课时函数的和、差、积、商的导数教学过程一、问题情境问题1分别求下列函数的导数:(1)y=x2;(2)y=x;(3)y=x2+x.你能从以上计算结果,发现什么结论?解(1)y'=2x;(2)y'=1;(3)y'=2x+1.两个函数的和的导数,等于这两个函数导数的和.问题2你能证明上述结论吗?解因为==2x+Δx+1,当Δx→0时,→2x+1,所以y'=2x+1.问题3两个函数的差的导数,等于这两个函数导数的差吗?[1]二、数学建构问题4已知f'(x),g'(x),那么[f(x)+g(x)]'等于什么?[2]解函数和的求导法则如下:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和.问题5可以怎样验证大家的结论?[3]问题6你能证明吗?[4]问题7已知f'(x),g'(x),则[f(x)-g(x)]',[f(x)g(x)]',等于什么?法则1两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即=(g(x)≠0).法则理解(1)法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.(2)[Cf(x)]'=Cf'(x)(C为常数).(3)求导法则的证明不作要求.三、数学运用【例1】(教材第21页例2)求下列函数的导数:(见学生用书P13)(1)f(x)=x2+sin x;(2)g(x)=x3-x2-6x+2.[处理建议]先由学生写出解题过程,让其他学生点评;教师在学生的交流中,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误,同时强调书写格式的规范.[规范板书]解(1)f'(x)=(x2+sin x)'=(x2)'+(sin x)'=2x+cos x.(2)g'(x)==3x2-3x-6.[题后反思]运用函数的和差法则求导的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数,再用导数公式进行运算.变式求y=2x3-3x2+5x-4的导数.[规范板书]解y'=6x2-6x+5.【例2】(教材第22页例3)求下列函数的导数:(1)h(x)=x sin x;(2)S(t)=.(见学生用书P14)[规范板书]解(1)h'(x)=(x sin x)'=(x)'sin x+x(sin x)'=sin x+x cos x.(2)S'(t)===.[题后反思]例2(2)还有其他解法:S'(t)==1-.例2解法二可由学生的探究活动产生,教师作适当的点拨.归纳根据函数的积商的法则求导的一般步骤,同时注意说明解法不唯一;要求学生正确运用公式.变式1用两种方法求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.[规范板书]解法一y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.解法二y=6x3-4x2+9x-6,y'=18x2-8x+9.变式2求y=的导数.[规范板书]解y'===.变式3求y=x ln x的导数.[规范板书]解y'=ln x+1.变式4求y=在点x=3处的导数.[规范板书]解y'====,所以y'===-.*【例3】(教材第22页练习5的变式)已知函数f(x)的导数是f'(x),则函数[f(x)]2的导数为2f'(x),结论对吗?[处理建议]本题由学生口答,暴露问题后集体探究.[规范板书]解[f(x)f(x)]'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x).[题后反思]通过本例让学生初次体会复合函数的求导,学生暴露问题却又不明所以,会激起学生的强烈的好奇心,从而激发学生的学习兴趣,同时也为下一节课学习复合函数的求导公式奠定基础.四、课堂练习1.函数y=x2cos x的导数为y'=2x cos x-x2sin x.2.函数y=的导数为y'=.3.若函数y=2ax2+1过点(,3),则此曲线在该点的切线方程是4x-y-1=0.4.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a=1,b=1.五、课堂小结1.函数的和、差、积、商的求导法则.2.法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.3.求导法则的证明不作要求.。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2自我小测函数的和、差、积、商的导数
自我小测1．函数y＝(3x－2)2的导数为__________．2．函数y＝x·e x在x＝1处的导数为__________．3．若f(x)＝x ln x，且f′(x0)＝2，则x0＝__________.4．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝__________.5．曲线y＝x3－3x2有一条切线与直线3x＋y＝0平行，则此切线的方程为______________．6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝________.7．已知函数f(x)＝π4f'⎛⎫⎪⎝⎭cos x＋sin x，则π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．8．若f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝__________. 9．求下列函数的导数：(1) y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝sin x－x＋ln x；(3)y＝x4＋6x3－e x＋1π.10．(1)求曲线y＝f(x)＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程；(2)求曲线y＝f(x)＝x3－2x过点(1，－1)的切线方程．参考答案1答案：18x －122答案：2e 解析：∵y ′＝x e x ＋e x ，∴x ＝1时，y ′＝2e.3答案：e 解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由已知得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4答案：－15 解析：∵y ＝x 3＋ax ＋1，∴y ′＝3x 2＋a .∴x ＝2时，y ′＝12＋a ＝k ①.又∵(2,3)为切点，∴3＝2k ＋b ②，3＝8＋2a ＋1③.联立①②③，得3,15,9.a b k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩5答案：3x ＋y －1＝0 解析：由于y ′＝3x 2－6x ，设切点为(x 0，y 0)，则由题意可得3x 02－6x 0＝－3，解得x 0＝1，此时切点为(1，－2)，故切线方程为y ＋2＝－3(x －1)，即3x ＋y －1＝0.6答案：103 解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，则3a －6＝4，故103a =. 7答案：1 解析：∵f ′(x )＝π4f'⎛⎫-⎪⎝⎭sin x ＋cos x ， ∴π4f'⎛⎫ ⎪⎝⎭1-. ∴f (x )＝1)cos x ＋sin x . ∴π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8答案：24 解析：∵f ′(x )＝(x －1)′(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)(x －2)′(x －3)(x －4)(x －5)＋…＋(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)′，∴f ′(1)＝－1×(－2)×(－3)×(－4)＝24.9答案：解：(1) y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝4x 3－6x －5；(2)y ′＝(sin x －x ＋ln x )′＝(sin x )′＋(－x )′＋(ln x )′＝cos x －1＋1x ； (3)4316e πx y'x x ⎛⎫=+-+' ⎪⎝⎭＝(x4)′＋(6x3)′＋(－e x)′＋1π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝4x3＋18x2－e x.10答案：解：(1)由题意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，∴点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，其方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x03－2x0，则切点处的导数值f′(x0)＝3x02－2；若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x－y－2＝0；若点(1，－1)不为切点，则3x02－2＝001 1y x +-(x0≠1)，即3x02－2＝300211x xx-+-，∴3x03－2x0－3x02＋1＝x03－2x0，∴2x03－3x02＋1＝0，即(x0－1)(2x02－x0－1)＝0，∴x0＝1或x0＝12-，其中x0＝1舍去，则切点坐标为17,28⎛⎫-⎪⎝⎭，∴斜率为211532224f'⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴切线方程为5x＋4y－1＝0，∴过点(1，－1)的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2素材 互动课堂 函数的和、差、积、商的导数
互动课堂疏导引导本节的重点是函数的和、差、积、商的导数的求导法则及应用.1.导数运算法则及证明法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(u±v)′=u′±v′. 证明:令y=f(x)=u(x)±v(x).Δy=［u(x+Δx)±v(x+Δx)］-［u(x)±v(x)］=［u(x+Δx)-u(x)］±［v(x+Δx)-v(x)］=Δu±Δv, ∴x y ∆∆=xv x u ∆∆±∆∆. ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (xv x u ∆∆±∆∆) =0lim →∆x x u ∆∆±0lim →∆x x v ∆∆=u′(x)±v′(x), 即y′=(u±v)′=u′±v′.法则2:两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即(uv)′=u′v+uv′.证明:令y=f(x)=u(x)·v(x).Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)·v(x)=u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)·v(x+Δx)+u(x)·v(x+Δx)-u(x)v(x),x y ∆∆=x x u x x u ∆-∆+)()(v(x+Δx)+u(x)·xx v x x v ∆-∆+)()(. 因为v(x)在点x 处可导,所以它在点x 处连续,于是当Δx→0时v(x+Δx)→v(x),从而 0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()(v(x+Δx)+u(x)·0lim →∆x xx v x x v ∆-∆+)()(=u′(x)v(x)+u(x)v′(x), 即y′=(uv)′=u′v+uv′.疑难疏引 (1)牢记公式的形式(uv)′≠u′v′,避免与(u±v)′=u′±v′混淆.(2)若C 为常数,则(Cu)′=C′u+Cu′=0+Cu′=Cu′,即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.(3)由法则2和法则1,又得［au(x)±bv(x)］′=au′(x)±bv′(x),a 、b 为常数.(4)法则1和法则2均可推广到两个以上函数的和(或差)、积求导.法则3:商的导数公式及证明: (v u )′=2''v uv v u -(v≠0). 回顾导数的定义:f′(x)= 0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(. 证明:设y=f(x)=)()(x v x u (v(x)≠0), 则Δy=f(x+Δx)-f(x)=)()(x x v x x u ∆+∆+-)()(x v x u=)()()]()()[()()]()([)()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u x v x x v x u x x v x v x x u •∆+-∆+--∆+=•∆+∆+-∆+, 所以)()()]()([)()()]()([x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆. 因为v(x)在点x 处可导,所以v(x)在点x 处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v (x). 从而0lim →∆x xy ∆∆=)()(')()()('2x v x v x u x v x u -, 即y′=(v u )′=(2''vuv v u -). 2.对公式的说明(1)类比:(uv)′=u′v+uv′,(v u )′=2''v uv v u -,注意差异,加以区分. (2)(v u )′≠''v u ,且(v u )′≠2''v uv v u +. (3)法则1、2、3——两函数的和、差、积、商的导数法则,称为可导函数四则运算的求导法则.(4)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商分母不为零)必可导.其结果由法则1、2、3可得.若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.3.运用导数的运算法则应注意的问题(1)对函数变形化简后再求导，而不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便甚至错误，先化简求导是实施求导运算的基本方法，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略.(2)商的求导法则与积的求导法则相近而造成它们之间容易混淆，通过变式训练，加深对商的求导法则的理解，并能正确运用函数式的恒等变形，尽可能避免使用商的求导法则，减少运算量.案例1 (1)求曲线y=122+x x 在点(1，1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S=21t t -+2t 2，求t=3时的速度. 【探究】(1)y′=222222)1(22)1(22)1(2+-=+•-+x x x x x x y′｜x=1=422-=0，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0 因此曲线y=122+x x 在(1，1)处的切线方程为y=1 (2)S′=(21t t -)′+(2t 2)′ =42)1(2t t t t --+4t=3221t t +-+4t S′｜t=3=2726111227291=++- 【规律总结】正确运用导数的四则运算法则求出导数，这是解题的关键.案例2 已知曲线C 1：y=x 2与C 2：y=-(x-2)2，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.【探究】设l 与C 1相切于点P(x 1，21x )，与C 2相切于Q(x 2，-(x 2-2)2).对C 1：y′=2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y-21x =2x 1(x-x 1)，即y=2x 1x-21x . ①对C 2：y=-2(x-2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y+(x 2-2)2=-2(x 2－2)(x-x 2)，即y=-2(x 2-2)x+22x -4. ② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧-=---=4)2(22222121x x x x ， 解得⎩⎨⎧==2021x x 或⎩⎨⎧==0,221x x ， ∴直线方程为y=0或y=4x-4.【规律总结】 函数在某点的导数值就是过这一点的切线的斜率，本题所求的直线l 实际上是所给两圆的公切线，因此，利用两个圆的切线的斜率相等，最终求得直线l 的方程. 活学巧用1.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),则f′(0)等于( )A.100B.0C.100!D.1解析：∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100)∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x ［(x-1)·(x-2) …(x-100)］1∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100!答案：C2.求下列函数的导数(1)y=(2x 2+3)(3x-1); (2)y=(2-x )2; (3)y=x-sin 2x cos 2x . 解析：(1)方法一：y′=(2x 2+3)′(3x -1)+(2x 2+3)(3x-1)′=4x(3x -1)+3(2x 2+3)=18x 2-4x+9.方法二：∵y=(2x 2+3)(3x-1)=6x 3-2x 2+9x-3,∴y′=(6x 3-2x 2+9x-3)′=18x 2-4x+9.(2)∵y=(2-x )2=44+-x x .∴y′=x′-(x 4)′+4′=1-4·2121-x =1-221-x(3)∵y=x-sin2x cos 2x =x-21sinx, ∴y′=x′-(21sinx)′=1-21cosx. 3.求下列函数的导数：(1)y=x 5-3x 3-5x 2+6; (2)y=3232x x +; (3)y=332++x x ; (4)y=(2x 2+3)(3x-2);(5)y=sin2x.解析：(1)y′=(x 5-3x 3-5x 2+6)′=(x 5)′-(3x 3)′-(5x 2)′+6′=5x 4-9x 2-10x(2)y′=(22x )′+(33x)′=(2x -2)′+(3x -3)′ =-4x -3-9x -4=4394x x -- (3)y′=2222)3()'3()3()3()'3(++•+-++x x x x x =222222)3(36)3(2)3()3(1++--=+•+-+•x x x x x x x (4)方法一：y′=(2x 2+3)′(3x -2)+(2x 2+3)·(3x-2)′=4x(3x-2)+(2x 2+3)·3=18x 2-8x+9方法二：∵y=(2x 2+3)·(3x-2)=6x 3-4x 2+9x-6∴y′=18x 2-8x+9(5)∵y=sin2x=2sinxcosx∴y′=2(sinx)′cosx+2sinx·(cosx)′=2cos 2x-2sin 2x=2cos2x4.求曲线y=3213+x 在点(1,34)处的切线方程.解析：∵y=312)13(+x , ∴y′=31312)13(+x -1·(3x 2+1)′ =31322)13(-+x ·6x. ∴k=y′|x=1=321.∴切线方程为33214=-y (x-1),即x-y 32+1=0.5.求下列函数的导数 (1)y=xx x x 975++; (2)y=sin 44x +cos 44x ; (3)y=x xx x+-+-+1111; (4)y=-sin )4cos 21(22x x -. 解析：(1)y=x x x x 975++=x 2+x 3+x 4,∴y′=2x+3x 2+4x 3.(2)y=(sin 24x +cos 24x )2-2sin 24x cos 24x =2sin 2112x -=2cos 1211x -•-=4143+cosx. ∴y′=(4143+cos)′=41-sinx (3)y=xx x x x x x ---+=--+-+141)1(21)1(1)1(22-2. ∴y′=(x-14-2)′ =22)1(4)1()'1(4)1()'4(x x x x -=----. (4)y=sin2x ·cos 212=x sinx. ∴y′=(21sinx)′=21cosx. 6.已知曲线C ：y=3x 4-2x 3-9x 2+4.①求曲线C 上横坐标为1的点的切线的方程； ②第①小题中切线与曲线C 是否还有其它公共点.解析：①把x=1代入C 的方程，求得y=-4.∴切点为(1，-4)，y′=12x 3-6x 2-18x ， ∴切线斜率为k=12-6-18=-12.∴切线方程为y+4=-12(x-1)，即y=-12x+8.②由⎩⎨⎧+-=+--=812,4923234x y x x x y得3x 4-2x 3-9x 2+12x-4=0,(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,∴x=1,-2,32. 代入y=3x 4-2x 3-9x 2+4，求得y=-4，32，0，即公共点为(1，-4)(切点)，(-2，32)，(32，0).除切点外，还有两个交点(-2，32)、(32,0). 7.求曲线y=x x -1上一点P(4，47-)处的切线方程. 解析：∵y 1=x x 2112--,∴f′(4)=165-. 所以所求切线的斜率为165-.所求切线方程为5x+16y+8=0.。
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）1.2.2 函数的和、差、积、商的导数明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)，(4)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g 2(x)(g(x)≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及f(x)g(x)′＝f′(x)g′(x)的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x －lg x.解(1)y′＝(x 3)′－(2x)′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y′＝(x 3)′－(x 2)′＋x′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f(x)＝3x 与函数g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3x ln 3，g′(x)＝1xln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3x ln 3－1xln 10. 反思与感悟本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形，转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)f(x)＝2－2sin 2x 2. 解(1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，∴y′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f(x)＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ，∴f′(x)＝1′＋(cos x)′＝－sin x.例 2 求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x ；(2)f(x)＝x －1x ＋1. 解(1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin x cos x)′ ＝(xsin x)′cos x －xsin x(cos x)′cos 2x＝(sin x ＋xcos x)cos x ＋xsin 2x cos 2x ＝sin xcos x ＋x cos 2x . (2)∵f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴f′(x)＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′。
2020-2021学年苏教版选修2-2 函数的和、差、积、商的导数 课件(31张)
那它们的导数有没有关系？若有，又是怎样的关系？
潜伏得够 深的！
下面我们用导数的定义来证明一般的情形
法则3:两个函数的积的导数，等于
乘 第一个函数的导数 以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数 (uv) uv uv.
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
(2 )( x )' x 1 ( 为 常 数 ）
( 3 )( a x ) ' a x ln a (a 0 , 且 a 1 )
( 4 )( lo g a x ) '
1 xlna
(a
0,且 a
1)
(5)(e x )' e x
(6)(lnx) ' 1 x
( 7 )( s in x ) ' c o s x (8 )(c o s x ) ' s in x
（或差），即：(u v) u v. [ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
(C u ) C u .
例 1 . (1 ) 求 函 数 f ( x ) x 2 s in x 的 导 数 .
解：f (x) (x2 sin x)
(x2 ) (sin x) 2x cosx
(2)求 函 数 g ( x ) x 3 3 x 2 6 x 2的 导 数 . 2
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
下面研究任意两个函数积的 导数与导数的积的关系
1.2.2 函数的 和、差、积、商的导数
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数(含答案)
1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x ，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)； (4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9]求函数的导数[例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx ；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2 ＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.[一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2， 所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________．解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x 2cos x .解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′ ＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝1＋1x －ln x(x ＋1)2－2x ln 2 ＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2－2x ln 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x －12′ ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x 4cos 2x＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋bx ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103. 答案：1035．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.导数运算法则的综合应用[例3] 1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.答案：－47．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e. 答案：e3．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1(2x －1)2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x )．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x )]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x )′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x ) ＝e x (1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知， f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . (2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32， 解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)． 将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32， 解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1.化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23. ∴切线l 的方程为y －23＝(－1)(x －2)， 即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2优化练习2常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数
1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前） 1.f(x)=0的导数是（ ）A.0B.1C.不存在D.不确定 答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0. 2.函数y=sinx 的导数为（ ）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx 答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx. 3.函数y=3x-4的导数是（ ）A.3B.-4C.-1D.12 答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________. 解析：y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1. ∴y′=-8x+5. 答案：5-8x10分钟训练 （强化类训练，可用于课中） 1.y=32x 的导数是（ ）A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x答案：D解析：∵y=32x =32x ，∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x .2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为（ ） A.23 B.23- C.-12 D.12 答案：C 解析：y′6|π=x =-sin6π=21-.3.函数y=sinxcosx 的导数是（ ）A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________. 解析：y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·（cosx ）′=2x·cosx -x 2·sinx. 答案：2x·cosx-x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________. 解析：将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0xe ),则过该切点的直线的斜率为0xe . ∴直线方程为y-0xe =0x e (x-x 0). ∴y-0xe =0xe ·x-x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0xe .∴x 0=1. ∴切点为(1,e),斜率为e. 答案:(1,e) e6.求下列函数的导数. (1)y=x 4-3x 2-5x+6; (2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5.(2)y′=(x·tanx)′=(xxx cos sin •)′=xx x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-•=x x x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+=xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++•=xx x x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一：y′=(11+-x x )′=2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x . 解法二：y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′=2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x . (4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x 2+12x+11.解法二：y=x 3+6x 2+11x+6， ∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后） 1.若y=sint,则y′|t=6π等于（ ）A.1B.-1C.0D.cost 答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…（ ） A.（-1，4） B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4） 答案：D解析：y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6, 由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4. 即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( ) A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,4) 答案：A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx) 答案：D解析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( ) A.100 B.0 C.100×99×98×…×3×2×1 D.1 答案：C解析：∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100), ∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x-2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________. 解析：∵y=x 3, ∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2. ∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3. 令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a-2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3. ∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案：±17.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是_______________. 解析：∵y′=x 2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x. 答案：y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4). 解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d. 于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③ 由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247.9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解：先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0), 则1l k =y′| x=x0=21x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21.10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程. (2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程，⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a). 由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P在C 1上,Q在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a+-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。
1.2函数的和、差、积、商的导数课件(苏教版选修2-2)
问题探究： 利用导数定义求
( x x) 2 x 1 2 f ( x) x g ( x) x
的导数.
2
yx x
2
2
f ( x) g ( x) x x
结论：
猜想：
( x x) ( x ) ( x).
2 2
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g( x)
知识回顾：基本求导公式:
(1)(kx b) k , 特殊的：C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
'
'
1
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna
(5)(e ) e
y f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x) x x
f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x)
x x
f ( x) g ( x)
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
解 : (2) f ( x) (
x x
e
) x
x
xe x(e ) e xe 1 x x x 2 2x (e ) e e
x
练 习Biblioteka 1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
3
2
解 : y (2 x 3x 5x 4)
3 2
6x 6x 5
(2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x) 2 ln x 2
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1．2.2 函数的和、差、积、商的导数
一、基础过关
1．下列结论不正确的是________．(填序号)
①若y ＝3，则y ′＝0；
②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3；
③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x
＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x .
2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.
3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.
4．设曲线y ＝x ＋1x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.
6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．
7．求下列函数的导数：
(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；
(2)y ＝(x －2)2；
(3)y ＝x －sin x 2cos x 2
. 二、能力提升
8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝
f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．
9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．
10．若函数f (x )＝13
x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．
12．设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
三、探究与拓展
13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方
程．
答案
1．④
2．3x 2＋3x ·ln 3
3．－2
4．－2
5.12
6．0.4 m/s
7．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′
＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)
＝18x 2－4x ＋9.
方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)
＝6x 3－2x 2＋9x －3，
∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′
＝18x 2－4x ＋9.
(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，
∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12
. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12
sin x ， ∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12
cos x . 8．4
9．y ＝720x
10．6
11．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .
又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .
又方程f (x )＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c ＝0，
即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.
12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74
x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12
，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74
，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74
.解之得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝3. 故f (x )＝x －3x .
(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝(1＋3x 20
)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20
)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0
)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0
||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．
对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为
y －x 21＝2x 1(x －x 1)，
即y ＝2x 1x －x 21.①
对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为
y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，
即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②
因为两切线重合，
所以由①②，得⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2，x 2＝0.
所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。