与差积商与复合函数导数
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
二阶复合偏导数求解法则-适用偏微分方程
求两个自变量的二阶偏导数一、基础知识1.函数的和、差、积、商的求导法则定理 如果函数()=u u x 及()=v v x 都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且[()()]()()'''±=±u x v x u x v x[()()]()()()()'''=+u x v x u x v x u x v x2()()()()()[](()0)()()''-'=≠u x u x v x u x v x v x v x v x 2.多元复合函数求导法则(1)一元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数()ϕ=u t 及()ψ=v t 都在点t 可导，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么符合函数[(),()]ϕψ=z f t t 在点t 可导，且有∂∂=+∂∂dz z du z dv dt u dt v dt （2）多元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数(,)ϕ=u x y 及(,)ψ=v x y 都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么复合函数((,),(,))ϕψ=z f x y x y 在点(,)x y 的两个偏导数都存在，且有 ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y（3）偏导数写法0000====∂==∂x x x x y y x x y y zz z x22∂=∂xx u u x 22∂∂===∂∂∂∂xy yx u u u u x y y x二、两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 用到了求二阶偏导的知识，这里强调如何求二阶偏导，化简的知识都是“形式”，书上有。
导数的四则运算和复合函数求导
复习旧知
新课讲解
例题精讲
课堂小结
复合函数的求导法则： 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等
于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量
的导数.用公式表示为：yx yu ux ，其中 u 为中间 变量.即： y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
试试： (sin 2x) =
；（3） y
x3 1 sin x
复习旧知
新课讲解
例题精讲
问题：求 (sin 2x) =? 解答：由于 (sin x) cos x ，故
(sin 2x) cos 2x 这个解答正确吗?
课堂小结
新知：一般地，对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ， 如果通过变量 u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这 个函数为函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数，记 作： y f (g(x))
导数四则运算
复习旧知
新课讲解
例题精讲
课堂小结
知识点 1.函数的和.差.积.商的求导 法则：
[ f (x) g(x)]'
[ f (x) g(x)]'
[Cf (x)]'
（C 为常数）
[ f (x) g(x)]'
[来源:][来源:]
f g
(x) (x)
新课讲解
例题精讲
课堂小结
练 1. 求下列函数的导数：
（1） y log 2 x ；
（2） y 2ex ；
（3）y 2x5 3x2 5x 4 ；（4）y 3cos x 4sin x .
复习旧知
新课讲解
例题精讲
课堂小结
练 2. 求下列函数的导数：
2.导数的四则运算与复合函数求导
(2 x 1)e x2 x1 cos e x2 x1
14、令 y eu ,u ex
y eex
y eu ex eex e x eex x
答案
1、y 10(2x 1)4 2、y 2cos 2x
1 (1 x ) (1 x ) 1
2x
2x
(1 x )2
1
x (1 x )2
f (4) 1 18
8
例7 设 f (x) = tan x，求 f (x).
解 f ( x) (tan x) sin x cos x
cos
解
1
3
y x x2 x2
y
3
1
x2
2
例5
设y
x 1 x2 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y
x1 x2 1
(x2 1)(x 1) (x2 1)(x 1) ( x2 1)2
(
x2
1) 2x( x ( x2 1)2
3、y 2
4、y 2x cos x2
4 x2
5、y ln33sin x cos x
7、y cot x 9、y 2xex2 11、y 1
x ln x ln ln x
6、y 8、y
sec2 x(x2
xetan x
a
2
)
1 2
10、y x(x2 a2
解 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
求导法则与导数基本公式
1
1
y ln a
y ln a
例11.设
求
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 1) , 则
(反双曲正弦)
sh x ex ex 2
的反函数
(arsh x)
1 x2 1
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
在上一节中我们曾经用定义求出指数函数导数，下面 我们利用反函数求它的导数.
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1
1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2cos1 22
(3)
(其中
)．
证:设 y(x)
f '(x)g(x) f (x)g '(x)
故结论成立.
推论:
(2) ( uvw) uvw uvw uvw
(3)
( loga
x )
ln ln
x a
x
1 ln
a
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
二、复合函数的求导法则 定理2(复合函数的导数) 若 f 和 g 可导， 有意义，则复合函数可导，且
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
导数的四则运算与复合函数求导
导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。
一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
下面将逐一介绍这些法则的应用。
1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。
2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。
3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。
4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。
二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。
求解复合函数的导数需要运用链式法则。
1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。
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〖考纲要求〗复合函数地求导法则地运用.
〖复习建议〗和差积商地导数,复合函数地求导法则地推导与运用.
〖双基回顾〗
1.常见函数地导数公式：
0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且
()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a
==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=
2.和差积商地导数
法则1 两个函数地和(或差)地导数,等于这两个函数地导数地和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数地积地导数,等于常数与函数地积地导数．()''Cu Cu =
法则3两个函数地积地导数,等于第一个函数地导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数地导数,即 '')'(uv v u uv +=
法则4 两个函数地商地导数,等于分子地导数与分母地积,减去分母地导数与分子地积,再除以分母地平方,即
'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
3.复合函数地求导法则
复合函数对自变量地导数,等于已知函数对中间变量地导数,乘以中间变量对自变量地导数 ,即'''x x y y μμ=∙或'(())'()'()x f x f x ϕμϕ=特别地,ax b μ=+时,''x y y a μ=∙ 〖课前预习〗
1.求下列函数导数.
（1）5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y =
（4）、x y 3l o g = （5）、y=sin(2π+x) （6）、y=cos(2π－x) 2.曲线212y x =在点1(1,)2
处切线地倾斜角为 3.曲线3y x =在点(1,1)处地切线与x 轴、直线2x =所围成地三角形面积为__________．
4.求过曲线y=cosx 上点P( ) 地切线地直线方程.
5.若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象地切线,求b 以及切点坐标.
6.若直线y=3x+1是曲线y=ax 3地切线,试求a 地值.
7.直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象地切线吗？,若能,求出切点坐标,若不能,简述理由.
（1）1()f x x =
（2）1()f x x =- （3）()sin f x x = （4）()x f x e = 8.求下列函数地导数 （1）y =x 3+sin x 地导数. （ 2）求2(23)(32)y x x =+-地导数．(两种方法)
（3）y =5x 10
sin x －2x cos x －9,求y ′ （4）求y =x x sin 2
地导数. （5）求y =tan x 地导数. 〖范例精选〗
例1．求满足下列条件地函数()f x ：()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-= 例2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4
（1）求曲线C 上横坐标为1地点地切线方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？
例3．求下列函数地导数.
3(1)(23)y x =- （2）ln(51)y x =+ （3）131
y x =- (4)cos(12)y x =- 例4．试说明下列函数是怎样复合而成地,并求它们地导数.
（1）23(2)y x =- （2）2sin y x = （3）cos(
)4y x π=- （4）ln sin(31)y x =-
例5．写出由下列函数复合而成地函数,并求它们地导数.
（1）cos y μ= 21x μ=+ （2）ln y μ= ln x μ=
例6．求5(21)y x =+地导数.
〖课堂小结〗、1.小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到地简单地函数均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数地定义去求此类简单函数地导数,商地导数法则(v u )′=2
v v u v u '-'(v ≠0),如何综合运用函数地和、差、积、商地导数法则,来求一些复杂函数地导数.要将和、差、积、商地导数法则记住
2. ⑴复合函数地求导,要注意分析复合函数地结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单地函数,然后再用复合函数地求导法则求导；
⑵ 复合函数求导地基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代
〖课堂练习〗：
1.求下列函数地导数：(1)y =
x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x cos 11- 2．求下列函数地导数.
（1）2(23)y x =+ （2）3(13)y x =- （3）2x y e = （4）1ln
y x
= 3．求曲线sin 2y x =在点P （π,0）处地切线方程. 4. ①[（3x 2＋1）(4x 2－3)]′=（ ）(4x 2－3)＋（3x 2＋1）（ ）．
②利用导数地定义求函数
③设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<.若()()/f x f x +是奇函数,求ϕ.
5. 求所给函数地导数：
①3
2log ; y x x =+ ②;n x
y x e = ③ 31sin x y x -= ④ ⑤2sin (2)3y x π=+. 〖课后练习〗：
1． 下列函数中,导数不等于12
sin2x 地是 （ ）
A ．2－14
cos2x B ．2＋12sin 2x C ．12
sin 2x D ．x －12cos 2x 2．函数y=(2x 2－1)2地导数是 （ ） A ．16x 3－4x 2 B ．4x 3－8x C ．16x 3－8x
D ．16x 3－4x 3． 设y =－tanx,则y ′= （ ）
A ．21cos x
- B ．2sin cos x x C ．211x + D ．－211x + 4.已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值,并且它地图象与直线
33+-=x y 在点（1,0）处相切,求a 、b 、c 地值.
5.(1)求y =
332++x x 在点x =3处地导数. (2) 求y =x
1·cos x 地导数. （3）.求y =x x x cos 423
-地导数. 6.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 地图象过点P(0,2),且在点M 处(-1,f(-1))处地切线方程为6x-y+7=0,求函数地解析式。