反比例函数与一次函数及不等式结合
反比例函数综合应用真题训练
反比例函数综合应用知识回顾1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k。
2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。
3. 反比例函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数()0≠=k xky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk+＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk +＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
真题训练1．（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ） A ．3 B ．﹣3C ．23D ．﹣232．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图象的一支经过点A ，则k 的值是（ ）第26题 第27题 A ．233 B ．23C ．433 D ．433．（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图象于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ） A ．3B ．5C ．6D ．104．（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图象，点A （x ，y ）是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）第30题 第31题 A ．1B ．C ．2D ．5．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ） A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣226．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图象上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图象上，顶点D 在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）第28题 第29题 A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣27．（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk2（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ） A ．36B ．18C ．12D ．98．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图象交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（ ）第36题 第37题 A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1 B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤19．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk2的图象相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（ ）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜210．（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图象相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜211．（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图象与反比例函数y ＝xm的图象交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m 1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（ ） A ．3 B ．413 C ．27 D ．415 12．（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图象．观察图象可得不等式2x ＞x2的解集为（ ）第40题 第41题 A ．﹣1＜x ＜1 B ．x ＜﹣1或x ＞1 C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞113．（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1114．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 ． 15．（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图象上，则经过点A 的函数图象表达式为 ．16．（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．17．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图象上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．18．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）19．（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U 为220V ，通过灯泡的电流强度I （A ）的最大限度不得超过0.11A ．设选用灯泡的电阻为R （Ω），下列说法正确的是（ ） A ．R 至少2000ΩB ．R 至多2000ΩC ．R 至少24.2ΩD ．R 至多24.2Ω20．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S ＝0.25m 2时，该物体承受的压强p 的值为 Pa ．21．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U （V ）、电流I （A ）、电阻R （Ω）三者之间的关系：I ＝RU，测得数据如下：＝ A。
成都市中考核心考点-第九讲 函数与图形综合(24题)(B卷)
2．(17成都)在平面直角坐标系 中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点 的“倒影点”．直线 上有两点 ，它们的倒影点 均在反比例函数 的图像上．若 ，则 ____________．
3、(15成都)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是.（写出所有正确说法的序号）
10成都图
7．(11成都)在平面直角坐标系 中，已知反比例函数 满足：当 时，y随x的增大而减小。若该反比例函数的图象与直线 都经过点P，且 ，则实数k=_________.
8．(10成都)如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合）．如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过_____________秒，四边形 的面积最小．
5.(13成都)在平面直角坐标系 中，直线 （ 为常数）与抛物线 交于 ， 两点，且 点在 轴左侧， 点的坐标为 ，连接 .有以下说法： ； 当 时， 的值随 的增大而增大； 当 时， ； 面积的最小值为 .其中正确的是_______.（写出所有正确说法的序号）
6．(12成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数 ( 为常数，且 )在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线F的面积为 ，则 =________．(用含 的代数式表示)
9.(18成华区一诊)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形OA´B´C´，BC与OA´相交于点M．若经过点M的反比例函数y= (x<0)的图象交AB于点N矩形OABC的面积为S，tan∠A′OB′= ，则BN的长为。
一次函数与反比例函数相结合
3、直线y=﹣x﹣2与反比例函数y= 的图象交 于A、B两点，且与x、y轴交于C、D两点，A点的 坐标为（﹣3，k+4）．（1）求反比例函数的解析 式（2）把直线AB绕着点M（﹣1，﹣1）顺时针旋 转到MN，使直线MN⊥x轴，且与反比例函数的图 象交于点N，求旋转角大小及线段MN的长．
4、已知一次函数y1=ax+b的 图象与反比例函数y2= 的图 象相交于A、B两点，坐标分 别为（﹣2，4） （4﹣2）．（1）求两个函数 的解析式；（2）结合图象写 出y1＜y2时，x的取值范围； （3）求△AOB的面积； （4）是否存在一点P，使以点 A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形 为菱形？若存在，求出顶点P 的坐标；若不存在，请说明理 由．
A M
B
O
C
N
8．（2012年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成 两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组 由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组 同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分 别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2 与t之间的函数关系.（1）甲、乙两地之间的距离为___， 乙、丙两地之间的距离为____；（2）求第二组由甲地出 发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并 写出自变量t的取值范围． S/km
《反比例函数与一次函数的交点问题》教学设计
《反比例函数与一次函数的交点问题》教学设计一、教学背景分析【教材内容】人教版第26章反比例函数【课标要求】在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、推理能力和模型思想。
为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.【内容分析】中考常将一次函数和反比例函数放在一个坐标系内，根据所给图像提供的信息求解各函数的解析式、确定自变量取值范围、比较函数大小、图形面积等问题，是这部分内容考查的“高频考点”，题型有填空题、选择题、也有中档的解答题。
【学情分析】学生刚刚学完反比例函数，初步掌握了一次函数和反比例函数的相关知识，但由于中考一般是以综合题型的形式进行考查的，而学生综合应用知识和分析问题能力较弱，因此在本节课中特别准备了一些中考常见题型，帮助学生提升分析问题的能力和灵活应用知识的能力。
二、目标【教学目标】1.会联立方程求反比例函数与一次函数的交点坐标；2.会根据交点情况求参数的值或取值范围.【教学重点】根据交点求参数的值或取值范围.【教学难点】利用数形结合思想进行解题.【教学策略】引导启发式、讨论合作式、多媒体辅助教学，教学中注重数形结合思想的渗透。
【课前准备】多媒体课件、写字板【课的类型】专题课【课时安排】1课时三、教学活动教学环节教学活动设计设计意图教师活动学生活动一、前置作业1.在平面直角坐标系中直线y=2x+2与直线xy=的交点坐标为．2.直线2+-=xy与抛物线2xy=的交点坐标为．3.直线与双曲线的交点坐标为．课前5分钟利用练习题复习求交点坐标.重温如何求两个函数图象的交点坐标.二、例题学习类型一、求直线与双曲线的交点坐标例1.如图，一次函数的图象与反比例函数xky=（k为常数，且0k≠）的图象相交于A（-1，m）和B两点，求点 B 的坐标 .进行求交点坐标的例题来规范书写过程让学生规范联立方程来解题，规范书写过程变式1.已知直线y＝mx与双曲线xky=的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是 .变式1 让学生明白还可以通过中心对称来求另一个交点坐标xy4=xy=5y x=+类型二、根据交点情况求参数的值或取值范围例2.如图，将一次函数5y x =+的图象沿y 轴向下平移b 个单位()0b >．使平移后的图象与反比例函数 的图象有且只有一个交点，求b 的值.思考：当平移后的直线与双曲线没有交点时，求b 的取值范围？变式2.如图，在平面直角坐标系中直 线y ＝x +2与反比例函数 y =−k x的图象有唯一公共点， （1）求k 的值；（2）若直线y ＝mx +2与反比例函数 y =−kx的图象有2个公共点，请你根据图象写出m 的取值范围.小组合作讨论求b 值.学生合作讨论通过几何画板展示平移，利用判别式来求解.通过思考问题拓展参数的取值范围第（1）问常规求解过程.第（2）问除了利用判别式来求解外，还考究学生的数形结合思想，属于旋转的类型，比平移高了一个难度xy 4-=三、课堂练习A组1．正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点的坐标是(−1，−2)，则另一个交点的坐标为（）A．(2，1)B．（1，−2）C．（−1，2）D．（1，2）2．已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+1的图象没有交点，则k的值可以是（）A．12B．14C．−14D．−1B组3.如图，一次函数3+=xy的图象与反比例函数)0(1<-=xxky的图象交于点A),2(m-、点B．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）将一次函数3+=xy的图象向下平移m个单位，当平移后的函数图象与反比例函数的图象只有一个交点时，求m的值．课堂分层练习分层课堂作业设计，充分照顾各个层次的学生.四、课堂小结（1）求直线与双曲线的交点坐标；（2）根据交点求参数的值或取值范围.学生进行小结课堂小结五、挑战自我已知一次函数3y mx m=-（0m≠）和反比例函数4yx=的图象如图所示．(1)一次函数3y mx m=-必定经过点________．（写点的坐标）(2)当2m=-时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接BO并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及ABE的面积．(3)直线3y mx m=-绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．提供给学有余力的学生进行挑战提供给学有余力的学生进行挑战。
反比例函数知识点汇总(1)
点坐标。
难题二
判断反比例函数的单调性。拓展 思维：根据反比例函数的性质， 结合定义域和值域的变化情况，
判断其单调性。
难题三
利用反比例函数的性质解决实际 应用问题。拓展思维：将实际问 题抽象为数学模型，利用反比例
函数的性质进行求解和分析。
图象特征
图象形状
图象趋势
反比例函数的图象是双曲线，且以原 点为对称中心。
随着 $|x|$ 的增大，$y$ 的值逐渐趋 近于0，但永远不会等于0。
图象位置
当 $k > 0$ 时，双曲线的两支分别位 于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双 曲线的两支分别位于第二、四象限。
表达式及参数意义
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$ 。
反比例函数知识点汇 总
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数与直线关系 • 反比例函数在实际问题中应用 • 反比例函数与相似三角形结合 • 反比例函数中存在性问题探究 • 反比例函数综合复习与提高
01
反比例函数基本概念
定义与性质
定义
自变量 $x$ 的取值范围
参数意义
常数 $k$ 决定了双曲线的形状和位置。当 $k > 0$ 时，双曲线在第一、三象限 ；当 $k < 0$ 时，双曲线在第二、四象限。同时，$|k|$ 的大小决定了双曲线离 坐标轴的远近程度。
02
反比例函数与直线关系
与坐标轴交点
01
反比例函数图像不会与坐标轴相 交。
考点07 反比例函数及其应用-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)(解析版)
考点07 反比例函数及其应用【命题趋势】反比例函数这个考点在浙江中考数学中，多注重考察反比例函数的图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主；另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。
另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。
【中考考查重点】一、反比例函数图象的性质 二、反比例函数与不等式间的关系 三、反比例函数点的坐标特征 四、反比例函数比例系数k 的几何意义 五、反比例函数的应用考向一：反比例函数图象的性质【易错警示】➢ 反比例函数增减性的描述，一定要有“在其每个象限内”这个前提；➢ 由图象去求k 值时，一定要注意其正负符号 【方法技巧】增减性的直接应用技巧：若点A （x 1,y 1）,点B （x 2,y 2）在反比例函数的同一支上，则有 当k ＞0时，若x 1＞x 2，则y 1＜y 2； 当k ＜0时，若x 1＞x 2，则y 1＞y 2；【同步练习】解析式）为常数，且0(≠=k k xky 图象所在象限 第一、三象限（x 、y 同号） 第二、四象限（x 、y 异号） 增减性在其每个象限内，y 随x 的增大而减小在其每个象限内，y 随x 的增大而增大对称性 关于直线y=x ，y=-x 成轴对称；关于原点成中心对称1．对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象分布在第一、三象限内B．图象经过点（1，2021）C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．若点A（x1、y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1＜x2，则y1＞y2【分析】A：根据k的取值范围确定；B：根据k的值确定；C：根据k的取值范围确定；D：根据反比例函数的性质确定．【解答】解：A：k＝﹣2021＜0，图象分布在第二、四象限内，∴不符合题意；B：x＝1时，y＝﹣2021，∴不符合题意；C：∵k＜0，图象分布在第二、四象限内，当x＞0时，在第四象限，y随x的增大而增大，∴符合题意；D：当A，B在同一分支上时，x1＜x2，则y1＞y2成立，当不在同一分支不成立，∴不符合题意；故选：C．2．在下图中，反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象位于第四象限．故选：C．3．反比例函数y＝﹣与一次函数y＝x﹣2在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限，据此即可选C．【解答】解：由反比例函数y＝﹣与一次函数y＝x﹣2可知，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，故选：C．4．若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2B．k＞﹣2C．k＜2D．k＞2【分析】先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例比例函数y＝的图象在其每一象限内，y随x的增大而减小，∴k+2＞0，解得k＞﹣2．故选：B．5．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，并且y1＜y2＜0＜y3，则下列各式正确的是（）A．x2＜x1＜x3B．x1＜x2＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【分析】根据反比例函数的图象，由y1＜y2＜0＜y3，在图象上确定点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）的位置，进而得出答案．【解答】解：由图象法，由于y1＜y2＜0＜y3，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上的位置大致如下：由图象可得，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＜0＜x1＜x2，故选：C．考向二：反比例函数与不等式间的关系当反比例函数与一次函数的图象相交时，会产生如下两种图形，对应结论如下：1.如图①，若反比例函数与一次函数相交于反比例函数的两支于点A,B，则有若y1＞y2，则自变量x的取值范围是：n＜x＜0或x＞m若y1＜y2，则自变量x的取值范围是：x＜n或0＜x＜m①2.如图②，若反比例函数与一次函数相交于反比例函数的同一支于点A,B，则有若y1＞y2，则自变量x的取值范围是：m＜x＜n或x＜0若y1＜y2，则自变量x的取值范围是：x＞n或0＜x＜m②【方法技巧】反比例函数与不等式结合考察增减性时，答案的形式都是包含2部分的（即谁或谁），并且其中一部分肯定与0有关！（特定问题中已经说明应用范围的例外）【同步练习】1．如图，一次函数y＝﹣2x+8与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，2）两点．则使﹣2x+8＜成立的x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞3C．1＜x＜3D．0＜x＜1或x＞3【分析】观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，一次函数的图象在反比例函数图象下方．【解答】解：在第一象限内，一次函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；故选：D．2．直线y＝k1x+b与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＞k1x+b的解集为．【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：∵直线y＝k1x+b与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是﹣2和3，∴关于x的不等式＞k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜3，故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3．3．如图，若反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＜y2时，则x的取值范围是．【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可．【解答】解：观察图象可知，当y1＜y2时，则x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．4．如右图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式的解集；（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．【分析】（1）将点A（1，4）代入可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；（2）根据图象得出不等式的解集即可；（3）由直线解析式求得与x轴的交点，然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可．【解答】解：（1）把点A（1，4）代入，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为，∵B（4，n）在反比例函数图象上，∴，从而点B（4，1），把点A（1，4），点B（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）观察图象，得：当0＜x≤1或x≥4时，，∴不等式的解集为0＜x≤1或x≥4；（3）如图，连结OA，OB，设直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，当y＝0时，x＝5，∴点C（5，0），∴OC＝5，∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝．考向三：反比例函数点的坐标特征1.所有反比例函数上的点的横纵坐标相乘=比例系数k2.如果一个点在反比例函数的图象上，则该点的坐标符合其解析式，可以根据其解析式设出对应的点的坐标3.当反比例函数与其他图形结合考察时，多注意与反比例函数结合的图形的性质应用【同步练习】1．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象过点（﹣1，1）的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝D．y＝x2【分析】将点（﹣1，1）分别代入4个解析式进行验证即可得出答案．【解答】解：把x＝﹣1代入y＝x﹣1得：﹣1﹣1＝﹣2≠1，∴选项A不符合题意；把x＝﹣1代入y＝﹣x+1得：1+1＝2≠1，∴选项B不符合题意；把x＝﹣1代入y＝得：＝﹣1≠1，∴选项C不符合题意；把x＝﹣1代入y＝x2得：（﹣1）2＝1，∴选项D符合题意；故选：D．2．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定【分析】将A，B两点坐标代入解析式计算y1，y2的值，进而可比较大小．【解答】解：将A（2，y1），B（3，y2）两点代入反比例函数y＝中，y1＝，y2＝，∴y1＞y2．故选：B．3．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，3），则此图象一定经过下列哪个点（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，3），∴k＝﹣2×3＝﹣6，A．﹣3×2＝6≠﹣6，图象不经过点（3，2）；B．﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，图象不经过点（﹣3，﹣2）；C．﹣3×2＝﹣6，图象经过点（﹣3，2）；D．﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，图象不经过点（﹣2，﹣3）；∴C选项符合题意，故选：C．4．如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点C，连接AC．如果AC＝3，那么△ABO的周长为（）A．B．C．D．【分析】过点C作CD⊥OA于点D，由直角三角形的性质可得BO＝6，由三角形中位线定理可得AB＝2CD，AO＝2OD，根据勾股定理可求得AB+AO，进而可得△ABO的周长．【解答】解：过点C作CD⊥OA于点D，∵点C是OB的中点，AC＝3，∴AC＝BC＝OC＝3，OB＝6，∵△ABO是直角三角形，CD⊥OA∴AB∥CD，∴CD是△ABO的中位线，∴AB＝2CD，AO＝2OD，∵S△CDO＝×CD×OD＝×|﹣2|＝1，∴CD×OD＝2，∴AB×AO＝2CD×2OD＝8，∵AB2+AO2＝OB2＝36，∴（AB+AO）2﹣2×AB×AO＝36，∴AB+AO＝2，∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，故选：D．5．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则：（1）点B的坐标是；（2）点E的坐标是．【分析】（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），把B的坐标代入y＝即可得到B的坐标；（2）设点E的纵坐标为y，则点E的横坐标为（1+y），代入反比例函数的解析式即可求得y的值，从而求得E的坐标．【解答】解：（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝1，∴a＝1，∴点B的坐标为（1，1）．（2）设点E的纵坐标为y，∴点E的横坐标为（1+y），∴y×（1+y）＝1，即y2+y﹣1＝0，即y＝，∵y＞0，∴y＝，∴点E的横坐标为1+＝．∴E（，）．故答案为（1，1），E（，）．6．若点A（﹣3，1）、B（m，2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则m的值是．【分析】由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，再结合点B 在反比例函数图象上，由此即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3．∵点B（m，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝﹣3＝2m，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．7．如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是．【分析】由图象可知，当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，又图象位于第一象限才可能与正方形OABC的边有公共点，进而求出k的取值范围．【解答】解：由题意，可得B（3，3），当反比例数y ＝的图象经过B点时，k取最大值，此时k＝3×3＝9，又k＞0，所以k的取值范围是0＜k≤9．故答案为：0＜k≤9．8．如图，在直角坐标系中，已知点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y ＝的图象上：如果把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'，当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，则a ＝．【分析】过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可，分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．【解答】解：如图1，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝OB，∵B（8，0），∴OB＝OA＝8，∴OC＝4，AC＝4．把点A（4，4）代入y＝，得k＝16．∴反比例函数的解析式为y＝；分两种情况讨论：①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．由题意得A′B′＝8，∠A′B′E＝60°，在Rt△DEB′中，B′D＝4，DE＝2，B′E＝2．C 图1∴O′E＝6，把y＝2代入y＝，得x＝8，∴OE＝8，∴a＝OO′＝8﹣6＝2；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．由题意得A′O′＝8，∠A′O′B′＝60°，在Rt△FO′H中，FH＝2，O′H＝2．把y＝2代入y＝，得x＝8，∴OH＝8，∴a＝OO′＝8﹣2＝6，故答案为2或6．考向四：反比例函数k的几何意义反比例函数k与几何图形结合常见模型：【同步练习】1．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，P A⊥x轴于点A，若△P AO的面积为4，那么k的值为（）A．2B．4C．8D．﹣4【分析】由△P AO的面积为4可得|k|＝4，再结合图象经过的是第一、三象限，从而可以确定k值．【解答】解：∵S△P AO＝4，∴|x•y|＝4，即|k|＝4，则|k|＝8，∵图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴k＝8，故选：C．2．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴正半轴上运动时△ABC的面积为（）A．3B．6C．12D．先变大后减小【分析】将点A坐标代入函数解析式求出m，从而可得AB及BO的长，再由S△ABC＝AB •OB求解．【解答】解：把x＝2代入y＝得y＝3，∴A（2，3），∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴B（0，3），即OB＝3，∴S△ABC＝AB•OB＝×2×3＝3．故选：A．3．如图，点P，点Q都在反比例函数y＝的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q作x轴的垂线，交x轴于点A，△OAQ 的面积为S2，若S1+S2＝3，则k的值为（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据反比例函数k的几何意义得到S1＝|k|，，如何代入解方程，再根据图象在二、四象限确定k的值．【解答】解：由题意得S1＝|k|，，则，解得|k|＝2，∵图象在二、四象，∴k＜0，∴k＝﹣2．故选：D．4．如图，反比例函数y＝﹣与y＝的图象上分别有一点A，B，且AB∥x轴，AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，若矩形ABCD的面积为8，则a＝（）A．﹣2B．﹣6C．2D．6【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|﹣a|，S矩形BCOE ＝6，进而得到|b|+|a|＝8．【解答】解：∵AB∥x轴，AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴S矩形ADOE＝|﹣a|，S矩形BCOE＝6，∵矩形ABCD的面积为8，∴S矩形ADOE+S矩形BCOE＝S矩形ABCD＝8，∴|﹣a|+6＝8，∵反比例函数y＝﹣在第二象限，∴a＞0，∴a＝2，故选：C．5．如图，A，B是反比例函数的图象上关于原点对称的两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若△ABC的面积为6，则k的值是．【分析】先根据反比例函数的图象在一、三象限判断出k的符号，由反比例函数系数k 的几何意义得出S△AOD＝S△BOE＝k，根据反比例函数及正比例函数的特点得出A、B两点关于原点对称，故可得出S矩形OECD＝2S△AOD＝k，再由△ABC的面积是6即可得出k的值．【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴k＞0，∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴S△AOD＝S△BOE＝k，∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∴S矩形OECD＝2S△AOD＝k，∴S△ABC＝S△AOD+S△BOE+S矩形OECD＝2k＝6，解得k＝3．故答案为：3．6．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为．【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵△AOB与△ACB同底等高，∴S△AOB＝S△ACB，∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴，∵A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，∴S△AOP＝3，S△BOP＝4，∴S△ABC＝S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝3+4＝7．故答案为：7．7．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为8，则k＝．【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．【解答】解：过点P作PE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，又∵BD⊥x轴，∴ABDO为矩形，∴AB＝DO，∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝8，∵P为对角线交点，PE⊥y轴，∴四边形PDOE为矩形面积为4，∵反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，∴|k|＝S矩形PDOE＝4，∵图象在第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣4，故答案为﹣4．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为．【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可．【解答】解：连接AC，交y轴于点D，∵四边形ABCO为菱形，∴AC⊥OB，且CD＝AD，BD＝OD，∵菱形OABC的面积为12，∴△CDO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数图象位于第二象限，∴k＜0，则k＝﹣6．故答案为：﹣6．考向五：反比例函数的应用一．反比例函数的应用通常是先根据题意列出函数表达式，画出函数图象，再根据函数图象的性质解决相关问题，同时注意自变量的取值范围二．反比例函数与一次函数的结合问题应对策略：①确定解析式，由一次函数解析式确定反比例函数解析式，由反比例函数解析式确定一次函数解析式②求交点坐标，通常联立反比例函数解析式与一次函数解析式③利用函数图象求解对应的不等式，需要过交点坐标作x轴的垂线【同步练习】1．已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系为：U＝IR．当其中一个量是常量时，另外两个变量之间的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】①当I为常量时，可判断A；②当U为常量时，可判定B和C；③当R为常量时，其图象一条射线；综上即可得到结论．【解答】解：①当I为常量时，函数U＝IR是正比例函数，其图象是A，故选项A不符合题意；②当U为常量时，函数U＝IR化为I＝或R＝，是反比例函数，其图象是B或C，故选项B和C不符合题意；③当R为常量时，函数U＝RI是反比例函数，其图象一条射线，图象不可能是D，故选项D符合题意；故选：D．2．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强P（Pa）是4800Pa 时，木板面积为（）m2．A．0.5B．2C．0.05D．20【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而把P＝4800代入得出答案．【解答】解：设P＝，根据题已知可得图象经过（8，30），则k＝P•S＝8×30＝240，故P＝，当P＝4800时，木板面积为：S＝＝0.05（Pa）．故选：C．3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为2m3时，气压是kPa．【分析】设出反比例函数解析式，把点的坐标代入可得函数解析式，把V＝2代入得到的函数解析式，可得P．【解答】解：设P＝，由图象知100＝，所以k＝100，故P＝，当V＝2时，P＝＝50；故答案为：50．4．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．（1）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；（2）当x≥20时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始？【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；（2）结合所求解析式，把y＝140代入求出答案．【解答】解：（1）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y＝，图象过（20，280），则k＝20×280＝5600，解得：k＝5600，y与x之间的函数关系式是y＝；（2）当x≤20时，140＝14x，解得：x＝10．当x≥20时，140＝，解得：x＝40，答：体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第40天开始．5．工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．1．（2021秋•亳州月考）下列函数图象是双曲线的是（）A．y＝x2+3B．y＝﹣x﹣5C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线可得答案．【解答】解：A、y＝x2+3是二次函数，图象是抛物线，故此选项不符合题意；B、y＝﹣x﹣5是一次函数，图象是直线，故此选项不符合题意；C、y＝﹣是正比例函数，图象是过原点的直线，故此选项不符合题意；D、y＝﹣是反比例函数，图象是双曲线，故此选项符合题意；故选：D．2．（2019秋•港南区期末）正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．故选：A．3．（2021秋•顺德区期末）函数y＝kx﹣k与y＝在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．k＜0B．m＞0C．km＞0D．＜0【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．【解答】解：由图象可知双曲线过二、四象限，m＜0；一次函数过一、三，四象限，所以k＞0．故选：D．4．（2021秋•铁西区期末）如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣2D．2【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．【解答】解：设点A的坐标为（x，y），∵点A在第二象限，∴x＜0，y＞0，∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝2，∴xy＝﹣4，∵A是反比例函数y＝的图象上一点，∴k＝xy＝﹣4，故选：B．5．（2021秋•南开区期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2B．k＞﹣2C．k＜2D．k＞2【分析】先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例比例函数y＝的图象在其每一象限内，y随x的增大而减小，∴k+2＞0，解得k＞﹣2．故选：B．6．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，△AOB和△BCD均为等腰直角三角形，且顶点A、C 均在函数y＝（x＞0）的图象上，连结AD交BC于点E，连结OE．若S△OAE＝4，则k 的值为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据等腰直角三角形的性质得出OA＝AB，∠AOB＝∠CBD＝45°，那么OA∥BC，S△OAB＝S△OAE＝4．过点A作AF⊥OB于F，根据等腰三角形的性质得出OF＝BF，那么S△OAF＝S△ABF＝S△OAB＝2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义求出k＝4．【解答】解：∵△AOB和△BCD均为等腰直角三角形，∴OA＝AB，∠AOB＝∠CBD＝45°，∴OA∥BC，∴S△OAB＝S△OAE＝4．如图，过点A作AF⊥OB于F，则OF＝BF，∴S△OAF＝S△ABF＝S△OAB＝2，∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2，解得k＝4．故选：C．7．（2021秋•牡丹江期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y ＝﹣的图象上，并且y1＜y2＜0＜y3，则下列各式正确的是（）A．x2＜x1＜x3B．x1＜x2＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【分析】根据反比例函数的图象，由y1＜y2＜0＜y3，在图象上确定点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）的位置，进而得出答案．【解答】解：由图象法，由于y1＜y2＜0＜y3，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上的位置大致如下：由图象可得，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＜0＜x1＜x2，故选：C．8．（2021秋•莲池区期末）点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两根，则点A坐标是（）A．（1，9）B．（2，）C．（3，3）D．（﹣3，﹣3）【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝6①，再由点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上得出ab＝9②，再用代入法解二元一次方程组即可．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两根，∴a+b＝6①，∵A（a，b）是反比例函数y＝上的一点，∴ab＝9②，把①变形为a＝6﹣b代入②得：b（6﹣b）＝9，整理得：b2﹣6b+9＝0，解得：b＝3，则a＝6﹣3＝3，∴点A坐标为（3，3），故选：C．9．（2021秋•泰山区期中）如果等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y 与x的函数关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】利用三角形面积公式得出xy＝6，进而得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，∴xy＝6，∴y与x的函数关系式为：y ＝．故选：A．10．（2021春•衢州期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（）动力臂L （m）动力F （N）0.56001.03021.52002.0a2.5120A．120N B．151N C．300N D．302N【分析】根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答．【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，设方程为：L ＝，从表中取一个有序数对，不妨取（0.5，600）代入L ＝，解得：K＝300，∴L ＝，把L＝2代入上式，解得：F＝150，故选：B．11．（2021•滨海县一模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y ＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．12．（2021秋•铁西区期末）如图，若反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＜y2时，则x的取值范围是．【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可．【解答】解：观察图象可知，当y1＜y2时，则x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．13．（2021秋•南岗区校级期末）如图，直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y＝（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB＝1：4，则k的值为．【分析】由直线y＝2x﹣4的图象与x，y轴交于B，A两点，可求得A与B的坐标，易得△AOB∽△CDB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得CD与BD的长，继而求得点C的坐标，则可求得答案．【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，∴点A（0，﹣2），点B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵CD⊥x轴，∴CD∥OA，∴△AOB∽△CDB，∵S△BCD：S△AOB＝1：4，∴＝＝，∴CD＝1，BD＝2，∴OD＝OB+BD＝6，∴点C的坐标为：（﹣6，1），∵反比例函数y＝（x＜0）的图象过点C，∴k＝﹣6×1＝﹣6．故答案为：﹣6．14．（2021春•海州区期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是．【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，∴k＝0.2×400＝80，∴y＝．故答案为：y＝．15．（2020秋•渠县期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，分钟时学生的注意力更集中．。
数学知识点之反比例函数
数学知识点之反比例函数学习数学的目的是“学以致用”，现从反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合运用能提高我们的数学知识。
下面是作者给大家带来的数学知识点之反比例函数，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：反比例函数的定义一样地，函数(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，自变量x的取值范畴是x≠0的一切实数，函数值的取值范畴也是一切非零实数。
注：(1)由于分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y也不能为零;(2)由，所以反比例函数，自变量x的次数为-1; (3)在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的情势，即两个变量的积是不是一个常数。
自变量的取值范畴：①在一样的情形下,自变量x的取值范畴可以是不等于0的任意实数;②函数y的取值范畴也是任意非零实数。
反比例函数性质：①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式;②反比例函数表达式中，常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;③反比例函数(k是常数，k≠0)的自变量x的取值范畴是不等式0的任意实数，函数值y的取值范畴也是非零实数。
反比例函数的定义的教学目标1、从现实情境和已有的知识体会动身，讨论两个变量之间的类似关系，加深对函数概念的知道。
2、经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，知道反比例函数的概念。
3、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件肯定反比例函数表达式。
初中数学知识点：反比例函数的图像反比例函数的图象：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无穷接近坐标轴，但永久达不到坐标轴。
2020年中考专题复习课件：一次函数与反比例函数问题(共21张PPT)
∴OA=2，CE=3．∴点A的坐标为（0，2）、
点B的坐标为（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则 故直线AB的解析式为y=﹣ x+2．
解得
．
设反比例函数的解析式为y= （m≠0），C的坐标代入 得3= ，∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣
（2）联立可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积=4×1÷2=2， △BOD的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8．
想到 b决定与y轴的交点， k决定函数的增减性。
【中考真题】
1. 当a≠0时，函数y＝ax-a与反比例函数y=
在同一坐标系中的图像可能是图中的（ ）
2．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同 的交点，则一次函数y＝kx﹣k与反比例函数 y= 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
【考点3】 一次函数与反比例函数交点问题及不等式
2.如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ 交 于A、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等 式k1x＋b＜ 的解集是_____
3.如图，在平面直角坐标系中，直线 ＝kx+b（k≠0）与双曲 线 ＝ （a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B （﹣1，﹣4）． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）把直线 沿x轴负方向平移2个单位后得到直线 ，直线 与双曲线 交于D、E两点，当 ＞ 时，求x的取值范围．
的坐标是（ ）。
【变式训练】
1.正比例函数y＝4x和反比例函数y= 的图象相交于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求8x1y2－3x2y1的值．
小结1： 看到正比例函数与反比例函数图像交点，
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o y x
3-2
1.已知函数
m x
y =与x
n y =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. 0n ,0m >>
B. 0n ,0m <>
C. 0n ,0m ><
D. 0n ,0m << 2在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x
k y ≠=
的图象大致是（ ）
A.
B. C. D. 3.如图，函数k y x =
与y kx k =+在同一坐标系内的图象大致是（ ）
4.如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2=m x
的图象，观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围 ．
5. 如图3，直线b x k y 1+=与双曲线x
k y 2=只有一个交点A （1,2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲
线的解析式。
6、已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋3n 和反比例函数的图象
都经过点
(1，－2)．求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；
(2)两个函数图象的另一个交点的坐标． x y O Ａ． x y O Ｂ． x y O Ｃ． x
y O Ｄ．
y ＝25m n x +
7. 如图（12），反比例函数k y x
=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x
取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
8.一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线。
直线AB 与双曲线的一个交点为C ，CD 垂直x 轴于点D ，O D O B O A ===244。
求一次函数和反比例函数的解析式。
9、如图，正比例函数11y k x =与反比例函数22k y x
=相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO =4。
过点A 的一次函数33y k x b =+与反比例函数的图像交于另一点C ，与x 轴交于点E （5，0）。
（1）求正比例函数1y 、反比例函数2y 和一次函数3y 的解析式；
（2）结合图像，求出当231k k x b k x x
+>>时x 的取值范围。
y x A O B 图（12）。