线性代数 克拉默法则 专题
克拉默法则典型例题
克拉默法则典型例题行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行，行列式取相反数。
行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。
1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、互换行列式中的两行（列于），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。
4、行列式的某行除以a，提至另外一行，行列式维持不变，常用于解出某些元素。
5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
6、行列式进行：行列式的值，等同于其中某一行（列于）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若就是另一行（列于）的元素与本行（列于）的代数余子式乘积议和，则其和为0。
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当d=0时，有非零解；当d!=0时，方程组无非零解。
①行列式a中某行(或列于)用同一数k乘,其结果等同于ka。
②行列式a等于其转置行列式at(at的`第i行为a的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列于);行列式则|αij|就是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列于),一个就是b1,b2,…,bn；另一个就是с1，с2,…,сn；其余各行（或列于）上的元与|αij|的全然一样。
④行列式a中两行（或列）互换,其结果等于-a。
⑤把行列式a的某行（或列于）中各元同乘一数后加进另一行（或列于）中各对应元上，结果仍然就是a。
《线性代数》克拉默法则
2 7 27,
1 13
0 0 7 37
0 0 1 13
0 0 3 12
0 0 0 27
故方程组有唯一解.
进一步计算(计算过程，略)，有
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 , 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 , 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
an1x1+an2x2+…+annxn = bn
当D 0时有唯一解:
xi
=
Di D
(i = 1, …, n),
a11 a12 … a1n
b1 a12 … a1n
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, D1 =
b2 a22 … a2n …………
,
an1 an2 … ann
bn an2 … ann
当D 0时有唯一解:
xi
=
Di D
(i = 1, …, n),
a11 a12 … a1n
a11 … a1,n1 b1
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, … Dn =
a21 … a2,n1 b2 …………
.
an1 an2 … ann
an1 … an,n1 bn
例1. 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8
x1 3x2 6x4 9 2x2 x3 2x4 5
.
x1 4x2 7x3 6x4 0
解: 方程组的系数行列式
线性代数习题1.6克拉默法则
b1 a1, j1 a1n bn an, j1 ann
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§1.6 克拉默法则
x1 x2 x3 1
例1.
求解
x1 2 x2 x3 x4 8 2 x1 x2 3x4 3
3x1 3x2 5x3 6 x4 5
ex
:
k为
何
值,
kx1
x2
4 x3
0
, 有非零解.
4 x1 x2 x3 0
2k 3 解 : D k 1 4 0
4 1 1
k 2, k 11
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§1.6 克拉默法则
内容小结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
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(1)
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§1.6 克拉默法则
则方程组有唯一解,其解为:
x1
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
a11 a1, j1 Dj
1.若常数项b1,b2 , ,bm不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组;
2.若常数项b1, b2, ,bm 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
线性代数
克拉默法则推论
克拉默法则推论
克拉默法则是指在线性方程组的求解中，如果系数矩阵是一个可逆矩阵，那么可以使用克拉默法则来求解方程组的解。
克拉默法则的推论包括：
1. 如果一个方程组的系数矩阵是一个对称矩阵，那么可以使用克拉默法则解方程组。
2. 如果一个方程组的系数矩阵是一个三角矩阵或者对角矩阵，那么可以使用克拉默法则解方程组。
3. 如果一个方程组的系数矩阵是一个奇异矩阵，那么克拉默法则无法求解该方程组。
4. 如果多个方程组的系数矩阵是相同的，只有右侧的常数向量是不同的，那么可以使用克拉默法则来求解这些方程组。
5. 如果一个矩阵的迹等于它的行列式，那么可以使用克拉默法则来求解这个矩阵的逆矩阵。
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
线性代数1-4 克拉默法则
第一章 行列式
克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组.
它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及 常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值.
二、齐次线性方程组及其有关解的定理
第一章 行列式
a11 x1 a12 x2 +
n元线性方程组 a21 x1 a22 x2 +
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
(1.12)
称为齐次线性方程组。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1a22x2 a2nxn0 an1x1 an2 x2 ann xn 0
第一章 行列式
(1.12)
显然齐次线性方程组一定有解 x1 x2 xn 0,
1 4 7 6
8 1 5 1
2 8 5 1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
这个解叫做齐次线性方程组(1.12)的零解。
推论 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线 性方程组只有零解。
同济大学,线性代数,第五版,克拉默法则
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21
D2 D
2
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
a11 a12 的系数行列式不等于零，即 D a21 a22
a1n a2n 0
a1n ann
4
定理中包含着三个结论： •方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性） •解可以由公式(2)给出.
这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
5
关于克拉默法则的等价命题
设 a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21
x1
a22
x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组.
齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个解， 称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定 有非零解.
§7 克拉默法则
1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
克拉默法则公式结论
克拉默法则公式结论克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它基于矩阵和行列式的概念。
克拉默法则公式结论是克拉默法则的核心内容，它可以用来求解n个线性方程组的未知数。
在这篇文章中，我们将详细介绍克拉默法则公式结论，并给出一些具体的例子来帮助读者更好地理解这个概念。
克拉默法则是由瑞士数学家克拉默（Gabriel Cramer）在18世纪中叶提出的。
它的基本思想是通过计算方程组的行列式来求解未知数的值。
假设有一个包含n个线性方程的方程组：a1x1 + a2x2 + … + anx_n = b1a1x1 + a2x2 + … + anx_n = b2…a1x1 + a2x2 + … + anx_n = bn其中，a1，a2，…，an是方程组的系数，x1，x2，…，xn是未知数，b1，b2，…，bn是方程组的常数项。
克拉默法则的公式结论是：如果方程组的系数行列式D不等于0，则方程组有唯一解，并且未知数x1，x2，…，xn的值可以通过计算系数行列式的n个副行列式来得到。
具体地说，未知数x1的值等于方程组的常数项行列式Db1除以系数行列式D，未知数x2的值等于方程组的常数项行列式Db2除以系数行列式D，依此类推，未知数xn的值等于方程组的常数项行列式Dbn除以系数行列式D。
这个公式结论可以用以下的数学表达式来表示：x1 = Db1 / Dx2 = Db2 / D…xn = Dbn / D其中，D是方程组的系数行列式，Db1，Db2，…，Dbn是将方程组的常数项b1，b2，…，bn替换为未知数x1，x2，…，xn所得到的副行列式。
为了更好地理解克拉默法则的公式结论，我们来看一个具体的例子。
假设有一个包含两个线性方程的方程组：2x + 3y = 85x - 2y = -7首先，我们计算方程组的系数行列式D：D = |2 3||5 -2|计算得到D = (2 * -2) - (3 * 5) = -4 - 15 = -19然后，我们计算将常数项替换为未知数所得到的副行列式Db1和Db2：Db1 = |8 3||-7 -2|Db2 = |2 8||5 -7|计算得到Db1 = (8 * -2) - (3 * -7) = -16 + 21 = 5计算得到Db2 = (2 * -7) - (8 * 5) = -14 - 40 = -54最后，根据克拉默法则的公式结论，我们可以得到未知数x和y的值：x = Db1 / D = 5 / -19 ≈ -0.263y = Db2 / D = -54 / -19 ≈ 2.842因此，方程组的解为x ≈ -0.263，y ≈ 2.842。
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000Βιβλιοθήκη 2a1 3a1 4a14a2 9a2 16a2
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
8a3 27a3 64a3
4 3
3
D12 D136 D218 D324 D46
提示
11 1 1
D
1 1
2 3
4 9
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12
1 4 16 64
11 1 3
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
解 因为
D27 D181 D2108
提示
2 1 5 1
D
1 3 02
0 6 1 2
27
1 4 7 6
2 8 5 1
D2
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克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n).
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克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n).
2x1 x2 5x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
解 因为
D27 D181 D2108 D327 D427
8a3 27a3 64a3
4 3
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D12 D136 D218 D324
提示
11 1 1
D
1 1
2 3
4 9
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
2x1 x2 5x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
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解 因为
D27 D181 D2108 D327
提示
2 1 5 1
D
1 3 02
0 6 1 2
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1 4 7 6
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D3
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
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a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
8a3 27a3 64a3
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D12 D136 D218
提示
11 1 1
D
1 1
2 3
4 9
8 27
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1 4 16 64
1311
D2
1 1
4 3
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x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
解 因为
D27 D181 D2108 D327 D427 所以 所给方程组的唯一解为
x1
D1 D
3
x2
D2 D
4
x3
D3 D
1
x4
D4 D
1.
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
§1.7 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题.
a11x1 a12x2 a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22
a2n xn annxn
b2 bn
(＊)
a11 a12 a1n
行列式 D a21 a22 a2n 称为方程组(＊)的系数行列式.
5 2 2 D 2 6 0 (5)(6)(4)4(4)4(6)
2 0 4
(5)(2)(8) 由D0 得2、5或8.
当2、5或8时 齐次线性方程组有非零解.
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❖定理5 如果齐次线性方程组(＊＊)的系数行列式D0 则齐次线
性方程组(＊＊)没有非零解. ❖定理5
如果齐次线性方程组(＊＊)有非零解 则它的系数行列式 必为零.
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例3 问取何值时 齐次线性方程组
有非零解?
(52)xx
2y
(6 ) y
2z 0 0
2x
(4)z 0
解 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式 D0. 而
an1 an2 ann
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a11x1 a12x2 a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22
a2n xn annxn
b2 bn
(＊)
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n .
an1 an2 ann
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
8a3 27a3 64a3
4a2 9a2 16a2
8a3 27a3 64a3
4 3
3
因为 D12 D136 D218 D324 D46
所以方程有唯一解
a0 3
a1
3 2
a2 2
a4
1 2
即曲线方程为
y 3 3 x2x2 1 x3 .
2
2
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a11x1 a12x2 a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22
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克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n).
2x1 x2 5x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
解 因为
D27 D181
提示
2 1 5 1
D
❖克拉默法则
如果线性方程组(＊)的系数行列式D不等于零 则方程组 (＊)有唯一解
x1
D1 D
x2
D2 D
xn
Dn D
其中Dj (j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j
anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n
阶行列式. >>>
定理证明
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讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组
问齐次线性方程组有什么样的解? >>>提示
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齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a11 a12 a1n
aa2n11xx11aan222xx22
a2n xn annxn
0 0
(＊＊)
D a21 a22 a2n . an1 an2 ann
4 3
3
D12 D136
提示
11 1 1
D
1 1
2 3
4 9
8 27
12
1 4 16 64
31 1 1
D1
42 33
4 9
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .