高等数学下册第八章三重积分

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高等数学中的三重积分与曲面积分

高等数学中的三重积分与曲面积分

高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中,三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。

它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。

一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。

它可以看作是二重积分的推广。

三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。

一般来说,三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。

在直角坐标系下,三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体,并对每个小立方体进行求和来实现。

具体地,我们可以将积分区域分割成若干个小立方体,每个小立方体的体积为ΔV,然后对每个小立方体内的函数值进行求和,并在极限情况下求得积分的值。

这种方法称为立体分割法。

在柱坐标系下,三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。

具体地,我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系,然后对柱坐标系下的函数进行积分。

柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单,适用于具有旋转对称性的问题。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。

它可以看作是线积分的推广。

曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。

一般来说,曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。

具体地,我们可以将曲面分割为若干个小面元,每个小面元的面积为ΔS,然后对每个小面元上的函数值进行求和,并在极限情况下求得积分的值。

第一类曲面积分的计算方法相对简单,适用于曲面上的标量场问题。

第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。

具体地,我们可以将曲面分割为若干个小面元,每个小面元的面积为ΔS,然后对每个小面元上的向量函数进行求和,并在极限情况下求得积分的值。

第二类曲面积分的计算方法相对复杂,适用于曲面上的向量场问题。

三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

张卓奎《高等数学(第3版)》第8章重积分-本章提要

张卓奎《高等数学(第3版)》第8章重积分-本章提要

第8章 重 积 分一、 重积分的概念二重积分01(,)lim (,) ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰三重积分1(,,)lim (,,)niiiii f x y z dV f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 二、 重积分的性质 齐次性质 (,)(,)DD kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰可加性质[(,)(,)](,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰分域性质 设12D D D =+,则12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

不等式性质 若在D 上,(,)(,),f x y g x y ≤则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰。

绝对值性质(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰估值性质 若在D 上有(,)m f x y M ≤≤,且D 的面积为σ,则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰中值定理 若(,)f x y 在闭区域D 上连续,D 的面积为σ,则(,)D ξη∃∈,使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰三、二重积分的对称性质D 关于x 轴对称 1D 是D 的0y ≥的部分,若(,)(,)f x y f x y -=-则(,)d d 0Df x y x y =⎰⎰若(,)(,)f x y f x y -=则1(,)d d 2(,)d d DD f x y x y f x y x y =⎰⎰⎰⎰D 关于x 轴,y 轴都对称 若(,)(,)f x y f x y -=-(,)(,)f x y f x y -=-或则(,)d d 0Df x y x y =⎰⎰若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -==-则3(,)d d 4(,)d d DD f x y x y f x y x y =⎰⎰⎰⎰四、重积分的计算直角坐标系下二重积分计算 若积分域D 为X 区域,则先积分y ,后积分x ,即(,)d Df x y σ=⎰⎰21 ()()d (,)d bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰若积分域D 为Y 区域,则先积分x ,后积分y ,即(,)d Df x y σ=⎰⎰21 ()()d (,)d dx cx y f x y x ψψ⎰⎰极坐标系下二重积分计算 若极点O 在积分域D 之外,则(,)d Df x y σ=⎰⎰21()()d (cos ,sin )d .f r r r r βϕθαϕθθθθ⎰⎰若极点O 在积分域D 的边界上,则(,)d Df x y σ=⎰⎰()d (cos ,sin )d .f r r r r βϕθαθθθ⎰⎰若极点O 在积分域D 的内部,则(,)d Df x y σ=⎰⎰2()d (cos ,sin )d .f r r r r πϕθθθθ⎰⎰三重积分的计算积分区域为长方体,多面体或任意形体,采用直角坐标系,即21(,)(,)(,,)d d d (,,)d xyz x y z x y D f x y z v x y f x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2211 ()(,)()(,)d d (,,)d .by x z x y ay x z x y x y f x y z z =⎰⎰⎰积分区域在xOy 面的投影域为圆域或部分圆域,采用柱面坐标系,即cos sin x r y r z z θθ===,,,则(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z f r r z r r z θθθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分区域是球体、部分球体、球面与平、或球面与锥面所围立体,采用球面坐标系,即sin cos sin cos cos x y z ρϕθρϕθρϕ===,,,则(,,)d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f ρϕθρϕθρϕρϕρϕθΩ=⎰⎰⎰五、重积分的应用曲顶柱体的体积 (,)d d DV f x y x y =⎰⎰(曲面为(,)z f x y =)平面区域的面积 d d DA x y =⎰⎰空间区域的体积 d d d V x y z Ω=⎰⎰⎰空间曲面的面积d DA x y = 平面薄片的质心坐标 (,)(,)DDx x y d x x y d μσμσ=⎰⎰⎰⎰,(,)(,)DDy x y d y x y d μσμσ=⎰⎰⎰⎰平面薄片的转动惯量 2(,)x DI y x y d μσ=⎰⎰,2(,)y DI x x y d μσ=⎰⎰。

8.6__三重积分习题课

8.6__三重积分习题课

所围成的。

关 于 yo z面 为 对 称
O x
: 0 r 1, 0
0 2
y

4 ,
f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数

xdv 0




( x z ) dv

1 0


zdv
(利用球面坐标)
2


2 0
d
1
要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。 对积分区域要有一定的空间想象力,最好能 画出的图形。如 的图不好画,也要画出在 某坐标面上的投影区域的图形。
2
1、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广,要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法” 设 往xoy平面上的投影区域为Dxy ,过Dxy 内 任一点而穿过 内部的平行于轴的直线与 的边 界曲面至多两个交点,则

y
B E
o
A
D
x
是以梯形 ABED 为底,以梯形 ACFD
为顶的柱体。 梯 形 A C F D 所 在 平 面 过 x 轴 ,
设其方程为 y z 0
又 因 过 C (1, 1, 2 ) 点 , 得 其 方 程 为 z 2 y 0。
: 0 z 2 y; 0 y x; 1 x 2
Dxy : 0 r 1,0 2
1
y
x
y
D xy
o
1
x
I

2
o
d rdr
0
1
r
2
f ( r cos , r sin , z )dz

高等数学三重积分

高等数学三重积分

2
2

2
: {( x , y , z ) | c z c , x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式

c
c
z dz dxdy,
2 Dz
x
x y z Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c
z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c D
三、小结
三重积分的定义和计算
(计算时将三重积分化为三次积分)
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点,并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,,则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标.
例 1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz为三

次积分,其中积分区域 为由曲面 z x 2 y 及 z 2 x 所围成的闭区域.
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域
x y 1,
2 2
1 x 1 2 2 故 : 1 x y 1 x , x2 2 y2 z 2 x2

1
1 z
1 y z
1
dx
o
0 zdz0 (1 y z )dy
1
1 z
y
1
x
1
1 1 2 0 z (1 z ) dz . 2 24

高等数学三重积分 (2)

高等数学三重积分 (2)

x rsin cos y r sin sin z r cos
坐标面分别为
0 r
0 2π 0 π
r 常数
球面
常数 常数
半平面 锥面 M (r, ,)
rM O y
x
r sin z r cos
现在您浏览到是十七页,共二十三页。
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 z
2
其中
解: I x2 d x d y d z 5 xy2 sin x2 y2 d x d y d z
*利用对称性▲
z
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
0
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r3 d r 21
21 0
0
4
1
Dz
Oy x
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z z2 (x, y)
z
z z1(x, y)
O
y
xD
dxd y
现在您浏览到是六页,共二十三页。
方法2. 截面法 (“先二后一”)
Ω
:
(
x, y) Dz a z b
则有:
f (x, y, z)dv
z
b
z Dz
a
O
y
x
ab f (x, y, z)dxdy dz Dz
记作
b
a dz f (x, y, z)dxdy
高等数学三重积分
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的

高等数学《三重积分的计算》课件

高等数学《三重积分的计算》课件
任取球体内一点
得锥面
对: 从0 积分,
对 : 从0 积分,扫遍球体
1. 为全球体
2. 为上半球体
3. 为下半球体
5. 为球体的第一、二卦限部分
6. 为空心球体
4. 为右半球体
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
(计算时将三重积分化为三次积分)
第三节 三重积分的计算
一、三重积分的定义
二、利用直角坐标计算三重积分
三、利用柱面坐标计算三重积分
四、利用球面坐标计算三重积分
一、三重积分的定义
(1) 三重积分的存在性:
(2) 三重积分没有几何意义,但有物理意义.
性质1 (线性性质)
性质2 (对区域具有可加性)
性质3
性质4
则有
若在D上有
(3) 绝对可积性
若在D上有
则有
(2) 单调性
(1) 正性
性质5
(三重积分中值定理)
直角坐标系中将三重积分化为三次积分.
二、利用直角坐标计算三重积分 1、坐标面投影法
如图,

注意
这种方法称为坐标面投影法.

故 :

如图,

如图,
2、坐标轴投影法(截面法)
坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:
球面坐标下的体积元素
r
dr
d
x
z
y
0
d
rd
元素区域由六个坐标面围成:
rsin d
球面坐标下的体积元素
.
半平面 及+d ; 半径为r及r+dr的球面; 圆锥面及+d
r 2
sin drdd
dV

Z8-4三重积分的概念及计算PPT课件

Z8-4三重积分的概念及计算PPT课件

x r cos y r sin
zz
坐标面分别为
0 r
0 2π
z
z z
M (x, y, z)
r 常数
常数
z 常数
2021/4/8
圆柱面 半平面 平面
O
y
(x, y,0)
xr
11Leabharlann 目录 上页 下页 返回 结束2.利用柱面坐标计算三重积分
z
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
“分割, 近似, 求和, 求极限”
可得
n
M
lim
0
(i ,i , i )Vi
i 1
Vi
(i ,i , i )
2021/4/8
2
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定义 设 f (x, y, z) , (x, y, z) Ω , 若对 作任意分割:
Vi ( i 1, 2 , , n), 任意取点 (i ,i , i ) Vi , 下列
积和式” 极限
“乘
n
记作
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Vi
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dV称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
中值定理. 设 f (x, y, z)在有界闭域 上连续, V 为 的
2
解: I x2 d x d y d z 5 xy2 sin x2 y2 d x d y d z
2021/4/8
8
8
19
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内容小结
坐标系

高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分: (1)投影法(先一后二): 1)外层(二重积分):区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2)内层(定积分): 从区域Ω的底面上的z值,到区域Ω的顶面上的z值。 (2)截面法(先二后一): 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分

3、利用球面坐标计算三重积分 定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy平面对称, (1)若被积函数 f(x,y,z) 是关于z 的奇函数,则三重积分为零。 (2)若被积函数 f(x,y,z) 是关于z 的偶函数,则三重积分等于:在xoy平面上方的半个Ω,区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意: 1)积分区域关于坐标面的对称性; 2)被积函数关于变量的奇偶性。

(cos,sin,)fzdddz(,,)fxyzdv(,,)fxyzdxdydz(sincos,sinsin,cos)frrr2sinrdrdd 例 计算 ,其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域.

解:

是关于x 的奇函数,且关于 yoz 面对称 故其积分为零。 2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

dxdydzzyxx2)(

2)(zyxx

22222222)(zxxyzyxzyxx

xyzzyxx2)(222

,022ydvxdxdydzzyxxI2)(

,22zdxdydzxdzddz22cos2

zdzdd23cos2

20104223)2(cosdd

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