2019-2020学年江苏省苏州市张家港市八年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省苏州市张家港市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上）1．（3分）2的算术平方根是( )A ．2B ．2±C ．4D ．4±2．（3分）下列四个图案，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）点(2,3)P -所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（3分）已知正比例函数y kx =的图象经过点(2,1)-，则k 的值( )A ．2-B ．12-C ．2D ．125．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A 32B 24x yC y xD 24x y +6．（3分）计算2263y y x x÷的结果是( ) A ．3318y x B ．2y x C ．2xy D ．2xy 7．（3253x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．52x >- B ．52x >-且0x ≠ C ．52x - D ．52x -且0x ≠ 8．（3分）若关于x 的分式方程211x a x -=+的解为负数，则字母a 的取值范围为( ) A ．1a - B ．1a -且2a ≠- C ．1a >- D ．1a <-且2a ≠-9．（3分）如图，若BD 为等边ABC ∆的一条中线，延长BC 至点E ，使1CE CD ==，连接DE ，则DE 的长为( )A ．32B ．3C ．52D ．510．（3分）设2的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，42-的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则b d ac +值为( ) A ．12 B ．14 C ．212- D ．212+ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应的位置上）11．（3分）若分式2223x x -+的值为零，则x 的值等于 ． 12．（3分）(3,4)P -到x 轴的距离是 ．13．（3分）若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是 ．14．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，则BAD ∠= ︒．15．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，1EC =，则三角形ACE 的面积为 ．16．（3分）已知直线1:l y x a =+与直线2:2l y x b =+交于点(,4)P m ，则代数式12a b -的值为 ．17．（3分）如图，已知(2,2)A 、(4,1)B -，点P 在y 轴上，则当y 轴平分APB ∠时，点P 的坐标为( ， )．18．（3分）如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(2,4)和(3、0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当ABC ∆是以AB 为底的等腰三角形时，OC = ．三、解答题（本大题共76分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19．（8分）计算：（1）32339(5)()4---（21243612220．（8分）计算：（1）2a b a a b b a++-- （2）221(1)11x x x -÷+- 21．（5分）解方程：32322x x x -=+-． 22．（5分）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，点E 在BA 的延长线上，且//EC AD ．证明：ACE ∆是等腰三角形．23．（6分）已知：2|3|0a b -+-=（1）求64a b +的值；（2）设x b a =-，y b a =+，求11x y +的值． 24．（6分）已知A 、B 两地之间有一条长270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时)之间的函数关系如图所示：（1）乙车的速度为 千米/时，a = ，b = ；（2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式，并写出相应的自变量x 的取值范围．25．（8分）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，5BC =．点D 为AC 上一点，且4BD =，3CD =．（1）求证：BD AC ⊥；（2）求AB 的长．26．（10分）某商店准备购进A 、B 两种商品，A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．（1）A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠(1020)m m <<元，B 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．27．（10分）在长方形纸片ABCD 中，点E 是边CD 上的一点，将AED ∆沿AE 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处．（1）如图1，若点F 落在对角线AC 上，且54BAC ∠=︒，则DAE ∠的度数为 ︒．（2）如图2，若点F 落在边BC 上，且6AB =，10AD =，求CE 的长．（3）如图3，若点E 是CD 的中点，AF 的沿长线交BC 于点G ，且6AB =，10AD =，求CG 的长．28．（10分）在平面直角坐标系中，直线1:26l y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，直线2:2(0)l y kx k =+>与坐标轴交于点C ，D ，直线1l ，2l 与相交于点E ．（1）当2k =时，求两条直线与x 轴围成的BDE ∆的面积；（2）点(,)P a b 在直线2:2(0)l y kx k =+>上，且点P 在第二象限．当四边形OBEC 的面积为233时． ①求k 的值；②若m a b =+，求m 的取值范围．2019-2020学年江苏省苏州市张家港市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上）1．（3分）2的算术平方根是()A．2B．2±C．4D．4±【分析】此题只需根据平方根的定义，取2的平方根的正值即可．【解答】解：2的算式平方根为2．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，需注意算术平方根只能取非负值．2．（3分）下列四个图案，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）点(2,3)P-所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．【解答】解：点P的横坐标为正，纵坐标为负，∴点(2,3)P-所在象限为第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++；第二象限(,)-+；第三象限(,)--；第四象限(,)+-．4．（3分）已知正比例函数y kx=的图象经过点(2,1)-，则k的值()A．2-B．12-C．2D．12【分析】根据正比例函数y kx=的图象经过点(2,1)-，可以求得k的值，本题得以解决．【解答】解：正比例函数y kx=的图象经过点(2,1)-，12k∴=-，解得，12k=-，故选：B．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．5．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是()A B C D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．【解答】解：A=B2=C=D故选：D．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式概念．6．（3分）计算2263y yx x÷的结果是()A．3318yxB．2yxC．2xy D．2xy【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式22362y x xy x y ==． 故选：D ．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．7．（3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．52x >- B ．52x >-且0x ≠ C ．52x - D ．52x -且0x ≠ 【分析】根据二次根式被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，250x +，解得，52x -， 故选：C ．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键．8．（3分）若关于x 的分式方程211x a x -=+的解为负数，则字母a 的取值范围为( ) A ．1a - B ．1a -且2a ≠- C ．1a >- D ．1a <-且2a ≠-【分析】解分式方程得1x a =+，由题意可知10a +<，当1x =-时，2a =-，方程有增根．【解答】解：方程两边同时乘以1x +，得21x a x -=+，解得：1x a =+，解为负数，10a ∴+<，1a ∴<-，当1x =-时，2a =-，1a ∴<-且2a ≠-，故选：D ．【点评】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．9．（3分）如图，若BD 为等边ABC ∆的一条中线，延长BC 至点E ，使1CE CD ==，连接DE ，则DE 的长为( )A 3B 3C 5D 5【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD DE =，求出BC ，在Rt BDC ∆中，由勾股定理求出BD 即可．【解答】解：ABC ∆为等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，AB BC =， BD 为中线，1302DBC ABC ∴∠=∠=︒， CD CE =，E CDE ∴∠=∠，E CDE ACB ∠+∠=∠，30E DBC ∴∠=︒=∠，BD DE ∴=， BD 是AC 中线，1CD =，1AD DC ∴==，ABC ∆是等边三角形，112BC AC ∴==+=，BD AC ⊥，在Rt BDC ∆中，由勾股定理得：22213BD =-= 即3DE BD ==故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE BD =和求出BD 的长．10．（32a 表示，小数部分用b 表示，42的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则b d ac+值为( )A ．12B ．14C D【分析】由124<<，可知12<，然后可求得a 、b 的值，根据243<<，可得c 、d 的值，最后代入计算即可．【解答】解：124<<，12∴<．1a ∴=，1b ，243<-2c ∴=，422d ==1b d ∴+=，2ac =． ∴12b d ac +=． 故选：A ．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得1a =，1b =，2c =，2d =是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应的位置上）11．（3分）若分式2223x x -+的值为零，则x 的值等于 2 ． 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零得出答案． 【解答】解：分式2223x x -+的值为零， 20x ∴-=，且2230x +≠，解得：2x =．故答案为：2．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．12．（3分）(3,4)P -到x 轴的距离是 4 ．【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，(3,4)P -到x 轴的距离是|4|4-=． 故答案为：4．【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y 轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x 轴的距离．13．（3分）若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是 12 ． 【分析】题中没有指明哪个边是腰哪个是底，故应该分情况进行分析，从而得到答案．【解答】解：①腰长为2，底边长为5，2245+=<，不能构成三角形，故舍去； ②腰长为5，底边长为2，则周长55212=++=．故其周长为12．故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，则BAD ∠= 60 ︒．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．【解答】解：AB AC =，AD BC ⊥，BAD DAC ∴∠=∠，111206022BAD BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故答案为：60．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．15．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，1EC =，则三角形ACE 的面积为 12．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到EA EB =，则根据等腰三角形的性质得到22.5EAB B ∠=∠=︒，根据三角形外角性质得到45AEC ∠=︒，所以ACE ∆为等腰直角三角形，从而得到三角形ACE 的面积．【解答】解：DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，EA EB ∴=，22.5EAB B ∴∠=∠=︒，45AEC EAB B ∴∠=∠+∠=︒，90C ∠=︒，ACE ∴∆为等腰直角三角形，1CA CE ∴==，∴三角形ACE 的面积111122=⨯⨯=． 故答案为：12． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．16．（3分）已知直线1:l y x a =+与直线2:2l y x b =+交于点(,4)P m ，则代数式12a b -的值为 2 ．【分析】把点(,4)P m 分别代入y x a =+或2y x b =+即可得到结论．【解答】解：把点(,4)P m 分别代入y x a =+或2y x b =+得，4m a =+①，42m b =+，122m b ∴=+②， ∴①-②得，122a b -=， 故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了两条直线的交点问题．17．（3分）如图，已知(2,2)A 、(4,1)B -，点P 在y 轴上，则当y 轴平分APB ∠时，点P 的坐标为( 0 ， )．【分析】当y轴平分APB∠时，点A关于y的对称点A'在BP上，利用待定系数法求得A B'的表达式，即可得到点P的坐标．【解答】解：如图，当y轴平分APB∠时，点A关于y的对称点A'在BP上，(2,2)A，(2,2)A'∴-，设A B'的表达式为y kx b=+，把(2,2)A'-，(4,1)B-代入，可得2214k bk b=-+⎧⎨=-+⎩，解得123kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，13 2y x∴=+，令0x=，则3y=，∴点P的坐标为(0,3)，故答案为：0，3．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，掌握轴对称的性质以及待定系数法是解决问题的关键．18．（3分）如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(2,4)和(3、0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当ABC ∆是以AB 为底的等腰三角形时，OC = 118．【分析】根据等腰三角形的判定，可得AC BC =，根据解方程，可得C 点的坐标，从而求解．【解答】解：设C 点坐标为(0,)a ，当ABC ∆是以AB 为底的等腰三角形时，BC AC =，平方得22BC AC =，22222(4)3a a +-=+，化简得811a =，解得118a =． 故118OC =， 故答案为：118． 【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短；（3）利用了等腰三角形的判定．三、解答题（本大题共76分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19．（8分）计算：（1）3（2【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算开方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）3+33(5)4=---+324=（2==【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（8分）计算：（1）2 a b a a b b a ++--（2）221(1)11xx x-÷+-【分析】（1）先把分母化为同分母，再进行同分母分式的减法运算，然后约分即可；（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子因式分解法后约分即可．【解答】解：（1）原式2 a b a a b a b+=---2a b a a b +-=- a b a b -=-- 1=-；（2）原式211(1)(1)1x x x x x +-+-=+ 1x x -=． 【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．21．（5分）解方程：32322x x x -=+-． 【分析】首先乘以最简公分母(2)(2)x x -+去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1，最后一定要检验．【解答】解：去分母得：3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x --+=-+，去括号得：223624312x x x x ---=-，移项得：223623124x x x x ---=-+，合并同类项得：88x -=-把x 的系数化为1得：1x =，检验：把1x =代入最简公分母(2)(2)0x x -+≠，∴原分式方程的解为：1x =．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．22．（5分）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，点E 在BA 的延长线上，且//EC AD ．证明：ACE ∆是等腰三角形．【分析】由BAD CAD ∠=∠，根据平行线的性质证得即可．【解答】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，//EC AD ，BAD E ∴∠=∠，CAD ACE ∠=∠，E ACE ∴∠=∠，ACE ∴∆是等腰三角形．【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．23．（6|3|0b -=（1+的值；（2）设x =y =11x y +的值．【分析】（1）先利用非负数的性质得到2a =，3b =+=+，然后利用分母有理化和二次根式的除法法则运算；（2）由于x =y =11x y +=，然后分母有理化后合并即可．【解答】解：（1）|3|0b -=， 20a ∴-=，30b -=，2a ∴=，3b =，∴+==（2）x b =-=，y ==∴11x y +===． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．24．（6分）已知A 、B 两地之间有一条长270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时)之间的函数关系如图所示：（1）乙车的速度为75 千米/时，a = ，b = ；（2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式，并写出相应的自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值；（2）运用待定系数法解得即可．【解答】解：（1）乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=．故答案为：75； 3.6；4.5；（2）60 3.6216⨯=（千米），故第二条直线过点(2,0)、(3.6,216)，第三条直线过点(3.6,216)、(4.5,270)，当2 3.6x <时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x ∴=-<；当3.6 4.5x <时，设22y k x b =+，则22223.62164.5270k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得22600k b =⎧⎨=⎩，∴当3.6 4.5x <时，60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -<⎧∴=⎨<⎩． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度⨯时间=路程．25．（8分）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，5BC =．点D 为AC 上一点，且4BD =，3CD =．（1）求证：BD AC ⊥；（2）求AB 的长．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可直接证明BCD ∆是直角三角形；（2）设AD x =，则3AC x =+，在直角ABD ∆中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．【解答】（1）证明：3CD =，5BC =，4BD =，22291625CD BD BC ∴+=+==，BCD ∴∆是直角三角形，BD AC ∴⊥；（2）解：设AD x =，则3AC x =+．AB AC =，3AB x ∴=+．90BDC ∠=︒，90ADB ∴∠=︒，222AB AD BD ∴=+，即222(3)4x x +=+， 解得：76x =， 725366AB ∴=+=． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．同时考查了勾股定理，等腰三角形的性质．26．（10分）某商店准备购进A 、B 两种商品，A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．（1）A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠(1020)m m <<元，B 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．【分析】（1）设A 种商品每件的进价是x 元，根据用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；（2）设购买A 种商品a 件，根据用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；（3）设销售A 、B 两种商品共获利y 元，根据y A =商品的利润B +商品的利润，根据m 的值及一次函数的增减性可得结论．【解答】解：（1）设A 种商品每件的进价是x 元，则B 种商品每件的进价是(20)x -元， 由题意得：3000180020x x =-，解得：50x=，经检验，50x=是原方程的解，且符合题意，502030-=，答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；（2）设购买A种商品a件，则购买B商品(40)a-件，由题意得：5030(40)1560402a aaa+-⎧⎪⎨-⎪⎩，解得：40183a，a为正整数，14a∴=、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案；（3）设销售A、B两种商品共获利y元，由题意得：(8050)(4530)(40)y m a a=--+--，(15)600m a=-+，①当1015m<<时，150m->，y随a的增大而增大，∴当18a=时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，②当15m=时，150m-=，y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，③当1520m<<时，150m-<，y随a的增大而减小，∴当14a=时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．27．（10分）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将AED∆沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且54BAC∠=︒，则DAE∠的度数为18︒．（2）如图2，若点F落在边BC上，且6AB=，10AD=，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且6AB=，10AD=，求CG 的长．【分析】（1）由矩形的性质和已知得出905436DAC ∠=︒-︒=︒，由折叠的性质得DAE FAE ∠=∠，得出1182DAE DAC ∠=∠=︒即可； （2）由矩形的性质得出90B C ∠=∠=︒，10BC AD ==，6CD AB ==，由折叠的性质得10AF AD ==，EF ED =，由勾股定理得出228BF AF AB =-，得出2CF BC BF =-=，设CE x =，则6EF ED x ==-，在Rt CEF ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）连接EG ，证明Rt CEG FEG(HL)∆≅∆，得出CG FG =，设CG FG y ==，则10AG AF FG y =+=+，10BG BC CG y =-=-，在Rt ABG ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，54BAC ∠=︒，905436DAC ∴∠=︒-︒=︒，由折叠的性质得：DAE FAE ∠=∠，1182DAE DAC ∴∠=∠=︒； 故答案为：18；（2）四边形ABCD 是矩形，90B C ∴∠=∠=︒，10BC AD ==，6CD AB ==，由折叠的性质得：10AF AD ==，EF ED =，22221068BF AF AB ∴-=-=，1082CF BC BF ∴=-=-=，设CE x =，则6EF ED x ==-，在Rt CEF ∆中，由勾股定理得：2222(6)x x +=-， 解得：83x =， 即CE 的长为83； （3）连接EG ，如图3所示：点E 是CD 的中点，DE CE ∴=，由折叠的性质得：10AF AD ==，90AFE D ∠=∠=︒，FE DE =，90EFG C ∴∠=︒=∠，在Rt CEG ∆和FEG ∆中，EG EG CE FE =⎧⎨=⎩， Rt CEG FEG(HL)∴∆≅∆，CG FG ∴=，设CG FG y ==，则10AG AF FG y =+=+，10BG BC CG y =-=-，在Rt ABG ∆中，由勾股定理得：2226(10)(10)y y +-=+，解得：910y =， 即CG 的长为910．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和正确利用勾股定理是解题的关键．28．（10分）在平面直角坐标系中，直线1:26l y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，直线2:2(0)l y kx k =+>与坐标轴交于点C ，D ，直线1l ，2l 与相交于点E ．（1）当2k =时，求两条直线与x 轴围成的BDE ∆的面积；（2）点(,)P a b 在直线2:2(0)l y kx k =+>上，且点P 在第二象限．当四边形OBEC 的面积为233时． ①求k 的值；②若m a b =+，求m 的取值范围．【分析】（1）根据2k =，2l 的解析式，就可求出D 点坐标，然后求出E 点坐标，根据三角形的面积计算公式，就可求出；（3）①连接OE ．设(,26)E n n -+，由EOC EOB OBEC S S S ∆∆=+四边形，可得112323(26)223n n ⨯⨯+⨯⨯-+=，解得23n =，求出点E 的坐标即可解决问题． ②根据k 值求出2l 与解析式，把P 点入2l ，求出a 与b 的关系式，从而确定m 的取值范围．【解答】解：（1）直线1:26l y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，∴当0y =时，得3x =，当0x =时，6y =；(0A ∴，6)(3B ，0)；当2k =时，直线2:22(0)l y x k =+≠，(0,2)C ∴，(1,0)D -解2622y x y x =-+⎧⎨=+⎩得14x y =⎧⎨=⎩， (1,4)E ∴，BDE ∴∆的面积14482=⨯⨯=． （2）①连接OE ．设(,26)E n n -+，EOC EOB OBEC S S S ∆∆=+四边形，∴112323(26)223n n ⨯⨯+⨯⨯-+=， 解得23n =， 2(3E ∴，14)3， 把点E 的人2y kx =+中，142233k =+， 解得4k =．②直线42y k =+交x 轴于D ，1(2D ∴-，0)， (,)P a b 在第二象限，在线段CD 上，102a ∴-<<， 42b a ∴=+，52m a b a ∴=+=+，122m ∴-<<．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决取值问题，属于中考常考题型．。