3.5.3 扰动稳态误差
扰动信号作用下的稳态误差
当扰动信号单独作用时有
R(s) 0 ，
N(s) 1 s
此时系统的输出为
K2
Cn (s)
1
s K1
K2 s
1 s
s
K2 K1K2
1 s
由于扰动信号作用下的误差等于扰动信号作用下系统输出的负值，
即 En (s) Cn (s) ，所以扰动信号作用下的稳态误差为
essn
lim
s0
s
En
(
s)
lim s
s0
Cn (s)
lim
s0
s
s
K2 K1K2
1
s
1 K1
因此，系统总的稳态误差为
ess
essr
essn
0
1 K1
1 K1
自动控制原理
Cr
(s)
r
(s)R(
s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)
R(s)
扰动信号单独作用下的闭环传递函数为
n
(s)
Cn (s) N (s)
1
G2 (s) G1(s)G2 (s)
此时输出信号为
Cn
(s)
n
(s)
N
(s
)
1
G2 (s) G1 (s)G2
(s)
N
(s
)
应用叠加原理，系统的误差可表示为
1 G1(s)G2 (s)
1
R(s) G2 (s) N (s)
1 G1(s)G2 (s)
1 G1(s)G2 (s)
所以，输入信号单独作用下的误差为
1 Er (s) 1 G1(s)G2 (s) R(s)
扰动信号单独作用下的误差为
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
稳态误差公式
稳态误差公式稳态误差公式是控制系统中常用的一个概念，用于评估系统输出与期望输出之间的偏差。
在控制系统设计和分析中，稳态误差公式被广泛应用，能够帮助工程师评估系统的性能和稳定性。
稳态误差公式的含义稳态误差公式指的是控制系统在稳态下输出与期望输出之间的偏差。
稳态是指系统已经达到恒定状态，即输入信号已经稳定，系统没有改变时的状态。
稳态误差是输出与期望输出之间的差值，通常用e表示。
稳态误差公式可以用以下公式表示：e(t) = y(t) - r(t)其中e(t)表示在时间t时刻的稳态误差，y(t)表示系统输出在时间t时的值，r(t)表示期望输出在时间t时的值。
稳态误差公式的应用稳态误差公式在控制系统中具有广泛的应用，通常被用于以下几个方面：1. 系统性能分析稳态误差公式可以用于分析系统的性能，帮助工程师评估系统输出与期望输出之间的差距。
通过分析稳态误差，可以明确系统的性能限制，从而确定是否需要改进系统的设计。
2. 系统稳定性分析稳态误差公式也可以用于系统稳定性分析。
稳态误差越小，系统的稳定性越好。
因此，通过分析稳态误差的大小可以评估系统的稳定性。
3. 控制系统设计在控制系统设计中，稳态误差公式是一个非常重要的工具。
通过控制系统的参数设置，可以调整系统的稳态误差。
因此，稳态误差公式可以帮助工程师设计出性能更好、稳定性更高的控制系统。
稳态误差公式的限制稳态误差公式虽然在控制系统中具有广泛的应用，但也存在一些限制。
其中最重要的一个限制是，稳态误差公式只适用于稳态下的系统。
如果系统还没有进入稳态，稳态误差公式将无法提供准确的结果。
此外，稳态误差公式还有一个限制，那就是它不能完全反映系统的动态响应。
稳态误差公式只考虑了系统输出与期望输出之间的偏差，而没有考虑系统响应的速度、振荡等因素。
因此，在分析系统性能时，需要同时考虑系统的稳态误差和动态响应。
稳态误差公式的应用示例为了更好地理解稳态误差公式的应用，下面以比例控制系统为例进行说明。
稳态误差
s 0
K 2 K 3 s1 (Ts 1) A A 2 s s1 s2 K 1 K 2 K 3Ts K 1 K 2 K 3 K1
结论：减少扰动误差的方法之一:在主反馈口和扰动点加积分环 节或增大增益
作 业
P110 3.12 3.13
e ss e ssr e ssn
1 Kn K
例 系统结构图如图所示，求 r(t)分别为A· 1(t), At, At2/2时系统的稳态误差。
e ( s)
E( s) s(Ts 1) R( s ) s(Ts 1) K
说明：本题接上题，所以未写出判断系统稳定的过程。
s 0
essr
当 3时，K a lim
K G0 ( s) , s 0 s
essr 0
当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即 Ct 2 A B C 当r (t ) A Bt 时，有essr 2 1 K p Kv K a 结论
s0
A Kv
K K v lim sG1 ( s ) H ( s ) lim v1 G0 ( s) s 0 s 0 s
当 0时，Kv lim sKG0 (s) 0 ,
s0
essv
essv A K
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K ,
lim G0 ( s ) 1
s0
根据纯积分环节的个数判断系统的型别。
e ( s) E ( s) 1 R( s ) 1 G1 ( s ) H ( s ) 1 K 1 v G0 ( s ) s
1 ess lim s e ( s) R( s) lim s R(s ) s0 s0 K 1 v G0 ( s) s
稳态误差与稳态偏差
4.典型输入信号的稳态误差及静态误差系数
设开环传递函数的一般形式为：
G( s) H ( s)
k ( 1 s 1)( 2 s 1)...( m s 1) s (T1 s 1)(T2 s 1)....( Tn s 1)
ss s ( s) ess lim e(t ) lim sE ( s) lim t s 0 s 0 H ( s ) H (0)
e输入引起的稳态误差计算
系统在输入作用下的偏差传递函数为：
( s)
X i ( s)
1 1 G( s) H ( s)
xi (t ) 1(t ) ， X i ( s ) 1 。则稳态偏差为： s
ss lim s
ss
Ⅰ、Ⅱ型系统： K p , 易知，稳态误差： ess
ss
1 k ss 0
H (0)
1 1 H (0) 1 K p
ess ss 对于单位反馈系统，
1 1 K p
其中，K v lim sG ( s ) H ( s ) lim
s 0 s 0
k s
1
，称为稳态速度误差系数。
零型系统：
K v 0, ss
Ⅰ型系统： K v k , ss
Ⅱ型系统： K v , ss 0
稳态误差： ess
1 k
1 1 H (0) K v
(2)单位速度输入时系统的稳态误差及稳态速度误差系数
xi (t ) t 1(t ),
§3-5稳态误差的分析与计算
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2
稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
自动控制原理稳态误差
自动控制原理稳态误差相关的基本原理引言自动控制原理是研究如何通过对被控对象进行测量和调节，使其输出达到期望值的一门学科。
在实际应用中，我们往往希望被控对象能够快速、准确地达到期望值，并且能够稳定在该期望值附近。
然而，由于各种因素的影响，被控对象在实际操作中往往会存在一定的误差。
稳态误差就是描述系统输出与期望值之间的偏差。
稳态误差的定义稳态误差是指系统在长时间运行后，输出与期望值之间的持续偏差。
通常使用误差函数来描述稳态误差，常见的有积分误差、百分比偏差等。
稳态误差分类根据系统输入信号和输出响应之间的关系，稳态误差可以分为以下几种类型：阶跃输入信号下的稳态误差当输入信号为阶跃函数时，系统响应过程中存在一个阶段性变化。
根据输出与期望值之间的偏差大小和持续时间的不同，可以将阶跃输入信号下的稳态误差分为零稳态误差、常数稳态误差和无限稳态误差三种情况。
零稳态误差当系统输出在长时间运行后与期望值完全一致时，称系统具有零稳态误差。
这意味着系统能够快速、准确地响应输入信号，并最终达到期望值。
常数稳态误差当系统输出在长时间运行后与期望值存在一个固定的偏差时，称系统具有常数稳态误差。
虽然系统能够达到期望值附近，但始终存在一个固定的偏差。
无限稳态误差当系统输出在长时间运行后与期望值之间的偏差持续增大，并且无法消除时，称系统具有无限稳态误差。
这种情况下，系统无法达到期望值。
正弦输入信号下的稳态误差当输入信号为正弦函数时，系统响应过程中存在周期性变化。
对于正弦输入信号下的稳态误差，我们通常关注其幅频特性和相频特性。
幅频特性描述了输出信号的幅值与输入信号频率之间的关系。
对于稳定系统，幅频特性通常是一个函数，它可以用来衡量系统对不同频率的正弦输入信号的响应能力。
当幅频特性在某个频率处衰减到0时，称该频率为系统的截止频率。
相频特性相频特性描述了输出信号与输入信号相位之间的关系。
对于稳定系统，相频特性通常是一个函数，它可以用来衡量系统对不同相位的正弦输入信号的响应能力。
稳态误差计算
稳态误差计算稳态误差是指控制系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差异。
在控制系统中，我们希望输出能够尽量接近期望输出，从而实现优化和准确的控制。
稳态误差的大小直接影响到控制系统的性能和精确度。
本文将介绍稳态误差的计算方法及其普通解法。
稳态误差的计算可以通过以下步骤进行：1.确定系统的开环传递函数系统的开环传递函数是控制系统的输入与输出之间的关系。
它描述了控制系统的动态特性。
通常，开环传递函数可以由系统的物理方程或实验数据拟合得出。
2.确定系统的期望输入信号期望输入信号是控制系统的期望输出值。
它可以是一个固定值或者一个随时间变化的函数。
期望输入信号决定了控制系统的目标。
3.计算系统的闭环传递函数闭环传递函数描述了控制系统的反馈路径对输出的影响。
它是开环传递函数与控制器传递函数的乘积。
4.计算系统的稳态误差在进行稳态误差计算之前，需要确定系统的类型。
根据系统是否包含积分环节，可以将系统分为4种类型：类型0系统、类型1系统、类型2系统和类型3系统。
-类型0系统：开环传递函数中不包含积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s+a)。
类型0系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为0。
-类型1系统：开环传递函数中包含一个积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+a))。
类型1系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n+1)*K)。
-类型2系统：开环传递函数中包含两个积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s^2*(s+a))。
类型2系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/(n*K)。
-类型3系统：开环传递函数中包含三个积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s^3*(s+a))。
类型3系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n-1)*K)。
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为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，假设图中
G1 ( s)
K1 s(1 1 s)
G2 ( s )
K2 1 2 s
给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按 上述相同的方法求出，
essr lim
s 0
sR ( s ) 0 1 G1 ( s )G2 ( s )
3.5.3 扰动稳态误差
控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。扰 动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。扰动输入可以作用在系 统的不同位置，因此系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但 对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。 设给定输入为零，由误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为
E ( s) R( s) B( s) H ( s)C ( s)
G2 ( s ) C ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
R(s) E(s)
N(s)
E ( s)
G2 ( s ) H ( s ) N ( s) en ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
R(s)
N(s)
-
G1 ( s)
+
G2 (s)
C(s)
令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为
er (s)
所以给定稳态误差为
1 1 G 1 (s)G 2 (s)
e ssr
s 2 (1 1s)(1 2 s) R s R (s) lim lim r 0 s s 0 1 G 1 (s)G 2 (s) s 0 s(1 1s)(1 2 s) K 1 K 2
essn lim
s 0
sG2 ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
R s 2 K1 (1 2 s) lim n 0 s(1 1 s)(1 2 s) K1 K 2 s s 0
系统总的稳态误差为
ess essr essn 0
比较以上两次计算的结果可以看出，
• 若要消除系统的给定稳态误差，在系统前向通道中串联 的积分环节都起作用。 • 若要消除系统的扰动稳态误差，在系统前向通道中只有 扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。 若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误 差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。 对于非单位反馈系统，当H（s）为常数时，以上有关结论同样适 用。 前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动 输入的无差度。
令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为
en ( s)
所以扰动稳态误差为
G2 ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
essn lim
s 0
R R sG2 ( s) N ( s) s K 2 (1 1 s) lim n n 1 G1 ( s)G2 ( s) s0 s(1 1 s)(1 2 s) K1 K 2 s K1
例3.12 设控制系统如图所示，其中 K2 K1 G2 ( s) G1 ( s ) s(1 2 s) 1 1 s
n(t ) Rn 1(t ) 给定输入 r (t ) Rr 1(t ) ，扰动输入 （Rr 和 R 均为常数 ），试求系统的稳态误差。 n
解 当系统同时受到给定输入和扰动输入 的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和 扰动稳态误差的叠加。
G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
B(s)
G1 ( s)
+
பைடு நூலகம்
C(s)
G2 (s)
H ( s)
en ( s)
— 扰动输入作用下系统的误差传递函数
ess lime(t ) lim
t s 0
sG2 ( s) H ( s) N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在 系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。 该系统总的稳态误差为
ess essr essn
由扰动稳态误差的表达式可知
Rn K1
提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大 系数 K1 ，可以减小系统的扰动稳态误差。