稳态误差(2)
系统的稳态误差为
r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算
综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
自动控制原理第3章习题解答
（2） k (t ) = 5t + 10 sin( 4t + 45 )
0
（3） k (t ) = 0.1(1 − e 解： （1） Φ ( s ) =
−t / 3
)
0.0125 s + 1.25
1
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
（2） k (t ) = 5t + 10 sin 4t cos 45 + 10 cos 4t sin 45
3s 4 + 10s 3 + 5s 2 + s + 2 = 0
试用劳思稳定判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。 解： 列劳思表如下：
s4 s3 s2 s1 s0
3 5 2 10 1 47 2 10 1530 0 − 47 2
由劳思表可以得到该系统不稳定。 3-12 已知系统特征方程如下，试求系统在 s 右半平面的根数及虚根值。 （1）
2ξω n = 70
ξ=
7 2 6
根据（3-17）
h(t ) = 1 +
e − t / T1 e − t / T12 + T2 / T1 − 1 T1 / T2 − 1
解：根据公式（3-17）
3
胡寿松自动控制原理习题解答第三章
0型1型2型系统的稳态误差
0型1型2型系统的稳态误差
在控制系统理论中，0型、1型和2型系统通常用于描述系统的稳态误差特性。
这里简要介绍这些系统类型以及它们的稳态误差。
1.0型系统：
•0型系统是指系统的开环传递函数没有分母中的多项式，或者多项式的次数为零。
这意味着系统的稳态误差对于恒
定输入（如阶跃输入）为零。
•0型系统的例子包括纯比例控制器。
2.1型系统：
•1型系统是指系统的开环传递函数的分母中有一个因子为�s。
对于1型系统，系统对于单位阶跃输入的稳态误
差为有限值，但不为零。
•1型系统的例子包括带有积分环节的系统，如纯积分控制器。
3.2型系统：
•2型系统是指系统的开环传递函数的分母中有两个因子为�s。
对于2型系统，系统对于单位阶跃输入的稳态误
差在无穷远处趋近于零。
•2型系统的例子包括带有两个积分环节的系统，如带有两个积分控制器的系统。
对于1型和2型系统，常用的稳态误差标准是单位阶跃输入时的稳态误差。
具体的稳态误差计算和公式可以通过使用系统的开环传递
函数和控制理论的方法得到。
这些概念是控制系统设计和分析中的基本原理。
第六章1(2)线性系统的稳态误差
（2）计算误差方法
（3）适用条件
1）系统稳定 2）按输入端定义误差 3）r(t)作用,且r(t)无其他前馈通道
4.6、线性系统的稳态误差
例4 系统结构图如图所示，当r(t)=t 时，要求ess<0.1，求K的范围。
解 . D(s) s(s 1)(2s 1) K(0.6s 1)
2s3 3s2 (1 0.6K)s K 0
例3 r(t) Asinwt
cs(t)
A sin(wt-arctanwT) 1 w 2T2
cs (t)
1
r(t) 1 w2T2
幅频特性
G( jw) 1 w 2T 2 1
稳态输出幅值 输入量的幅值
幅频特性
cs (t) r(t) arctan wT
G( jw) arctanwT 相频特性
G(s) Uc (s)
1
T CR
1
Ur (s) CRs 1 Ts 1
Uc
(s)
1 Ts
1
s2
Aw w
2
uc (t )
AwT 1 w 2T2
t
eT
A sin(w t-arctanw T) 1 w 2T2
频率响应：线性控制系统在输入正弦信号时， 其稳态输出随频率变化的规律。
6、2 频率特性的概念及几何表示
lim s
s0
A s2
s1s2
K2K3 s1(Ts 1) K1K2K3Ts K1K2K3
A K1
在主反馈口到干扰作用点之间的前向通道中提高增益、设置积分环节， 可以减小或消除干扰作用下产生的稳态误差。
§6. 线性系统的频域分析
§6.2 频率特性的概念及几何表示 §6.3 幅相频率特性曲线（Nyquist图） §6.4 对数频率特性曲线（Bode图） §6.5 频域稳定判据 §6.6 稳定裕度 §6.7 利用开环对数频率特性分析系统的性能 §6.8 利用闭环频率特性分析系统的性能
自动控制原理_第3章2
令Gc (s)
通信技术研究所
G f ( s) G( s)
, 得C (s) G( s) R( s) C ( s)
13
<例3-15>r(t)=1,n(t)=1 ,求ess
通信技术研究所
14
1 2 <例3-16> r (t ) 1 t t ,求ess 2 注：E=R-C
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （1） 0, K p lim 0 1 K s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s 0
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) , ess 0 （2） 1, K p lim 1 s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 2, K p lim 2 , ess 0 （ 3） s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 0, Kv lims 0 0, ess （ 1） s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （2） 1, Kv lims 1 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tj s 1) K s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) （3） 2, Kv lims 2 , ess 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0
机械工程控制基础题库3
第三章1.单位阶跃函数1(t)的拉氏变换式L[1(t)]为[ B ]： a ．S b. S1 c.21Sd. S 22. 已知 f(t)=0.5t+1，其L[f(t)]=( c ): A ．S+0.5S 2 B. 0.5S 2 C.S S1212+ D. S 21 3. 在阶跃函数输入作用下，阻尼比（ d ）的二阶系统，其响应具有减幅振荡特性。
A ．ζ＝0 B. ζ>1 C. ζ＝1 D. 0<ζ<1 C. T 2/（T 2S 2+2ξTS+1） (0<ξ<1) ； D. 1/[S （TS+1）]4. 在阶跃函数输入作用下，阻尼比（ a ）的二阶系统，其响应具有等幅振荡性。
A ．ζ＝0 B. ζ>1 C. ζ＝1 D. 0<ζ<15.典型二阶振荡系统的（ ）时间可由响应曲线的包络线近似求出。
A 、峰值 ；B 、延时 ；C 、调整 ；D 、上升 6. 控制系统的稳态误差反映了系统的 〔 〕 A. 快速性 B. 稳态性能 C. 稳定性 D. 动态性能7. 对于典型二阶系统，在欠阻尼状态下，如果增加阻尼比ξ的数值，则其动态性能指标中的最大超调量将 〔 〕 A. 增加 B. 不变C. 不一定D. 减少8.对于典型二阶系统，当阻尼比不变时，如果增加无阻尼振荡频率ω则其动态性能指标中的调整时间t s( )。
n的数值，A、增加；B、减少；C、不变；D、不定9.对于典型二阶系统，当（）时，最大超调量σ为0。
A、ζ= 0 ；B、ζ= 1 ；C、0＜ζ＜1 ；D、ζ＜010.对于典型二阶系统，当阻尼比不变时，如果增加无阻尼振荡频率ωn的数值，则其动态性能指标中的调整时间t s( )。
A、增加；B、减少；C、不变；D、不定11.对于典型二阶系统，当（）时，最大超调量σ为0。
A、ζ= 0 ；B、ζ= 1 ；C、0＜ζ＜1 ；D、ζ＜012. 典型二阶系统在无阻尼情况下的阻尼比ξ等于〔〕A. ξ=0B. ξ< 0C. 0<ξ< 1D. ξ=113. 对于典型Ⅰ型系统，在工程设计中，其阻尼比ξ＝（）时称为“二阶最佳”系统〔〕A. ξ=0B. ξ＝0.707C. ξ＝1D. ξ=0.514.已知某单位负反馈控制系统在单位加速度信号作用下，其稳态误差等于不为0的常数，则此系统为( )系统A. 0型B. Ⅰ型C. Ⅱ型D. Ⅲ型15. 控制系统的调整时间t S 反映了系统的 〔 〕 A. 快速性 B. 稳态性能 C. 稳定性 D. 准确性 16.某二阶系统的传递函数Φ(S)=152532++S S ，此系统的阻尼比ξ等于〔 〕A. 1B. 0.5C.251D. 5117. 某系统的开环传递函数为)25()32(2++S S S 则此系统的开环增益为〔〕A. 3B. 2C. 1D. 5 18. 5. 某系统的传递函数10012100)(2++=s s s G , 则n ω等于 A. 0.01rad/s B. 0.1rad/s C. 1rad/s D.10rad/s19.对自动控制系统性能指标的主要要求是什么？而M P 、N 反映了系统的什么，T S 反映了系统的什么，e SS 又反映了系统的什么； 20.为什么稳定的调速系统的前向通道中含有积分环节能实现无静差控制。
自动控制原理线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差共41页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松Байду номын сангаас岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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R(s)
E(s)
- G1 K1
N (s)
+
G2
K2 s
C(s)
解：
essn
lim
s0
s
NE
1 s
lim s0
K2 s K1K2
1 K1
根据前面的分析知，稳态误差与G1中的增益和积分环节的个数有关。此 时因G1无积分环节，所以 essn 1K1
ess
essr
essn
1 K1
可用静态误差系数法
-
H (s) (b)
例 系统如图所示，已知 输入
求系统的稳态误差。
r(t) At 2 2 n(t) At
解
．
G(s) K1K 2 K 3 (Ts 1) s1 s2
K v
K 2
1
K
2
K
3
e(s)
E(s) R(s)
s1 s2
s1 s2 K1K 2 K 3 (Ts
1)
求该系统输入作用 下的误差，建议用
系统扰动作用下的稳态误差
分析目的：干扰信号对系统的影响，讨论干扰引起的稳态误差与 系统结构参数的关系，可以为合理设计系统结构，确定参数，提 高系统抗干扰能力提供参考。
解法：与求输入信号的静态误差方法相同，不同的是要求扰 动的误差传递函数，不能用静态误差系数法。
N(s)
R(s) E(s) G1(s)
+ G2 (s) C(s)
积分环节。
essn
lim s0
sN (s) G1
K 1 K
此时在阶跃扰动输入时是有差系统，设 G1(s) K1G10(s)，G10(0) 1
essn
K K1 (1
K)
结论：当系统是0型系统，且输入口到扰动口的传函无积分环节时，系统在 阶跃、斜波、加速度等典型输入的作用下都存在稳态误差。输入口到扰动口 传函的增益越大(相当于开环增益增加），系统扰动作用的稳态误差越小。
输入补偿（复合控制）
例 系统结构图如图所示，已知输入 r(t,)求 At ,使稳G态c (s误) 差为零。
解 P1 1
1 1
P2
KGc s(Ts 1)
2 1
L1
K s(Ts 1)
1
K s(Ts
1)
e (s)
1 1
KGc (s) s(Ts 1)
K s(Ts 1)
s(Ts 1) KGc (s) s(Ts 1) K
结合在给定输入下产生的稳态误差结论（增加开环传函 的积分环节个数和开环增益可以减小误差），可以得到减小或 消除稳态误差的措施有
增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益
在主反馈口和扰动口增加积分环节个数
例：求系统的稳态误差；若要求稳态误差为零，如何改变系 统结构。 r(t) n(t) 1(t)
例 系统结构图如图所示
(1) 确定K1,K2，配置极点于p1,2=-5j5； (2) 设计G1(s) ，使r(t)=t作用下essr=0； (3) 设计G2(s) ，使n(t)作用下en(t)≡0。
解.
(1)
KK21
50 0.18
(1) (2)
G(s)
e (s) D(s)
Ks 21ERs(((K(s(ss12))s1)K1111)KKK2)21sssKsv(Ks12Ks1GK11)11(1s0)
essn
1 K1
结论：扰动口到输入口的传函无积分环节时，系统有稳态误差， 增加其增益可减小扰动作用下的稳态误差。增加其余环节的积 分环节不能消除稳态误差。
② 设 u 0 即 G1(s) 有积分环节
前提是即使出现 G(s) G1(s)G2 (s)H (s) 零、极点相消的情况， G1(s)中仍保留积分环节
en(s)
E(s) N (s)
1
K 2 K 3 (Ts 1) K1K 2 K 3 (Ts 1)
s2 (s1s2 )
K 2 K 3 s1(Ts 1)
s1s2 K1K 2 K 3Ts K1K 2 K 3
essn
lim
s0
s en(s)
N(s)
lim
s0
s
A s2
s1 s2
K 2 K 3 s1(Ts 1) K1K 2 K 3Ts K1K 2 K 3
ts
0
x 0.707
Kt
1.414
s
0 0
500 ,
ts
0.495
(3) G(s) 100 s(s 10Kt )
K 10 Kt v 1
K 10 / Kt
Kt
ess
1 K
Kt 10
作业 3.14
s(Ts 1) s s(Ts 1) K
当T>0,K>0,系统稳定
结论:(1)控制系统不因引入前馈控制而影响其稳定性
(2)按输入补偿相当于将系统的型别提高一级，达到补偿的目的，解决 精度和稳定性问题。
说明2：补偿环节与K有关，当系统参数K变化时，若补偿环节不随着变化， 则系统有可能达不到理想条件下的控制精度。（即为输入补偿的缺陷）
(s 1)s (K2s 1)G1(s)
sK(s1 10),KK21(K02s 1)
判断系统稳定性
D(s) s2 (1 K1K2 )s K1 (s 5
1K1
Kess15K02lsim01s0s12
eK(Ks21)
(s
l5i0m 0s.108
s2
1)1 (1
j5)(s 5 j5)
当系统输入为阶跃信号时且 u 1 系统扰动误差为零
su1N (s)
essn
lim s0
K1
0
当系统输入为斜波信号时且 u 2 系统扰动误差为零
essn
lim s0
su1N (s) K1
0
结论：增加输入口到扰动口的积分环节个数可消除扰动误差，但对积 分环节个数有一定要求。
当输入为阶跃信号时，积分环节个数至少为1个，输入为斜波函数 时，积分环节至少为2个。
扰动误差为
N(s)
R(s) E(s) G1(s)
+ G2 (s) C(s)
-
H (s) (b)
essn
lim
s0
s
1
G2 H G1G2
H
N(s)
lim
s0
sN (s) G1
1
G1G2 H G1G2H
lim
s0
sN (s) G1
1
Gk Gk
m1
m2
Gk (s)
K s
i1 n1
(is 1) ( k s2 2 k k s 1)
E(s) K1(s 1)
N (s)
+ K2
C(s)
s2
K1K2 ( s 1) K1K2 s K1K2
-
s
s
当K1>0，K2>0，τ>0时系
统稳定,且此时系统的扰动误
差为零.
复合控制
在闭环外部进行顺馈控制.顺馈分为按输入补偿和按干 扰补偿两种,其主要作用在于提高系统的稳态精度
按干扰补偿的顺馈控制
A
K1
结论：减少扰动误差的方法之一:在主反馈口和扰动点加积分环 节或增大增益
问题：主反馈口到扰动口的积分环节需要多少个才能消除稳 态误差？
若需消除阶跃扰动，则至少需要1个积分环节，若需消除斜波信 号扰动，则至少需要2个积分环节。
附-----减少扰动误差的方法之一:在主反馈口和扰动点加积分环节或改变增 益的原理性证明
ess
lim
s0
se
(sT
1
K s
Gc
(s)
s(Ts 1) K
A1
K s
Gc
(s)
K
0
s Gc (s) K
说明1：在增加补偿环节后，改变系统结构求稳态误差，仍需保证系统稳定， 所以要判断系统稳定性。由新系统的误差传函得
e (s)
s(Ts 1) KGc (s) s(Ts 1) K
k 1 n2
(Tjs 1) (Tl s2 2 lTl s 1)
K s
G0 (s)
j 1
l 1
G0 (0) 1
essn
lim s0
sN (s)
K sv
G0
G1
1
K sv
G0
lim s0
sN (s) K G1 sv K
⒈当 v 0，即开环传递函数中无积分环节，并假设G1(s) 中也无
说明： 所谓极点配置指的是让系统的特征根落在指定的点上。 系统时刻误差为零，要求相应传函为零 系统要求稳态误差为零，则相应的终值定理为零。
06年
例 系统结构图如图所示。
解. (1) Kt 0时 系统结构不稳定！ 只有当Kt>0，系统稳定
（1）Kt=0 时系统的性能?
（2）Kt 时，s, ts 变化趋势?
结论
（1）
若 u 1，在阶跃扰动作用下是无差的。若 u 2 在斜坡扰动 作用下也是无差的。 因此 G1(s) 环节中的积分环节决定了扰动 作用下的无差度（系统的型别）。
（2）在主反馈口至扰动作用点之间的前向通道中设置增益或 增加积分环节数，可以同时减小或消除由控制输入和干扰作用 产生的稳态误差。
⒉当 v 0，即开环传递函数中有积分环节，但积分环节可在不
同的地方。
sN (s) K
sN (s) K
sN (s)
essn
lim s0
G1
sv
K
lim s0
G1
lim
K
s0
G1
设
G1(s)
K1 su
G10(s)，G10(0) 1