2013年高考理科数学各地试题分类汇编4
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 在数列 { a n } 中, a n 2n1, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i行第 j 列的元素 aa a j a a j ,( i 1,2, ,7; j 1,2, ,12 ) 则该矩阵元素能取到 i,j i i 的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 已知数列 a n 满足 3a n 1 a n 0, a 2 4 的前10, 则 a n 项和等于 3 (A) 6 1 3 10 (B) 1 1 3 10 (C) 3 1 3 10 (D) 3 1+3 10 9【答案】 C3 ．（ 2013 年高考新课标1（理）） 设 A n B n C n 的三边长分别为 a n , b n , c n , A n B n C n 的面积为 S n , n 1,2,3, , 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1 a n , b n 1cn an, c n 1 b n a n , 则 ( )2 2 A.{ Sn} 为递减数列B.{ Sn} 为递增数列C.{ S2n-1 } 为递增数列 ,{ S2n} 为递减数列D.{ S2n-1 } 为递减数列 ,{ S2n} 为递增数列【答案】 B4 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数y=f (x) 的图 像如图所示 , 在区间a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x 1,x 2 ...,x n , 使得 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 = = ,x 2 x n(A) 3,4 (B) 2,3,4 (C) 3,4,5 (D) 2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））已知等比数列{ a n }第 1 页共 19 页的公比为q, 记 b n a m( n 1) 1 a m( n 1) 2 ... a m (n 1) m ,cn am(n 1) 1 am( n 1) 2 ... am (n1) m (m, n N * ), 则以下结论一定正确的是 ( ) A. 数列 {b n } 为等差数列 , 公差为 q mB. 数列 { b n } 为等比数列 , 公比为 q 2mC.数列 { c n }为等比数列, 公比为 q m2D. 数列 { c n } 为等比数列 , 公比为 q mm【答案】 C6 （． 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3a 2 10a 1 , a 5 9 , 则 a 1 1 (B) 1 1 1(A) 3 (C) (D)3 9 9 【答案】 C7 （． 2013 年高考新课标 1（理））设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , S m 1 2, S m 0,S m 1 3 , 则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】 C8 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 （理）试题（ WORD 版））d 0 下面是关于公差的等差数列a n 的四个命题 : p 1 : 数列 a n 是递增数列； p 2 : 数列 na n 是递增数列； p 3 : 数列a n 是递增数列；p 4 : 数列 a n 3nd 是递增数列； n 其中的真命题为(A)p 1, p 2 (B) p 3 , p 4 (C) p 2 , p 3 (D) p 1, p 4 【答案】 D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 等比数列 x,3x+3,6x+6,.. 的第四项等于A.-24B.C.12D.240 【答案】 A 二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列 { a n } 中 , a2a18 , 且 a4为 a2和 a3的等比中项 ,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和 .【答案】解 : 设该数列公差为 d , 前 n 项和为s n . 由已知 , 可得第2 页共 19 页2a 1 2d 8, a 1 3d2a 1 d a 1 8d .所以 a 1 d 4,d d 3a 10 ,解得a 14,d 0 , 或 a 1 1,d 3 , 即数列a n 的首相为 4, 公差为 0, 或首相为 1,公差为 3.所以数列的前 n项和 s4n 或s n 3n 2 nn 211（． 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等差数列 an 的前 n 项和为 S , 已知 S0, S 25 , 则 nS 的最小值为 ________. n 10 15 n 【答案】49 12．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角 形 数 1,3,6,10,, 第 n 个 三 角 形 数为n n11 n2 1n . 记 第 n 个k 边 形 数为2 2 2 N n,k k3 , 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式 : 三角形数N n,3 1 n 2 1 n2 2 正方形数N n,4 n 2 五边形数N n,5 3 n 2 1 n 2 2 六边形数N n,6 2n 2 n可以推测 N n,k 的表达式 , 由此计算 N 10,24 ___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）在正项等比数列{ an } 中 , a5 12 ,a6a7 3, 则满足a1 a2an a1a2an的最大正整数n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设Sn 为数列an的前n 项和 , Sn( 1)nan12n,nN , 则(1) a3 _____;(2)S1S2 S100___________.【答案】1 ; 1( 110016 3 21)第3 页共19页15．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 （理） 试题（纯 WORD版））当 x R, x1时 ,有如下表达式 : 1x x 2 ... x n... 1 1 .x 1 1 1 1 1 1 两边同时积分得 :21dx 2 xdx 2 x 2dx ... 2 x n dx ... 2 dx. 0 0 0 00 1 x从而得到如下等式 : 11 1 ( 1 )21 ( 1 ) 3 ... 1 ( 1 )n1 ... ln 2.2 2 23 2 n 1 2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法, 计算 :0 11 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 C n2 2C n( 2 )3 C n ( 2 ) ... n 1C n ( 2)_____ 【答案】 n 1 [( 3 ) n 1 1]1 216．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） 已知a n 是等差数 列, a 1 1, 公差 d0 , S n 为其前 n 项和 , 若 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , 则S 8 _____【答案】6417．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前 6 项和为 23, 前 9 项和为57, 则数列的前 n 项和 S n =__________.【答案】 5 n 27 n6 618．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））在等差数列 an 中 , 已知 a 3 a 8 10 , 则 3a5 a 7 _____. 【答案】2019．（ 2013 年高考陕西卷（理） ）观察下列等式 :12 112 2 2 3 122232 61222324210照此规律 ,2- 2232-n-1n2 （- 1) n 1第 n 个等式可为___1（ -1）2n(n 1)____.【答案】2- 2232-n-1n2（ -1)n1n(n 1) 1 （ -1）220．（ 2013 年高考新课标1（理））若数列 { a n } 的前 n项和为 Sn=2a n1, 则数列 {a n } 的通项3 3第 4 页共 19 页公式是 a n =______.【答案】 a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图 , 互不 - 相同的点 A1 , A2, X n , 和 B1, B2, B n , 分别在角 O的两条边上 , 所有 A n B n相互平行 , 且所有梯形 A n B n B n 1 A n 1的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a11, a22, 则数列a n的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理））若等比数列 { an} 满足a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比q=_______;前n 项和 Sn=___________.【答案】 2, 2n 1 223．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））已知等比数列a n是递增数列 , S n是a n 的前 n 项和 , 若 a1，a3是方程 x25x 4 0 的两个根 , 则S6____________. 【答案】63三、解答题24．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数f n (x) 1 x x2x2x n n) , 证明 : 22 2n2(x R, n N3( Ⅰ) 对每个 n N n , 存在唯一的x n[ 2,1] , 满足 f n( x n )0 ;31( Ⅱ ) 对任N n , 由 ( Ⅰ ) 中x n构成的数列x n满足0 x n x n p .意pn【答案】解: ( Ⅰ) n 2 3 4 n当 x 0时，y x 2是单调递增的f n( x) 1 x x 2 x2x2x 2是 x的n 2 3 4n第 5 页共 19 页单调递增函数 , 也是 n 的单调递增函数 .且 f n (0) 1 0, f n (1) 1 1 0 . 存在唯一 x n (0,1], 满足 f n( x n ) 0，且1 x 1 x 2 x 3 x n 0 当 x (0,1).时, f n ( x) 1 xx 2 x 3 x 4x n1 x2 1 x n 1 x x 2122 22 22 22x 14 1 x4 1 x0 f n ( x n ) 1 x n x n 21 (x n 2)(3x n 2) 0 x n24 1 x n [ ,1]3 综上 , 对每个 n N n , 存在唯一的x n [ 2 ,1] , 满足 f n ( x n ) 0 ;( 证毕 )3( Ⅱ) 由题知1x n x n p 0, f n ( x n ) 1 x n x n 2 x n 3 x n 4 x n n 022 32 42 n 223 4 n n 1 n pf n p ( x n p ) 1 x n p x n p x n p x n px n p x n p x n p 0 22 32 4 2 n 2 (n 1)2 (n p)2上 式 相 减: x n 2 x n 3 x n 4 x n n 2 x n p 3 x n p 4 x n p n x n p n 1 npx n x n x n p x n p22 32 42 n 2 p 22 32 42 n 2 ( n 1) 2 ( n p) 22 23 34 4 n n n1 n px n - x n p （ xn p - xnxn p -xn xn p - xn xn p - xn ）（ xn p xn p ） 2 2 3 2 4 2 n 2 (n 1) 2 (n p)21 1 1 xn - xn 1 .n n p n pn法二 :第 6 页共 19 页25 ．（ 2013 年高考上海卷（理）） (3 分 +6 分+9分 ) 给定常数 c0 , 定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |, 数列 a1 , a2 ,a3 , 满足 a n 1 f (a n ), n N * .(1) 若 a c 2 , 求 a 及 a ;(2) 求证 : 对任意 nN* , a1a c ,;1 2 3n n(3 ) 是否存在 a1 , 使得 a1 ,a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出所有这样的a1 , 若不存在 , 说明理由 .【答案】 :(1) 因为c 0 , a1( c2) , 故 a2 f (a1) 2| a1 c4| |a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2| a2 c 4| | a2 c | c 10第 7 页共 19 页(2) 要证明原命题 , 只需证明 f ( x) x c 对任意 x R 都成立 ,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只需证明2 | x c 4 | | x c | +x c 若 x c 0 , 显然有 2 | x c 4 | | x c | +x c=0 成立 ; 若 x c 0 , 则 2 |xc 4 | |x c | + x c x c 4 x c 显然成立 综上 , f ( x) x c 恒成立 , 即对任意的 nN *, a n 1 a n c (3) 由 (2)知, 若 { a n } 为等差数列 ,则公差 d c 0 , 故 n 无限增大时 , 总有 a n 0 此时 ,a n 1 f (a n ) 2(a nc 4)(a n c) a n c 8即 d c 8故a 2f (a 1 ) 2| a 1c 4| | a 1 c | a 1 c 8,即2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8 ,当 a c 0 时 , 等式成立 , 且 n 2 时 , a 0 , 此时 { a } 为等差数列 , 满足题意 ; 1 n n 若 a 1 c 0 , 则 |a 1 c 4| 4 a 1 c 8 , 此时 , a 20,a 3 c 8, , a n ( n 2)(c 8) 也满足题意 ; 综上 , 满足题意的 a 1 的取值范围是 [c, ) { c 8}.26．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ） 本小题满分10分 . k 个：1， 2， 2 , 3，,3 ,，3 ，4 ， k- 1 k -1设 数 列 （ ） ， ，（ ） , 即 当 a n - -- ， ，4 4- 1k - - - - 1 k（ k ）k （ ） k 11n k k 1k N 时 , a n k , 记 S n a 1 a 2 a n n N , 对2 2 （-1）于 l N , 定义集合 P ln S n 是 a n 的整数倍， n N ，且 1 n l (1) 求集合 P 11 中元素的个数 ; (2) 求集合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 本题主要考察集合. 数列的概念与运算 . 计数原理等基础知识 , 考察探究能力及运用 数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.第 8页 共 19页(1) 解 :由 数列a n 的 定义 得 : a 11 , a 22 , a3 2 , a 43 , a 5 3 , a 6 3 , a 74 , a 8 4 , a 94 , a104 , a 11 5∴ S 1 1 , S 2 1 , S 3 3 , S 4 0 , S 3 , S 6 , S 2 , S 8 2 , S 9 6 , 5 6 7 S10 10 , S 11 5∴ S 1 1 a 1 , S 4 0 a 4 , S 5 1 a 5 , S 6 2 a 6 , S 111 a 11 ∴集合 P 11 中元素的个数为5 (2) 证明 : 用数学归纳法先证 (21) S i ( 2i 1) i i事实上 ,① 当 i 1时 ,Si( 2i 1) S 31 (2 1)3 故原式成立 ② 假设当 i m 时 , 等式成立 , 即(2 1)故原式成立 Sm(2 m 1) m m则: i m 1, 时 ,S( m 1)[ 2( m 1) 1} S ( m 1)( 2m 3} S m(2m 1) ( 2m 1) 2 (2m 2)2 m(2m 1) (2m 1) 2 (2m 2) 2(2m 2 5m 3) ( m 1)( 2m 3)综合①②得 :Si (2 i 1) i (2 i 1) 于是S( i 1)[ 2i 1} Si ( 2i 1} (2i 1) 2 i (2i 1) (2i 1)2 (2i 1)(i 1) 由上可知 : S i ( 2i 1} 是 (2i1) 的倍数 而 a1)( 2i 1} j 2i 1( j 1,2, ,2i 1) , 所以S S j i 1) 是 ( i i (2i 1) j i (2 i 1) ( 2a(i 1)( 2i 1} j ( j 1,2,,2i 1) 的倍数又S( i 1)[2i1}(i1)(2 1)不是2i2 的倍数 ,i而( 2 2)( 1,2, ,2 2) a(i1)(2i1} j i j i所以(22) (2 1)( 1) (22)不是S( i1)( 2i1) j S(i1)(2i1) j i i i j i第 9 页共 19 页a(i 1)( 2 i 1} j ( j 1,2, ,2i 2) 的倍数故当 l i(2i1) 时, 集合 P l 中元素的个数为 1 3 （2i -1） i 2 于是当 li( 2i 1) j （1 j 2i 1）时 , 集合 P l 中元素的个数为 i 2 j 又 2000 31 （2 31 1） 47 故集合 P 2000 中元素的个数为312 47 100827．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 在公差为 d 的等 差数列 { a n } 中 , 已知 a 1 10 , 且 a 1 ,2a 2 2,5a 3 成等比数列 .(1) 求 d, a n ; (2) 若 d 0 , 求 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | . 【答案】 解:( Ⅰ) 由已知得到 :(2 a 2 2) 2 5a a 4(a d 1)2 50(a 2d ) (11 d ) 225(5 d )1 3 1 1 121 22d d2 125 25d d 2 3d 4 0d 4d 1 a n 4n 或 6 a n 11 n ; ( Ⅱ) 由 (1) 知 ,当 d0 时 , a n 11 n , ①当 1 n 11 时 ,a n0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1 a 2a 3a n n(10 11 n)n(21 n)2 2②当 12n 时 ,a n 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1a 2 a 3 a 11 (a 12 a13 a n ) 2( a 1 a 2 a 3a 11 ) (a 1 a 2 a 3 11(21 11) n(21 n) n 2 21n 220 a n ) 2 2 2 2n(21n),(1 n 11) 所以 , 综上所述 :| a | | a | | a2;| a |n |1 2 3n221n 22012)2,( n28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n 满足 :a2a310 , a1a2 a3125 .第 10 页共 19 页(I) 求数列 a n 的通项公式 ;(II) 是否存在正整数 m , 使得 1 1 1 1 ?若存在 , 求 m 的最小值 ; 若不存在 , 说 a 1 a 2a m 明理由 .【答案】 解 :(I) 由已知条件得 :a 2 5 , 又 a 2 q 1 10 , q 1或 3 , 所以数列a n 的通项或 a n 5 3n 2(II) 若 q 1, 1 11 1或 0 , 不存在这样的正整数m ;a 1 a 2 a m 5m 9 , 不存在这样的正整数 m .若 q 3, 1 1 1 9 1 1a 1 a 2 a m 10 31029．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）设等差数列a 的前 n n 项和为 S n , 且S 44S 2 , a 2 n 2a n 1 .( Ⅰ) 求数列 a n 的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n 前 n 项和为 T n , 且 T n a n 1 ( 为常数 ).令 c n b 2n (n N * ) . 求数 2n列 c n 的前 n 项和 R n .【答案】 解:( Ⅰ) 设等差数列an的首项为 a1 , 公差为 d ,由 S 44S 2 , a 2n 2a n 1得4a 1 6d 8a 1 4d a 1 (2n 1) 2a 1 2(n 1)d 1 ,解得 , a11,d 2因此an2n 1 ( n N * ) T nn2n 1( Ⅱ) 由题意知 :b n T nT n nn 1所以 n 1 2n22 时 ,2n 1第 11 页 共 19页2n 2 1 n 1故, c n b2n 22n 1 ( n 1)( 4)( n N *)R n 0 ( 1) 0 1 ( 1)1 2 ( 1) 2 3 ( 1) 3 (n 1) ( 1) n 1所以 4 4 4 4 4 ,1R n 0 ( 1)1 1 (1 ) 2 2 (1 )3(n 2) ( 1) n 1 (n 1) ( 1)n则 4 4 4 44 43R n ( 1 )1 ( 1 )2 ( 1 )3 (1 )n1 (n 1) (1 ) n 两式相减得 44 4 4 4 41 (1 )n 1)(1 )n4 4 (n 1 1 4 4 R n 1 3n 1 ) (4 4 n 1整理得9的前 n 项和Rn1 3n 1所以数列数列c n 9 (4 4n 1 ) 30．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分16 分 . 设 { a } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d 0) , S 是其前 n 项和 . 记 n nb n nS n , n N* , 其中 c 为实数 .n 2 c (1) 若 c 0 , 且 b 1，b 2，b 4 成等比数列 , 证明 : S nk n 2S k ( k,n N * ); (2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c 0 . 【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d0) , S n 是其前 n 项和∴ S n na n(n 1) d2(1) ∵c 0 ∴b nS nan 1dn 2∵ b1， b2，b4成等比数列∴b2 2 b1b4∴ (a 1 d ) 2 a( a3 d )2 2∴1 ad 1 d 2 0 ∴1 d( a1 d ) 0 ∵ d 0 ∴ a 1 d∴ d 2a 2 4 22 2∴ S n na n(n 1) d na n(n 1) 2a n 2a2 2第 12 页共 19 页∴左边 = S nk (nk) 2 a n 2 k 2 a 右边 = n 2S kn 2 k 2a ∴左边 =右边∴原式成立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为 d 1 , ∴ b n b 1 (n 1) d 1 带入b nnS n 得:n 2 cb 1 (n 1)d 1 nS n 1 d ) n 3 (b 1 d 1 a 1 2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2c ∴ (d 1 d ) n2 2n N 恒成立d 1 1 d 02 ∴ b 1 d 1 a 1 d 0 2 cd 1 0 c(d 1 b 1 ) 0由①式得 :d 1 1 d ∵ d 0 ∴ d 1 02 由③式得 :c 0法二 : 证 :(1)若 c0 , 则 a n a ( n 1)d , S n n[( n 1)d 2a], b n (n 1)d 2a .2 2 当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 ,b 22b 1b 4 ,d 2 3d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d 0 , 故 d 2a .2 2 由此 : S nn 2 a , S nk ( nk) 2 a n 2k 2 a , n 2 S k n 2 k 2a . 故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d 2a (2) b n 2, n 2 c n 2 c n 2 (n 1)d 2a c (n 1) d 2a c (n 1)d 2a2 2 2n2 c(n 1) d2a c(n 1)d 2an 22 . ( ※)2 c若 { b n} 是等差数列 , 则 b n An Bn 型.观察 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,第 13 页共 19 页c(n 1) d2a1)d 2a ( n 1)d 2a故有 :2(n≠0, n 2 0 , 即 c 0 , 而2c2 故 c 0. 经检验 ,当 c0 时 {b n } 是等差数列 . 31．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 =a 2 2 , 且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 , 求 a n 的通项式 .【答案】32．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为 3的等比 2 数列{ a n } 不是递减数列 , 其前 3 3 5 5 4 4 成等差数 n 项和为 S n ( n N *) , 且 S + a , S + a , S + a列.( Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式 ; ( Ⅱ ) 设 T n S n1 ( n N* ) , 求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n 【答案】第 14 页共 19 页33 ．（2013 年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和{a n} 满足: sn2 (n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 an;(2) 令b nn 12, 数列{b} 的前 n 项和为 T n . 证明 : 对于任意的 n* 5 2nN , 都有T n (n 2)a 64【答案】 (1) 解 :由 S n2(n2n 1)S n(n2n) 0 , 得 S n(n2n) (S n1) 0 .由于an 是正项数列 ,所以S 0, S n2n.n n于是 a1S12,n 2时 , anS n S n1 n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n 的通项a n2n .(2) 证明 : 由于an 2n, b nn 1.(n2) 2 a n2则 b nn 1 1 1 1.4n2 (n2)216 n2( n 2)2第 15 页共 19 页T n111 1 1 1 1⋯11 1 13222423252(n 1)2(n 1)2n2( n 2)2 16111 1 1 1 1 51622(n2(n 2)2 (1 2 )64.1) 16 234．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版））设数列a n的前n项和为 S n . 已知a12S na n1 2n2n* 1, 1 n , N .n 3 3( Ⅰ) 求 a2的值 ;( Ⅱ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅲ) 证明 : 对一切正整数n , 有1 1 17 .a1a2a n 4【答案】.(1)解:2S na n1 1 n2n2 , n N .n 3 3当n 1 时 , 2a12S1a21 1 2 a2 23 3又a11, a2 4(2)解 : 2S n a n 1 1 n2 n 2 , n N .n3 32S n na n 1 1 n3n22 n na n 1n n 1 n 2①33 3当 n 2时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由①—②, 得2S n2S n 1na n 1n 1 a n n n 1 2a n2S n2S n 12a n na n 1n 1 a n n n 1a n1 a n1 数列a n是以首项为a11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 n n1 a n 1 1 n 1 n, a n n2 n 2n 当 n 1时 , 上式显然成立 . a n n2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n2 , n N *第 16 页共 19 页①当 n 1时 , 1 1 7 , 原不等式成立 .a 1 4 ②当 n 2 时 , 111 1 7原不等式亦成立 .a 1 a 2 , 4 4 ③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 1 n 1 1 1n 2 n1 1 1 1 1 11 1111a 1 a 2a n 12 22n 2 1 3 2 4 n 2 n n 1 n 11 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 111 1 32 2 4 23 5 2 n 2 n 2 n 1 n 12 1 1 1 1 1 1 111111 1 32 43 5n 2 n n 1 n 12 1 1 1 1 17 1117 11 2 n n 14 2 n n 14 2 当 n 3 时 ,, 原不等式亦成立 .综上 , 对一切正整数n , 有 11 1 7 . a 1 a2 a n 4 35．（ 2013 年高考北京卷（理） ）已知 { a } 是由非负整数组成的无穷数列 , 该数列前 n 项的最大n值记为 An, 第 n 项之后各项 a n 1, a n 2 , 的最小值记为 Bn,dn=An- Bn . (I) 若 { an} 为 2,1,4,3,2,1,4,3,, 4 的数列 ( 即对任意* a n ), 写出是一个周期为 n ∈N , a n 4d1, d2 , d3, d4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : dn=- d( n=1,2,3) 的充分必要条件为 { an} 为公差为 d的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a =2, d =1( n=1,2,3,), 则 { a } 的项只能是 1 或者 2, 且有无穷多项为 1.1n n【答案】 (I) d1d21,d3 d4 3.(II)( 充分性 )因为a n 是公差为d 的等差数列 ,且 d 0, 所以 a1a2a n.因此 A n a n , B n a n1 ,d n a n a n1 d (n 1,2,3, ) .( 必要性 ) 因为d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .第 17 页共 19 页又因为a n A n, a n 1B n ,所以 a n a n 1 .于是A n a n ,B n a n 1 .因此 a n 1a n B n A n d n d , 即 an是公差为 d 的等差数列 .(III) 因为a12,d11, 所以A1 a1 2,B1A1 d1 1. 故对任意n 1,a n B1 1.假设 a ( n 2) 中存在大于 2的项 .n设 m 为满足 a n 2 的最小正整数 ,则 m 2, 并且对任意 1 k m, a k 2 ,.又因为a1 2 ,所以 A m 12 , 且A m a m 2 .于是B m A m d m 2 1 1 , Bm1 min a m , B m2 .故 dm 1A m 1B m1 2 2 0 , 与 dm 11 矛盾 .所以对于任意n 1, 有 a 2 , 即非负整数列an的各项只能为 1 或 2.n因此对任意n 1, a 2 a , 所以A 2 .故B n A n d n 2 1 1.n 1 n因此对于任意正整数n , 存在 m 满足mn , 且 a m1, 即数列a n有无穷多项为 1.36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为 q 的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前 n 项和公式 ; ( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列{ a n1} 不是等比数列 . 【答案】解:( Ⅰ) 分两种情况讨论 .①当q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以 S n a1a1a1na1 .②当q 1时，S n a1a2a n 1 a n qS n qa1qa2qa n 1qa n .上面两式错位相减: （1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3 qa2 ) (a n qa n 1 ) qa n a1qa n .nSna1 qan . a1 (1 q ) .1 - q 1- qna1 , (q 1)③综上,S na1 (1q n )(q 1) 1,q( Ⅱ ) 使用反证法 .第 18 页共 19 页设 { a n } 是公比 q≠1的等比数列 ,假设数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当n N *，使得a n1 =0 成立 , 则{ a n1}不是等比数列 .②当n N *，使得a n1 0 成立 , 则an 1 1 a1q n 1恒为常数a n 1 a1 q n 1 1a1q n1 a1 qn11当 a1 0时, q1. 这与题目条件≠1矛盾 .q③综上两种情况 , 假设数列 { a n 1} 是等比数列均不成立 , 所以当q≠1时 ,数列{ an1} 不是等比数列 .第 19 页共 19 页。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年理科数学各地高考题分类汇编 (1)
2013年高考真题理科数学解析分类汇编1 集合与简易逻辑一选择题1.陕西1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D2.（新课标Ⅰ）1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ()A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.3.[新课标II ]1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N =（ ）（A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以MN {}2,1,0=，选A.4.安徽理（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。
2013年全国各地高考数学试题汇编理科数学(四川卷) 试题及答案
2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(四川卷)数 学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页．考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅2．如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) (A)A (B)B (C)C (D)D 3．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()4．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( ) (A):,2p x A x B ⌝∃∈∉ (B):,2p x A x B ⌝∀∉∉ (C):,2p x A x B ⌝∃∉∈ (D):,2p x A x B ⌝∃∈∈ 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是()(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )(A)12 (C)1 7．函数231x x y =-的图象大致是( )8．从135,79这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )(A)9 (B)10 (C)18 (D)209．节日 家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) (A)14 (B)12 (C)34 (D)7810．设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数)．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,1]e - (C)[1,1]e + (D)1[,1]e e -+第二部分 (非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是____________．(用数字作答)12．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=____________．13．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是____________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________． 15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线,C 在线段上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iP i=；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为(1,2,3)i i=的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)当2100n=时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)i i=的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分) 如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点．(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值．20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P ．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数．设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <．(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围．1C。
2013年全国高考理科数学分类汇编(45页)
2013年全国高考理科数学分类汇编一、集合与简易逻辑辽宁2013（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 辽宁2013（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 江西2013.1.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i 全国1.1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B全国2.1.已知集合{}{}3,2,1,0,1,,4)1(|2-=∈<-=N R x x x M ，则=⋂N M （ ）A {}2,1,0B {}2,1,0,1-C {}3,2,0,1-D {}3,2,1,0北京2013.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}四川1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则AB =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅ 重庆（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U AB =ð（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4} 天津卷(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]2013安微（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6山东（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9重庆（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <2013广东1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2} 北京2013.3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件四川4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈2013广东8.设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3……，n ｝。
2013年全国高考(理科)数学试题分类汇编：排列、组合及二项式定理
全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 （新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-*D2 （山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）A ．243B ．252C ．261D ．279*B3 （高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8*B4 （大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22xy 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168*D5 （福建数学（理）试题）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．10*B6 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x *C7 （辽宁数学（理）试题）使得()3nx n N n +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 *B8 （高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ）A ．9B ．10C ．18D ．20*C9 （高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15*A10（高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为 （ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-40*C二、填空题11（上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为222222(133)(22323)(2232++++⨯+⨯++⨯+⨯=+（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________*483612（高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.*1013（上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).*4514（浙江数学（理）试题）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)*48015（重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________*59016（天津数学（理）试题）6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.*1517（浙江数学（理）试题）设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.*10-18（高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =*2a =-19（高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.*9620（安徽数学（理）试题）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.*21 21（大纲版数学（理））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____种.*480。
2013年各省高考理科数学试题分类4：数列-推荐下载
角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为 n n 1 1 n2 1 n .记第 n 个 k 边形数为 N n, k
2 22
k 3 ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:
三角形数 正方形数
五边形数 六边形数
N n,3 1 n2 1 n
22
的个数为( )
(A)18 【答案】A.
(B)28
(C)48
2. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知
数列an满足 3an1
(A) 61 310
【答案】C
an
0, a2
(B) 1 1 310 9
4 3
,则 an 的前
d 0 的等差数列 an 的四个命题:
p1 : 数列是an递增数列；
p3
:
数列是 a递n 增数列； n
其中的真命题为
(A) p1, p2
【答案】D
(B) p3, p4
(C) p2 , p3
9. （2013 年高考江西卷（理））等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
【答案】C
(B) 1 3
(C) 1 9
7. （2013 年高考新课标 1（理））设等差数列an的前 n 项和为 Sn , Sm1 2, Sm 0, Sm1 3 ,
则m ( )
A.3
【答案】C
B.4
C.5
D.6
8. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年全国各地高考数学试题汇编理科数学(天津卷)试题及答案
2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V ＝Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) 已知集合A ＝ {x ∈R | |x |≤2}, A ＝ {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z＝ y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 ＝ 0与圆2212x y +=相切 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点若双曲线的离心率为2, △AOB则p ＝(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ ＝(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位若(a + i )(1 + i ) ＝ bi , 则a + bi ＝ .(10) 6x ⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | ＝ . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD ＝ 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC 过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F 若AB ＝ AC ,AE ＝ 6, BD ＝ 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b ＝ 2, b >0, 则当a ＝ 时, 1||2||a a b+取得最小值三．解答题: 本大题共6小题, 共70分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD ＝ CD ＝ 1, AA 1 ＝ AB ＝2, E 为棱AA 1的中点(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4：数列 含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）4：数列一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理)WORD 版含答案（已校对））已知数列{}na 满足12430,3n n aa a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- （C ）()10313-- （D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n ｝是以﹣为公比的等比数列 因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得，s 10==3（1﹣3﹣10)故选C2 ．(2013年高考新课标1（理）)设nnnA B C ∆的三边长分别为,,nnna b c ，nnnA B C∆的面积为nS ，1,2,3,n =,若11111,2b c b ca >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则（）A 。
{S n }为递减数列 B.{S n ｝为递增数列C 。
{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n —1｝为递减数列，{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ,，,所以a n =a 1，所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+， 所以b n+1+c n+1﹣2a 1=，又b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1,于是，在△A n B n C n 中，边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值， 因为b n+1﹣c n+1==，所以b n ﹣c n =，当n→+∞时，有b n ﹣c n →0，即b n →c n ，于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大, 所以其面积=为递增数列，故选B ．3 ．(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理）试题(纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,nx x x 使得1212()()()==,nnf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D ）{}2,3 B由题知,过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值。
2013高考 数学(理)真题专业解析(全国卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷）解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈，则M中元素的个数为，，={x|x=a+b,a A,b B}A，B={45}（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系，从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7，集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5，6，7，8}，元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法，特别是描述法，容易忽略互异性.2.3(1)=（）A．-8 B．8 C．8i- D．8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论，还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-，则λ=（）=+，若()()m n m nmλ=+，(2,2)nλA．-4 B．-3 C．-2 D．-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥，则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-，所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=，从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<，得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系，列出不等式，求解. 5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21x x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x （即用y 表示x ），即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+，得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式，关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列，再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-，从而知数列{}n a 是首项14a =，公比13q =-的等比数列，因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系，若为特殊数列直接代公式求解，若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =，4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =，所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解，容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标，然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002pA y k x =-，1002pA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---，故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标，再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题，考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立，212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数，max 211232()2y <-⨯=，3a ∴≥，故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3D ．13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直，找出线面角的平面角，再求三角形的内角. 解答过程:如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==，则2AC OC ==，1C O ====由等面积法，得11C O CH OC CC ⋅=⋅，即222CH =⋅，23CH ∴=，223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角，易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点，若0MA MB ∙=，则k=（ ）A ．12B．2C．2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标，再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-， 其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2，故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求（本题设出点A 、B 的坐标而不必求出）的方法求解，易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系，通过换元，再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=，得t =当1t =±时，函数值为0;(1)0g ±=，(g =，g =所以max()g x =，即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手，恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的，易看错求错，换成正确答案;对称性，奇偶性，最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13.已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α，再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-，故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用，易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人，再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ，再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，由图并结合题意可知12BCk =，4AC k =，若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径，再用表面积公式求解.解答过程:如右图，没MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE MN ⊥，KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒，又MN=R ，OMN ∴∆为正三角形，OE R∴=又OK EK ⊥，3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球（圆）心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:（1）先求出2a 与公差，（2）求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意;若23a =，则2(6)(3)(122)d d d-=-+，解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题，通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（Ⅰ）求B;（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.答案:（Ⅰ）120B =︒;（Ⅱ）15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:（1）先用佘弦定理求得角B ，（2）用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒ （Ⅱ）由（Ⅰ）知60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用内角和定理.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明:PB CD ⊥; （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小. 答案:（Ⅰ）详见解答过程;（Ⅱ）arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:（1）运用三垂线定理证明空间线线垂直，（2）找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:（Ⅰ）取BC 的中点为E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD .因此PB CD ⊥（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知PB CD ⊥，PO CD ⊥，PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ，PC 的中点G ，连结FG. 则FG//CD ，FG ⊥PD连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥. 设AB=2，则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中，12FG CD ==AF ，3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由（Ⅰ）知，OE ，OB ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =，则(A，(0,D，C，PPC =，(0,PD =，(2,0,AP =，(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=，则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=，1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=，0y z +=. 取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q，则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=，2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=，可得0m q +=，0m q -=.取1m =，得1p =，1q =-，故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时，考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法，有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率;（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 答案:（Ⅰ）14（Ⅱ）98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:（1）运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率，（2）分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时，通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率，求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.（本小题满分12分） 已知双曲线C:22221x y a b -=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线y=2与C（Ⅰ）求a,b;（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:（Ⅰ）1,a b ==（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:（1）由离心率即可得a 和b 的关系，（2）再由直线y=2与C 的两个交点间的（Ⅰ），（3）由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-.于是，11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-.226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时，需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程，对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式（如两点间的距离公式，斜率公式…）求解.22.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值; （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:（Ⅰ）12;（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用，是一创新性题目，主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质，具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:（1）运用导数即可求得λ的最小值，（2）运用所要证明的不等式与问题（Ⅰ）中结论的联系即可求解.解答过程:（Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >. 若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明:令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <， 即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =，则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查，通过构造、推理、分类、放缩等方法，融知识、能力与素质与一体，综合问题对分析问题，解决问题能力具有很高要求.。
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2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21nn a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-【答案】C3 ．（2013年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为nS ,1,2,3,n=,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列 C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3【答案】B5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}n b 为等差数列,公差为m qB.数列{}n b 为等比数列,公比为2m qC.数列{}n c 为等比数列,公比为2m q D.数列{}n c 为等比数列,公比为mm q【答案】C6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a (A)31(B)31- (C)91 (D)91-【答案】C7 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p【答案】D9 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A 二、填空题10．（2013年高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n s n =或232n n ns -=11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.【答案】49-12．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题【答案】100013．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.【答案】1214．（2013年高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则(1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】116-;10011(1)32- 15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得:11111222222011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:122311111111()()...()_____2223212n n n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =【答案】6417．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________.【答案】25766n n - 18．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【答案】2019．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:211= 22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-照此规律,第n 个等式可为___)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ ____. 【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ 20．（2013年高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.【答案】n a =1(2)n --.21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n∈-=22．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.【答案】2,122n +-23．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.【答案】63 三、解答题24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数22222()1(,)23nn n x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈,证明: (Ⅰ)对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(Ⅱ)对任意n p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.【答案】解: (Ⅰ)224232224321)(0nx x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x的单调递增函数,也是n 的单调递增函数.011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nxx x x x x f x x nn n n n n n n pn n)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n n p n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnn p n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ nx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 法二:25．（2013年高考上海卷（理））(3分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,; (3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a >此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意;若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意;综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1-1k k k k k 个（），，（）,即当1122k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,11k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S∴111a S ∙=,440a S ∙=,551a S ∙=,662a S ∙=,11111a S ∙-= ∴集合11P 中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+∙-==+S S i i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+∙-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m)32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i 所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2i 1-i 231=+++）（ 于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2+ 又471312312000++⨯⨯=）（故集合2000P 中元素的个数为100847312=+27．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列. (1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或;(Ⅱ)由(1)知,当0d <时,11n a n =-, ①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩;28．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=-或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,不存在这样的正整数m . 29．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d = 因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414nn n -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n项和 ∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2=∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222= ∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b n n +=2得:11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d 由①式得:d d 211= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c 法二:证:(1)若=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 +a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a+=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+.则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦. 34．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【答案】.(1) 解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- ①∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=-()()1211n n n a na n a n n +∴=---+111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈ ①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立. ②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时, ()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 35．（2013年高考北京卷（理））已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,4n n a a +=),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列;(III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)12341, 3.d d d d ====(II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-=. (必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤=,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n a A ≤,1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列. (III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=.假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项.设m 为满足2n a >的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>. 于是211m m m B A d =->-=,{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥,12n a a ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1.36．（2013年高考陕西卷（理））设{}n a 是公比为q 的等比数列.(Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时，当.上面两式错位相减: .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （qq a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒. ③综上,⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n(Ⅱ) 使用反证法.设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当1*+∈∃n a N n ，使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列.②当01*≠+∈∀n a N n ，使得成立,则恒为常数=++=++-+11111111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时,数列{1}n a +不是等比数列.。