辽宁省沈阳二中2020学年度高一数学(11届)上学期12月月考试题
辽宁省沈阳二中2020届高三上学期12月月考试卷数学文科Word版含答案
2021 -2021学年度上学期12月阶段测试高三 (17届 ) 数学文科试题命题：高三数学备课组说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分2、客观题涂在答题卡上 ,主观题答在答题纸上第|一卷 (60分 )一．选择题 (此题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 )}log ,3{2a P = ,{}b a Q ,= ,假设}0{=Q P ,那么=Q P ( )A .{}0,3B .{}2,0,3C .{}1,0,3D .{}2,1,0,3 2．假设奇函数f (x )的定义域为R ,那么有 ( )A ．f (x )＞f ( -x ) C ．f (x )≤f ( -x ) C ．f (x )·f ( -x )≤0 D ．f (x )·f ( -x )＞03．假设a,b 是异面直线 ,且a ∥平面α ,那么b 与平面α 的位置关系是 ( ) A ．b ∥α B ．b 与α 相交C ．b ⊂αD ．以上三种情况都有可能 4.以下函数中 ,图象的一局部如右图所示的是 ( )(A )sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ (B )sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (C )cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (D )cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ,那么++2221a a (2)na +等于 ( ) A ．2)12(-n B ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．假设两个非零向量 ,满足| +| =|﹣| =2|| ,那么向量 +与﹣的夹角是 ( ) A ．B ．C ．D ．7．设变量x ,y 满足约束条件 ,那么z =﹣2x +y 的最||小值为( )A ． ﹣7B ． ﹣6C ． ﹣1D ． 28．以下函数中在上为减函数的是 ( )A ．y =﹣tanxB ．C ．y =sin2x +cos2xD ．y =2cos 2x ﹣1 9.圆柱被一个平面截去一局部后与半球 (半径为r )组成一个几何体 ,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如下列图 ,假设该几何体的外表积为1620π+ ,那么r =( )(A )1 (B )2 (C )4 (D )8γβα、、 ,且c b a ===γβγαβα ,, ,给出以下命题：①假设c a b a ⊥⊥, ,那么c b ⊥；②假设P b a = ,那么P c a = ；③假设c a b a ⊥⊥, ,那么γα⊥；④假设b a // ,那么c a //．其中正确命题个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．点P 为函数f (x ) =lnx 的图象上任意一点 ,点Q 为圆[x ﹣ (e + )]2 +y 2 =1任意一点 ,那么线段PQ 的长度的最||小值为 ( ) A ．B ．C ．D ． e +﹣112．f (x ) =x (1 +lnx ) ,假设k ∈Z ,且k (x ﹣2 )＜f (x )对任意x ＞2恒成立 ,那么k 的最||大值为 ( )A ． 3 B. 4 C ． 5 D ． 6第二卷 (90分 )二．填空题 (本大题共4小题 ,每题5分 , 共20分 )_____)1()10()0(2)0)(1(log )(.13123=-+⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+f f x x x x f x ，则 14.,0,5a b a b >+=若1++3________a b +，则最大值为15．正三角形ABC 的边长为2 ,将它沿高AD 翻折 ,使点B 与点C 间的距离为,此时四面体ABCD 外接球外表积为______．16 ．过双曲线 =1 (a ＞0 ,b ＞0 )的左焦点F (﹣c ,0 )作圆x 2 +y 2 =a 2的切线 ,切点为E ,延长FE 交抛物线y 2 =4cx 于点P ,O 为原点 ,假设,那么双曲线的离心率为 ．三．解答题 (本大题共6小题,总分值70分 ,解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. ) 17． (本小题总分值12分 ) 函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最||小正周期为π3 ,当[0,]x π∈时 ,函数()f x 的最||小值为0. (Ⅰ )求函数)(x f 的表达式；(Ⅱ )在△ABC ,假设A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值18. (本小题总分值12分 )设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2145a a =+(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.19. (本小题总分值12分 )在平面直角坐标系xOy 中,圆0321222=+-+x y x 的圆心为M ,过点P (0,2)的斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A 、B . (1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OB OA +与MP 平行?假设存在,求k 值,假设不存在,请说明理由.20. (本小题总分值12分 )点F 为抛物线2:4C y x =的焦点 ,点P 是准线l 上的动点 ,直线PF 交抛物线C 于,A B 两点 ,假设点P 的纵坐标为(0)m m ≠ ,点D 为准线l 与x 轴的交点．(1 )求直线PF 的方程；(2 )求DAB ∆的面积S 范围；(3 )设AF FB λ= ,AP PB μ= ,求证λμ+为定值21. (本小题总分值12分 ) 设函数()1xf x e -=-.(Ⅰ)证明:当x ＞-1时,()1x f x x ≥+; (Ⅱ)设当0x ≥时,()1xf x ax ≤+,求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题计分 . 作答时请在答题卡涂上题号. 22. (本小题总分值10分)221(1,)1024.(1)(2),x P y M x y d M d MP N PM PN +=+-=•已知是椭圆内一定点，椭圆上一点到直线的距离为当点在椭圆上移动时，求的最小值；设直线与椭圆的另一个交点为求的最大值。
辽宁省沈阳二中2020学年度高一数学（11届）上学期12月月考试题
辽宁省沈阳二中2020学年度高一数学（11届）上学期12月月考试题辽宁省沈阳二中2020学年度高一（11届）上学期12月月考数学试题命题人：郭运江审校人：任庆柱说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f ?→?:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2,则在映射下象20的原象是（）A. 2B. 3C. 4D. 5 2.下列命题中错误的是（）A. 若//,,m n n m βα⊥?，则αβ⊥ B. 若α⊥β，a ?α，则a ⊥β C. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ=I ，则l ⊥γD. 若α⊥β，αI β=AB ，a //α，a ⊥AB ，则a ⊥β3.下面有四种说法：(1)底面是各边相等的四边形的直四棱柱是长方体(2) 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；（3）对角线相等的平行六面体是长方体(4) 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体其中正确的个数是……………………………………………………………………（） A. 0 B. 1 C.2D.34．函数()112x f x -??= ?的单调增区间是 ( ).A (1,∞-] .B [1，)∞+ .C (1,-∞-] .D [-1，)∞+ 5．设21)(2++=x x x f 的定义域是[,1],()n n n N ++∈试判断)(x f 的值域中共有( )个整数。
22.+n A 12.+n B n C 2. 12.-n D6. 对于01a <<，给出下列四个不等式①1log (1)log (1)a a aa+<+；②1log (1)log (1)a a a a +>+；③111aaaa ++<；④111aaaa++>，其中成立的是……（）A. ①与③B. ①与④C. ②与③D. ②与④ 7. 实数1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y-=，则y 关于x 的函数的图象大致是（）8.棱台上、下底面面积之比为1∶9, 则棱台的中截面(中截面是过棱台的各侧棱的中点的截面)把棱台分成两部分的体积之比是 ( )A. 1∶7B.2∶7C. 7∶19D. 5∶ 169. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ΔABC 的（）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心10.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,长为定值的线段EF 在棱AB 上移动（EF a <）,若P 是A 1D 1上的定点,Q 是C 1D 1上的动点,则四面体PQEF 的体积是 ( )A.有最小值的一个变量B.有最大值的一个变量C.没有最值的一个变量D.是一个常量11. 已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A. 以上四个图形都正确 B. 只有⑵、⑷正确 C. 只有⑷错误 D. 只有⑴、⑵正确 12.一个四面体P ABC -，其中PA BC ==PB AC ==，PC AB ==，则该四面体的体积为( )B C C 1 B 1A D 1A 1D MPNA. 25B. 2C.653 D. 2263第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（将正确答案写在答题纸上，每题4分，共计16分）13．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，8AB =，6BC =，110BB =，已知蚂蚁从点 A 出发沿表面爬行到1C ，则蚂蚁爬行的最短距离为14.斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长等于a 的正三角形，侧棱长等于b ，且11A AB A AC ∠=∠=45?，则这个斜三棱柱的侧面积为15.球面上有三点A 、B 、C 组成球的内接三角形，若6=AB ，8=BC ，10=AC ，且球心到ABC ?所在的平面的距离等于球的半径的21，那么这个球的表面积为 ___16.如图：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，长度为1的线段MN 的一个端点M 在11A B 上运动，另一个端点N 在底面11BCC B 上运动，设线段MN 的中点为P ，则动点P 的运动轨迹是三、解答题（共计74分，其中17——21题每题12分，22题14分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分12分)三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ．（1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比．18. (本小题满分12分)如果一个n 面体共有m 个面是直角三角形，那我们称这个n 面体的直度为m n⑴请构造一个直度是34的四面体；⑵是否存在直度为1的四面体？请说明理由；⑶若一个n 面体的直度为1，棱数为t ，将t 表示成n 的函数；⑷证明不存在直度为1的五面体.19. (本小题满分12分)已知函数()f x 对于一切正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =，且x ＞1时，()f x ＜1，f (2)=91(1) 求证：()f x ＞0；（2）求证：11()[()]f x f x --=（3）求证：()f x 在（0，+∞）上为单调减函数（4）若()f m =9，试求m 的值。
辽宁省沈阳二中高三数学12月月考试题 文(含解析)
数学（文科）试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、导数、充分、必要条件、集合、频率分布直方图与概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第Ⅰ卷 （60分）【题文】一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）【题文】1．已知R 是实数集，集合3|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,{}N=y y x =,则()R N C M =I ( ).[0,2]A .[2,)B +∞ .(,2]C -∞ .[2,3]D【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】D 解析：因为{}310M x x x x ⎧⎫=<=<>3⎨⎬⎩⎭或x ，{}03R C M x x =≤≤，{}{}N=2y y x y y =+=≥，所以()[]2,3R N C M =I ,则选D.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算.【题文】2.通过随机询问110性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,算得27.8K ≈附表:参照附表,得到的正确结论是 （ ） A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【知识点】独立性检验的应用I4 【答案】【解析】C解析：因为27.8k ≈＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，故选C.【思路点拨】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【题文】3．已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-【知识点】三角函数的求值C7 【答案】【解析】C解析：因为22)3cos(-=+πα，所以334ππα+=或534ππα+=，得511=1212ππα或，则tan 2α=，所以选C. 【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键.【题文】4.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5 【答案】【解析】D解析：①若//,m n m n αα⊥⊥，则；由线面垂直的性质可知正确；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；由平行平面的性质可知正确；③若,//m m n α⊥，则n ⊥α,又,n βαβ⊂⊥则 ，所以正确；④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.因为m 与n 还可以异面，所以错误,综上可知选D.【思路点拨】判断平行于垂直位置关系，可用已有的定理或性质直接判断，或用反例法进行排除.【题文】5．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 【知识点】命题 充分条件、必要条件A2 【答案】【解析】B解析：对于A ，当m=0时逆命题不成立；对于B ，又特称命题与全称命题的关系知显然成立；因为只有一个选项正确，所以选B.【思路点拨】判断命题的真假可用反例法进行排除，也可直接利用已知结论或性质进行判断. 【题文】6.点(),a b 在直线23x y +=上移动，则24a b +的最小值是（ ）A.8B. 6C.D.【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】C 解析：因为22422abab+=+≥==a=2b 时等号成立，所以选C .【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.【题文】7．直线l：(y k x =与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A . [)0,πB . 3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C .0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D . 3[,)(,]4224ππππU 【知识点】直线与双曲线的位置关系H8【答案】【解析】B解析：因为曲线()2210x y x -=>的渐近线方程为y=±x ，若直线l：(y k x =与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则k ＜-1或k ＞1，而直线l 的斜率存在，所以α∈3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，则选B. 【思路点拨】一般遇到直线与双曲线的位置关系时，注意结合其渐近线解答. 【题文】8. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A . 28π+B . 88π+C . 48π+D . 68π+正视图侧视图俯视图【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析：由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱，下面为一个长方体，所以其体积为21224128ππ⨯⨯+⨯⨯=+，则选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析原几何体的特征，熟悉常见的几何体的三视图特征是解题的关键.【题文】9．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解,则a 的取值为( )ABD ．【知识点】一元二次不等式与二次函数的关系E3【答案】【解析】D解析：若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a=－1有相等实根，所以()24410a a -+=，解得,所以选D. 【思路点拨】遇到一元二次不等式的解集问题，可结合其对应的二次函数的图象进行解答. 【题文】10.已知向量OA OBuu r uu u r 与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ， 0t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为 A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】向量的数量积F3 【答案】【解析】C解析：因为2cos OA OB θ•=u u u r u u u r，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u ur u u u r ，所以012cos 54cos t θθ+=+，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，所以223ππθ<<，则选C. 【思路点拨】把所求向量用已知向量转化，再利用模的性质求出向量的模，利用最小值时对应的0t 在的范围求夹角范围即可.【题文】11．已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩(](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( ) A ．83⎫⎪⎪⎭， B．C ．4833⎛⎫ ⎪⎝⎭， D．43⎛ ⎝【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】B解析：因为当x ∈(-1,1)时，将函数化为方程()22210y x y m+=≥，为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3)的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个椭圆()()222410y x y m -+=≥相交，而与第三个半椭圆()()222810y x y m -+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy =代入()()222410y x y m-+=≥得()222291721350m x m x m +-+=，令()290t m t =>，则()218150t x tx t +-+= 由()()2841510t t t ∆=-⨯+>，得t ＞15,所以2915m >，又m ＞0，得153m >，同样由3x y =与第三个椭圆()()222810y x y m -+=≥无交点，△＜0，得7m <，综上可知15,7m ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝，所以选B.【思路点拨】一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题，通常利用数形结合进行解答.【题文】12.函数()||()x x af x e a R e =+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-∈a B.]0,1[-∈a C ．[0,1]a ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈e e a ,1 【知识点】函数的单调性B3【答案】【解析】A解析：令22,'x xx x x a a e a y e y e e e e -=+=-=，所以当a ＞0时，函数xxa y e e =+在1,ln 2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1ln .2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，若函数在所给区间上单调递增，则1ln 02a ≤，得0＜a ≤1，当a=0时()x f x e =显然满足题意，当a ＜0时，函数x x a y e e=+在R 上单调递增，由0xxa e e+=得x =xx a y e e =+在(-∞上单调递减，在()+∞上单调递增，则有ln 0≤，得-1≤a ＜0，综上可知实数a 的范围是[]1,1-∈a .【思路点拨】含绝对值的函数的单调性，可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性，也可直接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答.第Ⅱ卷 （90分）【题文】二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.【题文】13.已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 ________ 【知识点】抛物线及其几何性质H7 【答案】【解析】54解析：因为抛物线的准线为14x =-，由抛物线的定义及梯形的中位线的性质可得M 到抛物线的准线的距离为32，所以到y 轴的距离为315244-=.【思路点拨】在圆锥曲线中遇到曲线上的点与焦点的距离时通常利用其定义进行转化.【题文】14．在数列{}n a 中，121,(1) 1.nn n a a a +=+-=记n s 是数列{}n a 的前n 项和，则100s =【知识点】数列求和D4【答案】【解析】1300解析：当n 为奇数时，有21n n a a +-=，当n 为偶数时有21n n a a ++=，所以该数列奇数项城等差数列，偶数项为摆动数列，所以前100项中偶数项和为25，奇数项和为504950112752⨯+⨯=，则1002512751300S =+=. 【思路点拨】可通过观察当n 取奇数与n 取偶数时递推公式特征，发现数列特征达到求和目标.【题文】15.已知正三棱锥-P ABC ,点,,,P A B C ,若,,PA PB PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为_____________. 【知识点】球的截面性质G8【答案】解析：由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体，因为球的直径为为2，则PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=22,()2322234ABCS ∆=⨯=，设P 到截面ABC 的距离为d ，则有11123222332d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得233d =，所以球心到截面ABC 的距离为233333-=. 【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，若直接解答不方便时，可通过补形法转化为球内接正方体或长方体的关系进行解答. 【题文】16．在ABC ∆中，16,7,cos ,5AC BC A O ABC ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .【知识点】向量的运算 解三角形C8 F1【答案】【解析】1063解析：若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中，动点P 的轨迹为以OA ，OB 为邻边的平行四边形ADBO 的内部（含边界），又16,7,cos 5AC BC A ===，由余弦定理可解得AB=5，又226sin 1cos 5A A =-=，所以126656625ABC S ∆=⨯⨯⨯=，设三角形内切圆半径为r ，则有()12656766,23r r ++==，所以动点P 的轨迹所覆盖的面积为126106252AB r ⨯⨯⨯=⨯= .【思路点拨】理解向量的加法运算是解答本题的关键，由向量的加法可知满足OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中，动点P 的轨迹为以OA ，OB 为邻边的平行四边形ADBO 的内部（含边界），再求面积即可.【题文】三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【题文】17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=.. （I ）求2sin cos 22A CB ++的值； （II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值. 【知识点】三角函数的性质 解三角形C3 C8 【答案】【解析】 （I ）14-；（II）3解析：（I ）在△ABC 中，由余弦定理可知，2222cos a c b ac B +-=，由题意知22212a cb ac +-=，∴1cos 4B =；又在△ABC 中A+B+C=π,∴22221cos 1sin cos 2sin cos 2cos cos 22cos 122224A CB B B B B B B π+-++=+=+=+-=-（II ）∵b=2 ，∴由22212a c b ac +-=可得2214242a c ac ac +-=≥-，∴83ac ≤，∵1cos 4B =，∴sin 4B = ，∴118sin 22343ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=，∴△ABC 面积的最大值为3. 【思路点拨】熟悉余弦定理特征是求角B 的关键，当已知三角形内角时注意利用含夹角的面积公式进行解答.【题文】18. （本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),,第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人. (Ⅰ)求第七组的频率;(Ⅱ)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上(含180cm)的人数;(Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,x y ,事件=E {5x y -≤},事件F ={15->x y },求()U P E F .【知识点】频率分布直方图 概率I2 K2【答案】【解析】(Ⅰ)0.06; (Ⅱ)144人； (Ⅲ)715解析：(Ⅰ)第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=;(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=, 身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=, 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=, 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=,由于0.040.080.20.320.5++=<,0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ,则170175<<m 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=, 所以身高在180cm 以上(含180cm)的人数为0.18800144⨯=人；(Ⅲ)第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况,因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况,故7()15P E =由于max 19518015x y -=-=,所以事件F ={15->x y }是不可能事件,()0P F = 由于事件E 和事件F 是互斥事件,所以7()()()15P E F P E P F =+=U . 【思路点拨】正确认识频率分布直方图的纵坐标是解题此类问题的关键，求概率问题一般用列举法寻求所包含的基本事件的个数. 【题文】19. （本小题满分12分）如图,PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面,2,AD PA CD ===E 、F 分别是AB 、PD 的中点. (1)求证:AF//平面PCE; (2)求证:平面PCE ⊥平面PCD; (3)求四面体PEFC 的体积.【知识点】平行关系 垂直关系，棱锥的体积G4 G5 G7 【答案】【解析】(1) 略；(2)略； (3)223解析：（1）证明：设G 为PC 的中点，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，∴FG12CD ，AE 12CD ，∴FG AE ，∴AF ∥GE ，∵GE ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PCE ；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF ⊥PD ，又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ，∵AF ⊂平面PAD ，∴AF ⊥CD ． ∵PD ∩CD=D ，∴AF ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD ，∵GE ⊂平面PEC ， ∴平面PCE ⊥平面PCD ；(3)由(2)知GE ⊥平面PCD ，所以EG 为四面体PEFC 的高，又GF ∥CD,所以GF ⊥PD,112,2,222PCF EG AF GF CD S PD GF ∆=====•=,所以四面体PEFC 的体积12233PCF V S EG ∆=•=.【思路点拨】证明线面平行与面面垂直，通常结合其判定定理进行证明，求棱锥的体积抓住其底面积和高进行求值即可.【题文】20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，都有22n n n a S a =-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()131.2n n a n n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈；都有1n n b b +>成立.【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1 【答案】【解析】（I ）*()N n a n n =∈；（II ）－1解析：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，……………① 当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，………………②由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<.(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<.(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>-∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立.【思路点拨】遇到由数列的前n 项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答. 【题文】21. （本小题满分12分）已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足OM λ=+,求实数λ的取值范围.【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系H5 H8【答案】【解析】 (Ⅰ) 22186x y +=；(Ⅱ)(0)(0,)U解析：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由已知得:2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为: 22186x y += (Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切所以2112(0)t k t t -=⇒=≠，把t kx y +=代入22186x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=，设),(,),(2211y x N y x M ,则有 221438kktx x +-=+ ， 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+，因为,),(2121y y x x OC ++=λ, 所以,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC ， 又因为点C 在椭圆上, 所以,222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ， 222222221134()()1t k t tλ⇒==+++， 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++tt ， 所以 202λ<<,所以 λ的取值范围为(0)(0,U .【思路点拨】求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答，遇到直线与椭圆位置关系问题，通常联立方程结合韦达定理进行解答.【题文】22．（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()323333f x x x ax a =-+-+ （Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当x ∈ [0，2]时，求|f(x)|的最大值． 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）y=（3a-3）x-3a+4；（Ⅱ）()(max33,031214331,4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩解析：（Ⅰ）因为f （x ）=x 3-3x 2+3ax-3a+3，所以f′（x ）=3x 2-6x+3a ，故f′（1）=3a-3，又f （1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；（Ⅱ）由于f′（x ）=3（x-1）2+3（a-1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x ）≤0，此时f （x ）在[0，2]上单调递减， 故|f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3-3a ．当a≥1时，有f′（x ）≥0，此时f （x ）在[0，2]上单调递增， 故|f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3a-1．当0＜a ＜1时，由3（x-1）2+3（a-1）=0，得1211x x ==所以，当x ∈（0，x 1）时，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1，x 2）时，f′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减； 当x ∈（x 2，2）时，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．所以函数f （x ）的极大值()(1121f x a =+-，极小值()(1121f x a =-- 故f （x 1）+f （x 2）=2＞0，()()(12410f x f x a -=->．从而f （x 1）＞|f （x 2）|． 所以|f （x ）|max =max{f （0），|f （2）|，f （x 1）}． 当0＜a ＜23时，f （0）＞|f （2）|． 又()()(()2134021230a a f x f a a --=--=>,故()()(1max 121f x f x a ==+- 当213a ≤<时，|f （2）|=f （2），且f （2）≥f（0）．又()()(()213422132a a f x f a a --=--=．所以当2334a ≤<时，f （x 1）＞|f （2）|．故()()(1max 121f x f x a ==+-当314a ≤<时，f （x 1）≤|f（2）|．故()()max 231f x f a ==-． 综上所述()(max33,031214331,4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【思路点拨】（Ⅰ）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f （1），由直线方程的点斜式写出切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a ＜1，a≥1三种情况求|f （x ）|的最大值．特别当0＜a ＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小.。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛， 6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D.2．“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x 轴上的椭圆求出m ，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆得：220m m >+>， 解得21m -<<-或m>2， 由充分性，必要性的概念知，“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kx y ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确；对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（ ） A ．45 B ．36 C ．28 D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项； 故选：A.5．已知()52232x x --21001210a a x a x a x =++++，则0110a a a ++=（ ）【答案】A【分析】首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值.【详解】令0x =，由已知等式可得：50=232a =，()55552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，设5(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；设5(2)x +的通项公式为：5512r r r r T C x -+=⋅⋅‘’‘’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.6．平行四边形ABCD 内接于椭圆22221x y a b +=()0a b >>AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ）A ．1-4B ．1-2C ．D ．-1【答案】A【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】22222223331,,,2444c c a b b a a a a -=∴==∴=， 设112233(,),(,),(,),A x y B x y D x y设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以//OE AB ,所以1OE k =, 因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，所以22112222332211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2131321313OE AD y y y y b k k a x x x x +--=⋅=⋅+-, 所以22114AD b k a ⨯=-=-，即14AD k =-.故选:A.7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A ．()1,+∞B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有22PF c =，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求121e e ⋅+的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出c 的取值范围，进而求得121e e ⋅+的取值范围.【详解】设椭圆方程为()222221122111x y a b c a b +=-=，双曲线方程为()222221122111x y a b c a b -=+=，由椭圆和双曲线的几何性质可得，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，依题意可知22PF c =，110PF =，代入可得，125,5a c a c =+=-.故2122212251112525c c c e e a a c c ⋅+=⋅+=+=--，三角形两边的和大于第三边，故5410,2c c >>，120,0a a >>，故5c <故22223745402554252525c c c <⇒<⇒<-><-. 故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．8．已知A ，B ，C ，D 是椭圆E ：22143x y +=上四个不同的点，且()1,1M 是线段AB ，CD 的交点，且3AM CM BMDM==，若l AC ⊥，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【分析】设出点的坐标()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由3AMBM=得到3AM MB =，列出方程，得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，分别把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，得到()()111122143x y -+-=，同理得到()()331122143x y -+-=，两式相减得到34AC k =-，利用直线垂直斜率的关系求出直线l 的斜率. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为3AM BM =，故3AM MB =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，则12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()()1122,,,A x y B x y 都在椭圆上，故2211143x y +=，且()()22119114443x y -+-=， 两式相减得：()()1181142442443x y -⨯+-⨯=，即()()111122143x y -+-=①， 同理可得：()()11221x y -+-=②，②－①得：()()131311043x x y y -+-=， 所以131334ACy y k x x -==--， 因为l AC ⊥，所以直线l 的斜率为143AC k -=. 故选：C【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多选题9．已知两点(5,0),(5,0)M N -，若直线上存在点P ，使||||6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．下列直线中为“B 型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．2y x =【答案】AB【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B 型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【详解】解：根据题意，满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为(5,0)M -和(5,0)N ，即5c =，3a =， 可得4b =；故双曲线的方程为221916x y -=，(0)x > 双曲线的渐近线方程为43y x =±∴直线43y x =与双曲线没有公共点， 直线2y x =经过点(0,0)斜率43k >，与双曲线也没有公共点 而直线1y x =+、与直线2y =都与双曲线221916x y-=，(0)x >有交点 因此，在1y x =+与2y =上存在点P 使||||6PM PN -=，满足B 型直线的条件 只有AB 正确 故选：AB ．10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A = C ．事件B 与事件2A 相互独立 D ．()914P B =【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以12,A A 是两两互斥的事件，故A 项正确； 因为()()1212P A P A ==，()()()2225|7P BA P B A P A ==，故B 项错误； 又()()()1114|7P BA P B A P A ==，所以()()()1214159272714P B P BA P BA =+=⨯+⨯=，故D 项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B 与事件2A 不相互独立，故C 项错误. 故选：AD11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQ λ= 【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭- 化简得4133y x =-,由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =, 故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故121125116216AB x x p =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以,,C B Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ． 12．已知当随机变量()2,XN μσ时，随机变量X Z μσ-=也服从正态分布．若()2,,X X N Z μμσσ-~=，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,1ZNB ．()12(1)P X P Z μσ-<=-<C ．当μ减小，σ增大时，(2)P X μσ-<不变D ．当,μσ都增大时，(3)P X μσ-<增大 【答案】AC【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误. 【详解】对任意正态分布()2,X N μσ，X Z μσ-=服从标准正态分布()0,1ZN 可知A 正确，由于X Z μ-=，结合正态分布的对称性可得()(1)12(1)P X P Z P Z μσ-<=<=->，可知B 错误，已知正态分布()2,X N μσ，对于给定的*N k ∈，()P X k μσ-<是一个只与k 有关的定值，所以C正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题 13．设()2,XB p ，若()519P X ≥=，则p =_________ .【答案】13【分析】由二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k p p -==-C ，代入()()()112P X P X P X ≥==+=可得结果. 【详解】()2,XB p ,()()()()()0122222112C 1+C 12P X P X P X p p p p p p ∴≥==+==--=-,2529p p ∴-=，解得：13p ∴=或53p =(舍去)故答案为：13.14．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______. 【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133015．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______. 【答案】2##0.4.【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法，其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422A (A A 6A A )-种不同排法，因此所求概率为232223342266A (A A 6A A )2=.A 5- 故答案为：25.16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()224240∆=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.四、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．已知圆()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ，定点()1,2M -.(1)过点M 作圆C 的切线，切点是A ，若线段MA C 的标准方程；(2)过点M 且斜率为1的直线l ，若圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 【答案】(1)22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=(2)(4【分析】（1）由题可知，圆心(),21C a a -，2r =，由勾股定理有222MC MA r =+，根据两点间距离公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，圆C 的半径为2，因此需圆心C 到直线l 的距离小于1，设直线l 的方程为：()211y x -=+，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心(),21C a a -，2r =由勾股定理有222MC MA r =+，则222(1)(23)225a a ++-=+= 即2510150a a --=，解得：3a =或1a =-，所以圆C 的标准方程为：22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=. （2）解：设直线l 的方程为：()211y x -=+，即30x y -+=， 由题，只需圆心C 到直线l 的距离小于1即可，所以1d =<，所以4a -44a <所以a 的取值范围为(4.19．某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为： ξ2 3 P3525所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 20．安排5个大学生到,,A B C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A 校支教，那就从5人中先选2人，去A 大学，然后剩下的3人去B 和C 大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为53243=种，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有352280C ⋅=种，∴80()243P M =． 答：5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率80243． （2）由题得：1,2,3ξ=，15ξ=⇒人去同一所学校，有133C =种，∴ 31(1)24381P ξ===， 25ξ=⇒人去两所学校，即分为4,1或3,2有24323552()90C C C A ⋅+⋅=种，∴ 903010(2)2438127P ξ====， 35ξ=⇒人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有312235253311()1502!2!C C C C A ⋅⋅⋅⋅+⋅= 种，∴15050(3)24381P ξ===． ∴ 的分布列为【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.21．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或3:1l x y =+【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【详解】（1）因为(1,0)F ，令1x =，得21143y +=，所以32y =±，所以||3AB = （2）设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ()2221122221212169434434m y y y y y m m m y --⎛⎫- ⎪++-+-==+⎝⎭2211112122AOBm SOF y y +=⋅-=21m t +=，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；（3）①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234M m y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．② 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 22．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，(1,0)A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内． (1)求双曲线的方程；(2)若直线AP AQ 、分别与直线12x =交于M N 、两点，证明22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析 (3)存在，2【分析】（1）根据题意可得1a =，2ce a==，即可求解,b c 的值，进而得到双曲线方程； （2）设直线l 的方程及点,P Q 的坐标，直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，得到1212,y y y y +的值，进而得到点,M N 的坐标，计算22MF NF ⋅的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得2λ=，再证明222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即222tan 21PAPAk PAF k ∠=-，22tan PF AF P k ∠=-，即可求解=2λ. 【详解】（1）解：由题可知：1a = ∵2ce a==，∴c ＝2 ∵222+=a b c ，∴b = ∴双曲线C 的方程为：2213y x -=（2）证明：设直线l 的方程为：2x ty =+，另设：()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()2222131129032y x t y ty x ty ⎧⎪⎨⎪-=⇒-++==+⎩， ∴121222129,3131t y y y y t t -+==--，又直线AP 的方程为()1111y y x x =++，代入()11311,2221y x M x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, 同理，直线AQ 的方程为()2211y y x x =++，代入()22311,2221y x N x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, ∴()()1222123333,,,221221y y MF NF x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y ⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦2222999993109124444393131t t t t t t ⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭,故22MF NF ⋅为定值.（3）解：当直线l 的方程为2x =时，解得(2,3)P ， 易知此时2AF P △为等腰直角三角形，其中22,24AF P PAF ππ∠=∠=，即222AF P PAF ∠=∠，也即：=2λ，下证：222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan 212(1)tan 21tan 1(1)1()1PAPAy PAF k x y x PAF y PAF k x y x ⨯∠++∠====-∠-+--+，∵()222211111313y x y x -=⇒=-，∴()()()()()()11111222121112121tan 22122131y x y x y PAF x x x x x ++∠===--+--+--，∴21221tan tan 22PF y AF P k PAF x ∠=-=-=∠-， ∴结合正切函数在0,,22πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图像可知，222AF P PAF ∠=∠，。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2020-2021学年高一上学期12月月考试题 数学 Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高一（ 17 届）数学试题命题人： 数学组 审校人： 数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一．选择题：（满分60分）1.已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤3}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,3]C ．(1,3)D ．(1,3]2.若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( C )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5] 3.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四周体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆4. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5.假如一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 26.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( ) A ．与点E ，F 位置有关 B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值7.若始终线上有相异三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交且不垂直D ．l ∥α或l ⊂α8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2 9. 已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1 10. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－2，12 11.已知函数f (x )=log 2(t +1t−m),(t >0)的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A.（−∞，−2） B.（−2,2） C. [2,+∞) D .(−∞,+∞)12.2x 3−x 2−2x +1=0的三个根分别是α，β，γ，则α+β+γ+αβγ的值为（）A ．-1B ．0C ．−12 D ．12第Ⅱ卷 （90分）二．填空题：(满分20分)13. 若方程4(3)20xxm m +-•+=有两个不相同的实根，则m 的取值范围是 14. 已知在三棱锥BCD A -中, 22CABD,23CD ，2ADAB BC ,则该棱锥的外接球半径15. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为16. 在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最终经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是三.解答题：（70分）17. 已知定义在R 上的单调函数f (x )满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有 f (x 0x 1＋x 0x 2)＝f (x 0)＋f (x 1)＋f (x 2)恒成立． 求：(1)f (1)＋f (0)； (2)x 0的值．18. 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：平面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．。
辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(含答案解析)
辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}ln 1,A xx x R =≤∈∣，集合{}|2,B x x x Z =≤∈，则A B = （）A ．{}1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．(]0,2D ．[]22-,2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A ．15B ．20C ．25D ．303．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（）A ．都是黑球B ．恰好有1个黑球C ．恰好有1个红球D ．至少有2个红球4．考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）（）A ．4011B ．3438C ．2865D ．22925．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设函数()()222,1log 1,1x x a x f x x x ⎧--+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()f x 的最大值为－1，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2-∞-B ．[)2,∞+C ．(],1-∞-D ．(],2-∞-7．已知函数()231x x k f x x +=--有4个零点，则k 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知函数()x xf x e e -=-，若不等式()()222180t f m m f m e -+-++>（e 是自然对数的底数），对任意的[]2,4m ∈-恒成立，则整数t 的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A ．中位数为3B ．众数为3，6，8C ．平均数为5D ．方差为4.810．下列所给函数中值域为()0,∞+的是（）A ．()23f x x-=B ．()1xf x e =C ．()()23log 1f x x =+D ．()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩11．下列判断不正确的是（）A ．函数1()f x x=在定义域内是减函数B ．()2()ln 28f x x x =--的单调减区间为（4，＋∞）C ．已知0,0x y >>，且111x y+=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（－4，1）D ．已知()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩在R 上是减函数，则a 的取值范围是11,73⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数2,0()2,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，使得“方程21()()04f x bf x ++=有6个相异实根”成立的充分条件是（）A ．5,14b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭B ．(2,1)b ∈--C ．62,5b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．6,15b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭三、填空题13．已知ln a π=， 3.22b -=，12log 6c =，则用“＜”连接这三个数应为________.14．已知四个函数：①y x =-；②1y x=-；③3y x =；④12y x =.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________15．函数2()log )f x x =的最小值为__________．16．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[2,2]a b ，则称()f x 为“双倍函数”，若函数()2()log 2xf x t =+为“双倍函数”．则实数t 的取值范围是___．四、解答题17．已知223:1;:5402p q x mx m x ≥-+≤-．(1)若p 为真命题，求此不等式的解集；(2)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18．(1)先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A ：两个骰子点数相同，事件B ：点数之和小于7.求()P AB ，()P A B +；(2)某培训机构在假期招收了A ，B 两个数学补习班，A 班10人，B 班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A 班的平均成绩为130分，方差为115，B 班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．19．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值．20．为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.21．已知函数()()223mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()()log 2a g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦(0a >且1a ≠)，求()g x 在(]2,3上值域．22．设函数()()142x x f x m m R +=-⋅∈，())lng x x =．（1）若函数()f x 有零点，求实数m 的取值范围；（2）判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若存在不相等的实数a ，b 同时满足方程()()0f a f b +=和()()0g a g b +=，求实数m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}ln 1,A xx x R x x e =≤∈=<≤∣∣0，集合{}{}|2,2,1,0,1,2B x x x Z =≤∈=--，所以A B = {}1,2，故选：A 2．A【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量【详解】由题意得样本容量为775015350⨯=故选：A 3．B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确，在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误，在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误．故选：B ．4．A【分析】利用题目所给的衰变规律计算出t 的范围即可.【详解】由题可得573013225t-≤≤，两边同取以2为底的对数，得22231log log 3log 50.757305t --≤≤=-≈-，所以40115730t ≤≤，则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.故选：A.5．C【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6．D【解析】先求得1x ≥时2()log (1)f x x =-+的值域，当1x <时，根据二次函数图象与性质可得max ()(1)f x f =-，根据题干条件，列出不等式，即可得答案.【详解】当1x ≥时，2()log (1)f x x =-+为单调递减函数，所以当x =1时，max 2()(1)log 21f x f ==-=-，当1x <时，2(2)x x f x a =--+，为开口向下，对称轴为x =-1的抛物线，所以当x =-1时，2(2)x x f x a =--+有最大值(1)1f a -=+，由题意得11a +≤-，解得2a ≤-，故选：D 7．B【分析】将函数零点问题转化为曲线23y x x =+与直线1y kx =+的交点问题，如图分析临界直线，可得k 的取值范围.【详解】2310x x kx +--=,即231x x kx +=+，函数1y kx =+表示恒过点()0,1的直线，如图画出函数23y x x =+，以及1y kx =+的图象，如图，有两个临界值，一个是直线过点()3,0-，此时直线的斜率()101033k -==--，另一个临界值是直线与23y x x =--相切时，联立方程得()2310x k x +++=，()2340k ∆=+-=，解得：1k =-，或5k =-，当1k =-时，切点是()1,2-如图，满足条件，当5k =-时，切点是()1,4-不成立，所以1k =-，如图，曲线23y x x =+与直线1y kx =+有4个交点时，k 的取值范围是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 8．C【解析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到22101t e m m >-+，只需要求二次函数2()2101g m m m =-+的最大值，即解得t 的范围，再利用对数式比大小即得到整数t 的最小值.【详解】由指数函数性质知x y e =和x y e -=-在R 上是递增函数，故()x xf x e e -=-在R 上是递增函数.又()()()x x x xf x e e e e f x ---=-=--=-，故()f x 是奇函数.故不等式()()222180t f m m f m e -+-++>即转化为：()()28221t f m e f m m +>--+-，即()()28221t f m e f m m +>-+，故28221t m e m m +>-+，所以22101t e m m >-+，而2()2101g m m m =-+对称轴为52m =，根据二次函数对称性可知对任意的[]2,4m ∈-上，当2m =-时，()max ()(2)24102129g m g =-=⨯-⨯-+=，故max ()29t e g m >=，故ln 29t >，而3429e e <<，即3ln 294<<，故整数t 的最小值是4.故选：C.【点睛】本题解题关键在于先判断函数的单调性和奇偶性，并结合性质化简恒成立式，再解决恒成立问题即可，解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.9．BC【分析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可容易选择.【详解】对数据2，6，8，3，3，4，6，8，按照从小到大排序即为2,3,3,4,6,6,8,8，中间两个数字为：4,6，故其中位数是5，故A 错误；显然数据3,6,8均出现3次，故众数为3,6,8，则B 正确；又其平均数为()14023246282588+⨯++⨯+⨯==，故C 正确；则其方差为：[]13891944119 4.7588+++++++==，故D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简单题.10．AD【解析】A.利用幂函数的性质判断；B.令()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，转化为指数函数判断；C.令211t x =+≥，转化为对数函数判断；D.分0x >和0x ≤讨论求解判断.【详解】A.因为()23f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，因为函数在()0,∞+上是减函数且为偶函数，所以其值域是()0,∞+，故正确；B.令()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，则()()()10,11,x f x e =∈⋃+∞，故错误；C.令211t x =+≥，则()()23log 1[0,)f x x =+∈+∞，故错误；D.当0x >时，()()0,f x ∈+∞，当0x ≤时，()[1,)f x ∈+∞，综上：()()0,f x ∈+∞，故正确；故选：AD 11．ABD【分析】根据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式、分段函数单调性进行判断即可.【详解】A ：因为(1)1,(1)1f f -=-=，显然不符合减函数的性质，所以A 不正确；B ：函数()2()ln 28f x x x =--的定义域满足()()2280420x x x x -->⇒-+>所以定义域为()(),24,-∞-+∞ ，设()()228,24,t x x x =--∈-∞-+∞ ，在()4∞+，上单调递增，()ln 0,y t t =∈+∞，单调递增，由复合函数的单调性()2()ln 28f x x x =--的单调增区间为（4，＋∞），所以B 不正确.C ：因为0,0x y >>，所以有11()()2224y x x y x y x y ++=++≥+，当且仅当y x x y =时取等号，即当2x y ==时取等号，要想23x y m m +>+恒成立，只需23441m m m +<⇒-<<，故C 正确；D ：当1x ≤时，()()314f x a a =-+是减函数，则310a -<，即13a <，当1x >时，()log a f x x =是减函数，则01a <<，又因为函数()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩在R 上是减函数，还需要满足()3114log 1a a a -⋅+≥即17a ≥，综上a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故D 不正确.故选：ABD 12．AD【分析】令()t f x =.经过分析可得，要使方程21()()04f x bf x ++=有6个相异实根，则应满足方程2104t bt ++=有两个不同的解1t 、2t ，且满足101t <<，201t <<.结合12t t b +=-，1214t t =.即可得到121114t t t t +=+，构造对勾函数，根据单调性即可得到()154g t <，即可得到b的范围，进而得到答案.【详解】令()t f x =，方程可化为2104t bt ++=，该方程最多有两个解.当22141104b b ∆=-⨯⨯=->，即1b <-或1b >时，方程有两个不同的解，设为1t 、2t ，则由韦达定理可得12t t b +=-，1214t t =.当0x >时，()()22211f x x x x =-+=--+在1x =处有最大值1.作出2,0()2,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象如下图.由图象可得，当01t <<时，y t =与函数()y f x =有3个交点，即方程()f x t =有3个解.要使方程21()()04f x bf x ++=有6个相异实根，则应有101t <<，201t <<，且12t t ≠.又12t t b +=-，1214t t =.且121t t +≥=，当且仅当12t t =时，等号成立.因为12t t ≠，所以121t t +>，即1b ->，所以1b <-.因为201t <<，1214t t =，则2114t t =，即11014t <<，所以114t >.又101t <<，所以1114t <<.所以121114t t t t +=+，令()11114g t t t =+，根据对勾函数的性质可得，当11142t <<时，函数单调递减；当1112t <<时，函数单调递增.又()11511444g g ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以1114t <<时，有()154g t <恒成立，即1254t t +<.所以12514t t <+<，即514b <-<，则有514b -<<-.即“方程21()()04f x bf x ++=有6个相异实根”成立的充要条件是514b -<<-.所以，“方程21()()04f x bf x ++=有6个相异实根”成立的充分条件的范围应该为上述范围的子集.故选：AD.13．c b a<<【分析】分别利用函数ln y x =、2x y =、12log y x =的单调性求出a 、b 、c 的取值范围，进而得出结果.【详解】因为函数ln y x =在(0)+∞，上单调递增，且0e π>>，所以ln ln 1a e π=>=，即1a >；因为函数2x y =在R 上单调递增，且-3.2<0，所以 3.20221b -=<=，即01b <<；因为函数12log y x =在(0)+∞，上单调递减，且6>10>，所以1122log 6log 1=0c =<，即0c <，故c b a <<.故答案为：c b a<<14．13【详解】由四个函数①y x =-；②1y x=-；③3y x =；④12y x =，从中任选2个函数，共有246C =种，其中“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有2种，所以“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为2163P ==.15．14-【详解】试题分析：()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭所以，当21log 2x =-，即2x =时，()f x 取得最小值14-.所以答案应填：14-.考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.16．104t -<<【分析】根据题设条件可得()2log 22x t x +=的两个不同的解，利用对数的运算和换元法可得20s t s --=在()0,∞+上有两个不同的正数解，结合根分布可求参数的取值范围.【详解】因为2,x s t x D =+∈为增函数，设此函数的值域为E ，则()0,E ⊆+∞，而2log y s =在E 上为增函数，故()2()log 2x f x t =+为D 上的增函数，由()2()log 2x f x t =+为“双倍函数”，故()()22f a a f b b =⎧⎨=⎩，故,a b 为方程()2log 22x t x +=的两个不同的解，故222x x t +=即方程2022x x t --=有两个不同的解,a b ，设2x s =，则20s t s --=在()0,∞+上有两个不同的正数解，故2000102Δ140t a ⎧-->⎪⎪>⎨⎪=+>⎪⎩，解得104t -<<.故答案为：104t -<<.17．(1)(2,5]x ∈(2)5,24m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据分式不等式的求解方法，可得答案；（2）根据充分条件的集合表示形式，利用分类讨论，根据含参二次不等式，可得答案.【详解】（1）已知P 为真命题，由312x ≥-，502x x -≥-，可得()()25020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，所以25x <≤．所以不等式的解集为(2,5]x ∈.（2）因为p 是q 的充分条件，所以p 对应的集合是q 所对应集合的子集．q ：04522≤+-m mx x ，可得0)4)((≤--m x m x ①当0m >时，q ：4m x m ≤≤；因为p 对应的集合是q 所对应集合的子集，所以245m m ≤⎧⎨≥⎩，可得524m ≤≤．②当0m =时，q ：0x =，所以不符合题意；③当0m <时，q ：4m x m ≤≤；因为p 对应的集合是q 所对应集合的子集，所以425m m ≤⎧⎨≥⎩，无解．所以m 的取值范围为5,24m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．18．(1)1()12P AB =，1()2P A B +=；(2)平均分为115，方差为265.【分析】（1）求出试验的样本空间，写出各个事件包含的基本事件，根据古典概型公式即可求出；（2）根据各层的平均数估计总体平均数，将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时，首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式，代入数据即可求得.【详解】（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对.用数字m 表示第一枚骰子出现的点数是m ，数字n 表示第一枚骰子出现的点数是n ，则数组(),m n 表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间(){}{},|,1,2,3,4,5,6m n m n Ω=∈，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.因为()()(){}1,1,2,2,3,3AB =，所以()3n AB =，所以()()31()3612n AB P AB n ===Ω；因为()(){()()1,1,1,2,1,3,1,4,A B +=()()()()1,5,2,1,2,2,2,3,()()()2,4,3,1,3,2,()()()()3,3,4,1,4,2,5,1,()()()}4,4,5,5,6,6，所以()18n A B +=，所以()()181()362n A B P A B n ++===Ω.（2）A 班学生成绩用()1,2,3,,10i x i = 来表示，B 班学生成绩用()1,2,3,,30j y j =L 来表示.设A 班平均成绩为x ，方差为x S ；B 班平均成绩为y ，方差为y S .则130x =，115x S =，110y =，215y S =.全体学生的平均成绩为1030130101103011510301030x y z +⨯+⨯===++，全体学生的方差103022111((40z i j i j S x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑103022111()(40i j i j x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑.由101011()100i i i i x x x x ==-=-=∑∑，可得()()()1010112()20i i i i x x x z x zx x ==--=-=∑∑.同理可得，()()()3030112()20i i j j y y y z y z y y ==--=--=∑∑.因此，10103030222211111()()()()40z i j i i j j S x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑{}22110(30(40x y S x z S y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦()(){}221101151301153021511011526540⎡⎤⎡⎤=⨯⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.所以，全体学生的平均分为115，全体学生成绩的方差为265.19．（1）g (x )＝22x －2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以023023x x ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，解之得0≤x≤1．于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设()()22()242224x x x g x =-⨯=--．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．20．(1)66.8(2)73(3)57【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；（2）首先确定第65百分位数位于[)70,80，设其为x ，由()0.56700.030.65x +-⨯=可求得结果；（3）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2） 成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.65x +-⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73.（3）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为,,,A B C D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为,,a b c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==.21．（1）1m =，()2f x x =；（2）当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞.【详解】试题分析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，验证后可知1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，函数22y x x =-在(]2,3上单调递增，故按1a >，01a <<两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =它不是偶函数；当1m =时，()2f x x =是偶函数；所以1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，设(]22,2,3t x x x =-∈，则(]0,3t ∈，此时()g x 在(]2,3上的值域，就是函数(]log ,0,3a y t t =∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(]03,上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞；当01a <<时，log a y t =在区间(]03,上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞；所以当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35f f <，可以判断函数在()0,+∞上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.22．（1）()0,∞+（2）奇函数，理由见解析（3）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【分析】(1)换元利用2x t =分析函数的零点问题即可.(2)先判断定义域关于原点对称,再计算()()g x g x -+即可证明为奇函数.(3)由(2)知()g x 为奇函数且()()0g a g b +=,故可推导出a b =-,再根据()()0f a f b +=代入()f x 换元求解即可.【详解】(1)令2(0)x t t =>,则函数()12422(2)x x f x m t mt t t m +=-⋅=-=-,又函数()f x 有零点令()0f x =则因为0t >,故20t m =>,故0m >(2)())lng x x =为奇函数.由())ln g x x =0x >恒成立.且()())())ln ln g x g x x x -+=+-))()22ln ln ln 1ln10x x xx =+=+-==.即()()0g x g x -+=故())ln g x x =为奇函数.(3)因为())ln g x x =为奇函数,且()ln g x ⎛⎫=在(0,)+∞上为减函数,故()g x 为在R 上单调递减的奇函数.又()()0g a g b +=,故()()(),g a g b g b b a=-=-=-又()()0f a f b +=则4224220a a a a m m --⋅+-⋅=-,即44222)(a a a a m --⋅++=所以44222a aa a m --++=.令22a a n -=+,则222a a n -=≥=+,又当22a a -=时0a =不满足ab ¹,故222a a n -=+>又24422222a a a a n m n n n---==++=-在()2+∞，上单调递增.故22212n n ->-=即121,2m m >>【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.。
2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一(上)第一次月考数学试卷(a卷)及答案
2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一（上）第一次月考数学试卷（A卷）一、选择题（12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，3，5，6}，则A∩B等于（）A．{3，0}B．{0，1，2，3，4}C．{3，0，6，5}D．{0，1，2，3，4，5，6}2．（5分）集合A＝{2，3，5，7}的子集个数为（）A．16B．15C．14D．83．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．4．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}5．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣3，﹣2）∪[1，2]B．[﹣3，﹣2）∪（1，2）C．[﹣3，﹣2]∪（1，2]D．[﹣3，﹣2）∪（1，2]6．（5分）某同学解关于x的不等式x2﹣7ax+3a＜0（a＞0）时，得到x的取值区间为（﹣2，3），若这个区间的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是（）A．（﹣2，﹣1）B．（，3）C．（1，3）D．（2，3）7．（5分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件9．（5分）已知集合A＝{x|x＞2}，集合B＝{x|x＞3}，以下命题正确的个数是（）①∃x0∈A，x0∉B；②∀x∈A都有x∈B；③∀x∈B都有x∈A．A．4B．3C．2D．110．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝B．y＝2x﹣1C．y＝﹣|x|D．y＝x2﹣3x 11．（5分）已知f（x）的定义域为R，且在（﹣∞，0）上是增函数，（0，+∞）上是减函数，则f（a2﹣a+1）与f（）的大小关系为（）A．f（a2﹣a+1）＜f（）B．f（a2﹣a+1）＞f（）C．f（a2﹣a+1）≤f（）D．f（a2﹣a+1）≥f（）12．（5分）已知函数f（x）＝|mx|﹣|x﹣1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．0＜m≤1B．≤m＜C．1＜m＜D．≤m＜2二、填空题（本题有4小题.每小题5分）13．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p 是q的．14．（5分）已知集合P＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，Q＝{x|0＜x﹣1≤2}，则（∁R P）∩Q等于．15．（5分）已知函数f（x）＝﹣3x在区间[2，4]上的最大值为．16．（5分）如果对于x∈R，不等式|x+1|≥kx恒成立，则k的取值范围是．三、简答题：共70分，解答题写出文字说明证明过程或演算步骤.17．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求如何制作该容器的总造价最低．18．设命题p：|4x﹣3|≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．已知命题：“∀x∈R，都有mx2﹣4x+m＞0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若A⊆B，求实数a的取值范围．20．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，求最佳加工时间为多少分钟？21．已知关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，求实数k的值．22．已知函数f（x）＝ax2﹣3ax+a2﹣3．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜b}，求实数a与b的值；（Ⅱ）若a＜0，且不等式f（x）＜4对任意x∈[﹣3，3]恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一（上）第一次月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，3，5，6}，则A∩B等于（）A．{3，0}B．{0，1，2，3，4}C．{3，0，6，5}D．{0，1，2，3，4，5，6}【分析】集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，3，5，6}，有两个公共元素0，3，即A∩B ＝{0，3}．【解答】解：因为集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，3，5，6}，则A∩B＝{0，3}，故选：A．【点评】本题考查了集合的交集运算，属简单题．2．（5分）集合A＝{2，3，5，7}的子集个数为（）A．16B．15C．14D．8【分析】可看出集合A有4个元素，然后根据子集个数的计算公式即可得出A的子集个数．【解答】解：集合A有4个元素，∴A的子集个数为：24＝16．故选：A．【点评】本题考查了列举法的定义，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域，然后判断是否一致，进而化简函数的解析式，再比较是否一致，进而根据两个函数的定义域和解析式均一致，则两函数表示同一函数，否则两函数不表示同一函数得到答案．【解答】解：f两个函数的定义域和解析式均不一致，故A 中两函数不表示同一函数；f（x）＝1，g（x）＝x0两个函数的定义域不一致，故B中两函数不表示同一函数；两个函数的定义域和解析式均一致，故C中两函数表示同一函数；两个函数的定义域不一致，故D中两函数不表示同一函数；故选：C．【点评】本题考查的知识点是判断两个函数是否表示同一函数，熟练掌握同一函数的定义，即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致，是解答本题的关键．4．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．5．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣3，﹣2）∪[1，2]B．[﹣3，﹣2）∪（1，2）C．[﹣3，﹣2]∪（1，2]D．[﹣3，﹣2）∪（1，2]【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣3≤x＜﹣2或1＜x≤2．∴函数的定义域为[﹣3，﹣2）∪（1，2]．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．6．（5分）某同学解关于x的不等式x2﹣7ax+3a＜0（a＞0）时，得到x的取值区间为（﹣2，3），若这个区间的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是（）A．（﹣2，﹣1）B．（，3）C．（1，3）D．（2，3）【分析】先由题意确定符合条件解集端点，然后结合二次方程的根与不等式的解集端点的关系求出a，代入后即可求解．【解答】解：由题意可知，﹣2和3有一个可以满足方程x2﹣7ax+3a＝0，另一个不满足，把x＝﹣2代入可得，a＝﹣与已知a＞0矛盾，所以x≠﹣2，把x＝3代入可得a＝，满足题意，故原不等式可化为2x2﹣7x+3＜0，解可得，故选：B．【点评】本题主要考查了二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系，及二次不等式的求解，属于基础试题．7．（5分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过c＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c的值不一定小于0，判断必要性即可．【解答】解：函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”时，函数与x有两个交点，所以“∃x0∈R，使f（x0）＜0成立．而“∃x0∈R，使f（x0）＜0”即x2+bx+c＜0，△＝b2﹣4c＞0，即b2＞4c，c不一定有c ＜0，综上函数f（x）＝x2+bx+c，则“c＜0”是“∃x0∈R，使f（x0）＜0”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力．8．（5分）设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【分析】利用特殊值发令a＝0，可得1＞0，来判断充分条件，再根据二次函数的性质判断必要条件，从而求解；【解答】解：已知命题甲：ax2+2ax+1＞0，令a＝0，可得1＞0恒成立，∴命题甲推不出命题乙，∵0＜a＜1设y＝ax2+2ax+1，则其中a＞0，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，图象开口向上，与x轴无交点，此时ax2+2ax+1＞0恒成立，命题乙推出命题甲，∴题甲：ax2+2ax+1＞0是命题乙：o＜a＜1成立的必要不充分条件；故选：C．【点评】此题以函数与方程的关系为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题；9．（5分）已知集合A＝{x|x＞2}，集合B＝{x|x＞3}，以下命题正确的个数是（）①∃x0∈A，x0∉B；②∀x∈A都有x∈B；③∀x∈B都有x∈A．A．4B．3C．2D．1【分析】根据集合A，B即可判断出B⫋A，然后根据真子集的定义即可判断每个命题的正误．【解答】解：∵A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＞3}，∴B⫋A，对①，比如x0＝2.1，x0∈A，x0∉B，∴本命题正确；对②，取x＝4，x∈A，x∈B，∴该命题错误；对③，∵B⫋A，∴∀x∈B都有x∈A，∴该命题正确，∴命题正确的个数为2．故选：C．【点评】本题考查了真子集的定义，元素与集合的关系，考查了推理能力，属于基础题．10．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝B．y＝2x﹣1C．y＝﹣|x|D．y＝x2﹣3x【分析】根据反比例函数、一次函数，以及二次函数的单调性便可判断每个选项函数在（0，+∞）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A.在（0，+∞）上是减函数；B．一次函数y＝2x﹣1在（0，+∞）上为增函数，即该选项正确；C．x＞0时，y＝﹣|x|＝﹣x为减函数；D．y＝x2﹣3x的对称轴为；∴该函数在（0，+∞）上没有单调性．故选：B．【点评】考查反比例函数，一次函数，以及二次函数的单调性，图象沿x轴方向的平移变换．11．（5分）已知f（x）的定义域为R，且在（﹣∞，0）上是增函数，（0，+∞）上是减函数，则f（a2﹣a+1）与f（）的大小关系为（）A．f（a2﹣a+1）＜f（）B．f（a2﹣a+1）＞f（）C．f（a2﹣a+1）≤f（）D．f（a2﹣a+1）≥f（）【分析】根据题意，由不等式的性质可得a2﹣a+1＝（a﹣）2+≥，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，a2﹣a+1＝（a﹣）2+≥，f（x）在（0，+∞）上是减函数，则f（a2﹣a+1）≤f（），故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝|mx|﹣|x﹣1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．0＜m≤1B．≤m＜C．1＜m＜D．≤m＜2【分析】f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y＝|mx|与函数y＝|x﹣1|的图象，由数形结合求解即可．【解答】解：f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y＝|mx|与函数y＝|x﹣1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2；故只需使，解得，≤m＜；故选：B．【点评】本题考查了不等式的解与函数的图象的关系应用，属于基础题．二、填空题（本题有4小题.每小题5分）13．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p 是q的必要不充分条件．【分析】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B），则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．14．（5分）已知集合P＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，Q＝{x|0＜x﹣1≤2}，则（∁R P）∩Q等于（2，3]．【分析】可以求出集合P，Q，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵P＝{x|﹣1≤x≤2}，Q＝{x|1＜x≤3}，∴∁R P＝{x|x＜﹣1或x＞2}，（∁R P）∩Q＝（2，3]【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝﹣3x在区间[2，4]上的最大值为﹣4．【分析】观察可知函数f（x）＝﹣3x在区间[2，4]上是减函数；从而求值．【解答】解：∵在区间[2，4]上是减函数，﹣3x在区间[2，4]上是减函数；∴函数f（x）＝﹣3x在区间[2，4]上是减函数；∴f（x）max＝f（2）＝﹣3×2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了函数的最值的求法，观察可知函数为减函数，从而得解，是解最值的一般方法，属于基础题．16．（5分）如果对于x∈R，不等式|x+1|≥kx恒成立，则k的取值范围是[0，1]．【分析】由题意得要使不等式|x+1|≥kx恒成立，只要使得当x取相同的值时，y＝|x+1|的图象不能在y＝kx的图象的下方，画出函数y＝|x+1|与y＝kx的图象，如图所示：可得直线y＝kx的斜率只能在0≤k≤1．【解答】解：∵不等式|x+1|≥kx恒成立，∴y＝|x+1|的图象不能在y＝kx的图象的下方，如图所示画出两个函数y＝|x+1|与y＝kx的图象，根据两条直线之间的关系，得到y＝kx的图象只能在与x轴重合与y＝x平行之间，∴0≤k≤1，故答案为：[0，1]【点评】本题考查函数的恒成立问题，体现了数形结合的数学思想，本题解题的关键是构造新函数，在同一个坐标系中画出函数的图象，结合图象看出要求的直线的斜率的范围，本题是一个基础题．三、简答题：共70分，解答题写出文字说明证明过程或演算步骤.17．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求如何制作该容器的总造价最低．【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S＝ab＝4，y＝20S+10[2（a+b）]＝20（a+b）+80，∵a+b≥2＝4，故当a＝b＝2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．18．设命题p：|4x﹣3|≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】求解出命题p：，命题q：a≤x≤a+1，根据p是q的充分不必要条件，得出即可求解．【解答】解：∵命题p：|4x﹣3|≤1，∴，∵命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，∴a≤x≤a+1，∵若p是q的充分不必要条件，∴即0故实数a的取值范围：【点评】本题考查充分必要条件的定义，不等式的求解，属于中档题．19．已知命题：“∀x∈R，都有mx2﹣4x+m＞0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据二次函数性质列不等式求出m的范围；（2）讨论3a和a+2的大小关系，根据A是B的子集列不等式求出a的范围．【解答】解：（1）当m＝0时，不等式为为﹣4x＞0，显然对∀x∈R，不等式不恒成立，当m≠0时，由二次函数性质可得，解得m＞2．故B＝（2，+∞）．（2）解方程（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＝0可得x＝3a或x＝a+2．①若3a＜a+2，则A＝（3a，a+2），若A⊆B，则，解得≤a＜1；②若3a＝a+2，即a＝1，则A＝∅，显然A⊆B，符合题意；③若3a＞a+2，则A＝（a+2，3a），若A⊆B，则，解得a＞1．综上，a≥．【点评】本题考查了集合的包含关系，一元二次不等式的解法，二次函数的性质，属于基础题．20．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，求最佳加工时间为多少分钟？【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t＝﹣＝3.75．故最佳加工时间为3.75分钟．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．21．已知关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，求实数k的值．【分析】本题将所给方程变形后转化为一元二次方程只有一个解，利用△＝0求k，或解是增根求k．【解答】解：∵＝的解集中只含有一个元素，方程两边都乘以x（x﹣1）得：∴x2+2x﹣k＝0只有一个解，即△＝4﹣4×1×（﹣k）＝0，∴k＝﹣1，当其中一个解为增根时，方程也只有1个解，增根为0时，k＝0，增根为1时，k＝3，故k＝﹣1或0或3．【点评】本题考查了函数方程零点个数的问题，考查了函数思想．属于基础题．22．已知函数f（x）＝ax2﹣3ax+a2﹣3．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜b}，求实数a与b的值；（Ⅱ）若a＜0，且不等式f（x）＜4对任意x∈[﹣3，3]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（I）由题意可得，a＞0且1，b是方程ax2﹣3ax+a2﹣3＝0的根，根据方程的根与系数关系可求（II）由已知可得ax2﹣3ax+a2﹣7＜0对任意x∈[﹣3，3]恒成立，构造函数g（x）＝ax2﹣3ax+a2﹣7，x∈[﹣3，3]，则g（x）max＜0，结合二次函数的性质可求【解答】解：（I）由题意可得，a＞0且1，b是方程ax2﹣3ax+a2﹣3＝0的根根据方程的根与系数关系可得，∴a＝3，b＝2；（II）∵ax2﹣3ax+a2﹣3＜4对任意x∈[﹣3，3]恒成立即ax2﹣3ax+a2﹣7＜0对任意x∈[﹣3，3]恒成立令g（x）＝ax2﹣3ax+a2﹣7，x∈[﹣3，3]，则g（x）max＜0∵g（x）＝ax2﹣3ax+a2﹣7，x∈[﹣3，3]先增后减，当x＝时，函数取得最大值g（）＝∵a＜0，解可得，【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系的简单应用及二次不等式恒成立与最值的相互转化思想的应用．。
辽宁省沈阳二中高三数学上学期12月月考试题 文
沈阳二中2015—2016学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收 高三（16届）数学(文科)试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分） 第Ⅱ卷 （90分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()UC A B I =（ ）A ．｛x |1-<x 或2>x ｝B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝ 2. 复数z 满足2iz i i+=+，则z =（ ） A ．2B ．2C ．5D ．103. 如图，在△ABC 中，已知BD 2DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r=( )A.13AB AC 22-+u u ur u u u rB.13AB AC 22+u u ur u u u rC.12AB AC 33+u u ur u u u rD.12AB AC 33-u u ur u u u r4. 设()x f 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)1,2-∈x 时，()⎩⎨⎧<<≤≤--=,10,,02,242x x x x x f则⎪⎭⎫⎝⎛25f =（ ）0.A 1.-B 21.C 1.D5. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 6. 已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则2223sin -cos θθ=( )A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一10137. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都 在一个球面上，则该球面的表面积为 ( ) A ．4πB ．283πC ．443π D ．20π8. 已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><< 的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后， 所得图象关于y 轴对称．则函数()f x 的解析式为( )A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9. 运行如图所示的程序框图，则输出的 结果是（ ） A ．2- B ．2 C ．5D ．710. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是 侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直 线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的 曲线是（ ）A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆 11. 右图可能是下列哪个函数的图象A ．221x y x =-- B ．ln xy x=C ．2sin 41x x x y =+ D.2(2)xy x x e =-侧视图俯视图正视图2211312. 过曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作曲线2222:a y x C =+的切线，设切点为M ，延长FM 交曲线)0(2:23>=p px y C 于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若点M 为线段FN 的中点，则曲线C 1的离心率为A ．5B ．25 C ．5+1 D.215+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸．．．上.） 13. 若20.30.30.3,2,log 2a b c ===，则,,a b c 由大到小的关系是 。
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辽宁省沈阳二中2020学年度高一（11届）上学期12月月考数学试题命题人：郭运江 审校人： 任庆柱说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f −→−:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2,则在映射下象20的原象是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 2.下列命题中错误的是（ ） A. 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥ B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β C. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ=I ，则l ⊥γD. 若α⊥β，αI β=AB ，a //α，a ⊥AB ，则a ⊥β3.下面有四种说法：(1)底面是各边相等的四边形的直四棱柱是长方体(2) 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； （3）对角线相等的平行六面体是长方体(4) 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体其中正确的个数是……………………………………………………………………（ ） A. 0 B. 1 C.2 D.34．函数()112x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是 ( ).A (1,∞-] .B [1，)∞+ .C (1,-∞-] .D [-1，)∞+ 5．设21)(2++=x x x f 的定义域是[,1],()n n n N ++∈试判断)(x f 的值域中共有( )个整数。
22.+n A 12.+n B n C 2. 12.-n D6. 对于01a <<，给出下列四个不等式①1log (1)log (1)a a aa+<+；②1log (1)log (1)a a a a +>+；③111aaaa ++<；④111aaaa++>，其中成立的是……（ ）A. ①与③B. ①与④C. ②与③D. ②与④ 7. 实数1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y-=，则y 关于x 的函数的图象大致是（ ）8.棱台上、下底面面积之比为1∶9, 则棱台的中截面(中截面是过棱台的各侧棱的中点的截面)把棱台分成两部分的体积之比是 ( )A. 1∶7B.2∶7C. 7∶19D. 5∶ 169. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ΔABC 的（ ）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心10.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,长为定值的线段EF 在棱AB 上移动（EF a <）,若P 是A 1D 1上的定点,Q 是C 1D 1上的动点,则四面体PQEF 的体积是 ( )A.有最小值的一个变量B.有最大值的一个变量C.没有最值的一个变量D.是一个常量11. 已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A. 以上四个图形都正确 B. 只有⑵、⑷正确 C. 只有⑷错误 D. 只有⑴、⑵正确 12.一个四面体P ABC -，其中PA BC ==PB AC ==，PC AB ==，则该四面体的体积为( )B C C 1 B 1A D 1A 1D MPNA. 25B. 2C.653 D. 2263第Ⅱ卷 （共90分）二、填空题（将正确答案写在答题纸上，每题4分，共计16分）13．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，8AB =，6BC =，110BB =，已知蚂蚁从点 A 出发沿表面爬行到1C ，则蚂蚁爬行的最短距离为14.斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长等于a 的正三角形，侧棱长等于b ，且11A AB A AC ∠=∠=45︒，则这个斜三棱柱的侧面积为15.球面上有三点A 、B 、C 组成球的内接三角形，若6=AB ，8=BC ，10=AC ，且球心到ABC ∆所在的平面的距离等于球的半径的21，那么这个球的表面积为 ___16.如图：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，长度为1的线段MN 的一个端点M 在11A B 上运动，另一个端点N 在底面11BCC B 上运动，设线段MN 的中点为P ，则动点P 的运动轨迹是三、解答题（共计74分，其中17——21题每题12分，22题14分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分12分)三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ． （1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比．18. (本小题满分12分)如果一个n 面体共有m 个面是直角三角形，那我们称这个n 面体的直度为m n⑴请构造一个直度是34的四面体； ⑵是否存在直度为1的四面体？请说明理由；⑶若一个n 面体的直度为1，棱数为t ，将t 表示成n 的函数； ⑷证明不存在直度为1的五面体.19. (本小题满分12分)已知函数()f x 对于一切正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =，且x ＞1时，()f x ＜1，f (2)=91(1) 求证：()f x ＞0；（2）求证：11()[()]f x f x --=（3）求证：()f x 在（0，+∞）上为单调减函数 （4）若()f m =9，试求m 的值。
20. (本小题满分12分)已知定义在N +上，且在N +上取值的增函数()y f n =，对任意的,m n N +∈，当,m n 互质时，()()()f mn f m f n =.又()180180f =，求()2004f 的值21．（本小题满分12分）已知2)(xx e e x f --=，（1）求)(1x f-及其定义域（2）判断)(1x f -的奇偶性和单调性，并用定义证明22. （本小题满分14分）已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.PABC高一12月月考数学参考答案选择题1-6 CBBAAD 7-12 BCBDCB 填空题13.14. )1ab 15.3400π16. 以1B 为球心，半径为12的球面在正方体内的部分 解答题17 (1）∵PC ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BD ．由AB=BC ，D 为AC 的中点，得BD ⊥AC ．又PC ∩AC=C ，∴BD ⊥平面PAC ． 又PA ⊂平面、PAC ，∴BD ⊥PA ．由已知DE ⊥PA ，DE ∩BD=D ，∴AP ⊥平面BDE ．-----------(4分) （2）由BD ⊥平面PAC ，DE ⊂平面PAC ，得BD ⊥DE ．由D 、F 分别为AC 、PC 的中点，得DF//AP ．由已知，DE ⊥AP ，∴DE ⊥DF. BD ∩DF=D ，∴DE ⊥平面BDF ．又ΘDE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BDF ．------------------------------------------（8分）（3）设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2．则 h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3, .31232313121=⋅=⋅⋅⋅⋅==∴∆∆----PBC PBFPBCA PBFE ABC P EBF P S h S h V V V V故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶1----------------（12分） 18. （1）直度是43的四面体即有且只有三个面 是直角三角形的四面体如四面体P －ABCPA ⊥面ABC 且AB ⊥AC即∠PAB=∠PAC=∠BAC=900---------------------------（3分）（2）存在直度为1的四面体，即四个面均为直角三角形 的四面体P －ABC只要PA ⊥平面ABC 且BC ⊥AB ，从而证得BC ⊥平面PAB于是BC ⊥PB -∴∠PAC=∠PAB=∠ABC=∠PBC=900--------------------------------------------------------------------------（6分）（3）由题意，n 面体的n 个面都是Rt △ 每个面有三条棱，每条棱在两个面33(,2,0,)22n nt t n N n k k k N *∴==∈=>∈即----------------------------------（9分） （4）若存在直度为1的五面体即五个面均为Rt △ 则棱数 5.7253=⨯=t ∵ t ∈N * ∴ 不成立 ∴ 不存在直度为1的五面体-----------------------------------------------------------(12分)19.(1)对任意x ＞0，()f x =f )=2[f ≥0假设存在y ＞0，使()f y =0，则对任意x ＞0()f x =()x f y y ⋅=()()xf f y y=0，这与已知矛盾故对任意x ＞0，均有()f x ＞0-----------------------------------------（3分）（2）∵()(1)()(1)f x f x f x f =⨯=，()f x ＞0, ∴f (1)=1∴()f x f (x 1)=f (x1·x )=f (1)=1 ∴11()[()]f x f x --=--------------（6分）(3)1x 、2x ∈(0,+∞)，且1x ＜2x ，则12x x ＞1，∴f (12x x)＜1， ∴22211111()()()()()x xf x f x f f x f x x x =⋅=< 即21()()f x f x < ∴()f x 在（0，+∞）上为单调减函数。
---------------------------------（9分）（4）∵f (2)=91，f (m )=9 ∴f (2)f (m )=1 ∴f (2m )=1=f(1)，而()f x 在(0，+∞)是单调减函数∴2m =1 即m =12.------------------------------------------------（12分）20. 解：由于()()()()18011801180180f f f f =⨯==，所以()11f =-----------（3分） 由()f n 是增函数及函数值是自然数可得，()()()()112...179180180f f f f =<<<<= 所以()()1180,f n n n n N*=≤≤∈-------------------------------------------------------------（10分）于是()()()()20041216712167121672004f f f f =⨯=⨯=⨯=-------------（12分） 21. 解（1）)(1x f -=)1ln(2x x ++（R x ∈） -------------------------------------------（4分）（2）)(1x f--=)1ln(2x x ++-= 211lnxx ++=-)1ln(2x x ++=-)(1x f-所以)(1x f -为奇函数------------------------------------------------------------------（8分）设21x x <，(12(x x -=（21x x -）+222111x x +-+=（21x x -） +2221222111xx x x +++-=（21x x -）(()1210x x =-< (∴+<+<,1,1222211x x x x Θ<+21x x 222111x x +++)即12(x x +<，因为ln y x =在()0,+∞是增函数，所以((12ln ln x x < 所以)(1x f-在R 上为增函数。