二阶闭环的频率特性
闭环频率特性的基本特点
闭环频率特性的基本特点1．在低频段Φ(jω)≈1(或Φ(jω)≈1/H(jω))通常在低频段其幅值A(ω)>>1 。
于是对于单位反馈系统，由式(5.28) 可得在低频段其闭环频率特性为上式表明：在闭环频率特性的低频段，由于这时开环幅值远大于1，故单位反馈系统的闭环频率特性Φ(jω)≈1。
一般来说：一个系统的开环频率特性保持高增益的频率范围越宽，其(闭环)输出复现输入信号就越好。
这就是所谓的“高增益原则”。
对于非单位反馈系统，由式(5.26)可得在低频段其闭环频率特性为这说明： 在低频段由于 A(ω)=|G(jω)H(jω)|>>1，故非单位反馈系统的闭环频率特性近似等于反馈通道频率特性的倒数。
2. 在高频段Φ(jω) ≈G(jω)系统的开环频率特性在高频段 |G k (jω)|<< 1 ，于是有上式表明：在高频段，由于开环频率特性的幅值很小，故反馈控制系统的闭环频率特性与前向通道的频率特性几乎重合。
3. 在中频段闭环频率特性中频段的形状对系统暂态特性的影响很大，通常用两组特征量：带宽频率ωb 和谐振峰值M r 、谐振频率ωr ，来加以刻画。
(1) 带宽频率与带宽闭环幅频特性的幅值下降到零频幅值的 0.707( 即 0.707M(0))、或闭环对数幅频特性的增益下降到零频增益值以下 3 分贝时，其对应的频率ωb 称为带宽频率 ( 或系统的截止角频率 )；闭环对数幅频特性的增益不低于 -3 分贝时所对应的频率范围，即 0 ≤ω≤ωb ，称为系统的带宽 ( 或通频带 ) 。
带宽与系统暂态响应速度之间的关系控制系统的带宽与暂态响应的速度具有密切的关系。
一般来说：系统的带宽越大，暂态响应的速度就越快；而且对于低价系统，它们之间还具有确定的函数关系。
对于一阶系统，带宽越大，即带宽频率ωb越高( 系统极点p=-1/T=- ωb离虚轴越远) ，相应的时间常数T 便越小，系统响应的速度就越快。
闭环频率特性
( ) j (
)
M ()e j ()
闭环系统的幅频特性与相频特性为 M () ( j)
() ( j) 闭环系统对数幅频特性为 20lg M () 20lg ( j)
闭环幅频特性如下图示，其主要的频域指标有：
M ()
Mr
M (0) 1 0.707
0
r
b
▪ 闭环幅频特性的零频值M(0)
零频率振幅值M(0)即ω为零时闭环幅频特性值。它反应了 系统的稳态精度，M(0)越接近于1，系统的精度越高。M(0)≠1 时，则表示系统有稳态误差。
▪ 二阶系统
闭环系统为二阶闭环系统的闭环频率特性为
(
j )
C( R(
j ) j )
(1
2 n2
1 )
j2 n
M ( )e j ( )
闭环幅频特性、相频特性为
M ()
1
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
2
(
)
arctg
1
n 2
n2
0 0.707 时，产生谐振
令
dM
d
0
得谐振频率r
n
1 2 2
第七节 闭环频率特性
闭环系统的时域性能，可以根据闭环频率特性来估算。 对一、二阶系统，时域指标与闭环频域指标有着确定的关系， 对于高阶系统，二者则有近似的对应关系。
一、闭环频率特性主要性能指标
闭环和开环频率特性之间的关系为：
R(s)
-
G(s)
C(s)
( j) G( j) 1 G( j)
1
A()e j A()e
▪ 高频段
高频段指开环幅相特性曲线在中频段以后的区段 10c 这部分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
4.6 系统瞬态响应指标和频率响应指标间的关系
P% e
Mr
1 2
100%
1 2 1 2
由此可知，Mr 和σp%随ξ变化的趋势一致。若已知Mr ，可确定σp% ，反之
亦然。
4.6.2 二阶系统的闭环频率特性和 时域指标间的关系
Mr 和ts的关系
ts
4
n
或者t s
3
n ，可以看出Mr 和ωnts随ξ的变化规律相似，可求得ωnts，
4.6.2 二阶系统的开环频率特性和 时域指标间的关系
ωc和ξ、 ωn之间的关系
c ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
γ和ξ的关系
1 4 4 2 2
2 1 4 4 2 2
arctg
γ和σp%的关系
γ越大， σp%越小，若γ已知，则σp%完全确定
γ、ωc和ts的关系
t sc
进而求得ts。 ωb和tP的关系 tP 或者t Pn d n 1 2 1 2 由此可知， tPωb和ωb/ωn随ξ的变化趋势相反，ωb大时，tP小，系统反应迅速。
穿越频率ωc是一个重要的参数，它不仅影响系统的相位裕量，还影响系统的瞬态 响应时间。
6 ，如果γ一定，则t 和ω 成反比。 s c tan
4.6.2 二阶系统的闭环频率特性和 时域指标间的关系
ωr、Mr 、 ωb和ξ的关系
r n 1 2 2
Mr 1 2 1 2
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
4.6 系统时域指标与频域指标间的关系
概述 二阶系统的开环频率特性和时域指标间的关系 二阶系统的闭环频率特性和时域指标间的关系
4.6.1 概述
工程控制基础实验1
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生姓名：学号：指导老师：实验项目名称：二阶系统时频域分析实验一. 实验目的通过二阶系统的时频域分析验证课程讲授内容，加深学生对理论知识的理解程度，扩大学生视野，掌握基本的频域图解方法和时域系统校正方法。
1. 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及Ⅰ型二阶闭环系统的传递函数标准式。
2. 研究Ⅰ型二阶闭环系统的结构参数--无阻尼振荡频率ωn 、阻尼比ξ对过渡过程的影响。
3. 掌握欠阻尼Ⅰ型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp 、ts 的计算。
4. 观察和分析Ⅰ型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的瞬态响应曲线，及在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp 值，并与理论计算值作比对。
5. 了解和掌握Ⅰ型二阶开环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性)Re(ω 和虚频特性)Im(ω的计算。
6. 了解和掌握欠阻尼Ⅰ型二阶闭环系统中的自然频率n ω、阻尼比ξ对开环参数幅值穿越频率c ω和相位裕度γ的影响，及幅值穿越频率c ω和相位裕度γ的计算。
7. 研究表征系统稳定程度的相位裕度γ和幅值穿越频率c ω对系统的影响。
8. 了解和掌握Ⅰ型二阶开环系统对数幅频曲线、相频曲线、和幅相曲线的构造及绘制方法二. 实验原理及装置图1-1是典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统。
图1-1 典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统Ⅰ型二阶系统的开环传递函数：)1()(+=Ts s T K s G i Ⅰ型二阶系统的闭环传递函数标准式：2222)(1)()(nn ns s s G s G s ωξωωφ++=+= 自然频率（无阻尼振荡频率）：TT Ki =n ω 阻尼比：KT T 21i =ξ有二阶闭环系统模拟电路如图1-2所示。
它由积分环节（A2单元）和惯性环节（A3单元）的构成，其积分时间常数T i =R 1*C 1=1秒，惯性时间常数 T =R 2*C 2=0.1秒。
频域性能指标和时域性能指标的关系
5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。
常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。
虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。
5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。
图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。
令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。
图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。
这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。
系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。
当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。
此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。
闭环频率特性
1
90 - tg -1 tg 1
1
有了γ 与ξ 之一一对应的关系，近似 ξ =0.01γ ，且ξ ～δ ﹪有一一对应的关系。
在已知M（ω ），α （ω ）前提下， 可得到|GB（jω ）|，∠GB（jω ）。
§5—7 系统频域分析
一、频域指标：
1、零频值：M（0）或A（0） 频率为0时，闭环频率特性的幅频值，零频值 M（0）与系统型别的关系。
k 1 v 0 M (0) lim G ( j ) 1 k 1 v0
1 M r 1.8 p 0.16 0.4(M r 1) 多阶：估算公式： k ts c k 2 1.5( M r -1) 2.5( M r -1) 1 M r 1.8
且
Mr 1 sin
（35°≤γ ≤90°）
三、由闭环幅频特性曲线估算时域指标
d 2 1 g ( ) 2(1 2 )( 2 2 ) 2(2 )2 0 dt n n n n
2 2 n (1 2 2 ) 2 2 g ( ) 4 (1 ) 2 n 2
2 2 g ( ) (1 2 ) (2 ) n n
ω M α
ω1
ω2
ωr Mr
2、尼柯尔斯图（以φ 为横坐标，L(ω )为纵坐标）
将等M圆和等N圆转换成对数幅值和相角坐标图上， 形成尼柯尔斯图。 P187图 5—59
绘入对数幅—相图，对应有：
ω M(db) α （ω ） ω1 ω2 ……
自动控制原理-频率特性与系统性能的关系
A(ω)= ω
1
ω 2ζωn
第四节 频率特性与系统性能的关系
二阶系统的开环对数频率特性曲线
时域法中：
L(ω)/dB
σ%—系统的平稳性
-20dB/dec
ts —系统的快速性
0
ωc
Φ(ω)
2ξ ωn
ω
频域法中：
0
-40dB/dec
ω
ωc
-90
—系统的快速性 -180
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
频率特性法是通过系统的开环频 率特性和闭环频率特性的频域性能指 标间接地表征系统瞬态响应的性能。
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高 三个频段。
第四节 频率特性与系统性能的关系
（2）中频段的斜率与动态性能的关系 频段较Φ设(宽s系)=，统1可+G中G(近频s()s似)段=认斜1+为率ωSωS整2c为22c2个-=4曲0Sd2ω+线Bωc/2是dce2 c一，条且斜中 率为-40系dB统/d处ec的于直临线界。稳定状态。
开环传递函数：
L(ω)/dB
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。
（1）穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为20dB/dec且中频
段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
第四节 频率特性与系统性能的关系
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：
G解对(设 ωj：tωt应g性1g：)-的(-1=11ωω的的ωω)变ωcjω3c2曲频关ω--3c化tt(g线=率系g1ω-ω范K-+111如3特。3jc(21围=ω==ω性图+73110j2ω8):ω～o(o12ω+) j2ωω,0可3L-)2(求ω0ωd)B1得//dd-ω4Be0:c2dBω/d-4ec0cdBω/d3ec ω
控制工程(自动控制)第十八课 频率特性与时域指标
闭环频率特性主要性能指标
带宽频率ω 带宽频率ωb:当闭环幅频特性下降到频率为零时的分 贝值以下3分贝时,对应的频率称为带宽频率ω 贝值以下3分贝时,对应的频率称为带宽频率ωb . 频率范围(0,ωb)称为系统的带宽. 频率范围( 称为系统的带宽.
ω > ωb
20 lg Φ ( jω ) < 20 lg Φ ( j 0) 3
πζ / 1ζ 2
ζ =
1 1 1 2 Mr 2
π
2 M r M r 1 2 M r + M r 1
σ% = e
× 100%
ts =
3.5
ζωn
( = 0.05, 0 < ζ < 0.9)
因此,若知道频域指标中的任两个, 因此,若知道频域指标中的任两个,就可解算 从而求出时域指标.反之, 出ζ和ωn,从而求出时域指标.反之,给出时域指 标的任两个,就可确定闭环频域指标. 标的任两个,就可确定闭环频域指标.
高阶系统
1 Mr = ( 35 ° ≤ γ ≤ 90 ° ) sin γ σ = 0 . 16 + 0 . 4 ( M r 1) (1 ≤ M ts = kπ ≤ 1 .8 )
r
ωc
(1 ≤ M
r
k = 2 + 1 . 5 ( M r 1) + 2 . 5 ( M r 1) 2
≤ 1 .8 )
2 b 2 2 n
1 = 20 lg 2
ω jα ( ω ) Φ ( jw) = = M (ω )e 2 2 ( jω ) + 2ζω n ( jω ) + ωn
2 n
M (ω ) =
1
ωb2 2 ωb 2 [1 2 ] + [2ζ ] ωn ωn
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同济大学电子与信息工程学院实验中心实验报告
实验课程名称：自动控制原理
任课教师：王中杰
实验项目名称：二阶闭环系统的频率特性曲线
二阶闭环系统的频率特性曲线
一．实验要求
1． 了解和掌握二阶闭环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性
)Re(ω和虚频特性)Im(ω的计算
2． 了解和掌握欠阻尼二阶闭环系统中的自然频率ωn 、阻尼比ξ对谐振频率ωr 和谐振
峰值L(ωr )的影响及ωr 和L(ωr ) 的计算。
3． 观察和分析欠阻尼二阶开环系统的谐振频率ωr 、谐振峰值L(ωr )，并与理论计算值
作比对。
二．实验内容及步骤
本实验用于观察和分析二阶闭环系统的频率特性曲线。
本实验以二阶闭环系统模拟电路为例，令积分时间常数为Ti ，惯性时间常数为T ，开环增益为K ，
可得： 自然频率：TiT K
=n ω 阻尼比：KT Ti
2
1=ξ 谐振频率：221ξωω-=n r
谐振峰值：2
121lg
20)(ξ
ξω-=r L
频率特性测试电路如图1所示，其中惯性环节（A3单元）的R 用元件库A7中可变电阻取代。
图1 二阶闭环系统频率特性测试电路
积分环节（A2单元）的积分时间常数Ti=R 1*C 1=1S ，
惯性环节（A3单元）的惯性时间常数 T=R 3*C 2=0.1S ，开环增益K=R3/R 。
设开环增益K=25（R=4K ），ωn = 15.81 ξ= 0.316：谐振频率：ωr = 14.14 谐振峰值：44.4)(=r L ω
注1：根据本实验机的现况，要求构成被测二阶闭环系统的阻尼比ξ必须满足102.0≥ξ，否则模/数转换器（B7元）将产生削顶。
注2：实验机在测试频率特性时，实验开始后，实验机将按序自动产生0.5Hz~16Hz 等多种频率信号，当被测系统的输出mV t C 60)(±≤时将停止测试。
实验步骤：
（1）将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入。
（2）构造模拟电路：按图2安置短路套及测孔联线，表如下。
（a ）安置短路套 （b ）测孔联线
（3）运行、观察、记录：
①将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入，运行LABACT程序，在界面的自动控制菜单下的线性控制系统的频率响应分析-实验项目，选择二阶系统，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始，实验开始后，实验机将自动产生0.5Hz~16Hz等多种频率信号，等待将近十分钟，测试结束后，观察闭环对数幅频、相频曲线和幅相曲线。
②测试结束后，可点击界面下方的“频率特性”选择框中的任意一项进行切换，将显示被测系统的闭环对数幅频、相频特性曲线（伯德图）和幅相曲线（奈奎斯特图）。
图3-2-4的被测二阶系统的闭环对数幅频所示。
③显示该系统用户点取的频率点的ω、L、 、Im、Re
实验机在测试频率特性结束后，将提示用户用鼠标直接在幅频或相频特性曲线的界面上点击所需增加的频率点（为了教育上的方便，本实验机选取的频率值f，以0.1Hz为分辨率，
例如所选择的信号频率f值为4.19Hz，则被认为4.1 Hz送入到被测对象的输入端），实验机将会把鼠标点取的频率点的频率信号送入到被测对象的输入端，然后检测该频率的频率特性。
检测完成后在界面上方显示该频率点的f、ω、L、ϕ、Im、Re相关数据，同时在曲线上打‘十字标记’。
如果增添的频率点足够多，则特性曲线将成为近似光滑的曲线。
鼠标在界面上移动时，在界面的左下角将会同步显示鼠标位置所选取的角频率ω值及幅值或相位值。
在(\Aedk\LabACT\两阶频率特性数据表)中将列出所有测试到的频率点的闭环L、ϕ、Im、Re等相关数据测量。
注：该数据表不能自动更新，只能用‘关闭后再打开’的办法更新。
④谐振频率和谐振峰值的测试：
在闭环对数幅频曲线中用鼠标在曲线峰值处点击一下，待检测完成后就可以根据‘十字标记’测得该系统的谐振频率ωr ，谐振峰值L(ωr)，见图3；实验结果可与式（3-2-9）的计算值进行比对。
注：用户用鼠标只能在幅频或相频特性曲线的界面上点击所需增加的频率点，无法在幅相曲线的界面上点击所需增加的频率点。
⑤改变惯性环节开环增益：改变运算模拟单元A3的输入电阻R=10K、4K、2K。
Ti=1（C1=2u），T=0.1（C2=1u）（R減小（ξ減小））。
改变惯性环节时间常数：改变运算模拟单元A3的反馈电容C2=1u、2u、3u。
Ti=1（C1=2u），K=25（R=4K），（C2增加(ξ減小)）。
改变积分环节时间常数：改变运算模拟单元A3的反馈电容C1=1u、2u。
T=0.1（C2=1u），K=25（R=4K），(C1減小（ξ減小）)。
重新观测结果，界面上方将显示该系统用户点取的频率点的ω、L、φ、Im、Re、谐振
频率ωr ，谐振峰值L(ωr)等相关数据，填入实验报告。
图3 被测二阶闭环系统的对数幅频曲线
三、实验结果
50K频幅特性
50K相频特性
谐振频率ωr
谐振峰值L(ωr)
50K幅相特性
100K频幅特性
100K相频特性
100K幅相特性
200K频幅特性
200K相频特性
200K幅相特性
2U频幅特性
2U相频特性
2U幅相特性
3U频幅特性
3U相频特性
,.
3U 幅相特性
四、实验结论
二阶系统的闭环频率响应特性为 自然频率：TiT K =
n ω 阻尼比：KT Ti 2
1=ξ 谐振频率：221ξωω-=n r 谐振峰值：2121
lg 20)(ξξω-=r L。