闭环频率特性

( ) j (
)
M ()e j ()
闭环系统的幅频特性与相频特性为 M () ( j)
() ( j) 闭环系统对数幅频特性为 20lg M () 20lg ( j)
闭环幅频特性如下图示，其主要的频域指标有：
M ()
Mr
M (0) 1 0.707
0
r
b
▪ 闭环幅频特性的零频值M(0)
零频率振幅值M(0)即ω为零时闭环幅频特性值。它反应了 系统的稳态精度，M(0)越接近于1，系统的精度越高。M(0)≠1 时，则表示系统有稳态误差。
▪ 二阶系统
闭环系统为二阶闭环系统的闭环频率特性为
(
j )
C( R(
j ) j )
(1
2 n2
1 )
j2 n
M ( )e j ( )
闭环幅频特性、相频特性为
M ()
1
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
2
(
)
arctg
1
n 2
n2
0 0.707 时，产生谐振
令
dM
d
0
得谐振频率r
n
1 2 2
第七节 闭环频率特性
闭环系统的时域性能，可以根据闭环频率特性来估算。 对一、二阶系统，时域指标与闭环频域指标有着确定的关系， 对于高阶系统，二者则有近似的对应关系。
一、闭环频率特性主要性能指标
闭环和开环频率特性之间的关系为：
R(s)
-
G(s)
C(s)
( j) G( j) 1 G( j)
1
A()e j A()e
▪ 高频段
高频段指开环幅相特性曲线在中频段以后的区段 10c 这部分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
在高频段 G( j) 1 由于高频段远离 c ,且幅值很低，因此对动态特性影响不大。
由于噪声的频率较控制信号的频率高得多，所以高频区段 的幅值越低，抗干扰的能力越强。
通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表征了系 统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全可以由开环对 数幅频特性反映出来。希望的系统开环对数幅频特性归纳起来 不外乎以下几个方面：
(1)如果要求具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特 性的低频段应有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率。为保证系 统的稳态精度，低频段应有较高的增益。
(2)开环对数幅频特性以-20dB/dec斜率穿过0dB线，且具有 一定的中频宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环 系统具有一定的平稳性。
将 r 代入M(ω)表达式，得谐振峰值 M r
2
1
1 2
时域指标与二阶系统参数 ,n 有下面的关系：
% e / 12 100%
tr
d
n
1 2
tp
d
n
1 2
ts
3
n
( 0.05)
给出闭环频域指标 Mr ,r 和b 中的任何两个，可以通过解 出 ,n 计算时间域指标；同样，给出时间域指标中的任何 两个，可以确定闭环频域指标。
则，开环传递函数为
G(s)
K s2
c2
s2
对单位反馈系统，其闭环传递函数为
(s) G(s) c2 / s2 c2 1 G(s) 1 c2 / s2 s2 c2
相位裕度为0，系统处于临界稳定状态，动态过程持续振荡。
（3）通过截止频率c 的斜率为-60dB/dec 系统很难稳定
小结：如果系统通过 c 点的频率更陡，闭环系统将更难以稳定。 因此，中频段应该有较宽的[-20]斜率线，该斜线越宽， 系统的平稳性越好，c 值应该满足系统快速性的要求。
(s) G(s) c / s 1 1 G(s) 1c / s s 1 c
相位裕度约为90，幅值裕度为无穷大，超调量为零，
调节时间 ts 3 / c
c
ts
所以，系统具良好的动态品质。
（2）通过截止频率c 的斜率为-40dB/dec
假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-40dB/dec
Mr
M (0)
0 1 低
r 中频
L()
0.707M (0)
1
b 2 高
低
c 中频
2
高
▪ 低频段
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目， 通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段， 低频段决定了系统的稳态精度。
L( ) v0
20db/dec(v 1)
40db/dec(v 2)
0
K
K
▪ 中频段
(3)具有尽可能大的剪切频率 c ，以提高闭环系统的快速性。 (4)为了提高系统抗高频干扰的能力，开环对数幅频特性高频 段应有较大的斜率。
▪ 相对谐振峰值Mr和谐振频率ωr
相对谐振峰值Mr是指闭环幅频特性的最大值Mmax与零频 振幅值M(0)之比。
相对谐振峰值Mr表征了系统的相对稳定性，Mr越大， 则系统的稳定性越差。一般选择Mr＝1.1～1.5，系统可 以获得满意的瞬态响应特性。
出现最大值Mmax时的频率叫做谐振频率ωr。
▪ 闭环频带宽度ωb
ts
K c
K 2 1.5(M r 1) 2.5(M r 1)2
(1 M r 1.8)
（3）γ与Mr的关系
对于二阶系统，根据γ的定义可推导出
tg 1
2
2 2 4 4 1
对于高阶系统，可用下式近似计算
1
M r sin
开环对数频率特性与时域指标
开环对数幅频特性“三频段”概念
M ()
闭环幅频特性M(ω)上，对应幅值等于0.707M(0)的频率ωb称为 系统的带宽频率。0≤ω≤ ωb为系统的频宽。
b 大，表明系统能通过的信号频率很宽，反应速度快； b 小，表明系统只能通过低频信号，反应速度慢，但抑制 输入端高频噪声能力强。 b 的确定要综合地考虑跟踪输入信号和抑制噪声的能力。
二、一阶系统和二阶系统频域指标与时域指标
由
3
ts n
得
bts
3
1 2 2
2 4 2 4 4
▪ 高阶系统
对于高阶系统，难以找出频域指标与时域指标之间的确切关 系。但如果高阶系统在一对共轭闭环主导极点，可借用二阶系统 公式计算。
（1）谐振峰值Mr与的 %关系
0.16 0.4(Mr 1) (1 Mr 1.8)
（2）Mr、ωb与ts的关系
1、Mr与 %的关系
Mr
2
1
1 2
1 11/ Mr2
2
% exp
Mr
M
2 r
1
100%
Mr
M
2 r
1
2、Mr、ωb与ts的关系
由闭环带宽的定义可知
M (b )
n2
0.707
(n2 b2 )2 (2 nb )2
解出ωb与ωn 、 的关系
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
中频段指开环幅相特性曲线在截止频率c附近的区段。 下面通过两个典型情况分析中频段特性对闭环系统动态 特性的影响。
（1）通过截止频率c 的斜率为-20dB/dec
假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec 则，开环传递函数为
G(s) K css 对单 Nhomakorabea反馈系统，其闭环传递函数为
▪ 一阶系统
闭环系统为惯性环节的频率特性为 ( j) C( j) 1
R( j) Tj 1
闭环系统幅频特性、相频特性为
M () 1 T 2 2 1
() arctanT
闭环频域指标为
M (0) 1
Mr 1
阶跃响应时域指标为
r 0
b 1/T
ts
3T
3
b
(
0.05)
%0
tr 2.20T 2.20 / b