三角函数与三角变形
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
三角函数及变形公式
三角函数及变形公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
三角函数的性质与变形公式
三角函数的性质与变形公式三角函数是数学中的一门重要内容，它被广泛应用于物理学、工程学等领域。
三角函数的性质和变形公式是掌握三角函数的重要基础。
在本文中，我将详细介绍三角函数的性质和变形公式。
一、三角函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为 $2\pi$，即$sin(x+2k\pi) = sin(x)$，$cos(x+2k\pi) = cos(x)$，其中 $k$ 为任意整数。
2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，即 $sin(-x) = -sin(x)$，$tan(-x) = -tan(x)$；余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$。
3. 对称性正弦函数是以$y$ 轴为对称轴对称的，即$sin(\pi -x) = sin(x)$；余弦函数是以 $x$ 轴为对称轴对称的，即 $cos(\pi -x) = -cos(x)$。
4. 增减性正弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是增函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是减函数。
余弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是减函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是增函数。
二、三角函数的变形公式1. 正切函数的变形公式$$tan(x \pm \pi) = \pm tan(x)$$根据正切函数的周期性可以得到上述公式。
当 $x$ 落在$[\frac{\pi}{2},\pi]$ 区间内时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相同；当 $x$ 落在 $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ 区间时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相反。
$$tan(\frac{\pi}{2} \pm x) = -\frac{1}{tan(x)}$$当 $x$ 落在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 区间内时，上式成立。
2. 正弦函数和余弦函数的变形公式$$sin(x \pm \pi) = -sin(x),\quad cos(x \pm \pi) = -cos(x)$$由三角函数的周期性可以得到上述公式。
解三角形与三角函数最全知识总结
解三角形与三角函数最全知识总结三角形与三角函数是数学中非常重要的内容，广泛应用于几何学、物理学、工程学等多个领域。
以下是对三角形与三角函数的最全知识总结。
一、基本概念1.三角形：由三条边和三个内角组成的图形。
根据边的长度和角的大小关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。
2.内角和：三角形的三个内角的和为180度，或者π弧度。
3.值得注意的几何关系：三角形的内角对应的边对边长相等，相等的两个角对应的边对边长也相等。
4.三角形的面积：可以通过底边和高的乘积的一半来计算，也可以通过三边的长度来计算。
二、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
即sin(A) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
即cos(A) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值。
即tan(A) = 对边/邻边。
4.三角恒等式：包括平方恒等式、和差恒等式、倍角恒等式等等，可以通过这些恒等式将一个三角函数的式子转化为另外一个三角函数的式子。
5.周期性：三角函数是周期函数，即在每个周期内的函数值是相同的。
三、三角函数的图像与性质1.正弦函数图像：正弦函数的图像是一个连续、周期为2π的曲线，以原点为对称中心。
2.余弦函数图像：余弦函数的图像也是一个连续、周期为2π的曲线，但它的图像是以横坐标π/2为对称轴。
3.正切函数图像：正切函数的图像是一个连续、以π为周期的曲线，有无穷多个渐近线。
四、三角函数的应用1.解三角形：通过已知的边长和角度，可以利用三角函数解出未知的边长和角度。
2.测高度：利用三角形的性质，可以通过测量两个视角和距离，计算出高度的长度。
3.平衡力问题：在物理学中，利用三角函数可以计算出干涉力、斜面上的力等问题。
三角函数与三角恒等变换例题与习题
三角函数与三角恒等变换专题复习高考动态 (3)复习建议 (3)专题一：任意角及其三角函数 (4)考点一：终边相同的角的集合 (4)考点二：弧长及面积公式 (6)考点三：任意角的三角函数的定义 (8)考点四：三角函数值的符号及其取值范围 (9)考点五：同角三角函数的基本关系 (11)考点六：诱导公式及其应用 (13)专题二：三角函数的图象与性质 (14)考点一：三角函数的定义域、值域 (14)考点二：三角函数的单调性、周期性 (17)考点三：三角函数的奇偶性、对称性 (20)考点四：三角函数的最值 (22)考点五：三角函数的图象和性质的综合 (24)附1：高考真题回放与示例 (27)附2：高考经典题组训练 (28)专题三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质 (29)考点一：y＝A sin(ωx＋φ)的图象及平移伸缩变换 (30)考点二：求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式 (32)考点三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 (35)考点四：三角函数模型的应用 (38)考点五：三角函数的综合 (40)附1：高考真题回放与示例 (42)附2：高考经典题组训练 (44)专题四：和差角和二倍角的三角函数 (46)概述： (46)公式汇总 (46)考点一：给角求值 (48)考点二：给值求值 (52)考点三：给值求角 (55)考点四：型 (57)考点五：型 (59)熟悉考查内容与形式，从而有效地复习。
①小题，重在基础：三角函数小题考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．②大题，重在本质：有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法．③应用，融入三角形之中：这种考点既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能．主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换．专题一：任意角及其三角函数任意角的三角函数主要包括，任意角的概念、角度值和弧度制的转换、弧长面积公式、任意角的三角函数的概念、单位圆及其三角函数线、同角三角函数的关系、诱导公式。
三角函数诱导公式变形法则
三角函数诱导公式变形法则三角函数诱导公式变换法是高等数学中一个常用的技巧，用于简化和变换三角函数的复杂表达式。
这种方法基于一些基本的三角函数公式，通过变换和化简的方式，将原始的三角函数表达式转化为更简洁和易于处理的形式。
在本文中，我们将详细介绍一些常用的三角函数诱导公式变换法则。
首先，我们来回顾一下基本的三角函数公式：1.正弦差公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)2.余弦差公式：cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)3.正弦和公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)4.余弦和公式：cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)接下来，我们将介绍一些常用的三角函数诱导公式变换法则。
一、角和、差、倍角公式1.角和公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x)tan(y))2.角差公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))3.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))二、诱导其他三角函数公式1.余切和正切之间的关系：tan(x) = 1 / cot(x)2.正弦、余弦和的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1cos^2(x) = 1 - sin^2(x)cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))3.正切、余切和的关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)tan(x) = 1 / cot(x)4.余弦和正弦之间的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)以上是一些常用的三角函数诱导公式变换法则，通过灵活运用这些公式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简洁的形式，从而更容易进行计算和处理。
三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科
三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。
注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。
)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
三角函数变换口诀
万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；
1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值再判角取值范围；
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；
顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，
幂升一次角减半，升幂降次它为范，
三角函数反函数，实质就是求角度，
先求三角函数值，再判角取值范围，
利用直角三角形，形象直观好换名，
简单三角的方程，化为最简求解集，
高次降次不必像，和差于积互化好，
角度函数要统一，出现特角更是妙，
公式选择有依据，式子特征和角度，
类比联想成习惯，观察能力要培养，
若遇三角不等式，单位图像特殊值，
三角形中的问题，正弦余弦不可离，
角度之间有联系，转化互补与互余。
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；
中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，
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三角函数与三角变形一. 本周教学内容：专题复习“三角函数与三角变形”二. 重点与难点：1. 三角函数的图象与性质；2. 同角三角函数的差不多关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和积互化公式等三角公式的应用。
三. 要点综述：1. 三角函数是一类重要的初等函数，因其在复数（如复数的三角形式）解析几何（如直线的倾斜角，参数方程，极坐标），立体几何（如两条异面直线成角，直线与平面的成角，二面角）中有着广泛的应用，因此对三角函数与三角变形要有足够的认识。
2. 三角函数的周期性，以及y=sinx ，y=cosx 的有界性是试题经常考查的重要内容。
要把握形如y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的函数的周期的求法；灵活应用y=sinx ，y=cosx 的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题。
3. 三角恒等式的证明因其技巧性较强，一度成为数学的难点，近些年的高考试题对这类题目的考查在减少，要求有所降低，但我们应该充分重视三角变形，因为其中表达了对三角公式的运用能力，专门表达了事物之间互相联系，互相转化的辩证思想。
4. 基于上述几点理由，建议同学们在复习这部分内容时，做到“立足课本，落实三基；重视基础，抓好常规”即复习时以中低档题目为主，注意求值化简题以及求取值范畴的习题，另外，注意充分利用单位圆，三角函数图象研究问题。
【典型例题分析与解答】例1. 已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπθθ⋅=<<-1842分析：联想与的关系式：cos sin sin cos (cos sin )sin cos θθθθθθθθ±±=±212可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当cos sin (cos sin )θθθθ--2πθπθθθθ420<<>-<时，，故sin cos cos sin解：(cos sin )sin cos θθθθ-=-=-⨯=212121834而πθπ42<<∴-<cos sin θθ0∴-=-=-cos sin θθ3432即的值为cos sin θθ--32例2.已知函数（为常数，且）y x a x a a =+-<sin sin 212求函数的最小值。
分析：若将sinx 换元，则函数转化为二次函数，从而可把三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题，但要注意到：转化后所得二次函数的定义域。
解：[]设，由于，故，sin x t x R t =∈∈-11 原函数化为y t at =+-212[]=+--∈-()t a a t 24121122，，[]当，，即时，的最小值为；-∈--≤<--a a y a 211204122[]当，，注意到，可知，-∉-<aa 2110当，即时，取最小值-><-+a a y a 21212综上，得，当时，；-≤<=--204122a y a min当时，a y a <-=+212min［注］在求解三角函数的最值时，注意三角函数的有界性。
例3. 函数的最小正周期是。
y x x =-+sin()cos π322分析：一样地，要求三角函数的最小正周期，往往要用到如下结论： 形如的最小正周期。
为此，需先把给定的函数解析y A x T =+=sin()||ωϕπω2式通过三角公式，变形为上述结论中的函数形式，因此： y x x =-+sin()cos π322=-⋅+sincos cossin cos ππ32322x x x=++-⋅()cos ()sin 3212122x x =++232sin()x ϕ其中角满足：，显然ϕϕωtg =--=232 ∴==最小正周期T 22ππ||或按如下方法化简解析式： y x x =-+sin()cos π322=-+-sin()sin()ππ3222x x=-⋅2512212sin()cos()ππx=⋅-+2122512cossin()ππx 显然ω=-2∴=-=最小正周期T 22ππ||［注］一样地，假如给定的函数解析式不是形如y=Asin(ωx+ϕ)的形式，在求其最小正周期时，往往先将解析式变形为y=Asin(ωx+ϕ)的形式。
例4.为使方程在内有解，则的取值范围是（）cos sin ,2002x x a a -+=⎛⎝ ⎤⎦⎥πA aB a ..-≤≤-<≤1111C aD a ..-≤<≤-1054分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t ，则原方(]程化为，且，，于是问题转化为：若关于的一元二次方程t +t -a -1=0t 012∈t (]t t a a 21001+--=在区间，上有解，求的取值范围，解法如下：设由已知条件f t t t a ()=+--21有f f a a a ()()0010101011<≥⎧⎨⎩⇒--<-≥⎧⎨⎩⇒-<≤∴-<≤a a B 的取值范围为，故选（）111t分析二：由方程，得，，cos sin cos sin 22002x x a a x x x -+==-+∈⎛⎝⎤⎦⎥π于是问题转化为：求函数在，上的值域，a x x =-+⎛⎝⎤⎦⎥cos sin 202π解法如下：a x x x x x =-+=+-=+-cos sin sin sin (sin )22211254x ∈⎛⎝⎤⎦⎥02，π(]∴∈sin x 01，，从而当时，无限逼近；sin x a =-01当时，取最大值sin x a =11∴-<≤a a B 的取值范围为，故选（）11例5. 若，则的值tg θθθθ=--+=22212cos sin cos .分析一：观看角，函数名称的关系后，易联想到万能公式，因此能够按照如下方式去求值。
原式=-++cos sin cos 221122θθθ=⋅-+22232cos sin cos θθθ=⋅-+-++-+2112131122222tg tg tg tg tg tg θθθθθθ=⋅--+2124222tg tg tg θθθ=⋅----+⋅-=212224221622()()() 分析二：联想到关于sin θ，cos θ的齐次公式能够化切，因此能够按照如下方式求值。
原式=--⋅++(cos sin )sin cos (sin cos )cos 222222θθθθθθθ=--+12222tg tg tg θθθ =-----+=1222221622()()() ［注］两相比较，发觉，解法二更为简捷，事实上，关于已知tg θ的值，而求关于sinθ，cos θ的齐次公式的值时，方法二更具有通用性。
例6. 已知的三内角分别为、、，且满足∆ABC A B C A C B +=21122cos cos cos cos A C B C+=--，求的值。
A 分析：这是一道以三角形为背景材料的三角函数问题，要注意题中的隐藏条件：A B C A C B B A C ++=+==+=180260120 ，又二式联立，易得，，这对式子的变形很有帮助。
若把等式左边通分，积差化积，积112cos cos cos A C B+=-化和差后，就会变形得到关于的式子，从而可求得的值，cos()cos()A C A C --再利用半角公式，即可求得的值，亦可能变形后，直接得到cos cosA C A C--22的式子，从而赶忙求值。
解：A CB A BC +=++=2180，又 ∴=+=B A C 60120， ∴+=+⋅11cos cos cos cos cos cos A C A CA C[]=+-++-22212cos coscos()cos()A C A C A C A C[]=-+-260212120cos coscos cos() A CA C=--+-coscos()A C A C 21412=--+--cos(cos )A C A C 214122212coscos cos cos A C A C B ---=-=-=-22342260222即，解关于的二次方程cos (cos )cos A C A C A C -=----22223422得或cos cos ()A C A C -=-=-<-22223241cos cos A C A C -=-<--=23241222不合题意，应舍去，故例7. 求值：sin cos sin cos 22208032080++⋅解法一：（利用降幂公式，变形……）sincos cos cos 22122122αααα=-=+ 原式=-+++⋅14021160232080cos cos sin cos=+-+⋅1121604032080(cos cos )sin cos[]=+-⋅+⋅+-1122100603210060()sin sin sin sin()=-+-=132100*********sin sin 解法二：（异角化同角：，……）806020=+原式=+⋅+sin cos (cos sin )2208080320[]=++⋅++sin cos()cos()sin 22060206020320=+⋅-⋅⋅-⋅sin (cos cos sin sin )(cos cos sin sin 2206020602060206020+320sin )=+-⋅+sin (cos sin )(cos sin )2201220322012203220=+-sin cos sin 2222014203420=+=142014201422sin cos例8. 化简sin sin cos cos cos cos 22221222αβαβαβ⋅+⋅-⋅ 分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少。
观看欲化简的式子发觉：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（能够利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，动身点不同，本题化简方法不止一种。
解法一：（复角单角，从“角”入手）→ 原式=⋅+⋅-⋅--sin sin cos cos (cos )(cos )222222122121αβαβαβ =⋅+⋅-⋅--+sin sin cos cos (cos cos cos cos )22222222124221αβαβαβαβ=⋅-⋅++-sinsin cos cos cos cos 22222212αβαβαβ=⋅++-sin sin cos sin cos 2222212αβαββ =+-2sin cos ββ212=-=11212解法二：（从“名”入手，异名化同名） 原式=⋅+-⋅-⋅sin sin (sin )cos cos cos 222211222αβαβαβ=---⋅cossin (cos sin )cos cos 22221222βαββαβ=-⋅-⋅cos sin cos cos cos 2221222βαβαβ =-⋅+cos cos (sin cos )222122ββαα=+-+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥1222121222cos cos sin (sin )ββαα =+-=12212212cos cos ββ解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=-⋅-++⋅+-⋅1221221221221222cos cos cos cos cos cos αβαβαβ =+⋅--++⋅++14122221412222(cos cos cos cos )(cos cos cos cos )αβαβαβαβ-⋅⋅1222cos cos αβ=+=141412解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=⋅-⋅+⋅⋅⋅-⋅(sin sin cos cos )sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβ221222 =++⋅-⋅cos ()sin sin cos cos 212221222αβαβαβ =+-⋅+cos ()cos()21222αβαβ[]=+-⋅+-cos ()cos ()221221αβαβ=12［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。