多元非线性回归
第9章多元线性回归与非线性回归分析 《统计学》PPT课件
的偏导
ˆ1、ˆ2 ，ˆk
数必须等于零。将Q对
求偏导数，并
ˆ1、ˆ2 ，ˆk
令其等于零，加以整理后可得到以下k个方程式：
nˆ1 ˆ2 X 2 t ˆk X kt Yt
ˆ1 X 2 t ˆ2 X 22t ˆk X 2 t X kt X 2 tYt
变量Y与其他多个变量X 2 ,X 3 ,…,X k 之间线性相关程度的
指标，而不能反映其相互之间线性相关的方向。
• 复相关系数的取值区间为：0≤R≤1。
（二）偏相关系数
• 在对其他变量的影响进行控制的条件下，衡量多个变量
中某两个变量的线性相关程度和方向的指标称为偏相关
系数。
• 在多变量的场合，变量之间存在错综复杂的关系，偏相
能够做到以尽可能少的自变量去达到尽可能高的拟合优
度。
• 多元模型中回归系数的检验同样采用t检验和P检验，其
原理和基本步骤与一元回归模型基本相同，这里不再赘
述。下面仅给出回归系数显著性检验t统计量的一般计
算公式。
j=1,2,…,k
•
t ˆ ˆ j / Sˆ
j
（9.15）
ˆ j
j
S ˆ
式中，
是回归系数的估计值，
j
估计值，其按下式计算：
2
S
S
jj
•
ˆ
是的标准差的
j
（9.16）
jj
式中，
是(X’X) -1 的第j个对角线元素，S 2 是随机
误差项方差的估计值。上式的t 统计量背后的原假设
是
H : =0，因此 t的绝对值越大表明 为0的可能性
多元非线性回归
1
2
例如，常替代弹性CES生产函数模型
Q A[ K (1 ) L ] e ,
Q:产出量, K:资本, L:劳动, :替代参数, :分配参数。 方程两边取对数后，得到：
ln Q ln A 1
1
ln[ K (1 ) L ] ,
f ''(0) [ ln K (1 )ln L]2 ln 2 K (1 )ln 2 L K (1 )(ln K ln L) (1 )ln , L
2 2
于是
1 2 k ln Q ln A ln K (1 )ln L (1 )ln . 2 L
对数变换: lnQ = 0 +1 ln X + 2 ln P1 + 3 ln P0 + . (***) 考虑到零阶齐次性时， lnQ = 0 +1 ln(X P0 ) + 2 ln(P1 P0 ) + , (****)
Q = AX 1 P1 2 P0 3 e ,
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 1 + 2 + 3 = 0.
意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。
（2）双曲线模型
1 Y = 0 + 1 + , X 1 设 Z = , 原方程变换为 X Y = 0 +1 Z + .
例如，Y ：儿童死亡率； X：人均GDP。
（3）对数模型
ln Y 0 1 X ; 半对数模型 Y 0 1 ln X ,
这时，就需要选择适当类型的曲线模型拟合这种 关系，这就是非线性回归模型或曲线回归模型。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运 用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
多元非线性回归
多元非线性回归目录1 什么是多元非线性回归分析2 多元非线性回归分析方程3 多元非线性回归分析模型[1]什么是多元非线性回归分析多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。
对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。
有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。
属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。
多元非线性回归分析方程如果自变数X_1,X_2,\cdots,X_m与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。
例如，二元二次多项式回归方程为：{y}=a+b_{11}x_1+b_{21}x_2+b_{12}x_1^2+b_{22}x_2^2+b_{11 \times22}x_1x_2令b_1=b_{11},b_2=b_{21},b_3=b_{12},b_4=b_{22},b_5=b_{11\tim es22},及x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1\cdot x_2,于是上式化为五元一次线性回归方程：\widehat{y}=a+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4+b_5x_5这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。
多元非线性回归分析模型[1]一、常见的内蕴多元性回归模型只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。
1.多重弹性模型(y_1;x_{11},x_{12}\cdots,x_{1k}),(y_2;x_{21},x_{22}\cdots,x_{2k}),\ cdots,(y_n;x_{n1},x_{n2}\cdots,x_{nk})是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型y_i=\beta_0x_{i1}^{\beta_1}x_{i2}^{\beta_2}\cdots x_{ik}^{\beta_k}e^{\epsilon_{i}} (1)上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。
3第三章 多元线性回归模型及非线性回归模型new
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
注意
ˆ 是向量 (i 1, 2, n) β ( j 1, 2, n)
(由无偏性) (由OLS估计式)
ˆ β)( β ˆ β )] E[( β
E[( X X )1 X uuX ( X X )1 ] ( X X )1 X E(uu) X ( X X )1 ( X X )1 X 2 IX ( X X )1
计量经济学
第三章 多元线性回归模型
引子:中国已成为世界汽车产销第一大国
2009年，为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长， 国家出台了一系列促进汽车消费的政策，有效刺激了汽车消费市 场，汽车产销呈高增长态势，首次成为世界汽车产销第一大国。 2009年，汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆，同比增长
c c12 11 c21 c22 ck 1 ck 2
c1k c2 k ckk
所以
ˆ ~ N ( , c ) j j
中第 j 行第 j 列的元素） 2 （j=1,2,---k） jj
19
ˆ 的方差-协方差 β
ˆ ) E{[ β ˆ E( β ˆ )][ β ˆ E( β ˆ )]} COV ( β
因为样本回归函数为 两边左乘 X
X
e
0
ˆ +e Y = Xβ
ˆ + X e X Y = X Xβ
多元非线性回归
多元非线性回归分析是一种多元非线性回归模型。
传统的求解多元非线性回归模型的方法仍然是将其转化为标准的线性多元回归模型。
一些非线性回归模型通过适当的数学变换可以得到线性化的表达式，而对于其他非线性回归模型，仅仅通过变量变换是没有帮助的。
属于前者的非线性回归模型通常称为内在线性回归，而后者称为内在非线性回归。
补充资料：线性回归线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两个或多个变量之间的定量关系的一种统计分析方法。
表达式形式为y=w'x+e，e为误差的正态分布，平均值为0。
在回归分析中，只包含一个自变量和一个因变量，二者之间的关系可用直线近似。
这种回归分析称为单变量线性回归分析。
如果回归分析包含两个或两个以上的自变量，且因变量与自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
在统计学中，线性回归是一种回归分析，它使用称为线性回归方程的最小二乘函数来建模一个或多个自变量和因变量之间的关系。
这个函数是一个或多个模型参数的线性组合，称为回归系数。
只有一个自变量的情况称为简单回归，有多个自变量的情况称为多元回归。
（这应该再次通过由多个因变量而不是单个标量变量预测的多元线性回归来区分。
）在线性回归中，数据由线性预测函数建模，未知模型参数由数据估计。
这些模型称为线性模型。
最常用的线性回归模型是仿射函数，其中给定值x的条件平均值为x。
在不太常见的情况下，线性回归模型可以是Y或其他分位数条件分布的中值。
与所有形式的回归分析一样，线性回归侧重于给定x值的Y的条件概率分布，而不是x和Y的联合概率分布（在多元分析领域）。
线性回归是第一个经过严格研究并在实际应用中得到广泛应用的回归分析方法。
这是因为与未知参数线性相关的模型比与位置参数非线性相关的模型更容易拟合，并且更容易确定结果估计值的统计特性。
线性回归模型通常采用最小二乘法进行拟合，但也可以采用其他方法进行拟合，如最小化其他规范中的“拟合缺陷”（如最小绝对误差回归）或最小化桥梁回归的惩罚函数最小二乘法，最小二乘法可用于拟合这些非线性模型。
多元线性回归和非线性回归-PPT课件
bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单 位时，y 的平均变动值
二元线性回归方程
考虑二元线性回归模型
y b b x b x 0 1 1 2 2
E ( y ) b b x b x 0 1 1 2 2
1. b 1 表示 x 2 保持不变时， x 1 每变动一个单位时 E ( y ) 的相应变化量.
bb b
b
b0 ，b1，b2 ，，bp是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系 所解释的变异性
多元线性回归模型
(基本假定)
1. 解释变量x1，x2，…，xp是确定性变量．不是 随机变量，且要求样本容量的个数应大于解释变 量的个数。 2. 误 差 项 ε 是 一 个 期 望 值 为 0 的 随 机 变 量 ， 即 E()=0 3. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的方差 2都相同 4. 误差项 ε 是一个服从正态分布的随机变量，即 ε~N(0,2)，且相互独立
a. Dependent Variable: y
参数的最小二乘法
y 4 1 2 2 9 0 1 2 5 . 7 0 2 x 2 6 . 7 4 1 x 5 . 8 7 8 x 9 5 . 6 6 8 x 1 2 3 4 4 2 . 2 8 8 x 1 1 . 7 2 4 x 1 8 7 . 5 3 2 x 5 0 . 2 8 0 x 5 8 . 0 8 2 x 5 6 7 8 9 8 1 . 7 2 6 x 4 6 . 7 9 1 x 5 4 . 8 1 7 x 4 1 . 1 2 3 x 1 0 1 1 1 2 1 3
多元非线性回归
多元非线性回归多元非线性回归分析是具有两个以上变量的非线性回归模型。
解决多元非线性回归模型的传统方法仍然是找到一种将其转换为标准线性多元回归模型的方法。
一些非线性回归模型可以通过适当的数学变换来获得其线性化表达式，但是对于其他非线性回归模型，仅变量变换没有帮助。
属于前一种情况的非线性回归模型通常称为内在线性回归，而后者称为内在非线性回归。
补充数据：线性回归线性回归是一种统计分析方法，在数学统计中使用回归分析来确定两个或多个变量之间的定量关系。
表达式形式为y = w'x + e，E为误差的正态分布，平均值为0。
在回归分析中，仅包含一个自变量和一个因变量，并且两者之间的关系可以近似地由一条直线表示。
这种回归分析称为单变量线性回归分析。
如果回归分析包括两个或多个自变量，并且因变量和自变量之间的关系是线性的，则称为多元线性回归分析。
在统计中，线性回归是一种回归分析，它使用称为线性回归方程的最小二乘函数对一个或多个自变量与因变量之间的关系进行建模。
此函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。
仅一个自变量的情况称为简单回归，而一个以上自变量的情况称为多重回归。
（这又应通过多个因变量而不是单个标量变量预测的多个线性回归来区分。
）在线性回归中，数据是通过线性预测函数建模的，未知模型参数是通过数据估算的。
这些模型称为线性模型。
最常用的线性回归建模是给定x值的Y的条件平均值是X的仿射函数。
在不太常见的情况下，线性回归模型可以是Y的条件分布的中位数或其他分位数像所有形式的回归分析一样，线性回归关注于给定x值的Y的条件概率分布，而不是X和Y的联合概率分布（在多元变量领域）分析）。
线性回归是经过严格研究并在实际应用中广泛使用的第一类回归分析。
这是因为与未知参数线性相关的模型比对位置参数非线性相关的模型更容易拟合，并且更容易确定结果估计的统计特征。
线性回归模型通常通过最小二乘近似进行拟合，但也可以通过其他方法进行拟合，例如最小化某些其他规范中的“拟合缺陷”（例如最小绝对误差回归）或最小化最小二乘的惩罚桥回归中的损失函数，最小二乘近似可用于拟合那些非线性模型。
巧用Excel解决多元非线性回归分析
巧用Excel解决多元非线性回归分析巧用Excel解决多元非线性回归分析随着数据分析在各个行业和领域的广泛应用，多元非线性回归分析成为一种常见的数据处理方法。
而作为一款强大且易于使用的电子表格软件，Excel也可用于解决多元非线性回归分析的问题。
本文将介绍如何巧用Excel进行多元非线性回归分析，并结合实例进行说明。
一、多元非线性回归分析简介多元非线性回归分析是在使用多个自变量预测因变量时，自变量与因变量之间存在非线性关系的情况下进行回归分析的方法。
与简单线性回归模型相比，多元非线性回归模型更贴近实际情况，能够更准确地描述自变量与因变量之间的关系。
在多元非线性回归分析中，可以选择不同的非线性函数作为方程的形式，常用的非线性函数包括指数函数、对数函数、幂函数等。
根据具体问题的需求，可以选择最适合的非线性函数来进行回归分析。
二、Excel的数据准备在进行多元非线性回归分析之前，首先需要准备好相关的数据。
数据应该包括多个自变量和一个因变量，并且这些变量之间应该存在一定的关系。
假设我们要研究一个商品的销售量与价格、广告费用和季节性因素的关系。
我们可以收集一段时间内的销售数据，同时记录价格、广告费用和季节因素的数值。
将数据整理成一个表格，其中每一列表示一个变量，每一行表示一个样本。
确保每一列都有相应的变量名称，并为数据添加适当的标签，以便于后续的分析。
三、Excel的数据分析工具Excel提供了丰富的数据分析工具，可以用于解决多元非线性回归分析的问题。
其中最常用的工具是回归分析工具，它能够帮助我们建立回归模型，并计算模型的拟合度和参数估计值。
在Excel的工具栏中，选择“数据”-“数据分析”-“回归”，即可打开回归分析对话框。
在对话框中，选择自变量和因变量的范围，并勾选“输出范围”。
在输出范围中，选择一个单元格作为回归分析结果的起始位置。
点击确定后，Excel会自动计算回归方程的系数、确定系数和预测值，并将结果显示在选定的单元格区域中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元非线性回归
什么是多元非线性回归分析
多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。
对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。
有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。
属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。
[编辑]
多元非线性回归分析方程
如果自变数X_1,X_2,\cdots,X_m与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。
例如，二元二次多项式回归方程为：
\widehat{y}=a+b_{11}x_1+b_{21}x_2+b_{12}x_1^2+b_{22}x_2^ 2+b_{11\times22}x_1x_2
令b_1=b_{11},b_2=b_{21},b_3=b_{12},b_4=b_{22},b_5=b_{11\tim es22},及x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1\cdot x_2,于是上式化为五元一次线性回归方程：
\widehat{y}=a+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4+b_5x_5
这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。
[编辑]
多元非线性回归分析模型[1]
一、常见的内蕴多元性回归模型
只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。
1.多重弹性模型
(y_1;x_{11},x_{12}\cdots,x_{1k}),(y_2;x_{21},x_{22}\cdots,x_{2k}),\ cdots,(y_n;x_{n1},x_{n2}\cdots,x_{nk})是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型
y_i=\beta_0x_{i1}^{\beta_1}x_{i2}^{\beta_2}\cdots x_{ik}^{\beta_k}e^{\epsilon_{i}} (1)
上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。
2.Cobb-Dauglas生产函数模型
y_i=AK_{i}^aL_i^{\beta}e^{\epsilon_{i}},i=1,2,\cdots,n (2)
其中，yi表示产出总量，Ki为资本要素，Li为劳动力要素，A、α、β为参数。
比较式(1)和(2)，不难看出C-D生产函数模型实际是多
重弹性模型的简化或特殊形式。
3.总成本函数模型
用yi表示总成本，xi表示产出规模，则称具有如下关系的回归模型为总成本函数模型
y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2x_i^2+\beta_3x_i^3+\epsilon _i,i=1,2,…,n (3)
总成本函数是多项式函数的特殊形式，更为一般的情况就是多项式回归模型：
y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2x_i^2+\beta_kx_i^k+\epsilon _i,i=1,2,…,n (4)
多项式回归模型从宽松的角度讲，可以不把它看成是非线性回归模型，在这里主要是用来说明一下问题，把它看成内蕴的线性回归模型也无妨。
二、内蕴的非线性回归模型
内蕴非线性回归模型的形式有很多种，大部分难以根据经济含义进行称呼，下面，列出几个以帮助大家增加认识。
(1)CES生产函数模型
y_i=A(\delta_1K_i^{-\rho}+\delta_2L_i^{-\rho})\epsilon_i,i=1,2,…,n (5)
(2)随机项表现为加法的C-D生产函数模型
y_i=AK_i^\alpha+L_i^\beta+\epsilon_i,i=1,2,…,n (6)
(3)其他形式的内蕴非线性函数模型，如
y_i=\beta_0+\beta_1x_{i1}^{\beta_{1}}+\beta_2x_{i2}^{\beta_{ 2}}+\cdots+\beta_kx_{ik}^{\beta_{k}}+\epsilon_i,i=1,2,…,n
(7)
三、多元非线性回归模型的求解问题
对内蕴的线性回归模型，可以通过对模型中的变量或样本数据进行变换，将其转化成具有标准线性形式特征的回归模型，然后再运用前面介绍的模型估计方法进行估计，便能间接地达到目的。
比如对于式(2)，它的变换过程为
对式(2)两边求对数
lnyi = lnA + αlnKi + βlnLi + εi
令y^\prime_i=\ln y_i,A^\prime=ln A,K_i^\prime=ln K_i,L_i^\prime=ln L_i,则得
y^\prime_i=A^\prime+\alpha K_i^\prime+\beta L_i^\prime+\epsilon_i,i=1,2,…,n
这是标准的二元线性回归问题，可据之估计出A^\prime、α和β.。