多元非线性回归

多元非线性回归

什么是多元非线性回归分析

多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。

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多元非线性回归分析方程

如果自变数X_1,X_2,\cdots,X_m与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。例如，二元二次多项式回归方程为：

\widehat{y}=a+b_{11}x_1+b_{21}x_2+b_{12}x_1^2+b_{22}x_2^ 2+b_{11\times22}x_1x_2

令b_1=b_{11},b_2=b_{21},b_3=b_{12},b_4=b_{22},b_5=b_{11\tim es22},及x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1\cdot x_2,于是上式化为五元一次线性回归方程：

\widehat{y}=a+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4+b_5x_5

这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。

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多元非线性回归分析模型[1]

一、常见的内蕴多元性回归模型

只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。

1.多重弹性模型

(y_1;x_{11},x_{12}\cdots,x_{1k}),(y_2;x_{21},x_{22}\cdots,x_{2k}),\ cdots,(y_n;x_{n1},x_{n2}\cdots,x_{nk})是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型

y_i=\beta_0x_{i1}^{\beta_1}x_{i2}^{\beta_2}\cdots x_{ik}^{\beta_k}e^{\epsilon_{i}} (1)

上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。

2.Cobb-Dauglas生产函数模型

y_i=AK_{i}^aL_i^{\beta}e^{\epsilon_{i}},i=1,2,\cdots,n (2)

其中，yi表示产出总量，Ki为资本要素，Li为劳动力要素，A、α、β为参数。比较式(1)和(2)，不难看出C-D生产函数模型实际是多

重弹性模型的简化或特殊形式。

3.总成本函数模型

用yi表示总成本，xi表示产出规模，则称具有如下关系的回归模型为总成本函数模型

y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2x_i^2+\beta_3x_i^3+\epsilon _i,i=1,2,…,n (3)

总成本函数是多项式函数的特殊形式，更为一般的情况就是多项式回归模型：

y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2x_i^2+\beta_kx_i^k+\epsilon _i,i=1,2,…,n (4)

多项式回归模型从宽松的角度讲，可以不把它看成是非线性回归模型，在这里主要是用来说明一下问题，把它看成内蕴的线性回归模型也无妨。

二、内蕴的非线性回归模型

内蕴非线性回归模型的形式有很多种，大部分难以根据经济含义进行称呼，下面，列出几个以帮助大家增加认识。

(1)CES生产函数模型

y_i=A(\delta_1K_i^{-\rho}+\delta_2L_i^{-\rho})\epsilon_i,i=1,2,…,n (5)

(2)随机项表现为加法的C-D生产函数模型

y_i=AK_i^\alpha+L_i^\beta+\epsilon_i,i=1,2,…,n (6)

(3)其他形式的内蕴非线性函数模型，如

y_i=\beta_0+\beta_1x_{i1}^{\beta_{1}}+\beta_2x_{i2}^{\beta_{ 2}}+\cdots+\beta_kx_{ik}^{\beta_{k}}+\epsilon_i,i=1,2,…,n

(7)

三、多元非线性回归模型的求解问题

对内蕴的线性回归模型，可以通过对模型中的变量或样本数据进行变换，将其转化成具有标准线性形式特征的回归模型，然后再运用前面介绍的模型估计方法进行估计，便能间接地达到目的。比如对于式(2)，它的变换过程为

对式(2)两边求对数

lnyi = lnA + αlnKi + βlnLi + εi

令y^\prime_i=\ln y_i,A^\prime=ln A,K_i^\prime=ln K_i,L_i^\prime=ln L_i,则得

y^\prime_i=A^\prime+\alpha K_i^\prime+\beta L_i^\prime+\epsilon_i,i=1,2,…,n

这是标准的二元线性回归问题，可据之估计出A^\prime、α和β.