多元非线性回归的动力学分析
多元线性回归和非线性回归
多元线性回归模型
(multiple linear regression model)
1.
2.
3.
一个因变量与两个及两个以上自变量的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 的方程，称为多元回归模型 涉及 p 个自变量的多元回归模型可表示为
y x x x 0 1 1 2 2 p p
线性关系检验
1.
提出假设
H0：b1b2bp=0 线性关系不显著 H1：b1，b2， bp至少有一个不等于0
2 ˆ y y i i 1 n
2. 计算检验统计量F
SSR p F n SSE ( n p 1 )
p
~ F ( p ,n p 1 ) 2 ˆ y y ( n p 1 ) i
线性关系检验
（回归方程显著性检验）
1. 2. 3.
检验因变量与所有自变量之间的线性关系是 否显著 也被称为总体的显著性检验 检 验 方 法 是 将 回 归 均 方 (MSR) 同 残 差 均 方 (MSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之 间的差别是否显著
如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性 关系 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性 关系
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y b b x b x b x 0 1 1 2 2 p p
ˆ, ˆ, ˆ, ˆ是 b , b , b , , b b , b 0 1 2 p 0 b 1 b 2 p
估计值 ˆ 是 y 的估计值 y
参数的最小二乘法
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ, ˆ, ˆ, ˆ 。即 b b , b 达到最小来求得 b 0 1 2 p
论文题目多自由度非线性机械系统的全局分叉和混沌动力学研究
论文题目：多自由度非线性机械系统的全局分叉和混沌动力学研究作者简介：姚明辉，女，1971年11月出生，2002年09月师从于北京工业大学张伟教授，于2006年06月获博士学位。
中文摘要在机械系统中，有许多问题的数学模型和动力学方程都可用高维非线性系统来描述，对于高维非线性动力系统来说，其研究难度比低维非线性动力系统要大得多，不仅理论方法上有困难，几何描述和数值计算都有困难。
目前研究高维非线性系统的全局分叉和混沌动力学的理论方法还不是很多，国际上处于发展阶段，国内尚处于起步阶段，因此发展处理高维非线性动力学系统的理论研究方法是非常重要和迫切的。
在高维非线性动力学的全局分叉和混沌动力学问题中，除了单脉冲混沌运动外，还有多脉冲混沌运动，目前研究多脉冲混沌运动的解析方法主要有两种，即广义Melnikov方法和能量相位法。
本论文改进和推广了Kovacic、Haller和Wiggins等人提出的广义Melnikov方法和能量相位法，利用这两种全局摄动解析方法首次研究了非线性非平面运动悬臂梁、粘弹性传动带非平面运动和面内载荷和横向载荷联合作用下四边简支薄板的多脉冲轨道和Shilnikov型混沌运动。
理论研究发现这些系统存在多脉冲混沌运动；利用数值方法模拟、验证了理论分析的结果。
论文的研究内容及取得的创新性成果有以下几个方面。
(1) 综述了高维非线性系统的分叉和混沌动力学的国内外研究现状；简要介绍了Melnikov 方法的发展，高维Melnikov方法的应用，以及广义Melnikov方法的提出和建立；概括了能量相位法的国内外主要研究进展；介绍了研究高维非线性系统的全局分叉和混沌运动的其它方法。
总结了能量相位法和广义Melnikov方法的研究进展、成果及存在的不足和有待深入研究的问题。
(2) 介绍了由Haller和Wiggins提出的能量相位法；以及由Kovacic等人提出的广义Melnikov方法。
由于能量相位法和广义Melnikov方法提出和发展的时间较短，而且一直是独立的两种解析方法，在本论文中，首次详细地研究了两种全局摄动解析方法的区别和联系。
3第三章 多元线性回归模型及非线性回归模型new
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
注意
ˆ 是向量 (i 1, 2, n) β ( j 1, 2, n)
(由无偏性) (由OLS估计式)
ˆ β)( β ˆ β )] E[( β
E[( X X )1 X uuX ( X X )1 ] ( X X )1 X E(uu) X ( X X )1 ( X X )1 X 2 IX ( X X )1
计量经济学
第三章 多元线性回归模型
引子:中国已成为世界汽车产销第一大国
2009年，为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长， 国家出台了一系列促进汽车消费的政策，有效刺激了汽车消费市 场，汽车产销呈高增长态势，首次成为世界汽车产销第一大国。 2009年，汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆，同比增长
c c12 11 c21 c22 ck 1 ck 2
c1k c2 k ckk
所以
ˆ ~ N ( , c ) j j
中第 j 行第 j 列的元素） 2 （j=1,2,---k） jj
19
ˆ 的方差-协方差 β
ˆ ) E{[ β ˆ E( β ˆ )][ β ˆ E( β ˆ )]} COV ( β
因为样本回归函数为 两边左乘 X
X
e
0
ˆ +e Y = Xβ
ˆ + X e X Y = X Xβ
第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法(6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念;2、掌握线性稳定性得分析方法;ﻩ3、掌握奇点得分类及判别条件;ﻩ4、理解结构稳定性及分支现象;5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象.二、教学重点1、线性稳定性得分析方法；ﻩ２、奇点得判别。
三、教学难点ﻩ线性稳定性得分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议ﻩ学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。
1、1相空间与稳定性ﻩ一、动力系统在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学.假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。
有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。
如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X＝X i（t),则控制它们ｉ得方程组为常微分方程组。
ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。
1．1)…其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。
由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。
1．１)为自治动力系统。
若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统.对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
例如：令,,上式化为上式则就是一个三维自治动力系统。
又如:令,则化为它就就是三微自治动力系统、对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。
对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。
三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。
相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。
有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。
这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。
),,,(2111n X X X f dtdX ),,,(2122n X X X f dtdX (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX 其中 代表某一控制参数。
对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是 i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。
由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。
若 i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。
非自治动力系统可化为自治动力系统。
对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
多元非线性回归
多元非线性回归分析是一种多元非线性回归模型。
传统的求解多元非线性回归模型的方法仍然是将其转化为标准的线性多元回归模型。
一些非线性回归模型通过适当的数学变换可以得到线性化的表达式，而对于其他非线性回归模型，仅仅通过变量变换是没有帮助的。
属于前者的非线性回归模型通常称为内在线性回归，而后者称为内在非线性回归。
补充资料：线性回归线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两个或多个变量之间的定量关系的一种统计分析方法。
表达式形式为y=w'x+e，e为误差的正态分布，平均值为0。
在回归分析中，只包含一个自变量和一个因变量，二者之间的关系可用直线近似。
这种回归分析称为单变量线性回归分析。
如果回归分析包含两个或两个以上的自变量，且因变量与自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
在统计学中，线性回归是一种回归分析，它使用称为线性回归方程的最小二乘函数来建模一个或多个自变量和因变量之间的关系。
这个函数是一个或多个模型参数的线性组合，称为回归系数。
只有一个自变量的情况称为简单回归，有多个自变量的情况称为多元回归。
（这应该再次通过由多个因变量而不是单个标量变量预测的多元线性回归来区分。
）在线性回归中，数据由线性预测函数建模，未知模型参数由数据估计。
这些模型称为线性模型。
最常用的线性回归模型是仿射函数，其中给定值x的条件平均值为x。
在不太常见的情况下，线性回归模型可以是Y或其他分位数条件分布的中值。
与所有形式的回归分析一样，线性回归侧重于给定x值的Y的条件概率分布，而不是x和Y的联合概率分布（在多元分析领域）。
线性回归是第一个经过严格研究并在实际应用中得到广泛应用的回归分析方法。
这是因为与未知参数线性相关的模型比与位置参数非线性相关的模型更容易拟合，并且更容易确定结果估计值的统计特性。
线性回归模型通常采用最小二乘法进行拟合，但也可以采用其他方法进行拟合，如最小化其他规范中的“拟合缺陷”（如最小绝对误差回归）或最小化桥梁回归的惩罚函数最小二乘法，最小二乘法可用于拟合这些非线性模型。
多元非线性回归
多元非线性回归
第一，我们事前并不知道该用什么样的非线性模型去拟合数据？
第二，即使我们知道了需要的非线性模型，但是里面的参数设置，要靠自己专业和经验来设置，没错——靠经验！问题是我们（除了一些大牛）是没经验的。
为了降低难度，结合今天设计学院一位学姐问的问题，赋文君利用别人的模型，去尝试的复现别人的结果，顺便介绍非线性回归分析的基本步骤！
问题背景：
为了研究建筑材料的抗压强度，某个硕士研究生设计了一个实验，实验材料：石灰，细砂，水玻璃；实验器材：若见先进设备，其实我也没用那些工程机械。
通过一些列物理等方面的参数分析检验，得出了一些实验结果，在利用回归模型分析和相关性分析深入了解石灰，水玻璃和细砂，抗压强度四者之间的数量关系和相关程度。
抗压强度是因变量，石灰，水玻璃和细砂是自变量。
3.非线性回归分析步骤
将数据导入或者录入spss中，接着就可以对其进行回归分析了。
按钮点击顺序，找到“分析”——“回归”——“非线性”：
为了便于录入模型和分析，把上面的模型分解开：变量x的前面系数（即参数）分别设定为a，b，c，其中a1表示石灰的系数，a2表示水玻璃的系数，a3表示细砂的系数，b1表示石灰*水玻璃的系数，b2表示石灰*细砂的系数，b3表示水玻璃*细砂的系数，c1 c2 c3分别表示，石灰，水玻璃和细砂平方的系数，d是常数量。
非线性动力学方法
非线性动力学方法
非线性动力学方法是一种用于研究复杂系统的数学和计算方法。
它可以描述非线性系统中随时间演化的行为，并揭示系统的动力学性质。
非线性动力学方法包括以下几个方面:
1. 非线性微分方程: 非线性动力学方法主要研究非线性微分方程的解，这些方程描述了系统中各个变量之间的相互作用关系。
2. 相空间分析: 相空间是描述系统状态的空间，非线性动力学方法通过绘制相轨迹来分析系统在相空间中的运动轨迹，以揭示系统的稳定性、周期性和混沌行为等。
3. 分岔理论: 分岔理论研究系统在参数变化过程中出现的稳定性变化和态势的转变。
通过分析系统在不同参数值下的解的性质，可以确定系统的分岔点和分岔类型。
4. 混沌分析: 非线性动力学方法还研究系统中的混沌行为。
混沌是一种高度不确定和敏感依赖于初始条件的动力学行为，通过混沌分析方法，可以确定系统的Lyapunov指数和分岔图等。
非线性动力学方法在物理学、生物学、化学、经济学等众多领域具有重要应用，它可以揭示复杂系统的内在规律和行为特征，帮助人们更好地理解和预测自然和
人类活动中的各种现象。
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M a ss / %
1 00 8 0
6 0 A 2 F 1 D 3
4 0
2 0
0 4 00
5 00
k T A e
E RT E RT
(4)
k T B T 1 / 2 e k T C T e
(4a) (4b)
E RT
并且假设所有反应均为不可逆的。相应的，操作者在实验时必须最大程度的实现这些条件。例如，对于 分 解反应，必须利用真空或吹扫气将气态的反应产物移出反应体系。 表 1 列出了多种反应类型， 它包括了传统的均相反应和典型的固相反应。 同已知的反应类型相比 ［ 7］ ， 它还包括了综合的自催化类型 C1 和 Cn，该反应类型代表了具有相同活化能的平行反应。 表 1: 反应类型及对应方程 de/dt= A∙exp(E/RT)∙f(e,p) e= 反应物浓度 p= 生成物浓度
6 00
7 0 0
8 00
9 00
T e m p e r a tu r e / ° C
图 1. 单条 TG 曲线拟合。以反应类型 A2 模拟得到数据（升温速率为 10k/min） ，通过反应类型 F1 和 D3 对模拟数据进行拟合 A2 的初始参数：lg (A/s1)
C1X
e ∙ (1+Kcat ∙ X)
反应物X的一阶自催化反应 X = 复合模型的产物, 通常 X = p.
CnX
en ∙ (1+Kcat ∙ X)
反应物X的n阶自催化反应
A2 A3 An
2 ∙ e ∙ (ln(e))1/2 3 ∙ e ∙ (ln(e))2/3 n ∙ e ∙ (ln(e))(n1)/n
表 3：以反应类型 A2 模拟得到的 TG 测试曲线，按照反应类型 F1 和 D3 进行分析得到的动力学参数（单 曲线分析）
升温速率 (K/min) 10.0 5.0 2.5 1.0
反应类型 F1 D3 F1 D3 F1 D3 F1 D3
lg (A/s1) 6.034 12.075 6.382 12.881 6.764 13.754 7.087 14.579
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多元非线性回归的动力学分析
Johannes Opfermann NETZSCHGeratebau GmbH, Wittelsbacherstrabe 42, D95100 Selb/Germany 编译：戴世琨 曾智强 德国耐驰仪器制造有限公司 上海代表处
1.前言 动力学分析的应用有以下两方面： ·科学层面： 将整个过程的每一个步骤记录下来作为一个模型， 从物理/化学的意义上进行阐述和说明。 ·技术层面：动力学分析作为一种处理数据的工具，可从多次测试获得的数据中提取有关信息，以 少 量参数建立起模型。该模型可对不同温度程序下的测试结果进行预测，从而对实验和过程进行优化。 动力学分析在以上两方面的应用需要不同的处理过程： 科学层面：模型建立后，每一反应步骤均可从化学或物理意义上进行阐述。将模型与实验结果比较， 如有可能，也可与其它实验方法所得的结果进行比较。如果模型与实验相矛盾，则需要用进一步实验修 正 模型，或者重新建立模型［1］ 。Flammersheim 已对此热分析测试进行了论证［2］ 。 在科学层面，反应动力学分析应解答以下问题： 1. 怎样研究总反应的机理？ 2. 怎样计算转化率随时间的变化？ 3. 怎样使用分子模型使基元反应的过程更加易于理解？ 技术层面：人们一般从现成的试样开始。但是通常材料供应商不愿给出详细资料，因此试样待测参 数的具体范围也不得而知。于是动力学模型在相当大程度上是“形式化”的，因此反应物也是“形式化” 的：只能假设其含量百分比介于 0 和 1 之间。动力学模型由各单步反应综合而成，对数据处理起到了有效 的过滤作用，但是对反应步骤及其相应参数的说明并不很重要［3］ 。 通常情况，实验条件尽量接近需要预测的条件，而具体实验条件的影响则很少考虑［4］ 。模型可以 简化，但是必须能够反映样品数据随时间、温度变化的基本特征。 从统计学基本概念上说：在分析范围内预测时，其置信水平是较高的，并直接与拟合的质量成比例 。 对于热分析测试，这就意味着应该在尽可能宽的温度范围内，在不同温度下进行恒温测试，或者以不同 加 热速率的动态测试。 在实际过程中，以下两方面尽管有对立性，但有更多的共同点。 ·必须建立动力学模型 动力学模型一方面包含反应途径(例如：反应步骤的综合)，另一方面，必须确定每一反应步骤的反 应类型。模型的参数必须是具体的，以便尽可能详实地描述实验。 ·动力学模型的目标是获得综合的解决方案，可以适用于更宽广的测试条件范围。
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2．基本概念
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对于反应(1)的动力学分析，一般假设等式(2)是成立的
' ASolid BSolid BGasous
(1)
de U t , T , e, p dt
二维成核反应 三维成核反应 n维成核反应/晶核成长符合Avrami/Erofeev
对已建立的解析方法， 由于其具有广泛的有效性， 上述的必要条件已在多篇论著中得以实现 ［ 8-10］ 。 需要指出的是，在这些文献中，仅对单次测量结果（单条曲线）进行分析，而且仅考虑一步反应。除此 之 外仅采取了一些折衷的方案，例如将计算得到的动力学参数加以平均。 在多元动力学分析法［5，11-14］中，我们采用了另外一种全新的方法：对于所有的测试，我们首 先假设模型的参数是一致的， 然后将所有的测试数据纳入分析。 如果得到的模型不能与实验数据完全吻 合， 则必须将模型改进为多步反应（不同步骤的组合） 。第 4 部分以 Ca(OH)2 的分解为例进行了详细说明。 模型可通过动力学参数进行表征，这些参数分为两组。一组适用于所有扫描，是所谓 “模型相关” 的；另一组适用于某次扫描。例如：对于一个二级连续反应 A→B→C 的描述，如表 2 所示(三次热重分析
# 参数 定义 步骤1: 1 2 3 lg A1/s^1 E1/(kJ/mol) n1 A B
C，假设 n 级反应，三次热重分析的测试)
前指数因子的对数 活化能 反应级数 Step 2: B C
4 5 6 7
Байду номын сангаас
lg A2/s^1 E2/(kJ/mol) n2 FollReact. 1
前置因子的对数 活化能 反应级数tep 2 步骤1占总失重比例 ( 步骤2的比例： 1 FollReact. 1)
其中：
(2)
t 时间 T 温度 e 反应物的初始浓度 p 最终产物的浓度 利用这样的表示方式，均相动力学的形式也可适用于非均相反应［6］ 。这种处理方式从科学的层面有 一定的异议，但技术层面上是适用的。 进一步假设转化函数 U(t,T,e,p)可以用分立的两个函数 k(T)和 f(e,p)来表示：
U t , T , e, p k T t f e, p
D1 D2 D3 D4
0.5/(1 e) 1/ln(e) 1.5 ∙ e1/3(e1/3 1) 1.5/(e1/3 1)
一维扩散 二维扩散 三维扩散 (Jander's型) 三维扩散 (GinstlingBrounstein 型)
B1 Bna
e∙p en ∙ pa
样品ProutTompkins方程 扩展 ProutTompkins 方程 (na)
=
1.079
E(kJ/mol)
=
76.00
表 3 的结果是分别在 1，2.5 和 5K/min 的升温速率下获得的。对于反应类型 A2，F1 和 D3，所 有的升温速率均可获得较好的拟合效果(相关系数>0.995)。因此，对于每个升温速率和每种反应类型 都可以建立特定的局部解决方案。然而，必须注意的是表中各种反应类型的活化能和前置因子之间存 在很大的差异。正是由于这个原因，由单次测试结果进行预测时，往往会导致较大的偏差。
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测试)，在已获得的一系列参数中。只有参数 8-10 适用于特定扫描，其余参数适用于特定的模型和所有的 扫描。这些参数可通过混合正则化的高斯-牛顿测定法(马夸特测定法)获得，相关细节见附录 1。 表 2: 参数与反应方式的关系(两步连续反应 A B
8 9 10
MassDiff 1/% MassDiff 2/% MassDiff 3/%
第1次扫描的总失重 第2次扫描的总失重 第3次扫描的总失重
3.通过多曲线分析提高对不同反应类型的分辨 虽然单次动态测量已经包含了动力学模型的所有信息和参数，但这些信息对解决上述问题通常是不够的 ［15-17］ 。这种不足日益突出：从统计可靠性考虑，当温度程序成线性时，它是不可能决定反应类型的。 因此可以理解 M. E. Brown [18] 将早期的处理过程描述为‘如履薄冰’ 。 Criado 等［19］研究了一个 10K/min 升温速率的模拟 TG 曲线后发现，虽然模拟数据是建立在二 维成核反应（A2）基础上，但是数据同样能用一级分解反应(F1)和三维 Jander 型扩散(D3)模型拟合， 见图 1。也就是说，对于单一升温速率，可能同时有几个模型成立。因此，从统计意义上说不可能决 定究竟哪种反应类型适用。接着，利用［19］给出的动力学数据对不同升温速率的 TG 曲线进行模拟 和分析。为了符合实际，模拟结果叠加以统计学噪音(振幅为最大值的 0.2%)。
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