高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则

4.1 导数的加法与减法法则
1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有
[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )
2．导数的基本公式
（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。

这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。

（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。

（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。

（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。

（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。

3．对求导公式作如下两点说明:
(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即
})]([{'x f ϕ=x
x f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即
)]([x f ϕ'=)
(d )]([d x x f ϕϕ.
1．已知函数),2()(3
1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；
（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.
【解析】
（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………
因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数
所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……
即2,1>≤+x x k 又恒成立
所以1,21≤≤+k k 故……
当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，
故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.
所以k 的取值范围为k ≤1.………
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令10)(==='x k x x h 或得………
由（1）知k ≤1，
①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…
②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：
……………………11分
由于)()(,02
1x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =
也即0)(=x h 有三个不同的实根
故需03
12623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,0
2212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分
2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】
2()32s t t bt c '=++
由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值
则(1)0,(3)0s s ''==
即320627609
b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)
1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭
'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0
当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d
又s(4)=4+d
故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413
s t d d d
d d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦
∴+<><-2
max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。