导数的加减法法则
导数的加法与减法法则
答案： A
1 例2、 求函数 y x 上点（1,0）处的切线方程。 x
3
解： 首先求出函数 y x 3
3 函数 y x
例
题 讲 解
1 1 3 g ( x ) f ( x ) x 是函数 与 的差， x x
1 在 x
x 1 处的导数。
由导数公式表，分别得出
f ( x) 3x 2
4.1 导数的加法与减法法则
长安区职教中心 马洁
复习回顾 求函数的导数的步骤是怎样的?
（1） 求函数的增量 y f ( x x) f ( x) （2） 求函数的增量与自变量的增量的比值
y f ( x x) f ( x) x x
y lim （3） 求极限，得导函数 f ( x) x 0 x
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x), f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例 1求下列函数的导数 : (1) y x 2 2 x ; (2) y x ln x.
解： （1）函数 y x 2 2 x是函数 f ( x) x 2 与g ( x) 2 x 的和，
例 题 讲 解
由导数公式表，分别得出
f ( x) 2 x
g ( x) 2 x ln x
根据函数和的求导法则可得
y ( x 2 2 x ) f ( x) g( x) 2x 2 x ln 2
（2）函数 y
x ln x 是函数 f ( x) x 与 g ( x) ln x 的差，
- 2 xx - (x) 2 x
相应的平均变化率为
2 - 2 xx y x - (x) - x - 2x 1 x x
高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )2．导数的基本公式（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。
这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。
（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。
（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。
（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。
（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。
3．对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即})]([{'x f ϕ=xx f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即)]([x f ϕ'=)(d )]([d x x f ϕϕ.1．已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……即2,1>≤+x x k 又恒成立所以1,21≤≤+k k 故……当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.………（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………由（1）知k ≤1，①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =也即0)(=x h 有三个不同的实根故需0312623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,02212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】2()32s t t bt c '=++由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值则(1)0,(3)0s s ''==即320627609b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+d故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413s t d d dd d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦∴+<><-2max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。
导数的加减法法则
求 f (x) x x2 的导函数。
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
所以
同理
第五页，课件共有16页
概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
及求导公式可得：
将x 1 代入上式得：
故所求切线方程为：
即 k切线 4
即 4x y 4 0 巩固练习
第十六页，课件共有16页
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。
第九页，课件共有16页
小结
＊ 求导的加减法法则：
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
第六页，课件共有16页
例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
例2 求曲线 y x3 1 过点 x
分析 的切线方程。
分析
第七页，课件共有16页
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
y
1 2x
1 cos2
x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x值有几
个？
两个，±1
例2
第八页，课件共有16页
动手做一做
1. 求曲线 y cosx在 x 处的切线斜率和方
程。
函数导数四则运算法则
函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。
函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。
函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。
2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。
3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。
4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。
这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。
这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。
函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。
总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。
4.1导数的加法与减法法则(公开课)
P(2, 14 ) 3
求：
（1）点P处的切线的斜率.（2）点P处的切线方程.
解析：(1)由导数公式，得 f (x) (1 x3 x) 3
1 3 x2 1 x2 1. 3
故点P处的切线斜率：f (2) 22 1 5.
（2）点P处的切线方程为：
y 14 5(x 2),即3y 15x 16 0. 3
（1）y x2 +2x （2）
【变式练习】
求下列函数的导数：
(1)y
3x
x3.(2)y
ex
1
1
x3.
x
探究2 函数和与差求导法则的推广
思考：导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导
数的运算还成立吗？
[f1(x) f2(x) fn (x)]' ?
提示:成立.
[f1(x) f2 (x) fn (x)]
1.函数
的导数为（ B ）
A.
y
1 x2
sin x
B.
y
1 x2
sin x
C.
y
1 x2
sin x
D.
y
1 x2
sin x
２.函数y 2x 3 3x 2 4x 1 的导数为 ______________.
３.已知曲线 y
1 3
x3
x 上一点
f1
(x
)
f
2
(x)
f
n
(x
).
导数的加减法法则
x
由函数差的求导法则
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
及求导公式可得：
(x31 x)(x3) (1 x)3x2(x 1 2)
x 1 将 代入上式得：
31 1 4 即 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k切线 4
故所求切线方程为：
y04(x1)
即 4xy40
巩固练习
＊ 导数公式：
（1） C0(C为 常 数 )
（2） (xn)nxn1(nR)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
可得：
( xlnx)( x)(lnx)11 2x x
巩固练习
分析：
本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在
处的导数，即
可写出切线方程。
x 1
解答
解： 设 f (x和) x3 ， g ( x ) 1
（3） (sinx)cosx
（4） (cosx)sinx
（5） (ax)axlna(a0,a1) (ex) ex
（6） (logax)xl1 na(a0,a1)
(ln x) 1 x
返回
ycosxex
y 1 1 2 x cos2 x
x
两个，±1 例2
动手做一做
1. 求曲线 程。
在 y处c的o切s线x斜率和方x
k 1
6
x2y
30
2
6
f(x)x x 2. 若曲线
在 P 处的切线平4行于直
线
，求 P 点坐标。
y 3x
(1,0)
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
导数的基本运算法则
导数的基本运算法则导数在微积分中是一个非常重要的概念，它描述了函数在给定点的变化率。
导数的基本运算法则是微积分中的基础内容，它包括导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数等内容。
在本文中，我们将详细介绍导数的基本运算法则，并通过具体的例子来展示如何应用这些法则。
导数的四则运算导数的四则运算是指对两个函数进行加、减、乘、除等运算后求导数的过程。
如果有两个函数f(f)和f(f)，它们的导数分别为f′(f)和f′(f)，那么它们的四则运算法则如下：•和函数的导数：(f(f)±f(f))′=f′(f)±f′(f)•差函数的导数：(f(f)−f(f))′=f′(f)−f′(f)•乘积函数的导数：(f(f)·f(f))′=f′(f)·f(f)+ f(f)·f′(f)•商函数的导数：$\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)' = \\frac{f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)}{(g(x))^2}$复合函数的导数复合函数是由两个函数组合而成的函数，例如f=f(f(f))。
求复合函数的导数时，需要应用链式法则。
设f=f(f)和f=f(f)，则复合函数的导数为：$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} · \\frac{du}{dx}$反函数的导数如果函数f=f(f)在某个区间上是一一对应的，并且在该区间上是可导的，那么它的反函数f=f−1(f)的导数为：$(f^{-1}(x))' = \\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$应用举例例1：求函数y=3y2+2y在y=1处的导数首先，对f=3f2+2f按照四则运算法则求导：f′=(3f2)′+(2f)′=6f+2然后，在f=1处求导数：f′(1)=6(1)+2=8所以，函数f=3f2+2f在f=1处的导数为8。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
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由函数和的求导法则
x
它们的导数分别 依据是？ 是？依据是？
g′( x ) = 2 ln 2
导数公式
[ f (x) + g(x)]
可得： 可得：
′
= f ′( x) + g′( x)
( x 2 + 2 x )′ = 2 x + 2 x ln 2
（2）由函数差的求导法则 ）
3
分析
动手做一做
1. 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
y′ =
2 3 x
x
3
+2
(1) y = 3 x 2 + 2 x ( 2) y = 4 + log 3 x
x
1 y′ = 4 ln 4 + x ln 3
( 3) y = sin x − exBiblioteka y′ = cos x − ex
y′ = 1 − 2 2 x cos x 1
1 ( a > 0, a ≠ 1) （6） (log a x )′ = ） x ln a 1 ′= (ln x ) x
(e x )′ = e x
返回
(4) y = x 0.5 − tan x
2. 使得函数 y 个？
3
的导数等于0的 = 2 x − 6 x 的导数等于 的 x 值有几 两个， 两个，±1 例2
动手做一做
1. 求曲线 程。
y = cosx 在 x =
1 k =− 2
π
处的切线斜率和方
x + 2y − 3 −
6
π
6
=0
2. 若曲线 f ( x ) = x 4 − x 在 P 处的切线平行于直 线 y = 3 x ，求 P 点坐标。 (1,0) 点坐标。 提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。 提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。 3. 已知 y = ax 3 + 3 x 2 + 2，它在 线斜率是 4 ，求 a 值。
解答
解：
1 设 f ( x) = x 和 g ( x) = ， x ′ 由函数差的求导法则 [ f ( x) − g( x)] = f ′( x) − g′( x) 及求导公式可得： 及求导公式可得： 1 1 1 3 3 2 ( x − )′ = ( x )′ − ( )′ = 3 x − ( − 2 ) x x x 代入上式得： 将 x = 1 代入上式得： 1 3 × 1 + = 4 即 k切线 = 4 1 故所求切线方程为： 故所求切线方程为： y − 0 = 4( x − 1)
[ f (x) + g(x)] [ f (x) − g(x)]
′
= f ′( x) + g′( x) = f ′( x) − g′( x)
′
求下列函数的导数： 例1 求下列函数的导数： （1） y ）
= x +2
2
x
（2） y ）
= x − ln x
分析
1 的切线方程。 例2 求曲线 y = x − 过点 (1,0) 的切线方程。 x
3
即 4x − y − 4 = 0
巩固练习
导数公式： ＊ 导数公式： （1） C ′ = 0 (C为常数) ）
( x n )′ = nx n −1 ( n ∈ R ) （2） ）
（3） (sin x )′ = cos x ） 4） （4） (cos x )′ = − sin x
( a x )′ = a x ln a ( a > 0, a ≠ 1) （5） ）
复习回顾
计算导数的步骤： ＊ 计算导数的步骤： 求导“三步曲” 求 求导“三步曲”： ∆y ＊ 导函数定义： 导函数定义： 求
∆y ∆x
∆y 求 lim ∆x→0 ∆x
f (x + ∆x) − f (x) f ′( x) = lim ∆x→0 ∆x
的函数， 导函数，也简称导 f ′(x ) 是 x 的函数，称之为 f (x ) 的导函数，也简称导 数。
[ f (x) − g(x)]
可得： 可得：
′
= f ′( x) − g′( x)
1 ( x − ln x )′ = ( x )′ − (ln x )′ = − 2 x x
巩固练习
1
分析： 分析： 本题中，要求过已知点的切线方程， 本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线 的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切 的斜率，而前面学习了导数的几何意义， 线的斜率， 线的斜率，所以只要求出函数在 可写出切线方程。 可写出切线方程。 处的导数， x = 1处的导数，即
的导函数。 求 f ( x ) = x + x 2 的导函数。 ∆y ∆x + 2 x∆x + ∆x 2 ∆y = ( x + ∆x ) + ( x + ∆x ) 2 − x − x 2 = ∆x ∆x 2 = ∆x + 2 x∆x + ∆x = 1 + 2 x + ∆x
f ′( x ) = 1 + 2 x
x = −1处的切
10 a= 3
小结
求导的加减法法则： ＊ 求导的加减法法则： 两个函数和（ 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 的导数， 数的和（ ），即 数的和（差），即
[ f (x) + g(x)]
′
= f ′( x) + g′( x)
[ f (x) − g(x)]′ = f ′(x) − g′(x)
课后练习
1. 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
(1) y = 3 x 4 − 23 x 2 + 40 x − 10 2 3 4 ( 2) y = 1 + + 2 − 3 x x x 1 ( 3) y = 3 − x 3 − 7 x 2 + 3 x
2. 函数 f ( x ) = a 4 + 5a 2 x 2 − x 6 的导数是_______ 的导数是 3. 求曲线 y = x 3 + x + 1 在点 ( 1 , 3 ) 处的切线方程。 处的切线方程。 结束
2
∴ x′ + ( x )′ = 1 + 2 x = ( x + x )′
2
′ = x′ + ( x 2 )′ (x + x )
2
所以 同理
[ f (x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x) ′ [ f (x) − g(x)] = f ′(x) − g′(x)
′
概括
两个函数和（ 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 的导数， 数的和（ ），即 数的和（差），即
常用导数公式： ＊ 常用导数公式： （1） C ′ = 0 (C为常数) ）
( x n )′ = nx n −1 ( n ∈ R ) （2） ）
（3） (sin x )′ = cos x ） （4） (cos x )′ = − sin x ）
？ ？
问题： 问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它 如果给出两个函数并已知它们的导数， 们的和、 们的和、差、积、商的导数呢？ 商的导数呢？
分析： 分析： 直接考查导数加减法的计算法则，基础题型， 直接考查导数加减法的计算法则，基础题型， 需要熟悉运算法则：两函数和（差）的导数等于这 需要熟悉运算法则：两函数和（ 两个函数导数的和（ 两个函数导数的和（差）。
[ f (x) ± g(x)]
′
= f ′(x) ± g′(x)
解答
解：
2
g ( x ) = 2 x ，则 （1）设 f ( x ) = x 与 ）