中考复习——与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系复习篇
与圆有关的位置关系复习篇（一）点与圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆的距离为d ， 则有：点P 在圆外⇔d>r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d<r（二）直线和圆的位置关系1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、 直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d 则有： 直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 和⊙O 相离⇔d>r 3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线． 4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．5.切线长定理 ： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（三）圆和圆的位置关系一、选择题1．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A．内切B ．相交C ．外切D ．外离2. ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ． 相交 B ． 相切 C ． 相离 D ． 无法确定 3．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离 C ．与x 轴相切、与y 轴相离 D ．与x 轴、y 轴都相切4．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切5．如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ） A ．内切、相交 B ．外离、相交 C ．外切、外离 D ．外离、内切Cl (a)(b)相离相交(c)B6．如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相外切，⊙O 1的半径r 1＝1，⊙O 2的半径r 2＝2，⊙O 3的半径 r 3＝3，则△O 1O 2O 3是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形(第5题) (第6题) (第9题)7．三角形内切圆的圆心是（ ）A ．三内角平分线的交点，B ．三边中垂线的交点，C ．三中线的交点，D ．三高线的交点， 8．下列直线中一定是圆的切线的是（ ）A ．与圆有公共点的直线；B ．到圆心的距离等于半径的直线；C ．垂直于圆的半径的直线；D ．过圆的直径端点的直线。
中考数学 考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
( C)
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．(2021·嘉兴)已知平面内有⊙O 和点 A，B，若⊙O 半径为 2 cm，线段
OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线 AB 与⊙O 的位置关系为
( D)
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
4．(2021·临沂)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B，∠P＝70°，C
15．(2021·菏泽)如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，E 为B︵C上一点，F 为弦 DC 延长线上一点，连接 FE 并延长交直径 AB 的延长 线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 P, 若 FE＝FP. (1)求证：FE 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 8，sin F＝35，求 BG 的长．
(2)解：∵AC＝2，由(1)得 OD＝12AC＝1， 又∵PD＝6，∴PO＝7. ∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，∴△BDP∽△OBP， ∴BOPP＝DBPP，即 BP2＝OP·DP＝7×6＝42，∴BP＝ 42. ∴OB＝ OP2－BP2＝ 7. ∴⊙O 的半径为 7.
12．(2020·通辽)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，∠P＝72°，
B.23
Байду номын сангаас
C.
2 2
D．1
6．(2021·泰安)如图，在△ABC 中，AB＝6，以点 A 为圆心，3 为半径的
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，F 是优弧 GE 上一
点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
中考复习——与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系知识点一、点与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ； 点P 在圆外⇔ 。
2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等。
知识点二、直线和圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔； 直线l 与⊙O 相切r d _____⇔； 直线l 与⊙O 相离r d _____⇔ 3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。
【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。
【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。
4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ； ⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【谈重点】三类三角形内心都在三角形 若△ABC 三边为a 、b 、c 面积为s ，内切圆半径为r ，则s= ，若△ABC 为直角三角形，则r= 三、圆与圆的位置关系圆和圆的位置关系有 种，若⊙O 1半径为R ，⊙O 2半径为r ，圆心距为d ； 知识点 ○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔ ； ○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔ ； ○3当⊙O 1 与⊙O 2相交⇔ ； ○4当⊙O 1 与⊙O 2内切⇔ ； ○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔ 。
中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题
34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质 例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（ ）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（ ）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为 ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为 ．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（ ）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。
2023年九年级数学中考一轮复习与圆有关的位置关系课件
圆心 的交点.
分线的交点.
三角形的外心到三角形的三个顶 三角形的内心到三角形的三
性质角形内切圆有关的结论:
例 1 如图，⊙O 是以原点 O 为圆心，半径为 3 的圆，与坐标轴的正半轴 分别交于 A，C 两点，OB 平分∠AOC，点 P 在 x 轴上运动，过点 P 且与 OB 平行的直线与⊙O 有公共点，则线段 OP 长度的取值范围是________．
判定
切线； 3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； 性质 推论：1、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2、经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
辅助 有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径. 线 见切点,连半径，得垂直.
知识点4：切线长及其定理
∵BC＝ OB2－OC2＝ 152－122＝9，
∴AC＝AB－BC＝25－9＝16.
∵AH＝ AE2－EH2＝ 82－2542＝352， ∴CH＝AC－AH＝16－352＝458.
∴CE＝ EH2＋CH2
＝
2542＋4582
＝245 5.
【答案】0＜OP≤3 2
例 2 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 都是⊙O 上的点，AD 平分∠CAB， 过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F. (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)若 AB＝10，AC＝6，求 tan ∠DAB 的值．
【解】(1)证明：如图，连结 OD，
例 3 如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，⊙O 与 AB 相交于点 C，与 AO 相交于点 E，连结 CE，已知∠AOC＝2∠ACE.
(1)求证：AB 为⊙O 的切线； (2)若 AO＝20，BO＝15，求 CE 的长．
中考复习——与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系复习【课标要求】1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
2.理解点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，会判断与圆有关的位置关系。
【复习目标】1、知道圆与点、圆与直线、圆与圆的不同位置关系；知道切线的概念。
2、会用圆心到点的距离大小判断圆与点的位置情况，圆心到直线的距离大小判断圆与点直线的位置情况；圆心到圆心的距离大小判断圆与圆的位置情况；会用圆的切线的判定定理和性质定理及两圆相切的性质与判定进行简单的推理与计算；会作三角形的外接圆、内切圆，会过圆上点作圆的切线。
3、能从运动的观点与分类讨论的思想方法探索图形之间的关系和有关性质。
【知识梳理】：考点导航1. 点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.2. 直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③ .对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d r，②d r，③d r.3. 圆与圆的位置关系共有五种：①，②，③，④，⑤；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.4. 圆的切线过切点的半径；经过的一端，并且这条的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆引条切线，相等，相等.6. 三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点.7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的 .考点点拨1．判断基本概念、基本定理等的正误。
在中考题中常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解.2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。
第二十四讲 与圆有关的位置关系(2013-2014中考数学复习专题)
第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【名师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】13对应训练考点二：切线的判定对应训练例3（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定故选：A．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．例4 （2013•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切思路分析：由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解：∵x2-4x+3=0，∴（x-3）（x-1）=0，解得：x=3或x=1，∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-6x+8=0的两实根，∴r1+r2=3+1=4，∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．对应训练3．（2013•黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C 与直线AB相切，则r的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cmA．内含B．内切C．相交D．外切4．B【聚焦山东中考】1．（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥61．C2．（2013•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm2．D3．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．D4．（2013•泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE4．D5．（2013•济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．5．B6．（2013•日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留9．（1）证明：连接OD，．∴CD与⊙O相切．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切2．C3．（2013•泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．123．C4．（2013•南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含4．D5．（2013•重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm5．C6．（2013•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径6．C7．（2013•河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC7．C8．（2013•毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°8．A9．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形9．C二、填空题10．（2013•舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．10．外切11．（2013•天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．11．2＜r＜812．（2013•平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．12．2或013．（2013•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．三、解答题 19．（2013•巴中）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组1212263-57r r r r +=⎧⎨=⎩的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．19．解：∵1212263-57r r r r +=⎧⎨=⎩①②，①×3-②得：11r 2=11，解得：r 2=1，把r2=1代入①得：r 1=4；∴1241r r =⎧⎨=⎩， ∵⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，∴两圆的位置关系为相交．20．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （-3，-1），C （-3，1），D （-2，-2），E （0，-3）．（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；（2）若直线l 经过点D （-2，-2），E （0，-3），判断直线l 与⊙P 的位置关系．20．解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（-1，0），点D在⊙P上；（2）连接PD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，∵P（-1，0）、D（-2，-2），∴0--2-2k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得22 kb=⎧⎨=⎩，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（-2，-2），E（0，-3），∴-2-2-3a cc=+⎧⎨=⎩，∴四边形BOCD 是菱形．22．（2013•株洲）已知AB 是⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，AD 的延长线交BC 于点C ．（1）求∠BAC 的度数；（2）求证：AD=CD ．22．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，BD ⊥AC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，ADB CDB BD BDABD CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABD ≌△CBD （ASA ），∴AB=CB ，∵直线BC 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB ，BD ⊥AC ，∴AD=CD ．23．（2013•天津）已知直线I 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥I 于点D ．（Ⅰ）如图①，当直线I 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC=30°，求∠BAC 的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE=18°，求∠BAF 的大小．23．解：（Ⅰ）如图①，连接OC ，26．（2013•莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．。
与圆有关的位置关系中考复习
与圆有关的位置关系考点1 点与圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d.考点2 直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.考点3 圆的切线考点4 三角形与圆1.判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径.2.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a,b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则①直角三角形的外接圆半径R=；②直角三角形的内切圆半径r=.命题点1 点与圆、直线与圆的位置关系2c 2a b c +-例1 (2013·凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3).(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；(2)若直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，判断直线l与⊙P的位置关系.【思路点拨】(1)先画出△ABC，然后确定⊙P，通过计算PD 的长度来判断点D与⊙P的位置关系；(2)通过(1)判断点D在圆上，则只需说明垂直即可.【解答】方法归纳：判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系.1.若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定2.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )3.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6 cm，以C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 . 命题点2 切线的性质与判定例2 (2014·天水)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由..【思路点拨】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，从而得出∠CDA+∠ADO=90°，再根据切线的判定推出即可；【解答】方法归纳：切线的性质与判定都与圆心和切点之间的线段有关，连接这条线段是常见的辅助线作法.1.(2014·哈尔滨)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°.则∠ABD 的度数是( )A.30°B.25°C.20°D.15°2.下列说法中，正确的是( )A.圆的切线垂直于经过切点的半径B.垂直于切线的直线必经过切点C.垂直于切线的直线必经过圆心D.垂直于半径的直线是圆的切线3.(2014·湘潭)如图，⊙O 的半径为3，P 是CB 延长线上一点，PO=5，PA 切⊙O 于A 点，则PA= .4.(2013·昭通)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠B=60°.(1)求∠D 的度数； (2)求证：AE 是⊙O 的切线.命题点3 三角形与圆的位置关系例3 在锐角△ABC 中，BC=5，sinA=. 45(1)如图1，求△ABC 的外接圆的直径； (2)如图2，点I 为△ABC 的内心，若BA=BC ，求AI 的长.【思路点拨】(1)对于条件sinA=怎样运用应该设法构造直角三角形，运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答；(2)利用等腰三角形三线合一可知BI 垂直于AC ，再利用面积法解答.【解答】方法归纳：通常解决这类问题有两种方法：(1)构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.这道题目中没有直角三角形，因此应该采用第一种方法，构造直角三角形求解.1.如图，已知圆O 是△ABC 的内切圆，且∠BAC=50°，则∠BOC 的度数是( )A.90°B.100°C.115°D.130°452.(2013·永安质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，-3).则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )A.(0，0)B.(1，0)C.(-2，-1)D.(2，0)3.如图：⊙O是△ABC的外接圆，且半径为10，∠A=60°，求弦BC的长.第1课时基础训练1.(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2013·青岛)直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )A.r＜6B.r=6C.r＞6D.r≥63.(2014·天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=25°，则∠C的大小等于( )A.20°B.25°C.40°D.50°4.(2014·崇明二模)在⊙O 中，圆心O 在坐标原点上，半径为P 的坐标为(4，5)，那么点P 与⊙O的位置关系是( )A.点P 在⊙O 外B.点P 在⊙O 上C.点P在⊙O 内 D.不能确定5.如图，在坐标平面上，Rt △ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，AB 垂直x 轴，M 为Rt △ABC 的外心.若A 点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，则B 点坐标为( )A.(3，-1)B.(3，-2)C.(3，-3) D.(3，-4)6.(2014·淄博)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，E ，F 为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF.若⊙O 的半径为，CD=4，则弦EF 的长为( )A.4B.C.5D.6 527.在平面内，⊙O 的半径为5 cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 .8.(2014·重庆B 卷)如图，C 为⊙O 外一点，CA 与⊙O 相切，切点为A ，AB 为⊙O 的直径，连接CB.若⊙O 的半径为2，∠ABC=60°，则BC= .9.如图，点A 、B 、D 在⊙O 上，∠A=25°，OD 的延长线交直线BC 于点C ，且∠OCB=40°，直线BC 与⊙O 的位置关系为 .10.如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-1，3)、B(-2，-2)、C(4，-2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 .11.如图，⊙P 的半径为2，圆心P 在函数y ＝(x ＞0)的图象上运动，当⊙P 与x 轴相切时，点P 的坐标为 .12.如图，⊙O 与直线l 1相离，圆心O 到直线l 1的距离OB=，OA=4，将直线l 1绕点A 逆时针旋转30°后得到的直线l 2，刚好与⊙O 相切于点C ，则OC= .13. (2014·牡丹江)如图，已知⊙O 中直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD=30cm.求：直径AB 的长.6x14.(2014·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD.(1)求证：∠A=∠BCD；(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由.第2课时能力训练1.(2014·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )A.1B.1或5C.3D.52.(2014·宜宾)已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.53.(2014·玉林)如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF，且EF∥MN，则cos∠E= .4.如图，在△ABC中，BC=3 cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖.5.如图所示，已知点A从点(1，0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以点O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C都在第一象限内，且∠AOC=60°，若以点P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t= .6.(2014·德州)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.参考答案考点解读①d＜r ②d=r ③d＞r ④d＞r ⑤d=r ⑥d＜r ⑦唯一⑧半径⑨垂直于⑩一个⑪半径⑫半径⑬切点⑭两⑮相等⑯平分○17同一○18外接圆○19外心○20三个顶点○21内切圆○22内心○23三边各个击破例1 (1)所画的⊙P如图所示，由图知⊙P.连接PD.∵PD=12+22，∴点D在⊙P上.(2)直线l与⊙P相切.理由：连接PE.∵直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5.∴PE2=PD2+DE2.∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°.∴PD⊥l.∴直线l与⊙P相切.题组训练 1.C 2.B 3.相切例2 (1)直线CD和⊙O的位置关系是相切. 理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°.∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°.∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO.∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE.∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切.(2)∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD=4.∵CE 切⊙O 于D ，EB 切⊙O 于B ， ∴DE=EB ，∠CBE=90°. 设DE=EB=x ，在Rt △CBE 中，由勾股定理，得CE 2=BE 2+BC 2， 则(4+x)2=x 2+(5+3)2，解得x=6. 即BE=6.题组训练 1.B 2.B 3.A 4.45.(1)∵∠B 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角， ∴∠ADC=∠B=60°.(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°.∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA ⊥AE. ∴AE 是⊙O 的切线.例3 (1)作△ABC 的外接圆的直径CD ，连接BD,则∠CBD=90°，∠D=∠A ，∴=sinD=sinA=.∵BC=5，∴CD=，即△ABC 的外接圆的直径为254.BC CD45254(2)连接BI 并延长交AC 于点H ，作IE ⊥AB 于点E.∵点I 为△ABC 的内心，∴BI 平分∠ABC. ∵AB=BC ，∴BH ⊥AC.∴IH=IE. ∴在Rt △ABH 中， BH=AB ·sin ∠BAH=4，∵S △ABI +S △AHI =S △ABH ，∴+=. 即+=.∵IH=IE ，∴IH=.在Rt △AHI 中，由勾股定理，得题组训练1.C2.C3.过O 作OD ⊥BC 于D ，则∠BOD=∠COD=∠BOC.又∵∠BOC=2∠A ，∴∠BOD=∠A=60°. 在Rt △BOD 中，OB=10，∠BOD=60°，·2AB IE ·2AH IH ·2AH BH52IE 32IH 342⨯3212∴BD=， ∴.整合集训第1课时 基础训练1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.点P 在⊙O 内8.89.相切(3，2) 12.213.∵∠A=30°，OC=OA ，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°.∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°. ∵OD=30 cm ，∴OC=OD=15 cm ，∴AB=2OC=30 cm.14.(1)∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ， ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A. ∵∠D=2∠CAD ，∴∠D=∠COD. ∵PD 切⊙O 于C ，∴∠OCD=90°. ∴∠D=∠COD=45°.(2)∵∠D=∠COD ，CD=2，∴OC=OB=CD=2. 在Rt △OCD 中，由勾股定理，得 22+22=(2+BD)2， ∴BD=-2.15.(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°.212∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD.(2)当MC=MD(或点M 是BC 的中点)时，直线DM 与⊙O 相切. 理由：连接DO.∵DO=CO ，∴∠ODC=∠OCD. ∵DM=CM ，∴∠DCM=∠CDM. ∵∠OCD+∠DCM=90°， ∴∠ODC+∠CDM=90°， ∴直线DM 与⊙O 相切. 第2课时 能力训练 1.B 2.C 3.C 4.6.提示：连接OM，OC ，则∠AOC=2∠ABC=60°，∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt △AOM 中，OA=AB=1，∠AOM=30°，1231212∴tan30°=，即=，解得AM=. 7. 提示：由题意可知，当以点P(0，4)为圆心，PC 为半径的圆恰好与OA 所在的直线相切时，如图所示. 连接PC ，作PD ⊥OC 于点D ，则∠POC=90°-∠AOC=90°-60°=30°.∴OD=OP=×.∴∴则t=.8.(1)证明：连接OA ，AC.∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°.在Rt △AOP 中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，∴∠ACP=30°.∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO ，∴AC=AP ， 即△ACP 是等腰三角形. (2)①1;②2-1.提示：①要使四边形AOBD 是菱形，则OA=AD=OD ，∴∠AOP=60°， ∴OP=2OA ，DP=OD=CD=1.AM OA 31AM 3122112②要使四边形AOBD 是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则∴9.(1)连接BD.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AC ∵CD 平分∠ACB，∴＝，∴AD ＝BD. 在Rt△ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2，AD=BD ＝∴AC ＝8 cm ，AD ＝(2)直线PC 与⊙O 相切. 理由：方法一：连接OC ，OD.∵AD=BD ，∴OD ⊥AB ，∴∠DOE ＝90°， ∴∠ODE+∠OED ＝90°. ∵PC ＝PE ，∴∠PCE ＝∠PEC ， ∴∠OED ＝∠PEC ＝∠PCE. ∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∴∠OCP ＝∠PCE+∠OCD ＝∠OED+∠ODE ＝90°，即OC ⊥PC. ∴直线PC 与⊙O 相切. 方法二：连接OC.»AD »BD∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE+∠ACE，∴∠PCB+∠ECB＝∠CAE+∠ACE.∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB,∴∠PCB＝∠CAE,∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠ACO+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切.10.(1)点P的坐标为(3.5，4)或(7.5，4)；(2)过点O作圆A的切线OM，切点为M，连接AM，则AM⊥OM，由题意可知：OM与BA的交点为P，BP=x，当点P在点A的左侧时，x＜5.5，点A的坐标为(5.5，4)，此时⊙A过P的切线为OM1,M1为切点，如图.AP1=5.5-x，OB=4，⊙A的半径为2，∴AM1=2，BA∥x轴，∴∠OBP1=90°，∴∠AM1P1=∠OBP1，∠AP1M1=∠OP1B，∴△OBP 1∽△AM 1P 1，∴=.∴=，即OP 1=11-2x.在Rt △OBP 1中，(11-2x)2=42+x 2，解得x=3或x=(舍去)； 当点P 在点A 的右侧时，x ＞5.5， 同理可解得x=3(舍去)或x=353.∴当x=3或时，直线OP 与圆A 相切； 当0＜x ＜3或x ＞时相离； 当3＜x ＜直线与圆相交.11OP AP 1OB AM 15.5OP x 42353353353353。
中考数学专题复习第二十四讲 与圆有关的位置关系
中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系中考数学课题复习课24与圆的位置关系【基础知识回顾】一、点和圆之间的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点p到圆心的距离为d然后：点P在圆内，点P在圆上，点P在圆外。
2.通过三个点的圆：⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的（三）三角形外中心的形成：三角形的交点，外中心的性质：相等【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】一、直线与圆的位置关系：1.直线和圆之间有两种位置关系：当直线和圆有两个公共点时，称为直线和圆。
当没有公共点时，它被称为直线和圆。
2.假设Qo的半径为r，圆心O到直线l的距离为D，则：直线l与qo相交dr,直线l与qo相切dr直线l与qo相离dr3、切线的性质和判定：（1）性质定理：圆的切线与通过切点的切线垂直【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【名师提醒：在切线的判断中，当直线和圆的公共点被标记时，由判断定理证明。
当公共点未被标记时，通常可以证明圆心到直线的距离为d=R来判断切线】4。
切线长度定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵ 切线长度定理：从圆外的一点到圆的两条切线相等，圆心与该点连接线之间的夹角平分。
5.三角形的内接圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内部性质：到每个三角形的距离相等，内部与每个顶点的连接线等分[著名老师提醒：三种三角形的内部在三角形中。
如果△ ABC是a，B和C，面积是s，内切圆的半径是r，那么s=，如果△ ABC是直角三角形，然后r=]II。
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
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A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O1O2＜8
3．(2014·内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边 AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( B )
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
4．(2014·成都)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点 D，连接AD.若∠A＝25°，则∠C＝__4_0__度．
5．(2015·宜宾)如图，AB 为⊙O 的直径，延长 AB 至点 D，使 BD＝OB， DC 切⊙O 于点 C，点 B 是C︵F的中点，弦 CF 交 AB 于点 E.
(1)求证：∠A＝∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N， 当DM＝1时，求MN的长．
解：(1)如图，连接 OD，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， 即∠A＋∠ABD＝90°，又∵CD 与⊙O 相切于点 D， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠A＝∠BDC
例2 (2016·贺州)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB， ∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AB＝8，BC＝6，求DE的长．
思路分析：(1)由 AE＝AB，可得∠ABE＝90°－12∠BAC，又由∠BAC＝ 2∠CBE，可求得∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝90°，继而证得结论；(2)首先连 接 BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 DE 的长．
直线和圆的位置关系 (1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．
(2)切线的性质： ①切线的性质定理：圆的切线 垂直于 经过切点的半径．
②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆__心__．
③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_切__点_． (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切
AB＝8，BC＝6，∴AC＝ AB2＋BC2＝10，∴A8D＝180， 解得 AD＝6.4，∵AE＝AB＝8，∴DE＝AE－AD＝8－6.4＝1.6
(1)证明：∵AE＝AB，∴△ABE 是等腰三角形，∴∠ABE＝12(180°－∠BAC) ＝90°－12∠BAC，∵∠BAC＝2∠CBE，∴∠CBE＝12∠BAC，∴∠ABC＝ ∠ABE＋∠CBE＝(90°－12∠BAC)＋12∠BAC＝90°，即 AB⊥BC，∴BC 是 ⊙O 的切线；
(2)解：连接 BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB，∴AADB＝AABC，∵在 Rt△ABC 中，
3．常见的辅助线 (1)当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理来解题；
(2)遇到两条相交的切线时(切线长)，常常连接切点和圆心、连接圆心和圆外的 一点、连接两切点．
1．(2015·泸州)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则 ∠P的度数为( C )
A．65° B．130° C．50° D．100°
(2)∵CM 平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC， ∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM， ∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝ DM2＋DN2＝ 2
例1 (1)(2016·上海)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在 边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的 半径长r的取值范围是( B )
A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8
(2)(2015·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝__6___cm时，BC与⊙A相切．
[对应训练] 1．(2016·湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C 为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( A ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．(2016·永州)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d ，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过 圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可 知：
(1)当d＝3时，m＝__1___； (2)当m＝2时，d的取值范围是 1＜d＜3 ．
线．
(4)三角形的内切圆：和三角形三边都_相__切_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆
心是
三角形三条角平分线的交点
．
内切圆的圆心叫做三角形的_内__心_，内切圆的半径是内心到三边的距离，且在三角
形内部．
1．证直线为圆的切线的两种方法 (1)若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心，证明直线垂直半径； (2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于 圆的半径． 2．圆中的分类讨论 圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现 多结论情况． (1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论； (2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论； (3)由于弦的位置不确定而分类讨论； (4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论．
若⊙O 的半径为 2，则 CF＝_2__3__．
6．(2016·攀枝花)如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D 为 BC 边的中点，以 AD 上一点 O 为圆心的⊙O 和 AB，BC 均相切，
6 则⊙O 的半径为__7__．
7．(2016·资阳)如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切 线，切点为D，连接BD.