2015高考数学(理)一轮题组训练：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．命题“∃x∈∁R Q，x3∈Q”的否定是________．
解析根据存在性命题的否定为全称命题知．
答案∀x∈∁R Q，x3∉Q
2．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则p∧綈q为________，p∨q为________．(填“真”或“假”)
解析∵p为真，∴綈p为假．又∵q为假，∴綈q为真，
∴“p且綈q”为真，“p或q”为真．
答案真真
3．命题：∀x∈R，sin x＜2的否定是________命题(填“真”、“假”)．解析命题的否定是∃x∈R，sin x≥2，所以是假命题．
答案假
4．下列命题中的假命题是________．
①∃x∈R，lg x＝0；②∃x∈R，tan x＝3；③∀x∈R，x3＞0；④∀x∈R,2x
＞0
解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x∈R，lg x＝0”是真命题；当x＝π
3时，tan x＝3，故命题“∃x∈R，tan x＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．
答案③
5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
解析命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案q1，q4
6．命题：“∀x ∈R ，e x ≤x ”的否定是________．
答案 ∃x ∈R ，e x ＞x
7．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的
不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________．
解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．
答案 綈p ，綈q
8．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧
a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，
得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.
答案 [－8,0]
二、解答题
9．分别指出“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”的真假．
(1)p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有两组对边相等．
(2)p ：1是方程x 2－4x ＋3＝0的解；q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解．
(3)p ：不等式x 2－2x ＋1＞0的解集为R ；q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅. 解 (1)p 真q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为假．
(2)p 真q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真，“綈p ”为假．
(3)p 假q 假，∴“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．
10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2
－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．
解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.
即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴綈p ：c ＞1.
又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12.
即q ：0＜c ≤12，∵c ＞0且c ≠1，∴綈q ：c ＞12且c ≠1.
又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假．
①当p 真， q 假时，
{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ＞12，且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫c |12＜c ＜1. ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭
⎬⎫c |0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1. 能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是________．
①∃α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；
③∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减；
④∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点．
解析 对于①，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于②，当φ＝π2时，
f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于③，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－
4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于④，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a
＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．
答案 ②
2．(2013·衡水二模)已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1.
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．(2014·宿州检测)给出如下四个命题：
①若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；
②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤ 2b －1”；
③“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 2＋1≤1”；
④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件．
其中不正确的命题的序号是________．
解析 若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 2＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，根据正弦定理可得sin A ＞sin B ，所以④正确．
答案 ①③
二、解答题
4．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．
解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧
Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，
解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.
因“p 或q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，
又“p 且q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，
因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．
∴⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧
m ≤2，1＜m ＜3.
解得：m ≥3或1＜m ≤2，
即实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．。