群论第三章
群论-第三章 连续转动群 2011.12.7
O
(φ)
1 0 –1
Cz(φ)
9
反演： 反演：
， 由引理1， 由引理 ， ∴ ◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为 –1。 。 正当操作： 正当操作： 非正当操作： 非正当操作： ； 。
10
引理2 引理2 证明： 证明：
的正交矩阵A对应一个定轴转动。 的正交矩阵 对应一个定轴转动。 对应一个定轴转动
所以 可作为SO(2)群不可约表示的基矢， 群不可约表示的基矢， 可作为 群不可约表示的基矢 的本征函数。 同时也是 和 的本征函数。 对某力学系统，先分析其对称性， 对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转 对称，则角动量守恒， 对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项 。
22
θ
17
群的不可约表示和特征标系： 群的不可约表示和特征标系： 群是Abel群，不可约表示都是 维的。 维的。 群是 群 不可约表示都是1维的
两边对
求导： 求导：
18
（
）
即 而 ∴要求 不可约表示： 不可约表示： 特征标： 特征标：
19
SO(2)群：不同m值对应不同不可约表示，无穷多个。 群 不同 值对应不同不可约表示，无穷多个。 前面 但不能认为 ，这里 ，算符 ≠ 数。 ，
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 ： 是表征群元的一个连续参数。 与 ， 类似， 类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。 范围内的群元密度。 范围内的群元密度
13
若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。 是群元算符， 是一个算符，称为无穷小算符。 无穷小算符 是群元算符， 其一阶导数仍然对应一个算符（ 其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷 小量，起生成元作用）。 小量，起生成元作用）。 为有限值时， 为有限值时， 可写为 n为正整数 为正整数 当 时，
p144-173讲稿北师大的群论
p144-173讲稿北师大的群论第一篇：p144-173 讲稿北师大的群论第三章完全转动群复习：正当转动矩阵为⎛cosϕ+λ2(1-cosϕ)λμ(1-cosϕ)-νsinϕ2R=μλ(1-cosϕ)+νsinϕcos ϕ+μ(1-cosϕ) ⎝νλ(1-cosϕ)-μsinϕνμ(1-cosϕ)+λsinϕλν(1-cosϕ)+μsin ϕ⎫⎪μν(1-cosϕ)-λsinϕ⎪⎪2cosϕ+ν(1-cosϕ)⎭可以验证满足detR=1，χ(R)=1+2cosϕ用欧拉角表示的正当转动矩阵⎛cosαR(α,β,γ)=sinα0⎝-sinαcosα00⎫⎛cosβ⎪0⎪0 -sinβ1⎪⎭⎝0sin β⎫⎛cosγ⎪10⎪sinγ00cosβ⎪⎭⎝-sinγcosγ00⎫⎪0⎪⎪1⎭⎛cosαcosβcosγ-sinαsinγ=sinαcosβcosγ+cosαsinγcosγsinβ⎝cos αcosβ⎫⎪-sinγsinαcosβ+cosαcosγsinαsinβ⎪⎪sinβsinγcosβ⎭-sinγcosαcosβ-sinαcosγ可以验证 detR(α,β,γ)=1 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。
记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。
记作O(3).§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示函数变换算符PR Pz,θ=e-iηˆθLz（3.2-5）（3.2-18）Pωˆ,θ=e-iηϖˆθω⋅L下面构造SO(3)群的2l+1维的表示：l一定的2l+1个球谐函数Ylm(θ,ϕ)，构成一个2l+1维的完备的表示空间Pωˆ,αYl(θ,ϕ)=mˆ,α)m'm∑Yl(θ,ϕ)D(ωm'm'l 表示的特征标：Pz,αYl(θ,ϕ)=Pl(cosθ)emmim(ϕ-α)=Yl(θ,ϕ)em-imα得到第m列的表示矩阵元D(z,α)m'm=el-imαδm'm（3.2-28）表示矩阵为⎛e-i(-l)α0 MlD(z,α)=0 M0 0⎝0e-i[-(l-1)]αΛΛO000M001O eΛ-i(l-1)α00⎫⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪-ilα⎪e⎭则第l个表示中，转角为α类的特征标为lsin(l+e-imα122)αχ(α)=l∑=sinm=-lα特征标表（示意）α0601212010-11180Λl=01l=13l=25l=37M1Λ局限性：只有奇数维的不可约表示。
群论第三章A
设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …}
则超矩阵（块状对角矩阵）
D(1) ( 0
E
)
D
0 (2) (E
)
,
D(1) ( 0
A)
D
0 (2) (
A)
,
D
(1) ( 0
B)
D
0 (2) (B)
3
2
0
1
0
0
3 2
,
D(C
)
0
1 2
3 2
,
1
0
3
1
2
2 2
1
0
0
1
0
0
D(D)
0
1 2
3 2
,
D(F
)
0
1 2
3 2
0
3
1
0
3
1
2 2
2 2
定义：群 GE, A, B, 表示 DGDE, DA, DB,
则
m
trDE DEii E
i 1
m
trDA D A ii A i 1
定义：可约化的表示称为可约表示，
不可约化的表示称为不可约表示。
3.1.4 伴随表示与复共轭表示
设GE, A, B, 有表示 DGDE, DA, DB, ，
若有D~1G D~1E, D~1A, D~1B ，则D~1G 仍是G的表示。
证明：
D~AB 1 DADB1 D~(B)D~A 1 D~1AD~1B
若 DG ~ G ，则D(G)——非真实表示
群论第三章‘作业’
（2）证明群元和无穷小算符之间的关系为 gˆ( ,a,b) expiapˆ x bpˆb exp iJˆ 。
10．
三维空间的 N
T j1 j2jN
阶张T量j1 j2 按jN转动R群(的)直j1 j1积 R表(示) j变2 j2换，R()
jN
j ,m,m
m1 ,m2
,m3
D j1 m1m1
(
,
,
)D j2 m2 m2
(
,
,
)D j3 m3 m3
(
,
,
)
j1 m1
j2 m2
j3 m3
j1 m1
j2 m2
j3 m3
13． 设 2 j 1个向量{ jm | m j, j 1, , j.}在空间转动下满足
xy''
g(
, a, b)
x y
求群上的不变积分。
csoins
sin cos
x y
ab
5． 作 SE(2) 群在函数空间的表示，
（1)证明低于 n 次的多项式全体构成群表示的不变子空间。
（2）幂次≤1 的多项式（x y ）构成 3 维线性空间，求群相应的三维线性表示。
trJ j JM J j JM 0 ；
M
tr(J
jJk )
J(J
1)(2J 3
1)
jk
；
tr(J
jJk Jl )
i
J(J
1)(2J 6
1)
第三章 群论的应用(A)
O 原子的轨道 2s 2pz 2px 2py
H 原子的轨道 -1
(2) 2 (1sa +1sb )
—
-1
(2) 2 (1sa 1sb )
分子轨道 1a1,2a1,3a1
1b1 1b2, 2b2
分子的能级图概括于图3.1.2所示
图3.1.2 H2O 分子能级图概况
由图可见，有两个成键轨道(1a1和1b2)，两个实际上是非键轨道(2a1 和1b1)。这四个轨道均填满电子，其基态的电子组态为
+1sb
1sc
1sd
)
3.1.15
方程3.1.11+3.1.13=
1 2
(1sa
1sb
+1sc
1sd
)
3.1.16
方程3.1.11+3.1.14=
1 2
(1sa
1sb
1sc
+1sd
)
3.1.17
由方程3.1.11到3.1.14组合得到具有T2对称性的三者组合可以 有许多途径，这里选择的一种是由方程3.1.15到3.1.17分别和C 原子的2pz，2px和2py轨道有效的叠加的函数，如图3.1.7所示。
=4(1sa +1sb +1sc ) (3)1/2 (1sa +1sb +1sc ) (归一化之后)
3.1.5
PE' (1sa )=2(1sa ) 1(1sb +1sc )+2(1sa ) 1(1sb +1sc )
=4(1sa ) 2(1sb +1sc )
(6)1/2[2(1sa ) 1sb 1sc ] (归一化之后)
对于具有oh对称性的八面体羰基配合物mco6则为由于羰基配合物的结构和co伸缩振动谱带的数目间有着直接的联系当用群论方法对每个可能的结构计算出羰基配合物中co伸缩谱带的数目并和它们的光谱进行比较通常可以直接推断在配合物中co基团的排列
群论 第三章-线性代数
11
(5)方阵
1 0 0 1 E En O 0 0
0 O 0 1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
12
CCME
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
15
CCME
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A
2 A B C A B C
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij a mn
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
13
CCME
第二节 矩阵的运算
1、矩阵的加法
设有两个 m n 矩阵 A=(aij), B=(bij)，那么矩阵 A 与B 的和为C=(cij )，记作 A + B ，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
cij=aij+bij
cos
0 sin z
0
1 0
–sin
0 cos
z'= sin x+ 0 y+cos z
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
群论(1)第三章
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵