基于排队论的机群出动能力模型

第2期
岳奎志等：基于排队论的机群出动能力模型
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战飞机发生故障的概率服从负指数分布，参数为 λ ； 而维修飞机效率也是服从参数为 μ 的负指数分布， 称这样的排队模型为 M / M / n / m + N / m 模型。
如果机场上出现故障的飞机为系统可能出现的 状态，那么，状态空间应为 E = {0,1,2, , m + N} 。下 面对 n 与 N 之间的关系，分情况进行讨论。
的作战飞机数
n−1
N +m
∑ ∑ n = k = kpk + n pk 。
(5)
k =0
k=n
平均等候维修的作战飞机数
N +m
N +m
∑ ∑ Lq = (k − n) pk = (k − n) pk 。
(6)
k =n+1
k =n
2.2 第二种情况模型推导
当 n > N 时，即维修组数大于作战飞机备份数， 系统的状态流图如图 3 所示。
3.1 第一种情况仿真
当维修组数为 n = 1,2,3,4 ，备份飞机数为 N = 4 ， 出动飞机数为 m = 16 ，飞机的故障率为 λ = 1/ 24 ， 即单机平均 24 h 发生一次故障，仿真见图 4。
the amount of the sortie airplanes needed
18
16
the amount of the sortie airplanes needed
16 14 12 10
8 6 4
1
(b) (a)
(a) fault rate= 1/12 (b) fault rate= 1/18 (c) fault rate= 1/24
(c)
2
3
4
5
mean time to repair/h
图 6 故障率不同时机群出动飞机的数量 随平均维修时间变化的曲线
当维修组数为 n = 2 ，备份飞机数为 N = 4 ，出 动飞机数为 m = 16 ，飞机的故障率为 λ = 1/ 24 ，仿 真见图 7。从图 7 可以看出， Lb 、 mpj 随平均维修 时间增大而减小， npj 、 Lq 随平均维修时间增大而 增大。
2 有备份作战飞机出动能力的排队论模型
模型中机群出动能力是指在没有故障的情况下 飞机遂行某种任务所能达到的出动飞机的数量。
本文为了研究方便，简化模型，进行如下假设： ① 假设作战飞机仅发生三等事故，即发生故障能进 行修复；② 假设飞机发生故障后在机场上在一定的 时间里都能进行修复；③ 假定每个维修组都能独立 完成修复飞机任务。
军用飞机的出动能力是作战效能的重要组成部 分。在对作战效能研究中，人们往往对空战与对面 攻击进行重点研究，忽略了出动能力这一关键因素 对作战效能的影响。孙金标对出动能力进行了研究， 并对其定义为：作战飞机在各种条件下进行战斗出 动的反应速度和所能出动的数量[1]。分析和研究作 战飞机的出动能力，是研究作战飞机作战效能的重 要环节，也是本文的研究对象。
；
……
对于 N 状态有， mλpN = nμpN+1 ，故
pN +1
=
m
N
ρ +1 N 1
+1
p0
/(n!n N+1−n )
；
对于 N +1 状态有， (m −1)λpN+1 = nμpN+2 ，故
pN+2 = mN m(m −1)ρ1N+2 p0 /(n!nN+2−n ) ； …… 对于 N + m − 1状态有， λpN+m−1 = nμpN+m ，故
机群出动能力的评估方法可借鉴飞行器作战效 能的评估方法，效能评估常用的方法有解析法[2-4]、 计算机模拟法和演习法，根据机群出动能力评估指 标的要求，本文采用解析法中的排队论法。
1 预备知识
排队论也称随机服务系统理论，排队论的一般 模型见图 1 所示。
顾客随机到达
顾客排队
服务机构 （服务时间随机）
第 24 卷 第 2 期 2009 年 3 月
海军航空工程学院学报
Journal of Naval Aeronautical and Astronautical University
Vol. 24 No.2 Mar. 2009
文章编号：1673−1522（2009）02-0224−05
基于排队论的机群出动能力模型
N +m
∑ 于是，由正则性条件 pk = 1 ，得 k =0
∑ ∑ p0
⎡n =⎢
⎢⎣ k=0
mk ρ1k k!
+
nn n!
k
N =n+1
⎜⎜⎝⎛
m n
⎟⎟⎠⎞
k
ρ1k
+
∑ nnmN m! N+m
ρ1k
⎤ −1 ⎥。
n! k=N+1 nk (m − k + N )!⎥⎦
(2)
平均备份作战飞机数等于各个状态备用作战飞
第2期
岳奎志等：基于排队论的机群出动能力模型
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图7
amount
16
14
(b)
12 (a) L
b
10 (b) m pj
组数从 2 增加到 3 时，出动能力增加了 9.68%。 当维修组数为 n = 2 ，备份飞机数为 N = 2,3,4 ，
出动飞机数为 m = 16 ，其故障率为 λ = 1/ 24 ，仿真 见图 5。可以看出，随着备份飞机数增大，出动能 力变强，但变化较小，可见备份架数对出动能力影 响有限。当平均维修时间为 2.5 h，备份飞机数从 2 增到 3 时，出动能力增加了 1.96%。
岳奎志，韩 维，王庆官
（海军航空工程学院 七系，山东 烟台 264001）
摘 要：文章建立了有备份飞机条件下机群出动能力的排队论模型，并阐述了根据故障率和所需出动飞机数量
确定备份飞机数量和维修组数的分析流程，其仿真结果符合实际情况，模型可用于陆基或舰基机群出动能力的
评估和分析，并对保障资源优化配置具有参考价值。
顾客离去
图 1 排队论的一般模型
图 1 中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾 客从顾客源出发，随机来到服务机构，按一定的排 队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服 务后离开排队系统。
凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的 人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。 对于一个服务系统来说服务机构过小，以致不能满 足众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服 务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好， 但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支 也就相应增加，从而会造成浪费。因此，研究排队 模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之 间进行权衡决策，使其达到合理的平衡[5-6]。
−
k
+
N )! ρ1k
p0
⎪
⎪ ⎩
n!nk
−n
mN m! (m − k
+
N
)!
ρ1k
p0
0 ≤ k ≤ N −1 N ≤ k ≤ n −1 。 (7) n≤k ≤ N +m
N +m
∑ 又由正则性条件 pk = 1，有 k =0
∑ ∑ p0
=
⎡ N −1 ⎢
mk
ρ 1k
⎢⎣ k=0 k!
+
n−1
mN m!
对于 1 状态有， mλ p1 = 2μ p2 ，故
p2 = m2ρ12 p0 /(2!) ； ……
对于 n − 1 状态有， mλ pn−1 = nμ pn ，故
pn = mn ρ1n p0 /(n!) ；
对于 n 状态有， mλpn = nμpn+1 ，故
pn+1
=
m
ρ n+1 n+1 1
p0
/(n!n)
假设机场上有 m 架作战飞机可以正常出动，N 架作战飞机备用，且配备了 n 个维修组。如果出动 的作战飞机发生故障，则由备用的飞机作替换，而 维修组将修复好的飞机作备用。假如当发生故障的 飞机数大于 N 时，那么只好暂时缺编进行出动。作
收稿日期：2008-04-02； 修回日期：2008-09-22 作者简介：岳奎志（1981−），男，硕士。
单位时间内系统的总故障率为 (m − k)λ 。而当出故
障的作战飞机架数 k < n 时，有 k 个维修组进行维
修，系统的总修复率为 kμ ；当 k ≥ n ，有 n 个维修
组进行维修，系统总修复率为 nμ 。于是，在平衡条
件下，由图 1 可写出 K 氏代数方程[7]：
对于 0 状态有， mλ p0 = μ p1 ，设 ρ1 = λ / μ ，故 p1 = mρ1 p0 ；
事实上，因 n > N ，所以当 N 架备用的作战飞 机均用于出动时，若出故障的作战飞机 k ≤ N (< n) ， 那么，正常出动的有 m 架作战飞机。若出现故障的 作战飞机 k > N ，显然在 m 架正常出动的作战飞机 中至少有 k − N 架出了故障，那么，此时只能缺额运 行，类似于第一种情况。在平衡条件下的 K 氏代数
关键词：机群；出动能力；作战效能；排队论；仿真
中图分类号：E954；E911
文献标志码：A
军用飞机是现代战争不可缺少的武器装备之 一，从科索沃战争、阿富汗战争、伊拉克战争可以 看出，军用飞机大多以大规模、多批次机群作战样 式攻击敌方要害目标，以达到战争胜利的目的。在 此过程中，机群的出动能力是影响作战任务完成的 重要保障。因此，如何提高飞机的出动能力，是在 训练作战中追求的效能指标之一。