第12章 平面弯曲杆件的应力与强度

I z
(My 2 )max
I z
对称轴
æ M ö ÷ s max = ç ç W ÷ è z ø max
等截面梁 中性轴为对称轴
s max =
(M ) max
W z
横力弯曲时梁横截面上的最大弯曲切应力
t max
* F S S z max F S = = K bI z A
* z max
[
]
(
)
横力弯曲时梁横截面上的最大弯曲切应力
t max
* F S S z max F S = = K bI z A
F － 截面上的剪力 S
* S z max － 中性轴一侧截面对中性轴z的静矩
b － 横截面在中性轴处的宽度
K －截面系数 矩形截面：K=3/2； 圆形截面：K=4/3； 工字形截面： K=1 ； 圆环形薄壁截面： K=2
M max = M A = Fl F max = F S
最大正应力发生在A截面的上、下边缘处
M max 6 Fl s max = = 2 W bh z
最大弯曲切应力发生在各截面中性轴处
t max =
3 F max S 2 A 3 F = 2 bh
M y 1 s t max = I z M y 2 s c max = I z
中性轴为 对称轴
M s max = W z
纯弯曲梁上的最大正应力
æ y ö s t max = M ç 1 ÷ ç I ÷ è z ø max æ y ö s c max = M ç 2 ÷ ç I ÷ è z ø max
s t max =
s c max =
(My 1 )max
I z
(My 2 )max
I z
对称轴
æ M ö ÷ s max = ç ç W ÷ è z ø max
等截面梁 中性轴为对称轴
s max =
(M ) max
W z
3 bh I = z 12 2 I bh W = z = z h / 2 6
第12章
平面弯曲杆件的应力 与强度计算
主要内容
• • • • 纯弯曲时梁横截面上的正应力 横力弯曲时梁横截面上的应力 梁的强度计算 梁的合理强度设计
•梁的平面弯曲 •对称弯曲 — 平面弯曲的特例。
F 1 q F 2
–杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
M
纵向对称面
弯曲内力
ì 等截面梁 ï ï ï ï í ï ï ï 中性轴为 ï î
M ( y 1 ) s t max = max I z
M ( y 2 ) s c max = max I z
对称轴
M s max = (W z ) min
等截面梁 中性轴为对称轴
M s max = W z
æ My ö 1 ÷ s t max = ç ç I ÷ è z ø max æ My ö 2 ÷ s c max = ç ç I ÷ è z ø max
ì 等截面梁 ï ï ï ï í ï ï ï 中性轴为 ï î
s t max =
s c max =
(My 1 )max
e =
y
变形前 bb = OO = d x ¢ ¢ 变形后 b b = ( r + y d ) q
) )¢O ¢ = rd q = OO O
_____
r
...... (1)
• ２．物理关系
梁上任意一点均处于单向应力状态 s
s
s = E e =
Ey
r
...... (2)
dq m O b m n O b n
____
r
O b¢ y
O b¢
____
x
)¢b ¢ - bb b ) ¢ - O ¢O ¢ ) ¢b b e = = )O ¢ ¢ bb O
____ ____
( r + y ) q - rd d q y = = rd q r
• 纯弯曲梁的正应力计算公式可以推广应用于细长梁 的横力弯曲。 My l s= > 5 I z h
• 平面弯曲梁横截面的应力-横力弯曲细长梁
横力弯曲梁横截面上各点的正应力
My s= I z
横力弯曲梁横截面上的最大正应力
M y 1 s t max = I z M y 2 s c max = I z
• 平面假设
–变形前原为平面的横截 面在变形后仍保持为平 面，且仍垂直于变形后 的轴线。 m m n n
• 纵向材料之间无挤压 的假设 M
–纵 向 材 料 之 间 没 有 挤 压，材料的纵向变形只 是沿梁轴的单向拉伸或 压缩变形。 m’ m’ n’ n’
• 横截面上只有正应力而无切应力。
ì 等截面梁 ï ï ï ï í ï ï ï 中性轴为 ï î
M ( y 1 ) s t max = max I z
M ( y 2 ) s c max = max I z
对称轴
M s max = (W z ) min
等截面梁 中性轴为对称轴
M s max = W z
64 3 3 I I pD pD W = z = W = z = 1 - a 4 z z D / 2 32 D / 2 32
I = z
4 pD
I = z
4 pD
(1 - a ) 64
4
(
)
注意： I = I 1 - I 2 W = I y z z z z z max
中性轴为 对称轴
M s max = W z
横力弯曲梁上的最大正应力
æ My ö 1 ÷ s t max = ç ç I ÷ è z ø max æ My ö 2 ÷ s c max = ç ç I ÷ è z ø max
ì 等截面梁 ï ï ï ï í ï ï ï 中性轴为 ï î
E
E
r
ò
A
yz d A =
EI z
EI yz
r
= M
= 0
ò
A
( d A ) y = s
ò
Ey 2
A
d A =
r
ò
A
y d A =
2
r
M = L L ( 3 ) r EI z
1
1/r EI z
梁轴线曲率 梁的弯曲刚度
纯弯曲梁的正应力计算公式
横力弯曲时梁横截面上的应力
横力弯曲时梁横截面上的正应力
• 纯弯曲梁的正应力计算公式是在平面假设和纵向材料无 平面假设 挤压假设下得到的。 下 • 对于横力弯曲，由于切应力的存在，横截面产生剪切变 形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面，也不能保证 纵向材料无挤压。纯弯曲梁的正应力计算公式不适用。 • 但是弹性力学分析和试验表明，对于细长梁的横力弯 曲，上述正应力公式计算结果误差不大。
FN = ò s A = ò d
A
A
ES z Ey E d = ò y A = A d = 0
r
r
A
r
S z = 0 \ z 轴( 中性轴) 必通过截面形心 y 轴为横截面对称轴
M y =
M z =
ò
A
( d A ) z = s
ò
r
Eyz
A
r
d A =
s max æ l ö = 4 ÷ ç t max è h ø
梁的跨度远大于截面高度时，梁的最大弯曲正应力远大于最大 弯曲切应力。 对于细长梁，l/h>5，弯曲正应力是主要的。
• 小结
• 平面弯曲梁横截面的应力-纯弯曲梁
纯弯曲梁横截面上各点的正应力
My s= I z
纯弯曲梁横截面上的最大正应力
• 例12­2 承受集中荷载的矩形截面细长悬臂梁。求梁
的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力及二者的比值。
M
t
F S
s max = t max =
s
M max W z 3 F max S 2 A
• 解：梁的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力分别发生 在最大弯矩和最大剪力的截面上。
• 平面弯曲梁横截面的应力-横力弯曲细长梁
横力弯曲梁横截面上各点的正应力
My s= I z
横力弯曲梁横截面上的最大正应力
M y 1 s t max = I z M y 2 s c max = I z
中性轴为 对称轴
M s max = W z
横力弯曲梁上的最
a A C
F P
F P D
a B
横力弯曲:
某段梁的内力既有弯矩又 有剪力时，该段梁的变形称 为横力弯曲（剪切弯曲）。 如AC、BD段。
F P F P
纯弯曲:
某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如CD段。
F a P
纯弯曲时梁横截面上的正应力
1 5 . Fla 最大拉应力发生在D截面的下边缘处 s t max = I z
横力弯曲时梁横截面上的切应力－矩形截面梁
•矩形截面梁的弯曲切应力沿截面高度呈抛物线分布。
* F S max t max = S z bI z
截面的上下边缘处 中性轴处
h y = ± , t = 0 ; 2
W ¹ W 1 - W 2 z z z
• 例12­1 某Π形截面的外伸梁，其受力、尺寸及截面
形心的位置如图，已知截面对形心轴z的惯性矩为I ， z 试求梁内最大拉应力和最大压应力的大小及其位置。
F