特殊平行四边形的边角计算
19.2特殊的平行四边形(矩形的定义及性质)
我们已经学习了平行四边形的定义、 性质和判定定理。大家回忆一下！
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 推论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理2：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四 定理3： 边形。 QQ：907948768 飞鱼工作室制作
且相等
邻角互补
平分
中心对称 图形
对边平行 四个角是 矩形 且相等 直角
A D O B C A
对角线互相 中心对称图 平分且相等 形，也是轴 对称图形
D O
B
C
作业
习题19.2
1 ，4，9题
预习矩形的判定定理
B C
A
D
探 究
我们根据平行四边形的性质来探究矩形的性质。
A O D
B
C
性质定理1：矩形的四个角都是直角
性质定理2：矩形的对角线相等
探 究
如图，在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O.根据 矩形的性质，我们知道， AO = CO = BO = DO = 1 1 2 AC = 2 BD，又AO为 △ABD的中线，因此，我 们得到直角三角形的一个 性质： 推论：
B
C O
OA = AB = 4 cm 矩形的对角线长AC = BD = 2OA = 8 cm
这节课我们学习了矩形的性质，矩形都有哪 些性质？
性质定理1：矩形的四个角都是直角 性质定理2：矩形的对角线相等 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
对比记忆
边 角 对角线 对称性
平行 对边平行 对角相等， 对角线互相 四边形
平行四边形边角的性质
我发现平行四边形的对 边相等、对角相等.
你能证明吗？
在图2-13的□ABCD中，连接AC.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥DC ，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.
∴ ∠1=∠2 ， ∠4=∠3. 又 AC =CA，
∴ △ABC≌△CDA(ASA)
∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.
(平行四边形的两组对边分别相等)
图2-15
由此得到：
夹在两条平行线间的平行线段相等.
练习 1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE。
2、如图所示，在□ABCD中，点E,F在对角线BD上， 且AE∥CF。求证： DE＝BF。
课堂小结
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
几何语言表示：
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C； ∠B=∠D
∠A+∠C=180°；∠B+∠D=180°…
随堂练习
1.在 ABCD 中，AD=40，CD=30， A ∠B=60°，则BC= 40 ;AB= 30 ; ∠A=120°, ∠C= 120°, ∠D=60° B
2.在 ABCD 中，∠ADC=120°， ∠CAD=20°，则∠ABC= 120°， ∠CAB= 40°
D C
例1如图2-14，四边形ABCD和BCEF均为平行四边 形， AD =2cm，∠A =65°，∠E =33°，求EF和 ∠BGC.
解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD = 2cm，∠1=∠A = 65°. ∵ 四边形BCEF是平行四边形，
四边形的角度和与性质
四边形的角度和与性质四边形是几何学中的一个基本概念，它包括许多性质和特点。
本文将详细讨论四边形的角度和性质，并分析它们之间的关系。
1. 四边形的定义与基本角度四边形是一个有四条边的几何图形。
它的内部包含四个角，分别称为内角。
在四边形ABCD中，顶角A、B、C和D分别对应的内角为∠A、∠B、∠C和∠D。
根据平行线性质，我们知道对于一个四边形，相对的内角之和为180度，即∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°。
除了内角之和等于180度，四边形还有其他重要的角度性质。
2. 平行四边形的角度性质平行四边形是一种特殊的四边形，它的两组边互相平行。
平行四边形的角度性质如下：- 对边角：对于平行四边形ABCD，∠A = ∠C，∠B = ∠D；- 邻补角：对于平行四边形ABCD，∠A和∠B是补角，∠A +∠B = 180°；- 对顶角：对于平行四边形ABCD，∠A与∠C是对顶角，∠B与∠D是对顶角。
3. 矩形、正方形和菱形的角度性质矩形、正方形和菱形都是特殊的四边形，它们有一些特定的角度性质。
- 矩形：矩形是一种具有四个直角的四边形。
所以，每个角都是90度，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
- 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角为90度。
- 菱形：菱形是一种具有两组互相平行的边和四个边相等的四边形。
每个内角不一定相等，但是它的邻补角是平行四边形的角度性质之一。
4. 平行四边形与三角形的角度性质关系平行四边形与三角形之间有着一些有趣的角度性质关系。
- 在平行四边形ABCD中，以对角线AC为斜边的三角形ABC和ADC是共享一个相等的底角C，而且∠B = ∠D。
这是因为在一个平行四边形中，对角线所夹的角是对顶角。
- 通过平行线与横切线的交点所形成的三角形也与平行四边形有一些特殊的角度性质关系。
5. 总结四边形是几何学中一个重要的概念，它具有许多角度性质和特点。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
为什么？
A
D
证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD
O
∴∠OAB=∠OCD,
B
C
∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中
∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO
∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD
如图：矩形的对角线 A
D
相交于点E，你可以找
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在 解决问题中的作用。
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转 化等数学思想方法。
5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积 极探究的思想意识。
三、教学指导：
本节课共分为三课时内容，教 学过程中可分为三大步完成，即： 理论、方法积累、思路梳理——合 作交流，互助探索学习——自主探 索，拓展延伸，归纳新知。这充分 体现了螺旋上升的原则。
首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉 的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的 准确表达。
其次，对不同证明方法的探索可以提高学 生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命 题以后，同学们还应该思考是否还有其他的 证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还 可以从什么角度解决问题……。
五、评价建议：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的 过程。
形
角形斜边上的 中线等于斜边 的一半。
B
D
具有平行四边形 所有边的性质
矩形 四个角都是直角 性质：
对角线相等且 互相平分
证明：过程
解答过程 ：
特殊平行四边形（二）
在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学 可按以下环节逐步展开：
1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小 结——综合思想，归纳思路。 7.作 业——综合知识，强化训练。 下面就每个环节，逐层分析。
平行四边形的定义及其边角性质 (2)
三、总结归纳：平行四边形的性质和几何语言1.平行四边形的对边平行∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC2.平行四边形的对边相等∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC3.平行四边形的对角相等∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C, ∠B=∠D四、课堂练习 (出示课件)1.在□ABCD中∠A+∠C=200, 则∠A=____∠B=______2. 在□ABCD中, ∠A=48°，BC=3cm,则∠B=______ ∠C=______ AD=_______3. 在□ABCD中，∠A与∠B的度数比为4︰5，∠A=______ ∠B=______∠C=______ ∠D=______4. 在□ABCD中，若AE平分∠DAB,AB=5，AD=9则EC=_____5.如图，在□ABCD中，DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F。
求证AE=CF. 学生回答几何语言学生思考举手回答学生分组证明并互相讲解归纳平行四边形的性质，是学生的对知识的再认识，是知识的一次升华。
通过不同层次的练习，让学生自己理解并掌握本节课的知识。
加强对知识的运用和提升提高学生推理论证能力BA D CE实际问题：有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？五：知识回顾（对照学习目标）平行四边形的定义平行四边形的性质对照学习目标，看看自己是否达标六：检测提升：1，在□ABCD中，∠A=50°，则∠B=____∠C=_______,若AD+BC=30cm，□ABCD的周长是96，则AB=_____BC=______2,□ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm，则对角线AC的长为__________3,在□ABCD中，∠B的平分线BE交AD于E,BC=5，AB=3，则ED=______4,在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可能是（）A，1︰2︰3︰4 B,1︰2︰2︰1C, 1︰1︰2︰2 D,2︰1︰2︰15，如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD 求证：∠BAE=∠DCF 学生思考讨论学生思考同学交流得出结论学生检测提高利用知识解决实际问题的能力知识总结提升让学生自己理解并掌握本节课的内容AB C DEF。
平行四边形的角度计算
平行四边形的角度计算平行四边形是一种特殊的四边形，具有两对平行的边。
在平行四边形中，角度的计算和确定是十分重要的。
在本文中，我们将讨论如何计算平行四边形的角度。
1. 对角线交点角的计算在平行四边形中，两条对角线相交于一个点，我们将其称为对角线交点。
在这个对角线交点处，有一组重要的角度需要计算。
1.1 内角计算内角是由一条边和相邻的内对角线所形成的角度。
以顺时针方向计算，假设平行四边形的边长为ABCD，对角线AC和BD相交于点O。
则我们可以计算出内角∠BAC、∠ACD、∠CDB和∠DBA。
1.2 外角计算外角是由一条边和相邻的外对角线所形成的角度。
同样以顺时针方向计算，我们可以计算出外角∠AOC、∠COD、∠DOB和∠BOA。
2. 邻边角的计算邻边角是由一条边和相邻的边所形成的角度。
假设平行四边形的边长为ABCD，我们可以计算出邻边角∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB。
3. 修正角的计算修正角是指和内角或外角之和等于180度的角度。
在平行四边形中，我们可以计算修正角来验证平行四边形的性质。
4. 实际问题中的角度计算除了以上介绍的角度计算，平行四边形的角度计算在解决实际问题中也有广泛的应用。
例如，当我们已知平行四边形的一些角度及边长时，可以利用这些已知信息来计算其他未知的角度。
5. 总结平行四边形的角度计算是几何学中重要的内容之一。
通过计算对角线交点处的内角和外角，邻边角以及修正角，我们可以更好地理解平行四边形的性质和特点。
同时，在实际问题中，正确计算平行四边形的角度也能为我们提供准确的解决方案。
以上就是关于平行四边形角度计算的内容。
通过深入研究和理解这些知识，我们可以更好地应用到实际问题中，并在解决几何学相关的题目时提供准确的答案。
希望本文对您有所帮助。
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。
平行四边形的性质与推导
平行四边形的性质与推导平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有独特的性质与推导过程。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及相关推导过程。
一、平行四边形的性质：1. 对边和对角线性质：平行四边形的对边相等，并且对角线互相平分，即相交于对角线的两点分割对角线成相等的部分。
2. 内角性质：平行四边形的内角相邻补角相等，即相邻两个内角之和等于180度。
3. 对边角性质：平行四边形对边之间的对边角相等，即对边角的度数相等。
4. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即两组对边之间的边是平行的。
二、平行四边形的推导：1. 推导1：平行四边形的定义考虑四边形ABCD，如果AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
2. 推导2：平行四边形内角和证明平行四边形的内角和为360度。
根据平行四边形的定义，得知∠ADC+∠DAB=180度，同时∠DAB+∠ABC=180度。
将两式相加，得到∠ADC+∠DAB+∠DAB+∠ABC=360度，即平行四边形的内角和为360度。
3. 推导3：平行四边形的对边平行证明平行四边形的对边是平行的。
已知平行四边形ABCD，根据定义得知AB∥CD且AD∥BC。
假设AB与CD不平行，那么考虑三角形ABD和三角形BCD，根据平行线的性质，∠BAD=∠DCB，又因为∠ABD=∠BCD，根据AA准则可得，两个三角形相似。
但是这与ABCD是平行四边形相矛盾，所以假设不成立，即AB与CD平行。
同理可证，AD与BC也是平行的。
三、结论综上所述，平行四边形具有对边和对角线相等、内角和为360度、对边角相等和对边平行的性质。
这些性质为解决平行四边形的相关问题提供了便利。
在几何学的学习中，对平行四边形的性质和推导有着重要的意义。
结尾陈述：通过对平行四边形的性质与推导的探讨，我们深入了解了这个特殊四边形的基本特征与相关定理。
熟练掌握平行四边形的性质和推导过程，可以有效解决各类几何问题，提升数学学习的能力和解题的技巧。
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特殊平行四边形的边角计算
作者：魏祥勤
来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第03期
矩形、菱形与正方形是特殊的平行四边形.结合特殊平行四边形的边、角以及对角线的性质，已知其中部分数量，可以计算出其他数量.
比如，矩形的邻边互相垂直，因此已知矩形的一组邻边的长，可以利用勾股定理计算矩形的对角线的长，
一矩形的两条对角线的夹角是特殊角
例1 已知矩形的对角线的长是12.当对角线的夹角是60°时，试确定矩形的边长.
解：如图1，四边形ABCD是矩形，其对角线长相等，且互相平分，则OA=OB=OC=OD.由夹角为60°，故△OAB为等边三角形，AB=OA=6.在Rt△ABC中，AC=12，则BC=
点评：这类矩形的对角线和一组邻边的比值是（相当于含30°角直角三角形的三边之比）.
例2 如图2，已知矩形ABCD的对角线的夹角是45°，对角线的长是求矩形的面积.
解：如图3，作OB上的高AH，则易知△AOH为等腰直角三角形，OH=AH.而
AH2+OH2=OA2，所以
练习：
1.已知矩形ABCD对角线的长是4，对角线的夹角是30°.请计算矩形的面积，
参考答案
1.4.
二菱形一组邻边的夹角是特殊角
例3 （2014年·重庆）如图4，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7.则菱形ABCD的周长是______.
解：由于菱形四条边长度相等，则△ABD是等腰三角形.而∠A=60°，因此△ABD又是等边三角形，则AD=AB=BD=7.于是AB=BC=CD=DA=7.则菱形的周长是：4x7=28.
点评：有一个角是60°的菱形，是由两个有一条公共边的等边三角形组合而成的.其边长等于较短的一条对角线的长.由含30°角直角三角形的性质以及勾股定理，不难得出另外一条对角线的长是边长的倍.
例4 在菱形ABCD中，∠A=30°，AD=4，则菱形ABCD的面积是_______.
解：如图5，作AB边上的高线DH，则∠AHD=90°.∠A=30。
，所以菱形ABCD的面积
点评：当菱形的一个内角是30°时，面积是边长平方的如图6，可以计算出垂足H分AB 所得的两条线段AH与BH的长度.运用勾股定理，可以得出BD的长度，由于菱形的面积确定了，而对角线乘积的一半即是面积，所以对角线AC的长度也可以求出，
练习：
2.菱形ABCD中，∠A=450，AD=2，则菱形ABCD的面积是____.
参考答案：
当菱形的一个内角是45°时，面积是边长平方的倍.仿例4“点评”所说的思路，仍然可以得出两条对角线的长.
正方形具有矩形与菱形的所有性质，如：对角线平分一组对角；对角线交点到四个顶点的距离相等，且是边长的倍：对角线分正方形所得出的所有三角形都是等腰直角三角形，在正方形的边长、对角线长、周长与面积中，已知其中任何一个量，都可以确定出其余的三个量.。