2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修1_2

3.3 复数的几何意义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋如图、分别与复数a＋b i，c＋d i对应．问题1：试写出、及＋、－的坐标．提示：＝(a，b)，＝(c，d)，＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．问题2：向量＋及－所对应的复数分别是什么？提示：(a＋c)＋(b＋d)i及(a－c)＋(b－d)i.1．复数加法的几何意义设向量，分别与复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i对应，且和不共线．如图，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则其对角线OZ所表示的向量就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数a＋b i，c＋d i相对应，且，不共线，如图．则这两个复数的差z1－z2与向量－ (等于)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝－＋－，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？ (1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x －6＜0，x2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x －6＞0，x2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限． 解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m2－8m ＋15>0，m2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m<3或m>5，－7<m<4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m2－8m ＋15<0①m2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形． [精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝（3）2＋（－1）2＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ，∴|z －2|＝1＋a2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a <3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5. 因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的C 圆.[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)点B对应的复数．[思路点拨] 点O，A，C对应的复数――――――→向量的坐标表示，，的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应，，对应的复数[精解详析] (1)＝－，故表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)＝－，故表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)＝＋＝＋，故表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB―→对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，＝＋，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ ―→是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ ―→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．一、填空题1．若、对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则||＝________.解析：∵＝(7,1)，＝(3，－2)，∴＝－＝(－4，－3)，∴||＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2，1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________． 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a2＋b2，代入方程得a ＋b i ＋a2＋b2＝2＋8i.所以⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝（2－|z|）2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2， ∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________． 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________．解析：11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ， 则|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合． 解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m －2>0，－（4m2－8m ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m －2>0，4m2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<－2或m>1，12<m<32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m<32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求，，对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知||＝|1＋i|＝2，||＝|－3＋i|＝10，||＝|－2＋2i|＝22，∴||2＋||2＝||2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12||·||＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2，2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2，2)之间的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易得值为3.。