实际问题与一元二次方程传播问题.
数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程——传播问题
一、传播问题
1.母体在传播过程中每次都参与 探究1.有一个人患了流感，经过两轮 传染后共有121个人患了流感，每轮 传染中平均一个人传染几个人？
2.母体只参与一次传播便停止
变形1.某种植物的主干长出若干数目枝干，每 个枝干又长出同样数目的小分支。主干、枝 干和小分支的总数是13，则每个枝干长出多 少小分支？
第二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
—传播问题
主讲人：何萍萍
内蒙古乌海市第二中学
学习目标：
1.通过对实际问题的数量关系的探索，进一 步体验方程是反映现实世界数量关系的一个 有效的数学模型； 2.能根据具体的问题中数量关系，列出一元 二次方程解决传播问题，并根据实际意义检 验方程是否合理，同时感受数学知识与现实 生活的联系，增强应用数学的意识。
3.分裂（分裂后母体消失）
变形2.某生物实验室需要培育一群有益菌，现 有60个活体样本，经过两轮培植后总和达到 24000个，其中每个有益菌每一次分裂成相同 数目的有益菌。问：每轮分裂中平均每个有 益菌可以分裂成多少个有益菌？
课堂练习
1.某种细菌，若一个细菌经过两轮繁殖后，共 有256个细菌，则每轮繁殖中平均一个细菌繁 殖了多少个细菌？
2.乌海市创建文明城市，小明写了一篇倡议书， 决定用微博转发方式传播，他设计了如下传 播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再 邀请若干个好友转发倡议书，每个好友转发 倡议书之后，又邀请相同数量的不相同的好 友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传 播后，共有111人 参与了该传播活动。问：每 个人传播给多少人倡议书？
课堂小结
1.你学到了哪些知识点？ 2.它们之间有什么区别和联系？
作业
书P22习题4
21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播问题、增长率问题
支
x
支干
……
小 分
小 分
支
支
x
…… 支干
x
1
主 干
1.在分析探究一和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
· ·
探究一：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1 x x(1 x) 121
解方程,得 x1= 10 , x2= -12 . (不合题意,舍去) 答:平均一个人传染了___1_0____个人.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行 检验.
例2：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数
目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分
支? 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91
即 x2 x 90 0
解得,
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
…… ……
小
7.【例5】某电器企业计划用两年的时间把某型号电冰箱的成 本降低36%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数． 解：设下降的百分数为x，依题意，得 1(1－x)2＝1－36%， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)． 答：下降的百分数为20%. 小结：解决这类问题时，如果没有给出初始值，通常设初始
21.某厂去年利润为100万元，若每年利润增长率为20%，则：
人教版初三数学上册21.3实际问题与一元二次方程---传播问题
教学反思一、关于方程模型的处理在“实际问题与一元二次方程”这一课的教学过程中，“实际问题”与“方程”的转化，是贯穿始终的一条主线．主要反映在以下二个方面．第一，实际问题一直都是学生的难点，学生主要的困难就是在较复杂的实际问题中抽象出数学模型，找到等量关系来列出方程，本节课教师设置了多个问题，由易到难，引导学生的思维层层递进，很自然地列出式子表示每一轮的患病人数，从而列出方程，突破了本节课的难点.第二，本节课紧扣“模型思想”安排大量的探究学习，改变了以前“老师讲，学生听”的模式，让学生真正经历问题的解决过程，逐步学会自己解决问题，这样才能真正培养学生的“模型思想”．于是，在教学中，关注了对“等量关系”的分析．二、关于教学效果的反思在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法，并通过类比一元一次方程应用的研究方法，完成审、设、列、解、答的过程，也可以通过分析传播问题中的等量关系，列出一元二次方程模型和检验得到符合要求的解．然而，由于学生刚刚接触一元二次方程模型，一元二次方程根的个数（2个）与一元一次方程根的个数（1个）之间存在差异，学生还缺乏对一元二次方程“整体形象”的把握．一方面，在解方程中不能选用恰当方法求解，学生还不能有意识地从“实际问题，实际背景”来考虑问题，传播问题的三种类型题中，传染源的参与情况分析不好，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差．此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”．在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一元一次方程学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应．事实上，这样也会带来另一些负面的影响，学生往往对属于一元一次方程和一元二次方程“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的一元二次方程“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰．三、关于教学设计的改进基于上述思考，我认为在教学设计中，还存在需要改进的地方．应关注“类比”中的“差异性”实际问题与一元二次方程的学习，可以类比一元一次方程的研究方法进行，从而体现了方程学习的一般规律和方法．本教学设计尊重人教版课标教材的编写意图，其中所呈现的通过“实际问题”背景，到“一元二次方程”，到利用一元二次方程模型“解决实际问题”，这一探究的过程和方法，是学习方程时不可或缺的．无疑，“类比”是一种重要的方法，对于学生理解一元二次方程应用、建立完善的认知结构具有重要的意义．但是，我们在运用“类比”的方法研究一元二次方程应用的过程中，还应注意“趋同求异”，关注一元二次方程与一元一次方程之间的“差异性”，如方程的根“2个”与“1个”、“一轮后”与“两轮后”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生．。
21-3实际问题与一元二次方程(第1课时传播问题)-
病源A 第1轮
第2轮传染后患病人数_1_+_2_+_(_1_+_2_)_×_2_人.
第2轮
合作探究
人教版数学九年级上册
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第1轮传染后患病人数_(_1_+_x_)_人;
第2轮传染后患病人数_[_1_+_x_+_(_1_+_x_)_x_]人. 规律发现
传染源 第1轮传染后 第2轮传染后的人数 人数 的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2
合作探究
人教版数学九年级上册
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
课堂小结
人教版数学九年级上册
传播问题公式1：1+x+x(1+x)=(1+x)2 传播问题公式2： 1+x+x2 列一元二次方程解应用题的步骤: 1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系. 2.设:根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数. 3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他 未知量,从而列出方程. 4.解:准确求出方程的解. 5.验:检验所求出的根是否符合方程和实际问题. 6.答:写出答案.
A．x+(x+1)x=36
B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2=36
D．x+(x+1)2＝36
课堂检测
《实际问题与一元二次方程》(传播、增长率问题问题)课件
探究2：某种植物的主干长出若干数目的支干， 每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干、小分支的总数是111.求每个支干长出 多少个小分支．设：每个支干长出x个小分支
每两人赠两次
1个人
赠送(x-1)人
共计 x(x-1)图书
探究一：循环问题
2、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参
加这次聚会，则列出方程正确的是( B )
A．x(x－1)＝10
B. xx 1 10
C. x(x + 1)＝10
D. xx2 1 10
2
1个人
3、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降 到80元，则平均每次降价的百分率为____2_0_%__．
小结
本节课我们学习了几种问题： 传播问题、增长率问题 解决问题的步骤： 审、设、列、解、答
探究一：循环问题
1、“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互
赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，
第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
1 x 传染源 1人
每人传染x人
传染了
传染后
结果
（x+1）人
传染源
每人传染x人
传染后
实际问题与一元二次方程传染问题
（3）在列一元二次方程解应用题时，由于所 得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否 符合实际问题的要求．
谢谢老师们和 同学们
总结归纳：
a(1x)n A
轮每人传染的人数，n 表示传的天 数或轮数，A 表示最终的总人数
学以致用
某种电脑病毒传播非常快， 某种细菌，一个细菌经过 如果一电脑被感染，经 两轮繁殖后，共有256个 过两轮感染后就会有81台 细菌，每轮繁殖中平均一 电脑被感染．请你用学过 个细菌繁殖了多少个细菌？ 的知识分析，每轮感染中 平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感 染的电脑会不会超过700 台？《高效课堂 第29页》
变式：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因a人患了
甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，每天平均一个人传染
了b人，第一轮后，传染了ab（ ）人，共a有+a（b
）
人患病，第二轮后，传染（了a+（ab）b
）人，
共有（（a+ab）+ （a+ab）b
）人患病。整理得a：1b
2
a 表示传染之前的人数，x 表示每
了x人。
练习：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感 没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天 平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这 个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
分析：第一天人数+第二天人数=9，
1xx(1x)9
第二轮的传染源
1
第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮共传染______人
x（x+1）
第二轮后共有_________1_+__x_+__x_(_x_+__1人)=患(x了+流1)感2 .
21.3实际问题与一元二次方程1传播问题(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程1——传播问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过信息或病毒传播的情况？”（如微信朋友圈的谣言传播、流感病毒传播等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题的奥秘。
4.培养学生数据分析素养，使学生能够通过对传播问题的研究，理解数据背后的规律，为现实生活中的类似问题提供解决思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解传播问题背景，能从实际问题中抽象出一元二次方程。
-通过案例分析，让学生明确如何从传播问题中提炼出一元二次方程，掌握方程构建的方法。
-强调一元二次方程在解决传播问题中的应用，如病毒传播、信息传播等。
3.通过传播问题，掌握解决实际问题时如何列出相关的一元二次方程，并求解。
4.分析以下案例：
（1）病毒传播问题：在某次疫情中，病毒通过接触传播，假设每个感染者在接触一个人后，有50%的概率将病毒传播给对方。如果已知病毒最初由一个人传播，求经过5次传播后，预计有多少人可能感染病毒。
（2）信息传播问题：在社交网络上，一个热门话题最初由一名用户发布，如果每个阅读该话题的用户有20%的概率转发，求经过3次转发后，预计有多少人看到该话题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结
实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结典型题型归纳1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？2、平均增长率问题：M=a(1±x)n， n为增长或降低次数 ,M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例1、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？3、商品销售问题例1、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
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实际问题与一元二次方程（1）（探究案）
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
解：
【合作探究】
问题1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
【题型练习】2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【题型练习】
1、参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
2、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全
组共送贺卡72张，则这个小组共？
3、某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？
【轻松检测】
1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标
本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠
了182件，生物兴趣小组共有多少人？
2、我们知道传销能扰乱一个地方的正常的
经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是
某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮
发展后，共有传销人员111名，问该传销公
司要求每人发展多少名下家？
3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电
脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电
脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感
染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病
毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的
电脑会不会超过700台》
4、参加一次商品交易会的每两家公司之间
都签订一份合同，所有的公司共签订了45
份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
头目
下家下家
下家下家下家下家。