双曲线函数次分式函数绝对值函数

双曲线函数 一次分式函数 绝对值函数 双曲线函数一、 函数()()0bf x ax ab x=+≠ 请画出如下函数的图像：2()f x x x =+ 1()2f x x x =+ 1()2f x x x=+练习：1、（1）若,,3,x y R xy y +∈+=则x y +的最小值是__________；（2）若11,,1,2x y R x y+∈+=则x y +的最小值是__________； （3）若,,2x y R x y xy +∈++=则x y +的最小值是__________；2、下列结论正确的是（ ）A 当0,1x x >≠，1lg 2lg x x +≥ B 2x >≥ C 当 12,2x y x x >=+≥ D 当102,x y x x <≤=-无最大值3、讨论函数9,(1,5)y x x x=+∈的单调性4、求函数的值域（1）21x y x =- （2）[]2413,2,51x x y x x -+=∈- （3）22(1)1x y x -=+5、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的定义域为R +，求a 的取值范围；（2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的值域为R +，求a 的取值范围；6、已知2213(),,7ax x f x x x +-⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭内单调递减，求a 的取值范围.相关应用题7、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n kn g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?18、解：（1）由1)(+=n kn g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8， 所以)10100()(n n f +=n n 100)1810(-+-．（2）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n 19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元. 二、讨论函数ky x x=+的单调性.练习：（五校联考） 1、函数10arccos arccos y x x=+的最小值是____________.10y ππ=+2、（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）的图像经过点()1,3. （1）求实数a 的值；并画出当0x >时函数()f x 的大致图像； （2）请写出函数()f x 的一个单调递增区间，并运用函数单调性定义证明：函数()f x 在你所给出的区间内是单调递增函数. 3、（09年二模）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---． ……5分（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分 由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ； ……11分下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值． 当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． [当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数x a x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．]于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分请画出图像并研究其性质221()f x x x =+331()f x x x =+练习：1、已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈ （1）判断()f x 的奇偶性（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围2、（05上海春）已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、. （1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. 3、（06上海文）已知函数y=x+xa有如下性质：如果常数a>0,那么该函数在(0,a ]上是减函数, 在[a ,0)上是增函数.(1)如果函数y=x+xb2在(0,4]上是减函数., 在[4,+∞)上是增函数,求实常数b 的值；(2)设常数c ∈[1,4],求函数f(x)=x+x c(1≤x ≤2)的最大值和最小值； (3)当n 是正整数时, 研究函数g(x)=nn x c x (c>0)的单调性,并说明理由. 绝对值函数函数()||(0)f x ax b a =+≠1、图像的画法：（1）()|1|f x x =+ (2) ()|1|f x x =-+ (3) ()2|1|1f x x =++ 总结：“V ”形图()||f x a x h k =++ 1、图像特点如何？ 2、练习（04上海高考）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .2、相关图像的画法（1）lg 1,1()0,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩ （2）()sin 2sin f x x x =+，[]0,2x π∈（3）已知图1中的图像对应的函数为()y f x =，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--绝对值函数相关恒成立及最值问题1、已知：t 为常数，函数2|2|y x x t =-+在区间[0,3]上的最大值为3，则实数t =_____..0或-2函数与方程的思想：1．若方程2|25|2x x a +-=有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是____________． 2．方程|lg |30x x +-=实数解的个数是____________．.23、对,,,max{,},,a a ba b R a b b a b ≥⎧∈=⎨<⎩函数()m a x{|1|,|2f x xx =+-的最小值是_________3|24．（本题满分15分）第1小题满分4分，第2小题满分11分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若()f x 为偶函数，求实数a 的值； (2)设2a >，求函数()f x 的最小值. 17.解：(1)由已知()(),|2||2|,0f x f x x a x a a -=-=+=即解得；(2)2212,2()12,2x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， 当12x a ≥时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由12,,2a x a >≥得1x >，从而1x >-， 故()f x 在12x a ≥时单调递增，()f x 的最小值为2()24a a f =；当12x a <时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当12ax <<时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减， 则()f x 的最小值为(1)1f a =-；由22(2)(1)044a a a ---=>，知()f x 的最小值为1a -. 零点分类讨论 画出图形：（1）|1||1|y x x =+-- （2）|1||1|y x x =--+ （3）|1||1|y x x =++-举一反三：（普陀）.对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的条件 .分式函数函数(),0,0)ax b f x ac ad bc cx d+=≠-≠+基础：例：画出1(),1x f x x +=-的图像，并写出其对称轴、对称中心. 2、已知函数21x ay x a-+=-的反函数的对称中心(2,3)P ，求实数a 的取值范围.3、函数1(),1x f x x -=+的单调递减区间是___________；函数()f x =间是___________ 4、已知函数()(),0,ax bf x x x c+=∈+∞+的值域为[)2,3-，则数组(),,a b c 的一组可能值是___________；提高：1、设函数()(0,1),[]1xxa f x a a m a =>≠+表示不超过实数m 的最大整数，则函数11()[()][()]22g x f x f x =-+--的值域为______________.{1,0}-2、（本题满分18分）第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分.(1)已知：24123(),[0,1]21x x f x x x --=∈+，求函数()f x 的单调区间和值域； (2)1a ≥，函数32()32,[0,1]g x x a x a x =--∈，判断函数()g x 的单调性并予以证明；(3)当1a ≥时，上述(1)、(2)小题中的函数()()f x g x 、，若对任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得21()()g x f x =成立，求a 的取值范围.20.解:(1)4()21821y f x x x ==++-+，设21,13t x t =+≤≤则48,[1,3].y t t t=+-∈ 任取1212[1,3],t t t t ∈<、且，12121212()(4)()()t t t t f t f t t t ---=，当112,02t x ≤≤≤≤即时，()f x 单调递减； 当123,12t x <≤<≤即时，()f x 单调递增.由111(0)3,()4,(1),23f f f =-=-=-得 ()f x 的值域为[4,3]--. (2)设1212[0,1],x x x x ∈<、且， 则22212121122()()()(3)0g x g x x x x x x x a -=-++->，所以()g x 单调递减.(3)由()g x 的值域为：2132(1)()(0)2,a a g g x g a --=≤≤=-所以满足题设仅需：2132432,a a a --≤-≤-≤- 解得，312a ≤≤. 3．（本题满分18分,共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）． （文科）定义在R 上的函数()f x 满足()2(1)()()f x f x x f x x +∈==-.且当-1,1时，（1）求(1)(3)f f -、的值；（2）求()()2k-1,2k+1,Z f x k ∈上的函数解析式；在 （3）是否存在正整数k ，使()()290f x k x x+->∈对任意x 2k-1,2k+1恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.（理科）定义在R 上的函数()f x 满足[]2(1)(1),(4)()0,1()f x f x f x f x x f x x +=-+=-∈=且当时，（1）求证：()f x 是周期为2的偶函数；（2）求[]()2k-1,2k+1,f x k Z ∈在上的函数解析式； （3）是否存在整数k ，使[]()290f x kx x+->∈对任意x 2k-1,2k+1恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（文）解：（1）(1)(0)0;f f =-= ---2分(3)(2)(1)(0)0f f f f -=--=-=-= ---2分（2）(1)()f x f x +=-(2)(1)()2y=f(x)f x f x f x ∴+=-+=即是的周期 ---6分 (2)(),f x k f x k Z ∴-=∈设()()221,21,21,1(2)(2)x k k x k f x k x k ∈-+-∈-∴-=-则 --- 8分()()2()2,21,21()f x x kx k k k Z ∴=-∈-+∈ ---10分（3）当()22()2924921,2100f x kx x kx k x k k x x+--+-∈-+>⇔>时，---11分 假设存在正整数k.当1211,0k k x ≥-≥∴>时，则()2224921,21x kx k x k k ∴-+->∈-+原题等价于对任意恒成立 ---13分设22()249f x x kx k =-+-， 当121k x k k ≥=≤-时，对称轴 --15分则2(21)4280,44f k k k k k -=--≥≥≤解得 --17分2k ∴≥正整数，故存在正整数2k ≥，使命题成立. ---18分（理）解：（1）(1)(1)(2)(),(4)()f x f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=-又(4)(2)2,f x f x T ∴+=+⇒=周期 ---2分2,(2)()()()()T f x f x f x f x f x =+=⇒=-∴由可得是偶函数∴f(x)是以2为周期的偶函数 ---4分（2）设[][]221,0,0,1()()x x f x x x ∈--∈∴-=-=则f(x)是偶函数 2()()f x f x x ∴=-=即[]2(),1,1f x x x =∈- ---6分()2(2)(),f x f x k f x k Z -=∈是以为周期的函数，即设[][]21,21,21,1x k k x k ∈-+-∈-则 ---8分 []22(2)(2),()(2),21,21()f x k x k f x x k x k k k Z ∴-=-=-∈-+∈即 ---10分(3)当[]22()292490021,21f x kx x kx k x x xk k +--+-∈>⇔>-+时，①当1211,0k k x ≥-≥∴>时，则[]2224921,21x kx k x k k ∴-+->∈-+原题等价于对任意恒成立 --11分设22()249f x x kx k =-+-当121k x k k ≥=≤-时，对称轴则2(21)4280,44f k k k k k -=--≥≥≤解得 ---12分2k ∴≥整数 ---13分 ②当1211,0k k x ≤-+≤-∴<时，则[]2224921,21x kx k x k k ∴-+-<∈-+原题等价于对任意恒成立. ---14分设22()249f x x kx k =-+- 当121k x k k ≤-=≥+时，对称轴则21(21)4280,414f k k k k -=--<<<解得---15分1k ∴=-整数 ---16分③当k ＝0时，原命题等价于290x x->对任意[]1,1x ∈-恒成立当x=1时，则-8>0显然不成立0k ∴≠ ---17分综上，存在整数21,k k ≥=-或使命题成立. ---18分。