1 线性规划、单纯形法及其对偶(195)
对偶单纯形法详解
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
-3
-1 -4 0 1 0
-3
-1 -7 0 0 1
0
-3 -9 0 0 0
值 -3/-1 -9/-1 --- --- ---
CB
XB
-3 y1
0
y4
0
y5
-Z
比
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢观赏
MinW 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33
3 4
x1, x2, x3 0
化为标准型 →
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3 4
x1, x2, x3, x4, x5 0
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
化为
y1 y2 y3 2
标准型
→
s.t.
y1 y1
4 7
y2 y2
y4 y5
3 3
y1 0, y2 0
y1,, y5 0
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
3、计算步骤：
①建立初始单纯形表，计算检验数行。
解答列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
至少一个元素<0,转下步;
至少一个检验数>0
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
第1章线性规划及对偶问题
s.t.
n j1
pj xj
j1
(或，）b
xj
0( j 1,2,L
, n)
（4）矩阵形式：
a1 j
pj
a2 j M
,
(
j
1,
2,L
,n)
a mj
b1
b
b
2
M
bm
M ax(M in)ZC X
x1
a11 a12 L a1n
AX (或，）b
s.t.
X 0
X
x
2
M
解:
MaxZ
(70,
65)
x1 x2
7 3
210
4
2
5
4
x1 x2
200
180
设: X (x1,x2)T
C(c1,c2)(70,65)
a11 a12 7 3
A a21
a22
4
5
a31 a32 2 4
b1 2 1 0
b
b
2
2
0
0
b3 1 8 0
M axZCX
x1
2 1
1 1
1 0
0
1
x2Biblioteka x310 8
x4
AX b
N
2 1 1 0 A 1 1 0 1
B
设:N12
1 1 1,B0
0 1
XN
x1 x2
,
XB
x3 x4
10 b8,CN(3,2),CB(0,0)
则 :A Xb (N ,B ) X X B N N X NB X Bb
MaxZCX
am1
运筹学02对偶理论1线性规划的对偶模型,对偶性质
(x1, x2, x3)T 0
从而对偶问题为
4 min w Yb ( y1, y2 ) 1 4 y1 y2
4 1 －1
YA ( y1, y2 ) 1 －7
5
(4 y1 y2, y1 7 y2， y1 5y2 ) (5, 2, 3)
min Z 4 y1 y2
4 y1 y2 5
min
w
6 y1
8y2
10 y3
约束, 即
5yy1175yy22
y3 3 y3
4
3
yi 0, i 1,2,3
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ： 定义：
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
【例3.2】写出下列线性规划的对偶问题
max Z (5, 2,3)(x1, x2, x3)T
max Z 5x1 2x2 3x3
4x1x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1, x2, x3 0
【解】设Y=(y1，y2 )， 则有
4
1
1 7
1
5
x1 x2 x3
4 1
y1y1 7
y2 2 5 y2 3
y1 0, y2 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x1 35x2x2108 x1 0, x2 0
【解】该线性规划的对偶问题是求最 小值，有三个变量 且非负, 有两个“ ≥”
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
线性规划教学大纲
《线性规划》教学大纲课程简介：线性规划是数学教育本科专业必修的一门主要专业基础课，它是近六十年来才逐步发展起来的一门新兴的数学课程，具有广泛的应用背景。
目前，线性规划已广泛应用于工业、农业、商业、国防、交通运输、能源、水利、经济、管理决策等众多领域，它可以解决各行业中的最优计划、最优分配、最优管理、最优决策等最优问题。
通过本课程的学习，使学生掌握线性规划的主要模型、基本理论、主要算法和实际应用，学会解决线性规划模型的求解问题、线性规划对偶理论、运输问题、分配问题等，从而为学生今后进一步深造打基础以及提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
一、教学目标1、知识水平教学目标线性规划课程的教学，应使学生系统掌握线性规划基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应的技巧，能根据实际背景抽象出适当的线性规划模型，着重掌握线性规划基本模型的建立、求解方法以及基本原理，并为学习其他应用数学课程如运筹学打下基础。
2、能力培养目标通过线性规划课程教学,应注意培养学生以下能力：（1）掌握线性规划的基本概念、基本定理与分析方法，掌握线性规划的主要模型；（2）掌握线性规划基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应的技巧，能根据实际背景抽象出适当的线性规划模型；（3）熟练掌握各种模型特别是确定性模型的求解方法，并能对求解结果作简单分析。
（4）掌握与基本模型有关的基本概念及基本原理，做到思路清晰、概念明确；（5）具有初步运用线性规划的思想和方法，去分析解决实际问题的能力和创新思维与应用的能力。
3、素质培养目标通过线性规划课程教学,应注重培养学生以下素质：培养学生利用数学知识及相关专业知识建立数学模型分析、解决实际问题的能力，并从中培养和提高学生的创新意识、创新能力及综合应用能力。
二、教学重点与难点1、教学重点：线性规划的基本模型、基本理论、基本方法。
2、教学难点：线性规划单纯形法、对偶问题、灵敏度分析、平衡运输问题的表上作业法、分配问题等。
线性规划及其对偶问题
X
X X
B N
B
N
X X
B N
b
BX B NX N b
BX B b NX N
X B B1b B1NX N
X
X X
B N
X
B
1b
B1 XN
NX
N
令 XN 0
则
X
B 1b 0
定义 在约束方程组(2) 中，对于一 个选定的基B，令所有的非基变量 为零得到的解，称为相应于基B的 基本解。
29
定义 在基本解中，若该基本解满足非负约束，
11
2 线性规划问题的图解法
MaxMin Z CX
1
s.t
AX , b
X 0
2
定义1：满足约束(2)的X=(X1 …Xn)T称为线性规划问题的可 行解，全部可行解的集合称为可行域。
定义2：满足(1)的可行解称为线性规划问题的最优解。
12
例1 Max Z=40X1+ 50X2
X1+2X2 30 s.t 3X1+2X2 60
X=
X1 =
6
15
+(1- )
X2
12
7.5
X1 =6 +(1- )·15
X2=12+(1- )·7.5
X1 =15-9 X2 =7.5+4.5 (0 1)
18
例3、 Max Z=2X1+ 4X2 X2
2X1+X2 8 8
s.t -2X1+X2 2
X1 , X2 0
6
4
无有限最优解
2
X1 0
36
20
解 设办公建筑和工业厂房各承揽ｘ１、ｘ２万ｍ２。根据题意 max Z＝36x1＋20x2
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
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2013-7-14
1 Ï É Ð Ö Â Ï
2 Ï É Â Ï Ð Ö
ï É Ì ¼ 3 4 Ð Ö Ð Ö Ï É Â Ï Â Ï Ï É
5 Â Ï Ð Ö Ï É
6 Â Ï Ï É Ð Ö
4
古籍中的运筹问题
祥符中,禁火。时丁晋公主营复宫室, 患取土远,公乃令凿通衢取土,不日皆 成巨堑。乃决汴水入堑中,引诸道竹木 排筏及船运杂材,尽自堑中入至宫门。 事毕,却以斥弃瓦砾灰壤实于堑中,复 为街衢。一举而三役济,计省费以亿万 计。 ——沈括《梦溪笔谈.补笔谈卷二. 权智》
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
a11 A a21 a m1 a12 a22 am2 a1n a2 n amn
16
课程教材：
胡运权，运筹学教程，北京：清华大学出版社，2007；
主要参考书：
[1] 丁以中主编，管理科学---运用Spreadsheet建模和求解，北 京：清华大学出版社，2003；
[2] [美]弗雷德里克· 希利尔（Frederick S Hillier）,任建标译,数 S· 据、模型与决策（原书名 Introduction to Management Science）， 北京：中国财政经济出版社，2004； [3]谢金星， 优化建模LINDO/LINGO软件，清华大学出版社
矩阵表示
Max Z = CX AX ≤ b s.t. X ≥0
其中: X= (x1,x2, …, xn) T 为决策变量 C=(c1,c2, …, cn) 称为价格系数 A=(aij)m×n 称为技术系数 b= (b1,b2, …, bm) T 称为资源系数
22
线性规划模型的目标函数必须是变量的线 性函数，约束条件必须是变量的线性等式 或不等式。如下面的问题就不是线性规划 问题：
2013-7-147
运筹学的应用
经济、工商管理； 计算机算法的设计； 数学理论； 军事； 工业；农、林、牧、渔业; 医学、生物、理化、遗传； 工程计划、安排等“优化”; 学习、日常生活、旅游等。
2013-7-14
8
运筹学的发展：三个来源
军事
管 理
经 济
9
军事：运筹学的主要发源地
b1 b b2 b m
c1 c 2 c c n
x1 x 2 X x n
25
线性规划模型用矩阵和向量表示（续）
z C T X c1
a11 AX a21 a m1 a12 a22 am2
定量化分析 多学科交叉，如综合利用了心理学、经济学、物理等方法
最优决策
14
管理运筹学的工作程序
应用现有 的科学技 术知识和 数学方法， 解决实际 中提出的 专门问题， 为决策者 选择最优 决策提供 定量依据 明确问题 问题分类 建立数学模型 求解数学模型
结果分析
实施
15
运筹学的分支
规划论(分线性、非线性、整数、目标、动 态及随机规划等) 图论与网络优化； 排队论、存储论、搜索论； 对策论(博弈论)、； 可靠性理论; 全面质量管理(TQC); 计划评审、维修更新理论等。
maxz=c1x1+c2x2+……+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
24
线性规划模型用矩阵和向量表示
max z=c1x1+c2x2+……+cnxn
12
经济（数理经济学）
Von Neumann 与对策论
1932年，Von Neumann提出一个广义经济平衡模
型；1939年，提出了一个属于宏观经济优化的控 制论模型；1944年，与Morgenstern共著的《对策 论与经济行为》开创了对策论分支。
30年代，苏联数理经济学家康托洛维奇从事生产
19
第一章 线性规划
（Linear Programming，简称LP）
§1 线性规划的模型与图解法
一、LP问题及其数学模型
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、 油三种资源，有关单耗数据如表，试拟定使总收入 最大的生产计划。 资源 产品 煤 电 油 单价 甲 9 4 3 7 乙 4 5 10 12 资源限制 360 200 300
20
资源
产品
甲 9 4 3
乙 4 5 10
资源限制 360 200 300
煤 电 油
单价
7
12
线性规划模型三要素：
（1）决策变量
意为“使其满 （2）目标函数
足”
（3）约束条件
Subject To， 设甲产品生产x1，乙产品生产x2
Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0
古代军事运筹学思想
中国古代的“孙子兵法”在质的论断中渗透着量的分
析（1981年美国军事运筹学会出版了一本书，书中第 一句话就是说孙武子是世界上第一个军事运筹学的实 践家），中国古代运筹学思想的例子还有：田忌赛马、 围魏救赵、行军运粮，等等。 国外历史上的阿基米德、伽利略研究过作战问题；第 一次世界大战时，英国的兰彻斯特（Lanchester）提 出了战斗方程，指出了数量优势、火力和胜负的动态 关系；美国的爱迪生为美国海军咨询委员会研究了潜 艇攻击和潜艇回避攻击的问题。
10
运筹学的正式产生：第二次世界大战
由于战争的需要，英国和美国招募了一批年轻的科学家和工程
师，在军队将军的领导下研究战争中的问题，例如大规模轰炸 的效果，搜索和攻击敌军潜水艇的策略，兵力和军需物质的调 运等等。当时英国把这些研究成为“作战研究”，英文是 Operational Research，在美国称为Operations Research。 鲍德西（Bawdsey）雷达站的研究 1939年，以Blackett为首的一个研究小组（代号“Blackett 马 戏团”），研究如何改进英国的空防系统，提高英国本土防空 能力。 Blackett备忘录 1941年12月， Blackett应盟国政府的要求，写了五份题为 “Scientists at the Operational Level”的简短备忘录，建议在 各大指挥部建立运筹学小组，此建议被迅速采纳。据不完全统计，
2013-7-14
6
我国当代数学家在《运筹学》中的贡献
1957年起中科院一批数学家作了许多令国际同行 称道的工作：如物资调运问题。 20世纪70年代华罗庚先生在中国大力创导推广 “统筹学”当时就获得第一代领导人的首肯，在国 际数学界被称为是全世界最大而有成果的一次普及 数学的创举。 凡是讲图论的优化的教科书，多半有专门的一章 名：Chinese Postman Problems,其中无一例外的 要提到管梅谷先生的杰出工作：中国邮递员问题 (CPP)。
2013-7-14
5
“运筹”的出典
据《史记》记载：汉高祖刘邦称赞张良：运筹策帷 帐中，决胜千里外，子房功也。 ——司马迁《史记· 留侯世家》 “筹”是古代比算盘还早的计算工具之一。“运筹” 是计划、安排、比较、决策优化的一个过程。 英文名：Operational Research,港台地区译为： 《作业研究》、《运作研究》。五十年代末华罗庚 等人介绍国外这一门新兴学科时就建议定名为：运 筹学。近几十年来随着计算机的普及它的应用越来 越广泛。其作用越来越被人们所认识。 大学里为什么要开设《运筹学》呢?请自己考虑。
s.t.
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21
LP模型的一般形式 Max （Min） Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
……
s.t. am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
c2
x1 x c n 2 c1 x 1 c 2 x 2 c n x n x n
a1n x1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n a2n x 2 a21 x1 a22 x 2 a2n x n amn x n am1 x1 am2 x 2 amn x n
物流运筹优化
（运筹学在物流管理中的应用）
电子商务与物流管理系
1
同学们好： 请每节课开始前将你的手机 调整至静音状态或关机！
2013-7-14
2
运筹学简介
什么是运筹学? 运筹学的简史 运筹学的分支有哪些? 运筹学研究的一般程序 课程要求
2013-7-14
3
古籍中的运筹问题
田忌赛马：田忌与齐王多次赛马，屡战屡败， 田忌的一位谋士比较了六种对策后建议…… ——《十万个为什么.数学分册》P.312 最早记载的《对策论》范例。
因此，线性规划模型可以写成如下矩阵和向量的形式
MaxZ =CTX s.t. AX=b X≥0