2014新课标1高考模拟猜题卷 文科数学 Word版含答案
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
【VIP专享】2014年高考文科数学(新课标全国卷I)试题(含答案)(word版)
A.①②③
B. 1 AD 2
B. ①③④
C. (1,3)
C. sin 0 3
C.
2
C.
2
5
B. | f (x) | g(x) 是奇函数
D. | f (x)g(x) | 是奇函数
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
(完整word版)2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：三角函数(解析版),推荐文档
数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
2014年高考数学模拟试题一新课标文科
2015年高考模拟试题一（全解全析）（试卷总分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.（文）已知集合{1},{0,1,2,4}A x x B =>=，则()R C A B =( )A ．{0,1}B ． {0}C ． {2,4}D ．∅2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④x x y 2⋅=的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．①④②③B ． ①④③②C ． ④①②③D ． ③④②①4． （文）若1cos()3πα-=-，α∈[－π2，0]，则tan α＝ ( ) A ．－24 B ．24C ．－2 2D ．2 2 5． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2 |x |≤111＋x2 |x |>1，则f (f (12))＝ ( ) A ．12 B ．413 C ．－95 D ．25416． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A ．2160B ．2880C ．4320D ．86407．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ． 48D ． 808． 已知函数()f x 在x R ∈上恒有()()f x f x -=，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时， 2()log (1)f x x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（文）如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，则AD →等于( )A ． a ＋34bB ． 34a ＋14bC ．14a ＋14bD ． 14a ＋34b 10．函数的定义域为,,对任意,则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．R11．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <12． （文）设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．在A B C △中，，，，则 ． 14．若c b a ,,是直角三角形ABC ∆的三边的长（c 为斜边），则圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．15．（文）已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩， 表示的平面区域的面积为4，点(,)Px y 在所给平面区域内，则2z x y =+的最大值为 ．16． 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．2-1-12)(x f R 2)1(=-f 2)(,'>∈x f R x 42)(+>x x f )1,1(-),1(+∞-)1,(--∞()f x ()g x [],a b [],x a b ∈|()()|1f x g x -≤()f x ()g x [],a b [],a b 2()34f x x x =-+()23g x x =-[],a b [1,4][2,4][3,4][2,3]3A π∠=3BC =A B C ∠=其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分12分) 已知函数)22sin(cos sin 2)(π++=x x x x f ．（I ）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（II ）设]3,0[π∈x ，求)(x f 的值域．18． (本小题满分12分)（文）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛． 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛．（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．19． (本小题满分12分)（文）已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足21123222n n n b b b b a -++++=L ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20． (本小题满分12分)（文）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，P D A B C D⊥平面，A D =1，A B ，． （Ⅰ）求证：P C ；（Ⅱ）当1P D =时，求此四棱锥的表面积．21． (本小题满分12分) 已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆P A B C D -90A D B C A B C ∠=，∥°4B C =B D ⊥1:+=x y l 23:22=+y x O 圆l的短轴长相等,椭圆的离心率 (Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22． (本小题满分14分)（文）设二次函数()2f x mx nx t =++的图像过原点，()33(0)g x ax bx x =+->， (),()f x g x 的导函数为()//,()f x g x ，且()//00,(1)2f f =-=-，()),1(1g f =()//1(1).f g = (Ⅰ)求函数()f x ，()g x 的解析式；(Ⅱ)求())()(x g x f x F -=的极小值；（Ⅲ）是否存在实常数k 和m ，使得()m kx x f +≥和()?m kx x g +≤若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．四．选考题)0(1:2222>>=+b a by a x C 23=e C M 013-l C A B T l A B T T2．《坐标系与参数方程》已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程是： ． （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，直线的普通方程； （Ⅱ）将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线曲线，求曲线上的点到直线距离的最小值．3．《不等式选讲》已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（I ）当5=m 时，求函数)(x f 的定义域；（II ）若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围． C θρcos 4=l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 225225为参数）t (C l C 211C 1C l。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标Ⅰ卷,含解析)
2014年高招全国课标1（文科数学解析版）第Ⅰ卷选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则M N =（ ）)1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- 【答案】：B 【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得MN = (-1,1),选B若0tan >α，则0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 【答案】：C【解析】：由tan0可得:kk2π(k Z )，故2k 2 2k(k Z )，正确的结论只有sin 20. 选C设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2【答案】：B【解析】：11111222i z i i i i -=+=+=++，2z ==，选B（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1 【答案】：D【解析】：由双曲线的离心率可得2a=，解得1a =，选D.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是)()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBAD B.12AD C. 12BC D.【答案】：A【解析】：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+ =()111222AB AC AB AC AD +=+=, 选A.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 【答案】：A【解析】：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π， 即①正确；y| cos x |的最小正周期也是，即②也正确；cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭最小正周期为π,即③正确；tan(2)4y x π=-的最小正周期为2T π=,即④不正确.即正确答案为①②③，选A8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，xF A 045=，则=x（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】：A 【解析】：根据抛物线的定义可知001544AF x x =+=，解之得01x =. 选A.11.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示. 在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a 5或a3.但a5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a3. 选B.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014全国新课标1卷数学文科(题目加解析)word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.（1）已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则M N = （ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. ADB. 12ADC. 12BCD. BC（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M=A .203 B .165 C .72 D .15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，xF A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 11.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3（C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
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2014新课标1高考模拟猜题卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）2. 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）3. 的值为（）4. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（）5. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（）A.4B.6C.7D.126.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（）B8. “”是“数列{a n}为等比数列”的（）9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（）10. 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD 的长为（）D11.定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18．若函数y=f（x）﹣log a（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围是（），，，12. 设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）B13. 函数22631y x x =++的最小值是14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．15.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=___________________.16. 设不等式组表示的平面区域为M ，不等式组表示的平面区域为N ．在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2A f =，a =，求角A 、B 、C 的大小．18. 下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料（单位：厘米）：（1）在这个问题中，总体是什么？并求出x 与y 的值；（2）求表中x 与y 的值，画出频率分布直方图及频率分布折线图； （3）试计算身高在146~154cm 的总人数约有多少？19.在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面PAD ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．20.在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02=+⋅ON BM AM λ（0≠λ） （1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,，且点D 在一象限 ①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若D F AD ⊥，求λ值．21. 设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，CD ⊥AB 于点D ， 弦BE 与CD 、AC 分别交于点M 、N ，且MN = MC（1）求证：MN = MB ； （2）求证：OC ⊥MN 。
23.（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程：1cos (sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数）,曲线C 的参数方程：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）,且直线交曲线C 于A,B 两点.（Ⅰ）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求4πθ=时,|AB|的长度,；:（Ⅱ）已知点P:(1,0) , 求当直线倾斜角θ变化时, ||||PA PB 的范围24.已知函数aa x x f +-=2)(．（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围.2014新课标1高考模拟猜题卷文科数学参考答案1. 【 答案】C.【 解析】∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}， ∴M ∪N={1，3，5，6，7}， ∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}， ∴C u （ M ∪N ）={2.4.8} 故选C2. 【 答案】C. 【 解析】因为，其共轭复数为2+i ，即a+bi=2+i ，所以a=2，b=1．所以点（a，b）为（2，1）．故选C．3. 【答案】B.【解析】解：2lg2﹣lg=lg4+lg25=lg4×25=2lg10=2．4. 【答案】A.【解析】∵f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），∴f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）记F（x）=f（x）﹣g（x）=log2，则F（﹣x）=log2=log2（）﹣1=﹣log2=﹣F（x）故f（x）﹣g（x）是奇函数．故选A5.【答案】B.【解析】每个个体被抽到的概率等于=，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是120×=6，故选B．6. 【答案】B.【解析】7. 【答案】C.【解析】由函数的图象可得A=2，根据===，求得ω=π．再由五点法作图可得π×+φ=π，解得φ=，故选C．8. 【答案】B.【解析】若数列{a n}是等比数列，根据等比数列的性质得：，反之，若“”，当a n=0，此式也成立，但数列{a n}不是等比数列，∴“”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选B．9. 【答案】B.【解析】在△ABC中，由cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得，cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0．∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，即cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB＜0．∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB＜0，﹣cosBcosA+sinBsinA＜0．即﹣cos（A+B）＜0，cos（A+B）＞0．∴A+B＜，∴C＞，故△ABC形状一定是钝角三角形，故有a2+b2＜c2 ．故选B．10. 【答案】C.【解析】根据题意，得∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM的体积最大设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB=可得CD=，BD=Rt△ACD中，根据等积转换得CH==Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==因此，S△CMH=CH•HM==∵4+2tan2θ≥4tanθ，∴S△CMH=≤=，当且仅当tanθ=时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=，可得cosθ=（舍负）由此可得CD==，即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为故选：C11. 【答案】B.【解析】∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1），即f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a 3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a ＜．又a ＞0，∴0＜a ＜，故选：B ．12. 【 答案】C.【 解析】双曲线的渐近线为：y=±x ，设焦点F （c ，0），则A （c ，），B （c ，﹣），P（c ，），∵，∴（c ，）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C ．13. 【 答案】3.【 解析】2263(1)331y x x =++-≥=+3，则函数的最小值为3。
14. 【 答案】1007.【解析】观察并执行如图所示的程序框图，其表示计算s=-+-+-+-+，所以输出S为1007.12345 (20132014)15.【答案】2.【解析】由题意可得==n﹣m，====，∵∥，∴∂λ∈R，使=λ，即n﹣m=λ（），比较系数可得n=λ，﹣m=λ，解得=2故答案为：216. 【答案】【解析】不等式组表示的平面区域为矩形，要使根式有意义，则1﹣t2≥0，即0≤t≤1，则对应的矩形面积为2t≤t2+1﹣t2=1当且仅当t=，即t2=，即t=时取等号，此时区域N的最大面积为1，∴在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是，故答案为：17. 【 解析】(1)()3sin())f x x x ωω=)6x πω=-，2T ππω==，故2ω=， ………………3分())6f x x π=-，由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得：,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.所以()f x 的单调递增区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈． ………………6分(2)因为()2Af =21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A ． ………………9分因为B b A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . ………………12分 因为a b >，所以3π=A ，6π=B ，2π=C . ………………14分18. 【 解析】19. 【 解析】取PA 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，故CE ∥平面PAD ． …………………… 7分（方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // PA ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EM ∥平面PAD ．同理，CM ∥平面PAD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面PAD ．而CE ⊂平面PAD ，故CE ∥平面PAD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是PA 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面PAB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面PAB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ． ………………………… 14分20. 【 解析】（1）设),(y x P ，所以),0(),0,(y N x M ，由02=+⋅λ得222a y x =+λ ①当0<λ时，曲线C 是焦点在x 轴的双曲线； ②当10<<λ时，曲线C 是焦点在y 轴的椭圆； ③当1=λ时，曲线C 是圆；④当1>λ时，曲线C 是焦点在x 轴的椭圆； ………6分 （2）①当0>λ且1≠λ时，曲线C 是椭圆，曲线1C 方程为222a y x =+λ,设),(y x D所以两曲线四个交点坐标λ+==1222a y x ，所以四边形DEFG 为正方形； ………9分②设),(x x D ，当D F AD ⊥时，0)2,2(),(=--⋅-=⋅x x x a x DF AD 且解得3=λ． ………12分21. 【 解析】 （1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分） 由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3] (]2,∞-，-1[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时，22. 【 解析】证明：（1）连结AE ，BC ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC ，∴∠MCN=∠MNC 又∵∠ENA=∠MNC ，∴∠ENA=∠MCN ∴∠EAC=∠DCB ，∵∠EAC=∠EBC ，∴∠MBC=∠MCB ，∴MB=MC ∴MN=MB ． ………5分 （2）设OC ∩BE=F ，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB ，∴∠DBM=∠FCM ．又∵∠DMB=∠FMC∴∠MDB=∠MFC ，即∠MFC=90°∴OC ⊥MN ． …………10分23. 【 解析】（1）曲线C 的普通方程 2212x y +=当4πθ=时 |AB|=(2) 直线参数方程代入得222(cos 2sin )2cos 10t t θθθ++-=12222111||||t [,1]cos 2sin 1sin 2PA PB t θθθ=-==∈++ 24.解：(Ⅰ)由26x a a -+≤得26x a a-≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． (Ⅱ)由(Ⅰ)知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124,211 212124,22124,2n nn n n nn nϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()nϕ的最小值为4，故实数m的取值范围是[)4,+∞．。